九年级数学全册难点探究专题抛物线与几何图形的综合选做练习

优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：抛物线与几何图形———专题讲解———专题总体特征：试题的背景往往是把三角形、四边形或者学生熟悉的图形放在坐标系中，结合有关性质以及图形之间的相互关系构建抛物线，结合二次函数的性质解决点的存在性问题等能力．本专题主要研究抛物线与等腰三角形、直角三角形、平行四边形的综合问题，解决这类试题常常需要用到数形结合思想，转化思想，分类讨论思想等，解题的关键是弄清函数与几何图形之间的联系，在解题的过程中，将函数问题几何化．同时能够学会将大题分解为小题，逐个击破．———典型例题———【例1】（2014•山东德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【提示】（1）求得B、C的坐标，利用待定系数法求解；（2）分点A为直角顶点时和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC列方程求解；（3）垂线段最短．【感悟】（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分为三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角进行讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验．【例2】（2014•四川眉山）如图，已知直线y=－3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=－1，该抛物线与x 轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P 的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．【提示】（1）利用抛物线的交点式求解；（2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求；（3）按照以AB为对角线、以AB为边讨论．【感悟】在抛物线上构造平行四边形的有关问题，需根据平行四边形的特征与判定．充分利用抛物线的顶点、对称轴及对称性质，对交点的不同的情况、不同的位置与特征进行探索.从简单情形入手，从特殊情况转化，从归纳中探求结论，发现规律．用动态思想，发挥想象能力和猜想能力，先猜想出结论，再加以解题证明．【例3】（2014•四川遂宁）已知：直线l：y=－2，抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，－1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2＋bx＋c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【提示】（1）待定系数法求解；（2）用勾股定理求出PO的值，与PQ=PE＋EQ的值进行比较得出结论；（3）由三角形的内角和定理及平行线的性质、矩形的性质可以得出结论．【感悟】本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．———小试身手———1．（☆☆）如果一条抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为[－1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（）A．±2 B．±3 C．2 D．32．（☆☆2013•浙江湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为23，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形．．．．．．．的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16 B．15 C．14 D．13（第2题图）（第4题图）3．（☆☆☆2014•江阴市二模）点A，B的坐标分别为（－2，3）和（1，3），抛物线y=ax2＋bx＋c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜－3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=−34．其中正确的是（）A．②④B．②③C．①③④D．①②④4．（☆☆☆2013•辽宁锦州）二次函数y=32x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠A n－1B n A n=60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为．5．（☆☆☆）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A在点（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是．（第5题图）（第6题图）6．（☆☆☆☆☆2014•浙江丽水模拟）如图，抛物线y=−31x2＋2x与x 轴相交于点B、O，点A是抛物线的顶点，连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上的一点，点Q抛物线是上的一点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t．①当0＜S≤18时，t的取值范围是；②在①的条件下，当t取得最大值时，请你写出使△OPQ为直角三角形且OP为直角边的Q点的坐标：．7．（☆☆☆2014•四川乐山）如图，抛物线y=x2－2mx（m ＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，－m）作PM⊥x 轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m 的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．8．（☆☆☆2014•广西桂林）如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．9．（☆☆☆☆2014•湖南益阳）如图，直线y=－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．10．（☆☆☆☆2014•浙江金华）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x＋m，它与x轴交于点G，在梯形ABCD的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=－3时，过点P分别作x轴，直线l的垂线，垂足为E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（☆☆☆☆2013•湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，3），C（1，3），动点P 从点O 以每秒2个单位的速度向点A 运动，动点Q 也同时从点B 沿B →C →O 的线路以每秒1个单位的速度向点O 运动，当点P 到达A 点时，点Q 也随之停止，设点P ，Q 运动的时间为t （秒）． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）当点Q 在CO 边上运动时，求△OPQ 的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）以O ，P ，Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （4）经过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴、直线OB 和PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时t 的值（或范围），若不能，请说明理由）．———参考答案———例1．【解析】（1）由A （4，0），可知OA =4，∵OA =OC =4OB ，∴OA =OC =4，OB =1， ∴C （0，4），B （－1，0）．设抛物线的解析式是y =ax 2＋bx ＋x ，则0,1640,4,a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,3,4,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则抛物线的解析式是y =－x 2＋3x ＋4； （2）存在．第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC ，交抛物线于点P 1．过点P 1作y 轴的垂线，垂足是M ． ∵∠ACP 1=90°，∴∠MCP 1＋∠ACO =90°． ∵∠ACO ＋∠OAC =90°，∴∠MCP 1=∠OAC ．∵OA =OC ，∴∠MCP 1=∠OAC =45°，∴∠MCP 1=∠MP 1C ，∴MC =MP 1． 设P （m ，－m 2＋3m ＋4），则m =－m 2＋3m ＋4－4，解得m 1=0（舍去），m 2=2． ∴－m 2＋3m ＋4=6，即P （2，6）．第二种情况，当点A 为直角顶点时，过A 作AP 2，AC 交抛物线于点P 2，过点P 2作y 轴的垂线，垂足是N ，AP 交y 轴于点F ．∴P 2N ∥x 轴，由∠CAO =45°，∴∠OAP =45°，∴∠FP 2N =45°，AO =OF ．∴P 2N =NF ． 设P 2（n ，－n 2＋3n ＋4），则n =（－n 2＋3n ＋4）－1，解得n 1=－2，n 2=4（舍去）， ∴－n 2＋3n ＋4=－6，则P 2的坐标是（－2，－6）． 综上所述，P 的坐标是（2，6）或（－2，－6）；（3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ． 根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由（1）可知，在直角△AOC 中，OC =OA =4，则AC =22OC OA +=42，根据等腰三角形的性质，D 是AC 的中点． 又∵DF ∥OC ，∴DF =12OC =2，∴点P 的纵坐标是2． 则－x 2＋3x ＋1=2，解得x =317±，∴当EF 最短时，点P 的坐标是（3172+，0）或（3172-，0）．例2．【解析】（1）直线y =－3x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， 当y =0时，－3x ＋3=0，解得x =1，则A 点坐标为（1，0）． 当x =0时，y =3，则C 点坐标为（0，3）．抛物线的对称轴为直线x =－1，则B 点坐标为（－3，0）． 把C （0，3）代入y =a （x －1）（x ＋3）得3=－3a ，解得a =－1， 则此抛物线的解析式为y =－（x －1）（x ＋3）=－x 2－2x ＋3； （2）连接BC ，交对称轴于点P ，如图1，设直线BC 的关系式为y =mx ＋n ，把B （－3，0），C （0，3）代入y =mx ＋n 得30,3,m n n -+=⎧⎨=⎩解得1,3.m n =⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的关系式为y =x ＋3．当x =－1时，y =－1＋3=2，∴P 点坐标为（－1，2）； （3）当以AB 为对角线，如图2，∵四边形AMBN 为平行四边形，A 点横坐标为1，N 点横坐标为0，B 点横坐标为－3， ∴M 点横坐标为－2，M 点纵坐标为y =－4＋4＋3=3， ∴M 点坐标为（－2，3）； 当以AB 为边时，如图3，∵四边形ABMN 为平行四边形，∴MN =AB =4，即M 1N =4，M 2N =4， ∴F 1的横坐标为－4，F 2的横坐标为4，对于y =－x 2－2x ＋3，当x =－4时，y =－16＋8＋3=－5； 当x =4时，y=－16－8＋3=－21，∴M 点坐标为（－4，－5）或（4，－21）．综上所述，M 点坐标为（－2，3）或（－4，－5）或（4，－21）．例3．【解析】（1）由题意，得0,21,042,b ac a b c ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪=++⎪⎩解得1,40,1.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为y =14x 2−1． （2）如图①，设P （a ，14a 2－1），则OE =a ，PE =14a 2－1， ∵PQ ⊥l ，∴EQ =2，∴QP =14a 2＋1． 在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO 2221(1)4a a +-14a 2＋1，∴PO =PQ ；（3）①如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ， ∴BN =BO ，AM =AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO =∠BON ，∠AOM =∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM =180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO =180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM =180°， ∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM =360°， ∴2∠BON ＋2∠AOM =180°，∴∠BON ＋∠AOM =90°，∴∠MON =90°， ∴ON ⊥OM ；②如图③，作F′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH =∠GHF′=∠F′EG =90°，FO =FG ，F′H =F′O ，∴四边形GHF′E 是矩形，FO ＋FD =FG ＋FD =DG ，F′O ＋F′D =F′H ＋F′D ， ∴EG =F′H ，∴DE ＜DF′，∴DE ＋GE ＜HF′＋DF′，∴DG ＜F′O ＋DF′， ∴FO ＋FD ＜F′O ＋DF′，∴F 是所求作的点． ∵D （1，1），∴F 的横坐标为1， ∴F （1，－34）． 1．【答案】A【解析】∵抛物线三角形系数为[－1，b ，0]，∴抛物线解析式为y =－x 2＋bx =－（x －2b）2＋42b ，∴顶点坐标为（2b，42b ）．令y =0，则－x 2＋bx =0，解得x 1=0，x 2=b ，∴与x 轴的交点为（0，0），（b ，0）．∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴42b =2||b ，∴b 2=2b 或b 2=－2b ，∵b =0时，抛物线与x 轴只有一个交点（0，0），∴b =0不符合题意，∴b =2或b =－2． 2．【答案】C【解析】如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y =－x 2＋4x ，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是7＋7=14．3．【答案】A【解析】∵点A ，B 的坐标分别为（－2，3）和（1，3），∴线段AB 与y 轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB 上运动，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ），∴c ≤3，（顶点在y 轴上时取“=”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB 上运动，∴当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大，因此，当x ＜－3时，y 随x 的增大而增大，故②正确；若点D 的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x =1，根据二次函数的对称性，点C 的横坐标最小值为－2－4=－6，故③错误；令y =0，则ax 2＋bx ＋c =0，CD 2=（－a b ）2－4×ac=224a ac b -，根据顶点坐标公式，a b ac 442-=3，∴aacb 42-=－12，∴CD 2=a 1×（－12）=a -12，∵四边形ACDB 为平行四边形，∴CD =AB =1－（－2）=3，∴a-12=32=9，解得a =－34，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 4．