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常用函数拉普拉斯变换及反变换

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n d n f (t ) s n F (s) s n k f n dt k 1 d k 1 f (t ) ( k 1) f (t ) dt k 1
2
微分定理
一般形式
L
( k 1)
( 0)
初始条件为 0 时
L[
d n f (t ) ] s n F ( s) n dt
z sin T z 2 z cos T 1
2
s 2
2
sin t
cos t
s s 2
2
z ( z cos T ) z 2 z cos T 1
2

( s a)
2 2
e at sin t e at cost
at /T
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换 E(s) 1 时间函数 e(t) δ (t)
T (t ) (t nT )
n 0
Z 变换 E(z) 1
z z 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 e Ts
n c c r t r 1 r 1 t r 2 c 2 t c1 e s t ci e s t (r 2)! i r 1 (r 1)!
1 i
（F-6）
422
原函数 f (t ) 为
f (t ) L1 F ( s)
cr c c cr 1 c1 c L1 r 1 i n r r 1 ( s s1 ) s s r 1 s si s sn ( s s1 ) ( s s1 )
z 2 ze aT cos T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
z za
sa ( s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
420
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根；
421
其中， c r 1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s)
s s1
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s)
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （0） dt 2 L[
cr 1 lim
s s1
d [( s s1 ) r F ( s)] ds

cr j 1 d ( j) lim ( j ) ( s s1 ) r F ( s) j! s s1 ds
(F-5)

d ( r 1) c1 l i m ( r 1) ( s s1 ) r F ( s) (r 1)! s s1 ds
A(s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
n c c c c1 c 2 i n i s s1 s s2 s si s sn i 1 s si
F ( s)
（F-1）
式中， s1 , s 2 ,, s n 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s) 在 s i 处的留数，可 按下式计算：
初始条件为 0 时 4 5 6 7 8 延迟定理（或称 t 域平移定理） 衰减定理（或称 s 域平移定理） 终值定理 初值定理 卷积定理
共 n个 F (s) L[ f (t )( dt ) n ] n s
L[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s)
L[ f (t )e at ] F ( s a)
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 F (s) A( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
（ n m）
式中系数 a 0 , a1 ,..., a n 1 , a n ， b0 , b1 ,bm1 , bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
ci l i m ( s si ) F ( s )
s si
（F-2）
或
ci
B( s) A( s ) s s
（F-3）
i
式中， A( s) 为 A( s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n n c f (t ) L1 F ( s) L1 i ＝ ci e s t i 1 s si i 1
1 e
at
1 ( s a) 2
a s( s a) ba ( s a)( s b)
Tze aT ( z e aT ) 2
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT )
e at e bt
z z aT z e z e bT
F ( s) [ f (t )dt ]t 0 s s
L[ f (t )dt ]
2
一般形式 3 积分定理
2 F ( s) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )( dt ) ]t 0 L[ f (t )( dt ) ] 2 s s2 s 共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )( dt ) n ]t 0 s k 1 s 共n个
i
(F-4)
②
A(s) 0 有重根
设 A( s) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
F s
B( s ) ( s s1 ) r ( s sr 1 )( s sn )
=
c c cr cr 1 c1 c r 1 i n r r 1 ( s s1 ) ( s s1 ) ( s s1 ) s sr 1 s si s sn
1 s
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
(1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te at
lim f (t ) lim sF (s)
t s 0
lim f (t ) lim sF (s)
t 0 s
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] L[ f1 (t ) f 2 (t )d ] F1 ( s) F2 ( s)
0 0
t
t
419

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常用拉普拉斯变换及反变换

常用拉普拉斯变换及反变换

419附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 齐次性)()]([s aF t af L =1线性定理叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±一般形式=−=][′−ٛ−=−=−−−−=−∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L M ）（ 2微分定理初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn =一般形式 }}∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=++=+=nk t n n k n n n n t t t dt t f ss s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共L L M3积分定理初始条件为0时}nnn s s F dt t f L )(]))(([=∫∫个共L4 延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts−=−− 5 衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([a s F e t f L at +=−6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f st →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =−=−∫∫τττττ4202．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Ts e −−11∑∞=−=0)()(n T nT tt δδ 1−z z3 s1 )(1t 1−z z 421s t2)1(−z Tz5 31s 22t32)1(2)1(−+z z z T6 11+n s!n t n )(!)1(lim 0aTn n n a e z z a n −→−∂∂− 7 as +1ate −aTe z z−− 8 2)(1a s + atte− 2)(aT aT e z Tze −−−9 )(a s s a +ate−−1 ))(1()1(aT aT e z z z e −−−−− 10 ))((b s a s ab ++− btate e−−−bTaT e z z e z z −−−−− 11 22ωω+st ωsin 1cos 2sin 2+−T z z Tz ωω12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω 13 22)(ωω++a s t eatωsin −aTaT aT eT ze z T ze 22cos 2sin −−−+−ωω 14 22)(ω+++a s a st e at ωcos −aTaT aTe T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15aT s ln )/1(1−T t a/az z −4213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

拉普拉斯变换及反变换.ppt

拉普拉斯变换及反变换.ppt


机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0

— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt

0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换



(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]



0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st

0
1 s
机械工程控制基础
2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
拉普拉斯变换及反变换1

拉普拉斯变换及反变换1

方法一： 方法一：利用拉氏反变换定义求
——不常用解
方法二： 方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三： 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
第21页 页
黄河科技学院
控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： 的极点； （1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、 展开成部分分式； 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 行拉氏逆变换。
（11）卷积定理 11）
f (t ) * g (t ) = ∫
+∞
−∞
f (τ ) g (t − τ )dτ
= ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
0
t
L[ f (t ) * g (t )] = F ( s ) ⋅ G ( s ) = G ( s ) F ( s )
第19页 页
黄河科技学院
控制工程基础
s +1 c2 = ( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
s = −3
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把 （s）展开 ） （ ）的分母多项式进行因式分解、并把F（ ） 成部分分式
=2
第24页 页
黄河科技学院
控制工程基础
s +1 1 2 F ( s) = 2 =− + s + 5s + 6 s+2 s+3
− st
单位阶跃函数，记作 单位阶跃函数，记作1( t )
t<0 t≥0
1 L[1(t )] = s
常用拉普拉斯变换及反变换

常用拉普拉斯变换及反变换

常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。

接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。

拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。

下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。

它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。

那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。

拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。

例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。