人教版九年级数学上册解题技巧专题：抛物线中与

初中数学试卷解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是【方法10】（ ）A ．b ≥54B ．b ≥1或b ≤－1C ．b ≥2D ．1≤b ≤2 7．(2016·孝感中考)如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac4a ＞0；③ac －b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：。

专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换（原卷版）类型一抛物线与平移1．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．2．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC ＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．4．（2023•常州）如图，二次函数y=12x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？5．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型二抛物线与翻折6．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；8．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．类型三二次函数与旋转9．（2023•平昌县校级模拟）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36010．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣311．（2023•岳阳县二模）在平面直角坐标系中，将抛物线∁l：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m≤5C．m≥﹣5D．m≤﹣512．（2023•高青县二模）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．（2023•高新区模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．14．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+32bx﹣2与y＝﹣x2−14cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．15．（2022秋•连云港期末）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），(−2，52 )．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．16．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y1＝ax2+bx+c分别交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点（4，0）旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．17．（2023•鞍山二模）如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与y轴交于点D（0，﹣3），与x轴交于A（﹣3，0），B两点，顶点为H．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1：y＝x2+bx+c平移后得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点P（m，n）始终在抛物线C1上，①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E，若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标；②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C3，抛物线C3与直线BH交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接MN，NH，若∠MNH＝15°，求直线NH的解析式．18．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．。

初三抛物线必背知识点总结抛物线y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等同于a除以x 的平方加之 b除以x再加之 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴正数方向平行c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)除了顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h就是顶点座标的`xk是顶点坐标的y通常用作谋最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它则表示抛物线的焦点在x的也已半轴上，焦点座标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py1、抛物线就是轴对称图形。

对称轴为直线x=—b/2a。

对称轴与抛物线唯一的.交点为抛物线的顶点p。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2、抛物线存有一个顶点p，座标为：p（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）当—b/2a=0时，p在y轴上；当=b^2—4ac=0时，p在x轴上。

3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向上开口。

|a|越大，则抛物线的开口越大。

4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。

5、常数项c同意抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6、抛物线与x轴交点个数=b^2—4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2—4ac=0时，抛物线与x轴存有1个交点。

=b^2—4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

抛物线九年级知识点抛物线是数学中非常重要的一个概念，也是九年级数学课程中的一个重点知识点。

它不仅有广泛的应用，而且在数学的学习中也具有很高的研究价值。

在接下来的文章中，我将对抛物线的定义、性质以及应用进行一些介绍和探讨。

抛物线最常见的定义是通过一个定点（焦点 F），和一个定直线（准线 L）的所有点的轨迹。

所以一个抛物线可以被定义为离焦点和准线的距离相等的点的集合。

另一种常见的定义是将抛物线看作是一个平面上所有离定点和定直线的距离相等的点的集合。

这两种定义是等价的，可以互相转化。

抛物线具有许多有趣的性质。

其中最基本的性质是，抛物线在焦点 F 处与准线 L 垂直相交。

而且，抛物线的对称轴与焦点和准线垂直相交，并且对称轴将抛物线分成两个完全对称的部分。

抛物线还有一个关键的性质，就是它是向右或向左开口的，这取决于焦点和准线的位置关系。

如果焦点在准线的右侧，抛物线向右开口；如果焦点在准线的左侧，抛物线向左开口。

抛物线除了这些基本的性质外，还有一些重要的性质。

例如，抛物线的顶点是抛物线上离焦点和准线最近的点，也是抛物线上的最高点或最低点。

而且，抛物线的离心率是一个常数，用来度量抛物线的扁平程度。

当离心率等于1时，抛物线是一个特殊的抛物线，称为单位抛物线。

单位抛物线的焦点与准线相交于原点。

抛物线在现实生活中有许多应用。

例如，在物理学中，抛物线可以描述自由落体运动或者其他带有初速度的运动。

在工程学中，抛物线常用于设计桥梁、建筑物和其他物体的弧形部分。

在摄影学中，抛物线可以用来描述光线在透镜中的传播路径。

在天文学中，抛物线可以用来描述彗星的轨道。

这些实际应用给我们的生活带来了便利，也增加了人类对抛物线的研究兴趣。

最后，我想强调一下，学习抛物线的知识并不仅仅是为了应对考试或者满足课程要求，更重要的是要理解和掌握其实际应用和数学原理。

只有真正理解了抛物线的定义、性质和应用，才能在实践中巧妙运用。

数学是一门极富创造力和探索性的学科，通过学习抛物线，我们可以锻炼自己的思维能力和解决问题的实力。

破解抛物线问题“五法”安徽 李昭平1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线,解题中活用它的定义,常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程.解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=—4的距离相等"。

由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0）为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线。

显然，8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y=2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题.例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA 与OB 的数量积为（ ）A 。

43 B 。

43- C 。

3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB为抛物线的通径(如图1)。

由于焦点A )1,21(-、 B )1,21(，于是OA 。

OB=)1,21(- 。

)1,21(=41- 可知,答案B 正确。

(图1)3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下,若恪守常规,不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点,焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的解：设抛物线的方程为2y ax =(0a ≠，则有21y axy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10xa x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。