【答案】4n【解析】∵四边形A 0B 1A 1C 1是菱形，∠A 0B 1A 1=60°，∴△A 0B 1A 1是等边三角形．设△A 0B 1A 1的边长为m 1，则B 1（231m ，21m ），代入抛物线的解析式中得32（231m ）2=21m ，解得m 1=0（舍去），m 1=1，故△A 0B 1A 1的边长为1，同理可求得△A 1B 2A 2的边长为2，…依此类推，等边△A n －1B n A n 的边长为n ，故菱形A n －1B n A n C n 的周长为4n ．5．【答案】（1）＜；（2）－43≤a ≤－252 【解析】（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标在第一象限，∴－ab2＞0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0；（2）顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C 与D 点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y =a （x －1）2＋3，由⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤+--,03)11(,03)12(22a a 解得－43≤a ≤－31；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y =a （x －3）2＋2，由⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤+--,02)31(,02)32(22a a 解得－81≤a ≤－252；∵顶点可以在矩形内部，∴－43≤a ≤－252． 6．【答案】①－3≤t ＜0或0＜t ≤3（－3≤t ≤3）；②（3，3）或（6，0）或（－3，－9）【解析】①∵抛物线y =−31x 2＋2x 与x 轴相交于点B 、O ，点A 是抛物线的顶点，∴点B 坐标为（6，0）． ∴顶点A 坐标为（3，3）．设直线AB 解析式为y =kx ＋b ．∵A （3，3），B （6，0），∴y =－x ＋6． ∵直线l ∥AB 且过点O ，∴直线l 解析式为y =－x ．∵点P 是l 上一动点且横坐标为t ，∴点P 坐标为（t ，－t ）． 当P 在第四象限时（t ＞0），S =S △AOB ＋S △OBP =21×6×3＋21×6×|－t |=9＋3t ． ∵0＜S ≤18， ∴0＜9＋3t ≤18，∴－3＜t ≤3．又∵t ＞0，∴0＜t ≤3． 当P 在第二象限时（t ＜0），作PM ⊥x 轴于M ，设对称轴与x 轴交点为N ，S =S 梯形ANMP ＋S △ANB －S △PMO =21（t －3）2＋29－21t 2=－3t ＋9； ∵0＜S ≤18，∴0＜－3t ＋9≤18，∴－3≤t ＜3；又∵t ＜0，∴－3≤t ＜0，∴t 的取值范围是－3≤t ＜0或0＜t ≤3． ②存在，点Q 坐标为（3，3）或（6，0）或（－3，－9）． 由（2）知t 的最大值为3，则P （3，－3）； 过O 、P 作直线m 、n 垂直于直线l ，∵直线l 的解析式为y =－x ，∴直线m 的解析式为y =x ． 可设直线n 的解析式为y =x ＋h ，则有3＋h =－3，h =－6． ∴直线n ：y =x －6．联立直线m 与抛物线的解析式有⎪⎩⎪⎨⎧+==,231,2x x y x y 解得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==.3,3y x ∴Q 1（3，3）；同理可联立直线n 与抛物线的解析式，求得Q 2（6，0），Q 3（－3，－9）．7．【解析】（1）若m =2，抛物线y =x 2－2mx =x 2－4x ，∴对称轴x =2． 令y =0，则x 2－4x =0，解得x =0或x =4，∴A （4，0）． ∵P （1，－2），令x =1，则y =－3， ∴B （1，－3），∴C （3，－3）．（2）∵抛物线y =x 2－2mx （m ＞0），∴A （2m ，0）对称轴x =m ．∵P（1，－m），令x=1，则y=1－2m，∴B（1，1－2m），∴C（2m－1，1－2m）．∵PA2=（－m）2＋（2m－1）2=5m2－4m＋1，PC2=（2m－2）2＋（1－m）2=5m2－10m＋5，AC2=1＋（1－2m）2=2－4m ＋4m2，∵△ACP为直角三角形，∴PA2=PC2＋AC2，即5m2－4m＋1=5m2－10m＋5＋2－4m＋4m2，整理得2m2－5m＋6=0，解得m=32，m=1（舍去），故m=32．（3）∵P（1，－m），C（2m－1，1－2m），设直线PC的解析式为y=kx＋b，∴,12(21),m k bm m k b-=+⎧⎨-=-+⎩解得k=－12．∵PE⊥PC，∴设直线PE为y=2x＋b′，∴－m=2＋b′，解得b′=－2－m，∴直线PE：y=2x－2－m，令y=0，则x=1＋12m，∴E（1＋12m，0），∴PE2=（－m）2＋（12m）2=254m，∴254m=5m2－10m＋5，解得m=2或m=23，∴E（2，0）或E（43，0），∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（43，0）；令x=0，则y=－2－m，∴E（0，－2－m），∴PE2=（－2）2＋12=5，∴5m2－10m＋5=5，解得m=2，m=0（舍去），∴E（0，－4），∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，－4）．∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（43，0）或（0，－4）．8．【解析】（1）y =－12x2＋x＋4；（2）抛物线的解析式y =－12x2＋x＋4，当x=0时，y=4，可得点C（0，4）．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C关于x=1的对称点C`的坐标为（2，4），∴点C向右平移了2个单位长度，则点A向右平移后的点A`的坐标为（0，0），所以点A`，C`的坐标分别分（0，0），（2，4）．（3）存在，共有两种情况：（一）如图，四边形ACEF是平行四边形，过点F作FD⊥x轴，∴AF=CE，∠AEC=∠EAF，∠ADF=∠AOC=90°，∴∠DAF=∠CEO，∴△ADF≌△EOC，∴DF=CO=4，AD=EO，∴点F的纵坐标为－4．∵点F在抛物线y =－12x2＋x＋4的图象上，即－12x2＋x＋4=－4，解得x=1±17F(171，－4)，∴DO 17－1．∵AO =2，∴AD =EO =DO －AO 17－3，∴点E 17＋3，0），所以点E 173，0），点F 的坐标为(171，－4) ．xy12345678–1–2–3–4–1–2–3–412345B E`EAOCF`HFD（二）如图，四边形ACE`F`∴AC =E`F`，∠CAO =∠F`E`H ，∠∴HF`=CO =4，AO =E`H ，得点F`∵点F`在抛物线y =－12x 2＋x ＋4的图象上，即－12a 2＋a ＋4=－4，解得x =1±17， 则点F`的坐标为（117，－4），∴EH =117E`H =AO =2，∴OE `=317， ∴点E 的坐标为（3170）．所以点E 的坐标为（317，0），点F 的坐标为（117，－4）．9．【解析】（1）∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴(1,0)A ，(0,3)B ．又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ，∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-．（2）设Q 点的坐标为(2,)m ，对称轴2x =交x 轴于点F ，过点B 作BE 垂直于直线2x = 于点E ． 在Rt AQF ∆中，22221AQ AF QF m =+=+，在Rt BQE ∆中，22224(3)BQ BE EQ m =+=+-． ∵AQ BQ =，∴2214(3)m m +=+-，∴2m =． ∴Q 点的坐标为(2,2)．（3）当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直．所以AC 应为正方形的对角线．又对称轴2x =是AC 的中垂线，所以，M 点与顶点(2,1)P -重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2,1)． 此时，1MF NF AF CF ====，且AC MN ⊥，∴ 四边形AMCN 为正方形．在Rt AFN ∆中，222AN AF NF =+=，即正方形的边长为2．10．【答案】【解析】（1）由题意得：A （4，0），C （0，4），对称轴为x =1．设抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++,12,4,0416a b c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.4,1,21c b a∴抛物线的函数解析式为y =－21x 2＋x ＋4． （2）①当m =0时，直线l ：y =x ． ∵抛物线对称轴为x =1，∴CP =1．如答图1，延长HP 交y 轴于点M ，则△OMH 、△CMP 均为等腰直角三角形．∴CM =CP =1，∴OM =OC ＋CM =5． ∴S △OPH =S △OMH －S △OMP =21（22OM ）2－21OM •CP =21×（22×5）2－21×5×1=425－25=415． ②当m =－3时，直线l ：y =x －3．设直线l 与x 轴、y 轴交于点G 、点D ，则G （3，0），D （0，－3）．假设存在满足条件的点P ．QE 第20题解图N (M ） F xB OA1 -1 yC Pa ）当点P 在OC 边上时，如答图2－1所示，此时点E 与点O 重合． 设PE =a （0＜a ≤4），则PD =3＋a ，PF =22PD =22（3＋a ）．过点F 作FN ⊥y 轴于点N ，则FN =PN =22PF ，∴EN =|PN －PE |=|22PF －PE |．在Rt △EFN 中，由勾股定理得：EF =22FN EN +=222PF PF PE PE +⋅-．若PE =PF ，则a =22（3＋a ），解得a =3（2＋1）＞4，故此种情形不存在；若PF =EF ，则PF =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PE =2PF ，即a =3＋a ，不成立，故此种情形不存在； 若PE =EF ，则PE =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PF=2PE ，即22（3＋a ）=2a ，解得a =3．∴P 1（0，3）．b ）当点P 在BC 边上时，如答图2－2所示，此时PE =4．若PE =PF ，则点P 为∠OGD 的角平分线与BC 的交点，有GE =GF ，过点F 分别作FH ⊥PE 于点H ，FK ⊥x 轴于点K ， ∵∠OGD =135°，∴∠EPF =45°，即△PHF 为等腰直角三角形． 设GE =GF =t ，则GK =FK =EH =22t ，∴PH =HF =EK =EG ＋GK =t ＋22t ，∴PE =PH ＋EH =t ＋22t ＋22t =4，解得t =42－4，则OE =3－t =7－42，∴P 2（7－42，4）;c ）∵A （4，0），B （2，4），∴可求得直线AB 解析式为y =－2x ＋8； 联立y=－2x ＋8与y =x －3，解得x =311，y =32． 设直线BA 与直线l 交于点K ，则K （311，32）． 当点P 在线段BK 上时，如答图2－3所示．设P （a ，8－2a ）（2≤a ≤311），则Q （a ，a －3），∴PE =8－2a ，PQ =11－3a ，∴PF =22（11－3a ）．与a ）同理，可求得EF =222PF PF PE PE +⋅-．若PE =PF ，则8－2a =22（11－3a ），解得a =1－22＜0，故此种情形不存在；若PF =EF ，则PF =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PE =2PF ，即8－2a =2•22（11－3a ），解得a =3，符合条件，此时P 3（3，2）； 若PE =EF ，则PE =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PF =2PE ，即22（11－3a ）=2（8－2a ），解得a =5＞311，故此种情形不存在．d ）当点P 在线段KA 上时，如答图2－4所示．∵PE 、PF 夹角为135°，∴只可能是PE =PF 成立．∴点P 在∠KGA 的平分线上． 设此角平分线与y 轴交于点M ，过点M 作MN ⊥直线l 于点N ，则OM =MN ，MD =2MN ．由OD =OM ＋MD =3，可求得M （0，3－32）．又因为G （3，0），可求得直线MG 的解析式为y =（2－1）x ＋3－32．联立直线MG ：y =（2－1）x ＋3－32与直线AB ：y =－2x ＋8，可求得P 4（1＋22，6－42）．e ）当点P 在OA 边上时，此时PE =0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P ，点P 坐标为（0，3）、（3，2）、（7－42，4）、（1＋22，6－42）． 11．【解析】（1）设所求抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，把A （6，0），B （3，3），C （1，3）三点坐标代入得：3660,933,3,ab ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,1543,1543.5abc⎧=-⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩即所求抛物线解析式为y=－315x2＋4315x＋435；（2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4－t，∴△OPQ的边OP上的高为OQ×sin60°=（4－t）×32，又∵OP=2t，∴S=12×2t×（4－t）×32=－32（t2－4t）（2≤t≤3）；（3）根据题意得出0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=23(3)t+-，PQ=23[2(3)]t t+--=23(33)t+-，∵∠POQ＜∠POC=60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，若∠OPQ=90°，如图2，则OP2＋PQ2=QO2，即4t2＋3＋（3t－3）2=3＋（3－t）2，解得t1=1，t2=0（舍去）；若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，若∠OQP=90°，如图，3，则OQ2＋PQ2=PO2，即（3－t）2＋6＋（3t－3）2=4t2，解得t=2，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t＞4，∠POQ=∠COP=60°，OQ＜OC=2，故△OPQ不可能为直角三角形，综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形；（4）由（1）可知，抛物线y=－315x2＋4315x＋435=－315（x－2）2＋16315，其对称轴为x=2，又∵OB的直线方程为y=33x，∴抛物线对称轴与OB交点为M（2，233），又∵P（2t，0）设过P，M的直线解析式为y=kx＋b，∴232,320,k bk t b⎧=+⎪⎨⎪⨯+=⎩解得3,3(1)23.3(1)kttbt⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩即直线PM的解析式为y=33(1)t-x－233(1)tt-，即3（1－t）y=x－2t，又0≤t≤2时，Q（3－t，3），代入上式，得3（1－t）×3=3－t－2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；当2＜t≤3时，OQ=4－t，∠QOP=60°，∴Q（42t-，3(4)2t-），代入上式得3(4)2t-×3（1－t）=42t-－2t，解得t=2或t=43（均不合题意，舍去）．∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2．。

