河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（满分：150分，测试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“20,0x x ∀>>”的否定是（ ）A ．20,0x x ∀>≤ B ．20,0x x ∃>≤ C ．20,0x x ∀≤≤ D ．20,0x x ∃≤≤ 2．“23x <<”是“112x >-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（ ）A ．100，90B ．200，27C ．200，20D ．200，904．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，一个焦点坐标为(2,0)，则该双曲线的方程是（ ）A ．22122x y -=B ．22122y x -= C ．22144x y -= D ．22122x y -=或22122y x -= 5．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次．已知第一次计算所得的平均数和方差分别为X ，2S ，重算时的平均数和方差分别为1X ，21S ，若此同学的得分恰好为X ，则（ ）A ．2211,X X S S =>B ．2211,X X S S ==C ．2211,X X S S =<D ．2121,X X S S ≠≠6．过点(2,1)，焦点在x 轴上且与椭圆22143x y +=有相同的离心率的椭圆方程为（ ） A ．2214163x y += B ．221129x y += C ．2211612x y += D ．2211643x y +=7．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y =与双曲线C 交于P 、Q 两点，且11PF QF ⊥，则双曲线的离心率为（ ）ABC1 D1 8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其两焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，若12112F C F B F A ==，则椭圆的离心率为（ ） A．10 B．5 C ．110 D ．15二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题正确的是（ ） A ．0ab =是0a =的充分不必要条件 B ．a b >是22ac bc >的充分不必要条件 C ．22ab>是22log log a b >的必要不充分条件 D ．在ABC 中，B C >是sin sin B C >的充要条件10．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中错误的是（ ） A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t << C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为双曲线，则1t <11．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下述正确的是（ ）A ．估计被调查者中约有510人吸烟B ．估计约有10人对问题2的回答为“是”C ．估计该地区约有2%的中学生吸烟D ．估计该地区约有1%的中学生吸烟12．已知双曲线2214x y -=，(3,0)A ，O 为坐标原点，M 为双曲线上任意一点，则OM AM ⋅的值可以是（ ） A ．145-B ．2- C．．145第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从1，2，3，4这四个数字中一次随机地抽取两个数，则所取两个数的乘积是6的倍数的概率为_______． 14．已知直线a ，b 的方向向量分别为(4,,2)m k k =-和(,3,6)n k k =+，若//a b ，则k =________．15．若过椭圆221164x y +=内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________． 16．已知12,F F 分别为双曲线22195x y -=的左、右焦点，过2F 且倾斜角为120°的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点（设点A 在第一象限），记12AF F 的内切圆半径为1r ，12BF F 的内切圆半径为2r ，则12r r 的值等于_______________．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）已知命:[0,3]p x ∃∈，2230x x a ---≥；:q x R ∀∈，2220x ax a ++≥．（1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 为假且命题q 为真，求实数a 的取值范围．18．（12分）为了解某学校高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生某次考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按[90,100),[100,110),[140,150]⋅⋅⋅分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求m 的值并估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数；（2）为调查某项指标，现利用分层抽样从成绩在[130,140),[140,150]两个分数段的学生中抽取5人，再从这5人中随机选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，(2,0)A 是椭圆的右顶点．（1）求椭圆的方程； （2）过点(1,0)G 且斜率为12的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，求AMN 的面积． 20．（12分）为得到某种作物种子的发芽率，立德中学生物兴趣小组的同学进行了如下研究：在不同的昼夜温差下统计每100颗种子的发芽数，得到了以下数据：昼夜温差x （℃） 8 10 11 12 13 发芽数y （颗）7981858690通过画散点图，同学们认为x 和y 之间存在线性相关关系，经讨论大家制定了如下规则：从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：用求得的线性回归方程分别计算剩余两组数据中昼夜温差数所对应的发芽数y ，再求y 与实际发芽数y 的差值，若差值的绝对值都不超过2，则认为所求方程是“合适的回归方程”．（1）请根据表中的后三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）按照题目中的检验方法判断（1）中得到的方程是否是“合适的回归方程”；（3）若100颗该作物种子的发芽率为n 颗，则记为%n 的发芽率，当发芽率为%n 时，农户种植该种作物平均每亩地的收益为10n 元，某农户有10亩土地，全部种植这种植物，种植期间昼夜温差大约为9℃，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农户种植此种作物所获得的收益．（参考公式：线性回归方程中ˆb，ˆa 的最小二乘估计分别为：()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，PQ ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，M 是棱PC 上一点，且2MC MP =．（1）证明：//PA 平面BMQ ； （2）求二面角C BM Q --的正弦值．22．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0),3,0)M N ，动点Q 到点M 的距离为4，线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点K ．设点K 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）点(2,0)P -，A ，B 为曲线C 上的动点，当PA PB ⊥时，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标．