初三抛物线知识点初三抛物线知识点大揭秘，嘿，有趣着呢！初三学到抛物线知识点的时候，那可真是让我又爱又恨呐！抛物线这家伙，就像个调皮的精灵，总是和我玩捉迷藏。

刚开始学的时候，我就觉得它像一道神秘的弧线，弯弯曲曲的，好像有很多秘密等我去揭开。

老师在黑板上画出那漂亮的抛物线，我就想：嘿，这家伙还挺好玩的。

然后就开始研究它的顶点、对称轴，哎呀，这个顶点就像是抛物线的小脑袋，对称轴就是它的脊梁骨。

找到它们，就好像抓住了抛物线的要害。

说起来，抛物线的图像真的挺神奇的。

它可以高高在上，也可以低低在下，一会儿向左，一会儿向右。

就像个任性的孩子，想怎么跑就怎么跑。

不过咱可不能被它给带跑喽，得稳稳地抓住它的规律。

解题的时候就更有趣啦！每次看到抛物线的题目，我都感觉像是在和它斗志斗勇。

要找到它的关键点，计算出各种数值，就像是在解锁一个神秘的大宝藏。

有时候算着算着就糊涂了，哎呀，这抛物线咋还绕晕我了呢！但当我终于算出正确答案的时候，那种成就感，简直爆棚！我还记得有一次做一道抛物线的难题，我苦思冥想了好久，感觉头发都要被我薅掉了。

但是最后终于想通了，那一刻，我真的想欢呼雀跃，感觉自己就像个打败了大怪兽的超级英雄。

当然啦，也有被抛物线难住的时候，感觉它就像是故意在和我作对。

但我可不会轻易认输，我会和它继续战斗下去！总的来说，初三的抛物线知识点虽然有时候会让我头疼，但更多的是给我带来了挑战和乐趣。

它就像我学习路上的一个小伙伴，虽然有点调皮，但也让我的学习生活变得多姿多彩。

每一次征服一道抛物线的难题，我都觉得自己又进步了一点点。

所以啊，别看抛物线曲曲折折的，这里面可藏着大乐趣呢！和抛物线的故事，还在继续，我可得好好和它过过招！。

中考数学抛物线动点题秒杀技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学考试中常常会出现的题型之一。

抛物线的性质不仅仅是个别的知识点，更是一个整体的系统性知识。

在解题过程中，我们需要灵活运用抛物线的相关知识，抓住关键点，掌握一些技巧，才能在考试中取得更好的成绩。

本文将为大家介绍一些中考数学抛物线动点题的秒杀技巧，希望能够帮助大家顺利解答相关题目。

我们需要了解抛物线的基本性质。

抛物线是一种特殊的二次曲线，其一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

抛物线开口的方向取决于a的正负性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

在抛物线上，我们常常遇到顶点、焦点、准线等概念，这些都是解题过程中需要重点关注的内容。

在解决抛物线动点题时，我们首先要确定动点的位置。

动点通常是抛物线上的一个点，在运动过程中其坐标会发生变化。

设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，动点的坐标为(x,y)，我们需要根据题目中的条件，确定动点的位置。

我们需要利用抛物线的性质，建立动点坐标变化的关系式。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件列方程，利用抛物线的性质建立动点坐标变化的关系式，从而求解动点的轨迹、移动方向等。

如果动点在抛物线上以匀速运动，我们可以利用速度的定义建立关于动点坐标的变化式。

我们需要灵活运用数学知识，解题过程中要注意化繁为简。

在解决抛物线动点题时，我们可能会遇到复杂的条件和问题，这时我们需要善于化繁为简，抓住关键点，简化问题。

可以通过几何、代数等不同的方法，灵活运用数学知识，解题过程中要注意逻辑性，不要陷入死胡同。

中考数学抛物线动点题并不是难题，关键在于掌握抛物线的基本性质，灵活运用数学知识，化繁为简，善于建立关系式，抓住关键点。

通过不断练习，积累经验，相信大家能够在考试中轻松应对抛物线动点题，取得好成绩。

希望以上的技巧能够帮助大家更好地掌握抛物线动点题的解题方法，祝大家在中考数学考试中取得优异成绩！第二篇示例：中考数学中，抛物线动点题是考生普遍认为比较难的题型之一。

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抛物线角度问题解题方法抛物线角度问题解题方法抛物线是一种常见的曲线形状，在数学、物理、工程等领域广泛应用。

抛物线角度问题是指在给定初速度和高度的情况下，如何确定发射角度，使得物体能够落在目标位置。

本文将详细介绍抛物线角度问题的解题方法，包括理论推导和实际应用。

一、理论推导1.基本公式在平面直角坐标系中，抛物线的一般式为：y=ax^2+bx+c其中a、b、c为常数，x、y为变量。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

根据牛顿第二定律和运动学公式，可以得到以下基本公式：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2其中v0为初速度大小，θ为发射角度（与水平面夹角），g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），t为时间。

利用以上两个公式可以求出任意时刻物体的位置坐标。

2.最优解法对于给定的初速度v0和目标位置(x,y)，求出最优发射角度θ，使得物体能够落在目标位置。

根据以上公式，可以列出关于θ的方程组：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2由于t=2ysinθ/g，将t代入上式得：x=v0cosθ*2ysinθ/gy=v0sinθ*2ysinθ/g-1/2g(2ysinθ/g)^2化简可得：x=2v0^2sinθcosθ/g*yy=(v0sinθ)^2/2g将y代入第一个式子中，得到：x=2v0^2sin^2θ/g*(v0sinθ)^2/2g化简可得：tan(2θ)=4yx/v0^2因此，最优发射角度为：θ=1/2tan^-1(4yx/v0^2)二、实际应用以上理论推导是基于理想情况的假设，实际应用中还需要考虑一些因素。

1.空气阻力和风速在空气中运动的物体会受到空气阻力的影响，这会使其轨迹偏离预期。

此外，风速和方向也会对轨迹产生影响。

因此，在实际应用中需要考虑这些因素，并进行修正。

一种常见的修正方法是使用数值模拟软件进行计算。

这些软件可以模拟物体在不同条件下的运动轨迹，并提供准确的发射角度。