初三抛物线练习题及答案抛物线是数学中的基本图形之一，也是初中数学中重要的内容之一。

掌握抛物线的性质和解题方法，不仅能提高数学水平，还有助于培养逻辑思维和分析问题的能力。

下面是一些初三抛物线练习题及答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4)，经过点(2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知顶点坐标(-1, 4)，可得：4 = a(-1)^2 + b(-1) + c化简得：a - b + c = 4 （式1）由已知经过点(2, 1)，可得：1 = a(2)^2 + b(2) + c化简得：4a + 2b + c = 1 （式2）解方程组（式1）和（式2），得到a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式。

2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么？解析：对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，其对称轴的公式为x = -b/2a。

对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1，将其转化为一般形式，即a = 2，b = 3，c = 1。

代入公式x = -b/2a，可得对称轴的方程：x = -3/(2*2)化简得：x = -3/4所以，抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。

3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知点(1, 5)，可得：5 = a(1)^2 + b(1) + c化简得：a + b + c = 5 （式3）由已知点(-2, 1)，可得：1 = a(-2)^2 + b(-2) + c化简得：4a - 2b + c = 1 （式4）解方程组（式3）和（式4），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。

4. 已知抛物线过点(3, 4)，顶点坐标为(-1, -2)，求抛物线的解析式。

抛物线试题及答案初三
一、选择题
1. 抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标是（）
A. (-b/2a, f(-b/2a))
B. (-b/2a, f(-b/2a))
C. (-b/2a, f(-b/2a))
D. (-b/2a, f(-b/2a))
答案：A
2. 抛物线y=x^2-4x+3与x轴的交点坐标是（）
A. (1,0)和(3,0)
B. (-1,0)和(3,0)
C. (1,0)和(-3,0)
D. (-1,0)和(-3,0)
答案：A
二、填空题
3. 若抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=2，则b的值为______。

答案：-4a
4. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标为（1,3），则a=______。

答案：-2
三、解答题
5. 已知抛物线y=x^2-6x+9，求抛物线的顶点坐标。

答案：顶点坐标为(3,0)。

6. 抛物线y=2x^2-4x+1与直线y=x+2相交于A、B两点，求A、B两点
的坐标。

答案：A(1,3)，B(2,4)。

四、综合题
7. 抛物线y=x^2-2x-3与x轴相交于点C、D，与y轴相交于点E，求
三角形CDE的面积。

答案：三角形CDE的面积为9。

8. 已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点(1,0)和(-1,0)，且顶点在x轴上，求抛物线的解析式。

答案：抛物线的解析式为y=x^2。

初三抛物线练习题和答案一、选择题1. 下列哪个点不在抛物线y = 2x² - 4x + 1上？A. (-1, 7)B. (0, 1)C. (1, -1)D. (2, 1)答案：C2. 抛物线y = -3x² + 6x - 9的开口方向是：A. 向上B. 向下答案：B3. 抛物线y = x² + 2x - 3的顶点坐标是：A. (-1, 0)B. (-1, -4)C. (-1, -2)D. (1, 4)答案：C二、填空题1. 抛物线y = 2x² - 4x + 1的对称轴方程是______。

答案：x = 12. 抛物线y = -x² + 4x + 5的焦点坐标为(2, 4)，则抛物线的方程为______。

答案：y = -(x - 2)² + 4三、解答题1. 求抛物线y = -2x² + 8x - 5的顶点坐标和对称轴方程。

解答：首先，我们知道抛物线的顶点坐标可以通过公式计算。

对于一般式的二次函数y = ax² + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，带入公式即可得到纵坐标。