高二年级数学月考试题答案 2020.10.12一、单择题 1 2 3 4 5 6 7 8 BCBAADCB二、多选题9 10 11 12 CD ADBCBCD三、填空题 13．13 14．6 15．240x y +-= 16．13四、解答题17．解：（1）由2:[0,3],230p x x x a ∃∈---≥为真， 得[0,3]x ∃∈，使得223a x x ≤--设22()23(1)4f x x x x =--=--，[0,3]x ∈，则max ()(3)0f x f ==∴0a ≤ 5分（2）由（1）知p 为真时0a ≤，所以若p 为假，则0a > ∵q 为真，∴2480a a ∆=-≤，∴02a ≤≤由002a a >⎧⎨≤≤⎩，得02a <≤ 10分18．解：（1）由题(0.0040.0120.0240.040.012)101m +++++⨯=， 解得0.008m =， 2分样本平均数950.004101050.012101150.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1250.04101350.012101450.00810+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 121.8=（分） 4分由此估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均数为121.8分 5分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在[130,140)的同学有0.01210506⨯⨯=（人），成绩在[140,150]的同学有0.00810504⨯⨯=（人）， 7分 按分层抽样[130,140)分数段内抽3人记为a ，b ，c ；[140,150]分数段内抽2人记为1，2 8分从这5人中随机选两人2人有{,},{,},{,1},{,2},{,},{,1},{,2},{,1},{,2},{1,2}a b a c a a b c b b c c 共10种选法． 10分两人来自同一分数段有{,},{,},{,},{1,2}a b a c b c 共4种选法． 11分 所以两人来自同一组的概率为42105P == 12分 19．解：（1）由题意知，2a =，c e a ==，∴c =1b == ∴椭圆方程为2214x y += 4分 （2）直线l 的方程为：1(1)2y x =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立221(1)214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得22230x x --=∴121231,2x x x x +==-． 7分∴12||MN x =-==2==． 9分 ∵(2,0)A 到直线:210l x y --=的距离5d ==． 10分∴11||22AMNSMN d =⋅== 12分 方法二：直线l 的方程为：1(1)2y x =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立221(1)214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消x ，得28430y y +-=∴1212413,828y y y y +=-=-=- ∴122y y -====∴1211122AMNSAG y y =-=⨯=20．解：（1）111312123x ++==，859086873y ++== 2分∴222(1112)(8587)(1212)(8687)(1312)(9087)5ˆ(1112)(1212)(1312)2b--+--+--==-+-+-∴5ˆ8712572a=-⨯= 5分 ∴线性回归方程为5ˆ572yx =+ 6分 （2）当8x =时，5ˆ857772y=⨯+=，|5759|22-=≤； 当10x =时，5ˆ1057822y=⨯+=，|8182|12-=≤； 所以（1）中得到的线性回归方程5ˆ572y x =+是“合适的回归方程”． 8分（3）因为5ˆ572yx =+，所以当9x =时，5ˆ95779.52y =⨯+=，即每亩地的收益大约为795元，所以该农户此种作物所获得的收益大约为7950元 12分21．解：（1）证明：连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，因为底面ABCD 是菱形，∴//AQ BC ，∴ANQ CNB ∽，则12AQ AN BC NC ==， 又2MC MP =，∴12MP MC =，∴MP ANMC NC=∴//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，PA ⊂/平面BMQ ， ∴//PA 平面BMQ ； 4分（2）连接BD ，∵底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒， ∴BAD 是等边三角形，∴BQ AD ⊥，由于PQ ⊥平面ABCD ，∴PQ AD ⊥，以Q 为坐标原点，,,QA QB QP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 5分则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),Q A B D P -， 6分(2,0,0)((AC AD AB =+=-+-=-，所以点((2,0,0),(0,C BC BP -=-= 设平面BMC 的一个法向量(,,)n x y z =，∴00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200000x y z x -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得到(0,1,1)n =， 8分 设平面BMQ 的法向量为(,,)m x y z =，∴00m QB m MN ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=， 注意//MN PA ，∴00m QB m PA ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=， 解得(3,0,1)m =是平面BMQ 的一个法向量， 10分 设二面角C BM Q --平面角的大小为θ，则2cos ||||4m n m n θ⋅==11分 ∴sin θ==∴二面角C BM Q -- 12分 22．解：（Ⅰ）∵线段NQ 的垂直平分线交MQ 于点K ，∴||||KN KQ =，∴||||||||||4||KM KN KM KQ MQ MN +=+==>= ∴点K 的轨迹是中心在原点，以M ，N 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中24,a c ==分设椭圆方程为22221x y a b+=，则2,1a c b ===∴椭圆的轨迹方程为2214x y += 4分 （2）当直线l 不垂直于x 轴时，设:AB y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 ()()222148410k xkmx m +++-= 6分()()()()2212121212221(2)4PA PB x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()222224181(2)401414m kmk km m k k--=+++++=++， ∴22125160k m km +-=， 8分 ∴(65)(2)0k m k m --=， ∴65m k =或2m k = 当65m k =时，6:5AB y kx k =+，恒过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当2m k =时，:2AB y kx k =+，恒过定点(2,0)-，不符合题意舍去， 10分当直线l 垂直于x 轴时，若直线6:5AB x =-，则AB 与椭圆C 相交于64,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，64,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22444444,,0555555PA PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴PA PB ⊥，满足题意， 11分 综上可知，直线AB 恒过定点，且定点坐标为6,05⎛⎫-⎪⎝⎭12分。
