二阶非线性中立型微分方程的Sturm比较定理

二阶常微分方程Sturm-Liouville问题的正解的存在性王伟【摘要】运用Krasnoselskii不动点定理对二阶常微分方程Sturm-Liouville问题的正解存在性证明进行了推广。

%This paper generalized the provement of the existence of positive solutions of two order Sturm-li-ouville boundary value problem by using Krasnoselskii fixed point theorem.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P203-206,213)【关键词】微分方程;边值问题;正解;不动点定理【作者】王伟【作者单位】南京财经大学应用数学学院，江苏南京 210046【正文语种】中文【中图分类】O175非线性常微分方程边值问题是微分方程研究中的一个重要的领域.1833～1841年间,Sturm和Liouville合作讨论了二阶线性齐次方程的边值问题和Sturm-Liouville特征值问题,他们将二阶线性微分方程化成它满足的边值条件为现在称为Sturm-Liouville边值条件,且得到了Sturm-Liouville特征值问题的一系列结果,形成了Sturm-Liouville理论.马如云[1]研究了如下二阶边值问题在条件(i)f0=0且f∞=∞或,(ii)f0=∞且f∞=0,下的正解的存在性.本文对其证明进行了推广,其中u(t)是问题(1)～(2)的正解是指当t∈(0,1)时,有u(t)>0,且u(t)满足微分方程(1)和边值条件(2).且本文总假定:(A1)f∈C([0,∞),[0,∞));(A2)α∈C([0,1],[0,∞))且在(0,1)内的任一子区间内α(t)不恒为0;(A3)α,β,γ,δ≥0及γβ+αγ+αδ>0以下我们介绍本文所需要的一些概念及结果[2-3].定义1 [2]我们称P是一个锥,如果P是E中某非空凸闭集,并且满足如下两个条件：(i)x∈p,λ≥0⟹λx∈p;(ii)x∈p,-x∈p⟹x=0.引理1[2] 设E是Banach空间,K⊂E是E中的一个锥.Ω1,Ω2是E的开子集⊂Ω2,若全连续算子满足:(B1)‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2或(B2)‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2,则A在上有一个不动点.引理2 (Arzela-Ascoli定理[3])设X是紧集,C(X)是X上连续函数形成的Banach空间,若Φ⊂C(X)是逐点有界且等度连续,即有(C1)∀x∈X,sup{|f(x)|:∀f∈Φ}<∞;(C2)∀x∈X,∀ε>0,∃x的邻域V,使|f(y)-f(x)|<ε,∀y∈V及f∈Φ,则Φ在C(X)中完全有界.定理1 设f(t,u)连续,u≥0,对t∈[0,1]有f(t,u)≥0,当u>0时f(t,u)在[0,1]的任意子区间上不恒为零,若α,β,σ≥0,及ρ=γβ+αγ+ασ>0且f满足:其中u∈[0,H1],η>0并满足ηk(s,s)ds≤1,并且其中其中μ∈[0,H1],其中η*满足并且λ,其中则边值问题(1)～(2)至少存在一个正解.证明 (H1)此时其中μ∈[0,H1],η>0并满足ηk(s,s)ds≤1并且其中u∈,μ>0并满足则(1)～(2)有解u=u(t)．当且仅当u是算子方程的解.其中k(t,s)表示边值问题的Green函数.设K={u∈C[0,1]:u(t)≥0,minu(t)≥M‖u‖}是C[0,1]中的锥,其中事实上,∀u,v∈k,λ∈(0,1),则即K为凸的.则所以‖u‖,即K为闭集.u∈k,λ≥0,则‖u‖=M‖λu‖,即λu∈K.若u∈k,-u∈k,则u(t)≥0,-u(t)≥0,即u(t)=0.由以上证明可知,K为C[0,1]中的锥. 记φ(t)=γ+σ-γt,ψ(t)=β+αt,0≤t≤1,则又k(t,s)≤φ(s)ψ(s)=k(s,s)0≤t,s≤1,因此若u∈K,则所以进而对≤t≤有故因此,若u∈K,则所以,AK⊂K,显然A:k→k是全连续算子.事实上,用Arzela-Ascoli定理,因为k(t,s)≤φ(s)ψ(s)=k(s,s),0≤t,s≤1.因此,若u∈K,则所以对∀ε>0,由K(t,s)在[0,1]×[0,1]中的一致连续性,∃σ使得对s∈[0,1]有从而所以K为紧集,即A为全连续算子.因其中u∈[0,H1],η>0并满足:因此,若u∈k,‖u‖=H1,则由式(3)和式(4)得记Ω1={u∈E:‖u‖<H1},则‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1.又因其中并满足:进而记‖u‖<H2},若u∈K,‖u‖=H2,则有‖u‖因此,故对u∈K∩∂Ω2,有‖Au‖≥‖u‖,所以由引理1[2](B1)知算子A在中有一个不动点,并有H1≤‖u‖≤H2,进而,由k(t,s)>0得,对t∈(0,1)有u(t)>0.(H2)此时其中u∈[0,H1],η*满足:并且λ,其中因为其中u∈[0,H1],η*满足:则对u∈K,‖u‖=H1,有记Ω1={u∈E:‖u‖≤H1},则有‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω1,又因为其中情形1:f有界,即存在N,对∀u∈(0,∞),t∈[0,1],f(t,u)≤N,取使得u∈K,及‖u‖=H2有Au(t)=k(t,s)f(s,u(s))ds≤Nk(t,s)ds≤H2,所以‖Au‖≤‖u‖.情形2:f无界.取使得f(t,u)≤f(t,H2),0≤u≤H2,t∈[0,1],则对u∈K,‖u‖=H2有, 所以无论何种情况,只要令Ω2={u∈E,‖u‖<H2}就有‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω2,由引理1[2](B2)知边值问题(1)～(2)有一个正解.【相关文献】[1]马如云. 非线性常微分方程非局部问题[M]. 北京:科学出版社,2003.[2]孙经先. 非线性泛函分析及其应用[M]. 北京:科学出版社,2007:4-75[3]张恭庆,林源渠. 泛函分析讲义:上册[M]. 北京:北京大学出版社,1987:206.。