在这个例子中，a = -2，b = 8，c = -5。

将这些值代入公式，我们可以计算出顶点的横坐标为x = -8/(-4) = 2。

将x = 2带入原方程，可以计算出顶点的纵坐标为y = -2(2)² + 8(2) - 5 = 7。

因此，抛物线y = -2x² + 8x - 5的顶点坐标为(2, 7)。

对称轴方程为x = 2。

2. 求抛物线y = x² - 4x + 3的焦点坐标。

解答：为了求解焦点坐标，我们需要先将方程转化为顶点形式。

通过配方可以将标准形式转化为顶点形式。

首先，我们可以将方程y = x²- 4x + 3写成完全平方式，即y = (x - 2)² - 1。

通过完全平方式转化后，我们可以得到抛物线的顶点坐标为(2, -1)。

初三抛物线试题及答案一、选择题1. 抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是什么？A. (-b, c)B. (-b/2a, c - b^2/4a)C. (-b/2a, c + b^2/4a)D. (-b/a, c)答案：B2. 如果抛物线y = x^2 + 2x + 1的对称轴是直线x = -1，那么a的值是多少？A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A3. 抛物线y = 2x^2 - 4x + 3的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 无法确定答案：A二、填空题4. 已知抛物线y = 3x^2 - 6x + 5，求抛物线的顶点坐标。

答案：顶点坐标为(1, 2)5. 抛物线y = -x^2 + 4x - 3的焦点坐标是什么？答案：焦点坐标为(2, -2)三、解答题6. 已知抛物线y = 2x^2 - 8x + 7，求其与x轴的交点。

答案：首先将方程化为标准形式：y = 2(x - 2)^2 - 1。

抛物线与x轴的交点即为y = 0时的x值。

解方程2(x - 2)^2 - 1 = 0，得到x= 2 ± √(1/2)，即x = 2 ± √2/2。

7. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c经过点(1, 3)和(-1, 1)，求a和b 的值。

答案：将点(1, 3)和(-1, 1)代入方程，得到两个方程：3 = a(1)^2 + b(1) + c1 = a(-1)^2 + b(-1) + c解这两个方程，得到a + b + c = 3和a - b + c = 1。

相减消去c，得到2b = 2，即b = 1。

将b的值代入任一方程，得到a + 1 + c = 3，即a + c = 2。

由于c = 3 - a - b = 3 - a - 1 = 2 - a，代入得到a + 2 - a = 2，这是一个恒等式，说明a可以是任意实数。

四、应用题8. 一个物体从地面向上抛，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h = -5t^2 + 20t。

