高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1任意角的三角函数aa高一数学

1 1．2.1 任意角的三角函数

课堂导学

三点剖析

1.任意角的正弦、余弦、正切的定义

【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是( )

①终边相同的角的同名三角函数的值相同

②终边不同的角的同名三角函数的值不等

③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角

④若α是第二象限的角，且P（x,y）是其终边上一点，则cosα=22yxx

A.1 B.2 C.3 D.4

思路分析：运用概念判断.

解析：由任意角三角函数定义知①正确；

对②，我们举出反例sin3=sin32；

对③，可指出sin2＞0，但2不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=22yxx.

综上选A.

答案：A

温馨提示

要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.

2．角、实数和三角函数值之间的对应关系

【例2】 判断下列各式的符号.

（1）tan250°·cos(-350°);

(2)sin151°cos230°；

(3)sin3cos4tan5;

(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).

思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数.

解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,

∴tan250°·cos(-350°)＞0.

(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,

∴sin151°·cos230°＜0.

(3)∵2＜3＜π,π＜4＜23,23＜5＜2π,

∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,

∴sin3·cos4·tan5＞0.

(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜2,

∴cos(sinθ)＞0. 2 同理，-2＜-1＜cosθ＜0,

1 1.2.2 同角三角函数关系

课堂导学

三点剖析

1.同角三角函数关系

【例1】已知sinθ-cosθ=21,则sin3θ-cos3θ=__________________.

思路分析：把sin3θ-cos3θ变形凑出含有sinθ-cosθ的代数式代入求值.

解析 ：∵sinθ-cosθ=21,

∴(sinθ-cosθ)2=41.

∴1-2sinθcosθ=41.

∴sinθ·cosθ=83.

∴sin3θ-cos3θ

=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)

=21·(1+83)=1611.

答案：1611

温馨提示

若已知sinα-cosα与sinα+cosα其中一个条件，求sin2α·cos2 α,sin3α±cos3α时，常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.

2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式

【例2】 已知cosα=178,求sinα及tanα的值.

思路分析：用同角三角函数关系解题.

解：∵cosα＜0,且cosα≠-1

∴α是第二或第三象限角.

如果α是第二象限角，那么

sinα=1715)178(1cos122a.

tanα=cossin=1715×(-817)=815.

如果α是第三象限角，那么

sinα=-1715,tan α=815.

温馨提示

(1)要会用公式sin2α+cos2α=1的变形

sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.

(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两2 个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.

【例3】求证：cossin1sincos1sincos1.

思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.

1 1．2.1 任意角的三角函数

课堂导学

三点剖析

1.任意角的正弦、余弦、正切的定义

【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是( )

①终边相同的角的同名三角函数的值相同

②终边不同的角的同名三角函数的值不等

③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角

④若α是第二象限的角，且P（x,y）是其终边上一点，则cosα=22yxx

A.1 B.2 C.3 D.4

思路分析：运用概念判断.

解析：由任意角三角函数定义知①正确；

对②，我们举出反例sin3=sin32；

对③，可指出sin2＞0，但2不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=22yxx.

综上选A.

答案：A

温馨提示

要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.

2．角、实数和三角函数值之间的对应关系

【例2】 判断下列各式的符号.

（1）tan250°·cos(-350°);

(2)sin151°cos230°；

(3)sin3cos4tan5;

(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).

思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数.

解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,

∴tan250°·cos(-350°)＞0.

(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,

∴sin151°·cos230°＜0.

(3)∵2＜3＜π,π＜4＜23,23＜5＜2π,

∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,

∴sin3·cos4·tan5＞0.

(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜2,

∴cos(sinθ)＞0. 2 同理，-2＜-1＜cosθ＜0,

任意角的三角函数(一）

(15分钟 30分）

一、选择题（每小题4分，共12分)

1。求值sin750°=( ）

A。 - B. — C. D。

【解析】选C.sin 750°= sin（2×360°+ 30°)=sin 30°=。

2.(2015·晋江高一检测）如果角θ的终边经过点(，-1），那么cosθ的值是

( ）

A.— B。- C. D.

【解析】选C。点（，-1）到原点的距离r==2，

所以cosθ=.

【延伸探究】将本题中点的坐标改为(—1，），求sinθ-cosθ。

【解析】点（-1,）到原点的距离

r==2，

所以sinθ=，cosθ=-,

所以sinθ-cosθ=—=。

3.(2015·北京高一检测）已知α∈（0,2π)，且sinα<0，cosα〉0,则角α的取值范围是( ）

A。 B. C. D.

【解析】选D。因为sinα〈0，cosα〉0，所以角α是第四象限角，又α∈(0，

2π），所以α∈.

二、填空题（每小题4分，共8分)

4。求值：cosπ+tan=______

【解析】cosπ=cos=cos=,

tan=tan=tan=，

所以cosπ+tan=+.

答案：+

5.(2015·南通高一检测)若角135°的终边上有一点(—4，a），则a的值是________.

【解析】因为角135°的终边与单位圆交点的坐标为，所以

tan 135°==-1，

又因为点(—4，a)在角135°的终边上，

所以tan 135°=,所以=-1,所以a=4.

答案：4

【补偿训练】如果角α的终边过点P(2sin 30°，—2cos 30°）,则cosα的值等于________。 【解析】2sin 30°=1,—2cos 30°=—，

所以r=2，所以cosα=.

答案：

三、解答题

6.（10分)判断下列各式的符号.