二阶非线性中立型差分方程的始终正解
张彩顺;李巧銮;李秀云
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(30)2
【摘要】研究了二阶非线性中立型差分方程Δ(a(n)Δ(x(n)+p(n)x(n-
τ)))+f(n,x(σ(n)))=0的非振动性.利用Banach压缩映射原理,得到了这个方程具有某种极限性质的始终正解的存在性定理.
【总页数】3页(P140-142)
【关键词】非线性中立型差分方程;非振动性;始终正解
【作者】张彩顺;李巧銮;李秀云
【作者单位】河北师范大学教务处;河北师范大学数学与信息科学学院;承德民族师范专科学校数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.二阶非线性中立型时滞差分方程的正解存在性和振动性 [J], 杨甲山;刘琼
2.具有可变时滞的二阶非线性中立型差分方程的正解 [J], 刘琼;杨甲山
3.具正负系数的二阶非线性中立型时滞差分方程的正解 [J], 杨甲山
4.二阶变系数多时滞非线性中立型差分方程的正解 [J], 杨甲山
5.具正负系数的二阶非线性中立型差分方程正解的存在性 [J], 杨甲山
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sturm比较定理
斯图姆比较定理是数学分析中的一个重要定理，它主要用于研究级数的收敛性。

该定理由德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒让德·施图姆（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）于1837年提出，因此得名斯图姆比较定理。

斯图姆比较定理的表述如下，设a_n和b_n是两个非负数列，如果对于所有的n，都有0≤a_n≤b_n，那么如果级数Σb_n收敛，那么级数Σa_n也收敛；反之，如果级数Σa_n发散，那么级数
Σb_n也发散。

斯图姆比较定理的重要性在于它提供了一种判别级数收敛性的方法。

通过将所求级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，可以得出所求级数的收敛性。

这在数学分析和实际问题中具有广泛的应用，尤其是在处理复杂的级数求和问题时，斯图姆比较定理可以帮助我们快速判断级数的收敛性，从而简化问题的分析过程。

除了在数学分析中的应用外，斯图姆比较定理还在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学、工程学和经济学等领域，级数的收敛性判定经常是解决问题的关键一步，而斯图姆比较定理为我
们提供了一个简单而有效的方法来进行判断。