2024年中考数学一轮复习题型突破与专题精练—抛物线与几何综合题题型一抛物线与三角形有关问题1．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P、Q、E 为顶点的三角形与BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）12(1(2,3)P P --【分析】（1）根据抛物线y＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b 的方程，从而可以求得a、b 的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P 的坐标，然后再根据BOC 是等腰直角三角形，得出PQE V 是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴此抛物线的解析式为：223y x x =--+（2）当0x =时，3y =，所以，OB=OC=3，∴BOC 是等腰直角三角形，以点P、Q、E 为顶点的三角形与BOC 相似，∴PQE V 是等腰直角三角形，设点P 的坐标为2(23)m m m --+，，抛物线的对称轴为直线21221b x a -=-=-=--⨯，设BC 的解析式为y kx n =+，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，303k n n -+=⎧⎨=⎩，解得，13k n =⎧⎨=⎩，故BC 的解析式为3y x =+，把1x =-代入得，2y =，则E 点坐标为(12)-，，如图，当E 为直角顶点时，2232m m --+=，解得，11m =-，21m =-把11m =-代入得，2232m m --+=，则P 点坐标为(12)-，当Q 为直角顶点时，PQ=QE，即22321m m m --+-=--，解得12m =-，20m =（舍去），把12m =-代入得，2233m m --+=，则P 点坐标为(2,3)-；当P 为直角顶点时，作PM⊥EQ 于M，PM=ME，即22321m m m --+-=--，解得12m =-，20m =（舍去），则P 点坐标为(2,3)-；综上，P 点坐标为(12)--或(2,3)-．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A、B（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A，B，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A（-1，0），B（3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==;(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P（1，t），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)设点M（m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M（1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M（-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =∴M 1522⎛ ⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛ ⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．3.如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y轴交于点C，且tan 2OAC ∠=．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB、PC，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；(3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q．设点P 的横坐标为t，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．【答案】(1)22y x x =--；；(3)12【分析】（1）在Rt△AOC 中求出OC 的长，从而确定点C 的坐标，将二次函数设为交点式，将点C 的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情况：当点P 在第三象限时，设点P （a，22a a --），可表示出△BCD 的面积，作PE∥AB 交BC 于E，先求出直线BC，从而得到E 点坐标，从而表示出△PBC 的面积，根据S △PBC=S △BCD，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN⊥AB 于N，交BC 于M，根据P（t，22t t --），M（t，2t -），表示出PM 的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出PQ PM OQ OC=，从而得出PQ OQ 的函数表达式，进一步求得结果．(1)∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=2OC OA =，∴OC=2OA=2即点C 的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），将C 点坐标代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=22x x --；(2)设点P（a，22a a --），如图所示，当点P 在第三象限时，作PE∥AB 交BC 于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC 的解析式为：y=x-2，∴当22y a a =--时，x=y+2=2a a -，∴PE=2a a a --=22a a -，∴S △PBC=12PE·OC，∵抛物线的对称轴为y=12，CD∥x 轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S △BCD=12CD·OC，∴12PE·OC=12CD·OC，∴a 2-2a=1，解得a 1（舍去），a 2当时，y=22a a --），如图，当点P 在第一象限时，作PE⊥x 轴于点E，交直线BC 于F，∴F（a，a-2），∴PF=（22a a --）-（a-2）=22a a -，∴S △PBC=12PF·OB=12CD·OC，∴22a a -=1，解得a 1，a 2（舍去）；当时，y=22a a --，），综上所述，P ；(3)如图，作PN⊥AB 于N，交BC 于M，由题意可知，P（t，22t t --），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（22t t --）=-22t t +，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴2221(1)22PQ PM t t t OQ OC -+===--+12，∴当t=1时，(PQ OQ )最大=12．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．4.如图，抛物线21262y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D ．①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．【答案】（1）点A 的坐标为()6,0-，点B 的坐标为()2,0，点C 的坐标为()0,6-，直线AC 的函数表达式为：6y x =--；直线BC 的函数表达式为：36y x =-；（2）①存在，点E 的坐标为()6,8--或(2-；②【分析】（1）分别令0y =和0x =时即可求解A ，B ，C 三点的坐标，然后再进行求解直线AC ，BC 的函数表达式即可；（2）①设点D 的坐标为(),6m m --，其中60m -<<，由题意易得222(2)(6)BD m m =-++，2222640BC =+=，22222DC m m m =+=，当DE BC =时，以D ，C ，B ，E 为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当BD BC =时，BDEC 是菱形，当CD CB =时，CBED 是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线2x =-，由（1）可得直线AC 的函数表达式为：6y x =--；直线BC 的函数表达式为：36y x =-，点A 的坐标为()6,0-，点C 的坐标为()0,6-，进而可得166182AOC S =⨯⨯= ，设点()2,M m -，然后可求得直线l 的解析式为36y x m =++，则可求得点1212,44m m D +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以就有4MN m =+，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解．【详解】解：（1）当0y =时，212602x x +-=，解得16x =-，22x =，∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为()6,0-，点B 的坐标为()2,0，当0x =时，6y =-，∴点C 的坐标为()0,6-，设直线AC 的函数表达式为y kx b =+，代入点A、C 的坐标得：606k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：16k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的函数表达式为：6y x =--．同理可得直线BC 的函数表达式为：36y x =-；（2）①存在．设点D 的坐标为(),6m m --，其中60m -<<，∵点B ，点C 的坐标分别为()2,0，()0,6-，∴222(2)(6)BD m m =-++，2222640BC =+=，22222DC m m m =+=，∵//DE BC ，∴当DE BC =时，以D ，C ，B ，E 为顶点的四边形是平行四边形，当BD BC =时，BDEC 是菱形，如图所示：∴()()222640m m -++=，解得14m =-，20m =（舍去），∴点D 的坐标为()4,2--，∴点E 的坐标为()6,8--；当CD CB =时，CBED 是菱形，如图所示：∴2240m =，解，得125m =-225m =（舍去），∴点D 的坐标为()25,256-，∴点E 的坐标为(25,5-；综上所述，存在点E ，使得以D ，B ，C ，E 为顶点的四边形为菱形，且点E 的坐标为()6,8--或(225,25-；②由题意可得如图所示：由题意可得抛物线的对称轴为直线2x =-，由（1）可得直线AC 的函数表达式为：6y x =--；直线BC 的函数表达式为：36y x =-，点A 的坐标为()6,0-，点C 的坐标为()0,6-，∴点()2,4N --，6OA OC ==，∴166182AOC S =⨯⨯= ，设点()2,M m -，∵//l BC ，∴设直线l 的解析式为3y x b =+，把点M 的坐标代入得：6b m -+=，解得：6b m =+，∴直线l 的解析式为36y x m =++，∴联立直线l 与直线AC 的解析式得：636x x m --=++，解得：124m x +=-，∴12123644m m y m +-⎛⎫=⨯-++= ⎪⎝⎭，∴点1212,44m m D +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，且18DMN AOC S S ==△△，∴点M 在点N 的上方才有可能，∴4MN m =+，∴()()241124218248DMNm m S m ++⎛⎫=⨯+⨯-+== ⎪⎝⎭ ，解得：128,16m m ==-（不符合题意，舍去），∴()()2,8,5,1M D ---，∴由两点距离公式可得DM ==．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键．5.如图所示，抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M，与x 轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）228y x x =-++；（2）存在，()1,2P 或171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点()2,0,1,23E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，最短路程为Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △时，点Q ⎝⎭或3322Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，理由见详解．【分析】（1）由题意易得()()()2,0,4,0,0,8A B C -，然后设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，进而代入求解即可；（2）由题意易得BMN CMP ∠=∠，要使以点P、C、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则可分①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D 关于x 轴的对称点H，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x 轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，最后求解即可；（4）由题意可分①当点Q 在第二象限时，存在等腰Rt CQR △，②当点Q 在第一象限时，存在等腰Rt CQR △，然后利用“k 型”进行求解即可．【详解】解：（1）∵2OA =，4OB =，8OC =，∴()()()2,0,4,0,0,8A B C -，设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，代入点C 的坐标可得：88a -=，解得：1a =-，∴二次函数的解析式为()()24y x x =-+-，即为228y x x =-++；（2）存在以点P、C、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，理由如下：由（1）可得抛物线的解析式为228y x x =-++，则有对称轴为直线1x =，设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入点B、C 坐标可得：408k b b +=⎧⎨=⎩，解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为28y x =-+，∴点()1,6M ，()1,0N ，∴由两点距离公式可得3,6,BN MN BM CM ===若使以点P、C、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则有BMN CMP ∠=∠，①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，则有//CP x 轴，如图所示：∴点()1,8P ，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，如图所示：∴35562 PM BMCM MN===，∴52 PM=，∴点17 1,2P⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：∵OC=8，点D 为CO 的中点，∴OD=4，∴()0,4D ，∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴()()2,8,0,4I H -，设直线HI 的解析式为y kx b =+，则把点H、I 坐标代入得：284k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：64k b =⎧⎨=-⎩，∴直线HI 的解析式为64y x =-，当y=0时，则有064x =-，解得：23x =，当x=1时，则有6142y =⨯-=，∴点()2,0,1,23E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点G 走过的最短路程为()()222084237HI -++=（4）存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △，理由如下：设点()2,28Q a a a -++，则有：①当点Q 在第二象限时，存在等腰Rt CQR △时，如图所示：过点Q 作QL⊥x 轴于点L，过点C 作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，∴90CKQ QLR LOC ∠=∠=∠=︒，∴四边形COLK 是矩形，∴CK=OL，∵等腰Rt CQR △，∴,90CQ QR CQR =∠=︒，∴90CQK KCQ CQK LQR ∠+∠=∠+∠=︒，∴KCQ LQR ∠=∠，∴()KCQ LQR AAS ≌，∴QL CK =，∴QL CK OL ==，∵点()2,28Q a a a -++，∴228a a a -=-++，解得：12a a ==∴Q ⎝⎭；②当点Q 在第一象限时，存在等腰Rt CQR △时，如图所示：同理①可得228a a a =-++，解得：12a a =（不符合题意，舍去），∴Q ⎝⎭；综上所述：当以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △时，点Q ⎝⎭或3322Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．6.如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；(3)P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()2212y x x x =-++-≤≤(2)2b =或3b =(3)存在，()1,0或117,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或()15,0+【分析】（1）先求出点A、B、C 坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b 值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．(1)解：由翻折可知：()0,2C .令220x x --=，解得：11x =-，22x =，∴()1,0A -，()2,0B ，设图象W 的解析式为()()12y a x x =+-，代入()0,2C ，解得1a =-，∴对应函数关系式为()()12y x x =-+-=22x x -++()12x -≤≤．(2)解：联立方程组22y x b y x x =-+⎧⎨=-++⎩，整理，得：2220x x b -+-=，由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线y x b =-+与图象W 有三个交点；(3)解：存在．如图1，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 与C 关于直线x=12对称，∴点N 的横坐标为1，∴()1,0P ；如图2，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 点纵坐标为2，由222x x --=，解得1x =212x =（舍），∴N 的横坐标为12+，所以12P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；如图3，当90NCM ∠=︒时，OBC CMN △∽△，此时，直线CN 的解析式为2y x =+，联立方程组：222y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得11x =+21x =，∴N 的横坐标为1所以()1P +，因此，综上所述：P 点坐标为()1,0或1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或()1．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．题型二抛物线与线段有关问题7.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M，使得MP＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y x 2x 3=-++(2)(2,3)P (3)存在，1(0,)3M 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <，则4CD a =-，根据旋转的性质可得90,4CDP PD CD a ∠=︒==-，从而可得(5,)P a a -，将点P 代入抛物线的解析式求出a 的值，由此即可得；（3）先根据点坐标的平移规律求出点(1,1)E -，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接PE '，从而可得PE '与y 轴的交点即为所求的点M ，再利用待定系数法求出直线PE '的解析式，由此即可得出答案．(1)解：将点(1,0),(0,3)A B -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．(2)解：抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+的对称轴为直线1x =，其顶点C 的坐标为(1,4)C ，设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <，则4CD a =-，由旋转的性质得：90,4CDP PD CD a ∠=︒==-，(14,)P a a ∴+-，即(5,)P a a -，将点(5,)P a a -代入2(1)4y x =--+得：2(51)4a a ---+=，解得3a =或4a =（舍去），当3a =时，5532a -=-=，所以点P 的坐标为(2,3)P ．(3)解：抛物线2y x 2x 3=-++的顶点C 的坐标为(1,4)C ，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，且(2,3)P ，(21,34)E ∴--，即(1,1)E -，恰好在对称轴直线1x =上，如图，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接PE '，则MP ME MP ME '+=+，由两点之间线段最短可知，PE '与y 轴的交点即为所求的点M ，此时MP ME '+的值最小，即MP ME +的值最小，由轴对称的性质得：(1,1)E '--，设直线PE '的解析式为y kx m =+，将点(2,3)1,(,1)E P '--代入得：231k m k m +=⎧⎨-+=-⎩，解得4313k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线PE '的解析式为4133y x =+，当0x =时，13y =，故在y 轴上存在点M ，使得MP ME +的值最小，此时点M 的坐标为1(0,)3M ．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．8.抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B的左边）．（1）ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上．①如图（1），若点C 的坐标是()0,3，点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标；②如图（2），若点D 在抛物线上，且ACDE 的面积是12，求点E 的坐标；（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点，若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证FG FH +的值是定值．【答案】（1）①()1,0A -，517,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②点E 的坐标是()2,3．（2）见解析【分析】（1）①根据函数图象与x 轴的交点，令y=0，求出()1,0A -，点E 在抛物线上，求出纵坐标为54，再根据平行四边形的性质，求出517,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②连CE ，过点E 作x 轴垂线，垂足为M ，过点C 作CN EM ⊥，垂足为N ，设点C 坐标为()0,n ，点E 坐标为()2,1m m -，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到221(1)1m n m -+=+-，再由则AMNC ACE AME CNE S S S S =--△△△梯形，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H 两点的横坐标，再利用()1sin sin sin G H H G x x FG FH x x AFO BFO AFO -+==-∠∠∠求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线BF 与直线l 的表达式，根据直线l 与抛物线有唯一的交点，求出点H 坐标为1,12m m +⎛⎫- ⎪⎝⎭，点G 坐标为1,12m m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再求出结果．【详解】（1）解：①∵抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），∴令21y x =-=0，解得：121,1x x =-=，AF BF =∴()1,0A -，∵点E 在抛物线上，点E 的横坐标是32，∴235()124y =-=，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴35+1,+324D 骣琪琪桫∴517,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②设点C 坐标为()0,n ，点E 坐标为()2,1m m -．∵四边形ACDE 是平行四边形，∴将AC 沿AE 平移可与ED 重合，点D 坐标为()21,1m m n +-+．∵点D 在抛物线上，∴221(1)1m n m -+=+-．解得，21n m =+，所以()0,21C m +．连CE ，过点E 作x 轴垂线，垂足为M ，过点C 作CN EM ⊥，垂足为N ．则AMNC ACE AME CNE S S S S =--△△△梯形，∵12ACDE S = ，()1,0A -，∴()()221116(1)(21)(1)1211222m m m m m m m m ⎡⎤=+++-+--+--⎣⎦．∴23100m m +-=，解得12m =，25m =-（不合题意，舍去）．∴点E 的坐标是()2,3．（2）方法一：证明：依题意，得()10B ,，()0,2F -，∴设直线BF 解析式为y kx b =+，则02k b b +=⎧⎨=-⎩，解得22k b =⎧⎨=-⎩．∴直线BF 的解析式为22y x =-．同理，直线AF 的解析式为22y x =--．设直线l 的解析式为y tx n =+．联立21y tx n y x =+⎧⎨=-⎩，消去y 得210x tx n ---=．∵直线l 与抛物线只有一个公共点，∴2()4(1)0t n =----= ，214t n =--．联立22214y x t y tx =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，且2t ≠，解得，24H t x +=，同理，得24G t x -=．∵A ，B 两点关于y 轴对称，∴AFO BFO ∠=∠．∴()1sin sin sin G H H G x x FG FH x x AFO BFO AFO-+=+=-=∠∠∠∴FG FH +方法二：证明：同方法一得直线BF 的解析式为22y x =-．设直线l 的解析式为y px q =+，l 与抛物线唯一公共点为()2,1m m -．联立21y px q y x =+⎧⎨=-⎩，消去y 得210x px q ---=，∴1m m p mm q +=⎧⎨=--⎩．解得221p m q m =⎧⎨=--⎩．∴直线l 的解析式为221y mx m =--．联立22122y mx m y x ⎧=--⎨=-⎩，且1m ≠，解得121m x y m +⎧=⎪⎨⎪=-⎩．∴点H 坐标为1,12m m +⎛⎫- ⎪⎝⎭．同理，点G 坐标为1,12m m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∵11m -<<，∴(1)(1)22FG FH m m +=-++=∴FG FH +【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B、C 两点，且与x 轴交于另一点A，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）209或94；（3）N(0，1)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，EF CF AB CB =或CF CF AB EB =，设F(m，-m+3)，则E(m，223m m -++)，根据比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四边形NCFE 是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m 的方程，求出m 的值，从而得CN=EF=2，进而即可得到答案．【详解】解：（1）∵直线3y x =-+与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函数2y ax 2x c =++的图象过B、C 两点，∴3096c a c =⎧⎨=++⎩，解得：31c a =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y 轴，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，∴以C、E、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，EF CF AB CB =或CF EF AB CB =，设F(m，-m+3)，则E(m，223m m -++)，∴EF=223m m -++-(-m+3)=23m m -+=，∴234m m -+=24=∴53m =或0m =（舍去）或32m =或0m =（舍去），∴EF=23m m -+=209或94；（3）∵l∥y 轴，点N 是y 轴上的点，∴∠EFC=∠NCG，∵点N、F 关于直线EC 对称，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四边形NCFE 是平行四边形，∵点N、F 关于直线EC 对称，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y 轴，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴23m m -+，解得：3m =0m =（舍去），∴CN=EF=2，∴ON=2+3=1+，∴N(0，1)．【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键．题型三抛物线与角度有关问题10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()2,0A -和点()4,0B ．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），直线CP 将ABC 的面积分成2：1两部分，求点P 的坐标；（3）点M 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴移动，运动时间为t 秒，当OCA OCB OMA ∠=∠-∠时，求t 的值．【答案】（1）2142y x x =-++；（2）点P （6，-8）；（3）当点M 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向移动时，=2t 秒；沿CO 方向在y 轴移动时，=10t 秒．【分析】（1）根据待定系数法将AB 两点坐标代入函数解析式求解即可；（2）在ABC 的AB 边上找到将AB 分成2：1两部分的点Q，此时CQ 将ABC 的面积分成2：1两部分，求出直线CQ 与抛物线交点坐标即是点P 坐标；（3）先利用图形在OCB ∠内构造A CB OCB OCA '∠=∠-∠，求出tan A CB '∠，在Rt OAM 中由tan =tan OMA A CB '∠∠，2OA =，求出OM 长即可解答，【详解】解：（1）由抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()2,0A -和点()4,0B ，得：424=016440a b a b -+⎧⎨++=⎩，解得：1=21a b ⎧-⎪⎨⎪=⎩即：条抛物线所对应的函数表达式为：2142y x x =-++；（2）由（1）可知点C 坐标为（0,4）∵点()2,0A -和点()4,0B ．∴6AB =，∴将AB 分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ 将ABC 的面积分成2：1两部分，如解（2）图，∵点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），∴直线CP 经过Q 点，设直线CP 解析式为：y kx b =+，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：=42=0b k b ⎧⎨+⎩，∴=4=2b k ⎧⎨-⎩，即可设直线CP 解析式为：24y x =-+，联立函数解析式为：214224y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩，解得：1104x y =⎧⎨=⎩，2268x y =⎧⎨=-⎩，故P 点坐标为（6，-8），（3）如解（3）图取点A 关于y 轴对称点A '，连接CA '，过点A '作A H BC '⊥，垂足为H，由轴对称性质可知：2OA OA '==，A CO ACO '∠=∠，∴A CB BCO A CO BCO ACO ''∠=∠-∠=∠-∠，∵OCA OCB OMA ∠=∠-∠，即OMA OCB OCA ∠=∠-∠，∴OMA A CB'∠=∠∵4OB OC ==，90BOC ∠=°，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，2BA '=，BC =∴HB HA '==∴HC BC BH =-=，∴1tan tan 3A H OMA A CB CH ''∠=∠==，∴126tan 3OA OM OMA ==÷=∠，点M 从点C 出发，以每秒1个单位的速度远动：当沿y 轴正方向移动时，=642MC OM OC =--=，则=2t 秒，当沿y 轴CO 方向移动时，64=10MC OM OC =+=+，则=10t 秒，综上所述：当点M 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向移动时，=2t 秒；沿CO 方向在y 轴移动时，=10t 秒．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将ABC 的面积分成2：1两部分直线CP 经过的点，问题（3）关键是通过对称构造A CB OMA '∠=∠，再通过解三角形求解OM 长．11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标：②若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM，BM，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．【答案】（1）①(1,3)M ；②OD MC =，见解析；（2）见解析【分析】（1）①直接将点(,)M m n 代入解析式，又有3n m =，即可解出坐标；②相等，先求出点B ，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点,E M 的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与y 轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．【详解】解：（1）如答案图6.① 点(,)M m n 在抛物线上，且3n m =，243m m m ∴-+=，解得10m =，（舍去）21m =，3n ∴=，(1,3)M ∴．②OD MC =，点15(,)4B y 在该抛物线上，1516y ∴=，1515(,416B ∴．设直线MB 交x 轴于点H，解析式为11y k x b =+，11113,1515.416k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩解得113,415.4k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩31544y x ∴=-+当0y =时，5x =，(5,0)H ∴，5OH ∴=．过点M 作MR x ⊥轴，垂足为R，1OR ∴=，3MR =，4RH ∴=，∴根据勾股定理得5MH =，OH MH ∴=，HOM HMO ∴∠=∠．CD MO ∥，HOM HDC ∴∠=∠，HMO HCD ∠=∠，HDC HCD ∴∠=∠，HD HC ∴=，OD MC ∴=．（2）如答案图7.证明：对称轴422(1)x =-=⨯-，72,3E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，2EF NF MF += ，NF MF MF EF ∴-=-，MN ME ∴=．过点M 作MQ x ⊥轴，垂足为Q，EK MQ NA ∴∥∥，QK ME QA MN∴=，QK QA ∴=．当240-+=x x 时，解得10x =，24x =，(4,0)A ∴．(2,0)K ，(,0)Q m ，24m m ∴-=-，3m ∴=．23433n ∴=-+⨯=，(3,3)M ∴．设直线EM 的解析式为22y k x b =+，22227233 3.k b k b ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩解得222,31.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩213y x ∴=+．设直线EM 交y 轴于点S，过点S 作SP GF ⊥，垂足为P ．当0x =时，1y =．(0, 1)S ∴．当0y =时，32x =-，3(,0)2F ∴-，32∴=OF ，1OS =．180,5G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，185OG ∴=，135GS ∴=．90GPS GOF ∠=∠=︒ ，PGS OGF ∠=∠，GPS GOF ∴△∽△，GP PS GO OF ∴=，125GP PS ∴=．设12GP a =，则5PS a =．在Rt GPS △中，222GP PS GS += ，22213(12)(5)()5a a ∴+=．15a ∴=±（负值舍去），15a ∴=，1PS ∴=，PS OS ∴=．SP GF ⊥ ，SO AF ⊥，∴射线FE 平分AFG ∠．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．题型四抛物线与四边形有关问题12.已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．【答案】(1)①223y x x =--，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154），理由见解析(2)b<32-或b>133【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB 的解析式，设点M(m，m-3)点P （m，m 2-2m-3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HM HP =或23HM HP =，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n 的值，再利用勾股定理求出CD 的长为5，因为四边形CDFE 是菱形，由此得出点E 的坐标．再根据该抛物线与线段CE 没有交点，分两种情况（CE 在抛物线内和CE 在抛物线右侧）进行讨论，求出b 的取值范围．(1)①解：把()3,0A ，()0,3B -代入2y x bx c =++，得20333b cc ⎧=++⎨-=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴223y x x =--②解：存在，理由如下，设直线AB 的解析式为y=kx+b，把()3,0A ，()0,3B -代入，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m 2-2m-3）若点M 是线段PH 的三等分点，则13HMHP =或23HM HP =，即232331m m m -=--或232332m m m -=--，解得：m=2或m=12或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=12∴点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）(2)解：把点D（-3，0）代入直线43y x n =+，解得n=4，∴直线443y x =+，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∵四边形CDFE 是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点()3,0D -在抛物线2y x bx c =++上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴239y b x bx =++-，∵该抛物线与线段CE 没有交点，分情况讨论当CE 在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<32-当CE 在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>133综上所述，b<32-或b>133【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE 绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段'OE ，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'AE ，'BE ，求13''BE AE +的最小值．（3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）223y x x =--+；（3）存在，N 点的横坐标分别为：2，1-【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为2y x bx c =-++将()1,0C ，()0,3B 两点代入求得b ，c 的值即可；（2）胡不归问题，要求13''BE AE +的值，将折线化为直线，构造相似三角形将13'AE 转化为13'DE ，再利用三角形两边之和大于第三边求得13''BE AE +最值；。