总之，斯图姆比较定理是数学分析中的重要定理，它为我们提供了一种判别级数收敛性的方法，不仅在理论研究中有着重要的意义，也在实际问题的求解中具有广泛的应用。

希望我的回答能够帮助你更好地理解斯图姆比较定理。

第18卷第2期数学研究与评论V o l.18N o.2 1998年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON M ay1998二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理Ξ庄　容　坤(惠州大学数学系,广东惠州516015)摘　要　本文首先建立二个微分恒等式,然后利用它们研究了二类非线性微分方程与线性微分程之间解的Sturm比较定理,所得结论包含了一些经典的结论.关键词　二阶非线性微分方程,微分恒等式,Sturm比较定理.分类号　AM S(1991)34C10 CCL O175.4考虑方程 (p1(t)x′)′+r1(t)x′+q1(t)x=0,(1) (p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)f(y)=0,(2) (p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)y=g(y).(3)设x(t)是方程(1)的非平凡解,且x(0)=x(1)=0,I=[0,1],p1(t),p2(t),r1(t),r2(t), q1(t),q2(t)∈C′(I),p2(t)>0,t∈I,f(u),g(u)∈C(-∞,+∞).定理1　设y(t)是方程(2)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2　+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′.证明 [xy (y p1x′-x p2y′)]′=(x p1x′)′-(x2p2y′y)′=p1x′2+x(p1x′)′-x2(p2y′)′y-2x x′p2y′y+p2x2y′2y2=p1x′2-r1x x′-q1x2+r2x2y′y+q2x2f(y)y-2x x′p2y′y+p2x2y′2y2=p1x′2-r1x x′+(q2f (y)y-q1)x2+2p2x y′y(r2x2p2-x′)+p2(x y′y)2=p1x’2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2-p2(r2x2p2-x′)2+(q2f(y)y-q1)x2-r1x x′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,即Ξ1995年4月26日收到.[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2　+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′.定理2　设y(t)是方程(3)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2　+(q2-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′-g(y)yx2.定理2的证法与定理1的证法类似,故略.定理3　设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 24p2+ r′2-r′12,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等式不成立,又Πu≠0,有uf(u)≥u2,则方程(2)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点. 证明　若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理1有:[xy(y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2　+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,从0到1积分得:∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t　+∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′2)x2d t,又由于∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=0,从而∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′2)x2d t =0.但由已知条件可知上面的等式的左边大于零,产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.定理4　设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理3,则方程(2)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.证明　若有0<t1≤Α使y(t1)=0,由罗尔定理知:ϖΣ∈(0,Α)使y′(Σ)=0,定理显然成立.现设y(t)≠0,t∈(0,Α)则由定理1有[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2　+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,从0到Α积分得∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t　+∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2)x2d t+∫Α0(r2-r1)x x′d t.由于x(0)=0,故 ∫Α0(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 Α0-∫Α0r′2-r′12x2d t=r2(Α)-r1(Α)2x2(Α)-∫Α0r′2-r′12x2d t,又由于　∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]Α0=-p2(Α)x2(Α)y′(Α)y(Α)从而-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)y(Α)=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2-r′2-r′12)x2d t+r2(Α)-r1(Α)2x2(Α).由已知条件,显然上面等式的右边大于零,即-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)y(Α)>0,从而y′(Α)与y(Α)反号,无妨设y(t)>0,t∈(0,Α),则y′(0)>0,y′(Α)<0,由y′(t)的连续性知:存在Σ∈(0,Α),使y′(Σ)=0.定理5　设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 24p2+ r′2-r′12,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等号不成立,又Πu≠0有ug(u)≤0,则方程(3)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点,证明　若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理2有[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2　+(q2-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′-g(y)yx2,从0到1积分得∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2-q1-r224p2)x2d t+∫10(r2-r1)x x′d t-∫10g(y)y x2d t.由于x(0)=x(1)=0,故∫10(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 10-∫10r′2-r′12x 2d t=-∫10r′2-r′12x2d t,从而∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t)x2d t-∫10g(y)y x2d t.　+∫10(q2-q1-r224p2-r′2-r′12显然,由已知条件知上面等式的右边大于零,但等式的左边∫10[x y(y p1x′-x y2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]10=0产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.定理6　设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理5,则方程(3)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.定理6的证法与定理4的证法类似,故略.注1　当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m 比较定理.注2　当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m2P icone比较定理.注3　当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0,∫10(q2-q1)x2d t>0时,定理3(或定理5)为Stu r m2L eigh ton比较定理.注4　当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0,∫10[(p1-p2)x′2+(q2-q1)x2]d t>0时,定理4(或定理6)为Stu rm2L eigh ton关于解的导函数比较定理.参　考　文　献[1]　W.L eigh ton,O n the z ero of solu tions of a seeond ord er linea r d if f eren tia l equa tion,J.M ath,Pu re.A pp l,3(1965),297-310.[2]　W.L eigh ton,S o m e ele m en ta ry S tu r m theory,J.D ifferen tial Equati on4(1968),187-193[3]　邓宗琦,常微分方程边值问题和Stu rm比较理论引论(第一版),华中师范大学出版社,1987.[4]　程崇高等,一个微分2积分恒等式及其应用,华中师范大学学报(自然科学版),4(1993),433-435Sturm Com par ison Theorem of Solution s for SecondOrder Non li near D ifferen ti al EquationZ huan R ong kun(D ep t.of M ath.,H uizhou U niversity,Guangdong516015)AbstractIn th is p ap er,w e estab lish tw o differen tial iden ties and there by generalize som e classical Stu rm Com p arison theo rem s.Keywords　second o rder non linear differen tial equati on,differen tial iden tity,Stu rm com p ar2 ison theo rem.。