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拔高专题抛物线与圆的综合一、基本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐标，根据交点可求三角形的边长,由于圆的位置不同，三角形的形状也不同.再根据三角形的形状，再解决其它问题.二、拔高精讲精练探究点一:抛物线、圆和直线相切的问题例1：（2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A,B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0）,C （0，4）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=14(x-5)2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在,请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（1)解:连接MC、MA，如图1所示:∵⊙M与y轴相切于点C,∴MC⊥y轴，∵M(5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4,∴C（0,4）,∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴2254-，∴BD=3，∴OA=5—3=2，OB=5+3=8，∴A(2，0），B(8，0）；（2）证明：把点A(2,0）代入抛物线y=14(x-5）2+k,得：k=—94,∴E(5，—94）,∴DE=94，∴ME=MD+DE=4+94=254，EA2=32+（94）2=22516，∵MA2+EA2=52+22516=22516，ME2=22516，∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5,4）,或（571，或(5，4+55；理由如下：由勾股定理得：22OC OB+2248+5分三种情况:①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）;②当52所示：∵22BP BD-2803-71，∴P（571）；③当PC=BC=45时，连接MC,如图3所示：则∠PMC=90°,根据勾股定理得：22PC MC-2805-55PD=4+55∴55综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5,4），或(571），或(5，55．【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=—12（x2—7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a(x—h）2+k(a≠0）,并指出顶点M的坐标；(2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．(1)解:∵y=-12(x2—7x+6)=—12（x2-7x）—3=—12（x—72）2+258，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-12（x-72）2+258，顶点M的坐标是（72，258）；（2）解:∵y=-12(x2—7x+6），∴当y=0时,—12(x2-7x+6)=0，解得x=1或6，∴A(1，0)，B(6，0）,∵x=0时，y=—3，∴C（0，—3)．连接BC，则BC与对称轴x=72的交点为R，连接AR,则CR+AR=CR+BR=BC,根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为2263+5．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0),C（0，-3），∴603k bb⎨⎩+-⎧＝＝，解得231k b -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线BC 的解析式为：y=12x-3，令x=72，得y=12×72-3=-54，∴R 点坐标为（72，—54）； （3）证明：设点P 坐标为（x ，-12x 2+72x —3）．∵A （1,0），B （6,0），∴N （72,0），∴以AB为直径的⊙N 的半径为12AB=52,∴NP=52，即（x —72）2+（-12x 2+72x —3)2=(52)2，化简整理得，x 4—14x 3+65x 2—112x+60=0，（x-1）（x —2）（x-5）（x —6）=0，解得x 1=1（与A 重合，舍去），x 2=2，x 3=5（在对称轴的右侧,舍去），x 4=6(与B 重合，舍去），∴点P 坐标为（2,2）．∵M （72，258），N(72,0），∴PM 2=(2—72)2+（2—258）2=22564，PN 2=（2-72)2+22=254=40064， MN 2=(258）2=62564，∴PM 2+PN 2=MN 2,∴∠MPN=90°,∵点P 在⊙N 上，∴直线MP 是⊙N 的切线．【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强． 探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C （—2，0），D(—8，0)两点，与y 轴相切于点B （0，4）．（1）求经过B,C ，D 三点的抛物线的函数表达式； （2)设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切;（3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标.解:（1）设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c,把B （0，4），C （-2，0），D （-8，0）代入得：40420648c a b c a b c ⎧⎪⎨⎪-+⎩-+＝＝＝，解得41452a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝＝＝．∴经过B,C ，D 三点的抛物线的函数表达式为：y=14x 2+52x+4；(2）∵y=14x 2+52x+4=14（x+5)2-94，∴E （—5，-94)，设直线CE 的函数解析式为y=mx+n ，直线CE 与y 轴交于点G,则05429m n m n ⎧⎪⎨⎪-+⎩-+-＝＝,解得：3432m n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴y=34x+32，在y=34x+32中,令x=0，y=32，∴G （0，32）, 如图1，连接AB ，AC ，AG,则BG=OB-OG=4—32=52，22OC OG +2223()2+=52，∴BG=CG ，AB=AC ，在△ABG 与△ACG 中，AB ACBG CG AG AG ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABG ≌△ACG ，∴∠ACG=∠ABG,∵⊙A 与y 轴相切于点B（0，4）,∴∠ABG=90°,∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C 在⊙A 上,∴直线CE 与⊙A 相切;（3）存在点F ，使△BDF 面积最大， 如图2连接BD ，BF ，DF,设F （t ，14t 2+52t+4），过F 作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则408dk d-+⎧⎨⎩＝＝,解得412kd⎧⎪⎨⎪⎩＝＝．∴直线BD的解析式为y=12x+4,∴点N的坐标为（t，12t+4），∴FN=12t+4-（14t2+52t+4）=—14t2-2t，∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=12OD•FN=12×8×（-14t 2—2t）=—t2—8t=—（t+4）2+16，∴当t=—4时,S△BDF最大，最大值是16，当t=-4时,14t2+52t+4=—2，∴F（-4,-2）．【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0,c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A,B，C的坐标分别为（-2，0)，（8,0），（0，-4）．（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；(2)若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题考情分析年份题号题型分值抛物线的变化设问形式解题关键点201724解答题10关于y轴对称(1)求两抛物线表达式(2)求抛物线与x轴两交点坐标(3)求满足平行四边形存在的点坐标(1)轴对称性质，抛物线的对称轴，抛物线的图象，开口方向(2)两点位置(3)平行四边形的性质20212410平移(1)判断抛物线与x轴交点情况(2)写满足等腰直角三角形存在的平移过程(1)待定系数法求抛物线表达式，一元二次方程根的判别(2)抛物线图象的平移20222410中心对称(1)求与坐标轴交点坐标(2)求抛物线表达式(3)求不是菱形的平行四边形的面积(1)抛物线与坐标轴的交点问题(2)抛物线图象关于中心对称性质(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分例(2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B 在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，-3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.(1)求点A，B的坐标及抛物线解析式;(2)抛物线M与抛物线L关于y轴对称，求抛物线M与y轴交点坐标；(3)若点P为抛物线L上一动点，E为直线AD上一动点，则是否存在点P，使得以点A，P，E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题图①(4)抛物线M上存在一点F，抛物线L上存在一点G，使得四边形ABFG为平行四边形，求出F，G两点坐标.例题图②探究平行四边形存在性问题的步骤：1.三定点(A、B、C)，一动点(D)：分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点D 2.两定点(A、C)，两动点(E、F)：分AC为边和AC为对角线两种情况来讨论：①AC为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置②AC为对角线，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点E、F位置练习(2022山西逆袭复诊卷)综合与探究如图，抛物线y＝38x2－94x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.练习题图(1)求点A，B，C的坐标；(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习1(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．练习1题图(1)求抛物线L的表达式；(2)抛物线L′的顶点为D，在x轴上是否存在一点P，使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习2(2022陕西黑白卷白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝23x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).(1)求抛物线的表达式；(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵C(0，－3)∴抛物线L解析式为y＝x2＋2x－3，令y＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3，∴A(1，0)，B(－3，0)；(2)将抛物线L化为顶点式为y＝(x+1)2－4∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称，∴抛物线M的解析式为y＝(x－1)2－4令x=0，则y=－3，∴抛物线M与y轴交点坐标为(0，－3)(3)存在．在Rt△AOD中，∵tan∠BAM＝tan∠OAD＝ODOA＝1，∴OD＝OA，∠BAD＝45°.如解图，分三种情况讨论：例题解题①①当AE＝PE时，∠AEP＝90°，∴∠EPA＝∠EAP＝45°，∵∠DAB＝45°，∴此时点P与点B重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；②当AP ＝PE 时，∠EPA ＝90°，∴∠PEA ＝∠EAP ＝45°，∴此时点P 与点B 重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；③当AP ＝AE 时，∠EAP ＝90°，设AP 与y 轴交于点F ，则∠OFA ＝∠OAF ＝45°，∴OF ＝OA ＝1，∴点F 的坐标为(0，－1)，设直线AF 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (1，0)，F (0，－1)代入y ＝kx ＋b 中，＝k ＋b1＝b ＝1＝－1，∴直线AF 的表达式为y ＝x －1，设点P 的坐标为(x ，x 2＋2x －3)，∴x 2＋2x －3＝x －1，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2－1＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－3，0)或(－2，－3)．(4)∵A (1，0)，B (－3，0)∴AB ＝4∵点F 在抛物线M 上，点G 在抛物线L 上，且四边形ABFG 是平行四边形∴FG ∥AB ，FG =AB =4∵抛物线M 与抛物线L 关于y 轴对称∴两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y 轴对称∴4F G x x +=，x F ＝－x G分两种情况讨论，当F 、G 在x 轴上方时，即x F ＝－2时，x G ＝2当F、G在x轴下方时，即x F＝2时，x G＝－2将x F＝－2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝5，x G＝2，y G＝5，此时F(－2，5)，G(2，5)将x F＝2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝－3，x G＝－2，y G＝－3，此时F(2，－3)，G(－2，－3)∴综上所述，F(－2，5)，G(2，5)或F(2，－3)，G(－2，－3).例题解图②课堂练兵练习解：(1)在y＝38x2－94x－6中，令y＝0，得38x2－94x－6＝0，解得x＝－2或x＝8，令x＝0，得y＝－6，∴点A(－2，0)，点B(0，－6)，点C(8，0)；(2)当点P在直线BC下方时，如解图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设直线BC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，将点B(0，－6)，C(8，0)代入，得＝－68＋＝0，解得＝34＝－6，∴直线BC的表达式为y＝34x－6.设点P (m ，38m 2－94m －6)(0<m <8)，则点E (m ，34m －6)，∴PE ＝(34m －6)－(38m 2－94m －6)＝－38m 2＋3m ，∴S △PBC ＝12PE ·OC ＝12(－38m 2＋3m )×8＝－32m 2＋12m ，当S △PBC ＝24时，即－32m 2＋12m ＝24，解得m ＝4，此时P (4，－9)；当点P 在直线BC 上方时，如解图②，由平移易求得lP 1P 2：y ＝34x ，联立＝34＝382－94－6，解得1＝4＋421＝3＋32，2＝4－422＝3－32，此时P 1(4＋42，3＋32)，P 2(4－42，3－32)．综上所述，点P 的坐标为(4，－9)或(4＋42，3＋32)或(4－42，3－32)；解图①解图②练习题(3)存在．当以点P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如解图③，当BC 作为平行四边形的一条边时，PQ ∥BC ，且PQ ＝BC ，∵点Q 的横坐标为4，∴|x p －4|＝8，解得x p ＝－4或x p ＝12，∴P 1(－4，9)，P 2(12，21)；②如解图④，当BC 为平行四边形的对角线时，设对角线交于点R ，则BR ＝CR ，∴点R (4，－3)，＋2＝4，点Q 在直线x ＝4上，∴点P 的横坐标为4，此时P 3(4，－9)．综上所述，存在满足题意的点P ，点P 的坐标为(－4，9)或(12，21)或(4，－9)．解图③解图④练习题课后小练练习1解：(1)分别将点B (3，0)，C (0，－3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中得9＋3＋＝0＝－3，解得＝－2＝－3，∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在．∵抛物线L ′与抛物线L 关于y 轴对称，∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴D (－1，－4)，设点P 的坐标为(m ，0)，∴BD 2＝(3＋1)2＋[0－(－4)]2＝32，DP 2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，则PB 2＝(m －3)2，∵△PBD 为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB ＝BD 时，即(m －3)2＝32，解得m ＝3＋42或m ＝3－42，∴P 1(3＋42，0)，P 2(3－42，0)；②当BD ＝PD 时，即32＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝3(舍去)或m ＝－5，∴P 3(－5，0)；③当PB ＝PD 时，即(m －3)2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝－1，∴P 4(－1，0)综上所述，点P 点坐标为(3＋42，0)，(3－42，0)，(－5，0)，(－1，0).练习2解：(1)在y ＝23x －2中，当x ＝0时，y ＝－2.∴B (0，－2).令y ＝23x －2＝0，得x ＝3.∴A (3，0).设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点B(0，－2)代入，得－2＝－3a，解得a＝2 3 .∴抛物线的表达式为y＝23(x＋1)(x－3)＝23x2－43x－2；(2)存在．∵A(3，0)，B(0，－2)，∴AB2＝13.由(1)可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设Q(1，m)，则AQ2＝22＋m2，BQ2＝1＋(m＋2)2，要使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则分三种情况讨论：①当AQ＝AB，即AQ2＝AB2时，四边形ABPQ为菱形，∴22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，∴点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)；②当AB＝BQ，即AB2＝BQ2时，四边形ABQP为菱形，∴13＝1＋(m＋2)2，解得m＝23－2或m＝－23－2，∴点Q的坐标为(1，23－2)或(1，－23－2)，③当AQ＝BQ，即AQ2＝BQ2时，四边形AQBP为菱形，∴22＋m2＝1＋(m＋2)2，解得m＝－1 4∴点Q的坐标为(1，－1 4 ).综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，23－2)或(1，－23－2)或(1，－1 4 ).。

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1．(龙东中考)如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△P AB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2．(凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错6】3．★(南宁中考)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．三、与面积相关的问题4．(2016·台湾中考)如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为()A．1 B.12C.43 D.455．(日照中考)如图，抛物线y＝－35[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m －2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求m，n的值；(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN，BN.求△NBC面积的最大值．◆类型二抛物线与特殊四边形的综合6．(盐田区二模)抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D的坐标是()A．(－6，0) B．(6，0)C．(－9，0) D．(9，0)7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________．第7题图第8题图8．(余干县三模)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC 与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，则a的值为________．9．(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．参考答案：1．解：(1)由题意得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)存在．∵点A 与点C 关于直线x ＝2对称，∴连接BC 与直线x ＝2交于点P ，则点P 即为所求．根据抛物线的对称性可知点C 的坐标为(3，0)．∵y ＝x 2－4x ＋3，∴点B 的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴直线BC 与直线x ＝2的交点坐标为(2，1)，即点P 的坐标为(2，1)．2．解：(1)将A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx＋c中，得⎩⎪⎨⎪⎧a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，c＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－2，c＝－3.∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3；(2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x＝－b2a＝1，故点P的坐标为(1，0)；(3)点M的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．解析：抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m ＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±6；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1), (1，6)，(1，－6)，(1，0)．3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x －1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ，y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，∴点B 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(－1，－3)；(2)证明：分别过A ，C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D ，E 两点，则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，CE ＝3，∴BE ＝CE ，∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设点N 的坐标为(x ，0)，则点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x )，∴ON ＝|x |，MN ＝|－x 2＋2x |.由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝3 2.∵MN ⊥x 轴，∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN AB ＝ON BC 或MNBC ＝ON AB .①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x |2＝|x |32，即|x ||－x ＋2|＝13|x |.∵当x ＝0时，M ，O ，N 不能构成三角形，∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或(73，0)；②当MN BC ＝ONAB 时，则有|－x 2＋2x |32＝|x |2，即|x ||－x ＋2|＝3|x |，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时点N 的坐标为(－1，0)或(5，0)．综上所述，存在满足条件的N 点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0或(－1，0)或(5，0)．4．D 解析：∵y ＝－x 2＋4x －k ＝－(x －2)2＋4－k ，∴顶点D 的坐标为(2，4－k )，点C 的坐标为(0，－k )，∴OC ＝k .∵△ABC 的面积为12AB ·OC ＝12AB ·k ，△ABD 的面积为12AB ·(4－k )，△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，∴k ＝14(4－k )，解得k ＝45.故选D.5．解：(1)∵抛物线的解析式为y ＝－35[(x －2)2＋n ]＝－35(x －2)2－35n ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2.∵点A 和点B 关于直线x ＝2对称，∴（m －2）＋（2m ＋3）2＝2，解得m ＝1，∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(5，0)．把A (－1，0)代入y ＝－35[(x －2)2＋n ]得9＋n ＝0，解得n ＝－9；(2)过点N 作ND ∥y 轴交BC 于D .由(1)可得抛物线的解析式为y ＝－35[(x －2)2－9]＝－35x 2＋125x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，则点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (5，0)，C (0，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－35，b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－35x ＋3.设点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－35x 2＋125x ＋3，则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－35x ＋3，∴ND ＝－35x 2＋125x ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35x ＋3＝－35x 2＋3x ，∴S △NBC ＝S △NDC ＋S △NDB ＝12·5·ND ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－35x 2＋3x ＝－32x 2＋152x ＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋758，当x ＝52时，△NBC 面积最大，最大值为758.6．D 解析：令x ＝0，得y ＝－9，∴点B 的坐标为(0，－9)．∵y ＝－x 2＋6x －9＝－(x －3)2，∴点A 的坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝3.∵点C 在抛物线上，且四边形ABCD 是平行四边形，∴点C 的坐标为(6，－9)，∴BC ＝6，∴AD ＝6，∴点D 的坐标为(9，0)．故选D.7．y ＝－512x 2－12x ＋203 解析：依题意得A 点的坐标为(－4，2)，B 点的坐标为(－2，6)，C 点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝6，4a ＋2b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－512，b ＝－12，c ＝203.∴抛物线的函数关系式为y ＝－512x 2－12x ＋203.8．－23 解析：连接OB .∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴∠BOC ＝45°，OB ＝1×2＝ 2.过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝12OB ＝22，∴OD ＝OB 2－BD 2＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22.∵点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝－22，解得a＝－23.9．解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC 所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)；②设抛物线l的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线l经过O，P，A三点，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝c，0＝16a＋4b＋c，2＝4a＋2b＋c，解得⎩⎨⎧a＝－12，b＝2，c＝0.∴抛物线l的解析式为y＝－12x2＋2x；(2)∵点E是正方形内的抛物线l上的动点，∴设点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m，－12m2＋2m(0＜m＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝12OA·y E＋12OC·x E＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12m2＋2m＋12×4m＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m ＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.。