高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2 同角三角函数的基本关系

学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．平方关系

(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.

(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.

2．商数关系

(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠kπ＋π2，k∈Z)．

(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．

思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？

[提示] 成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)对任意角α，sin α2cos α2＝tan α2都成立．( )

(2)因为sin2 94π＋cos2 π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )

(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．( )

[解析] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．

[答案] (1)× (2)× (3)×

2．化简1－sin23π5的结果是(

)

A．cos3π5 B．sin3π5

C．－cos3π5 D．－sin3π5

C [因为3π5是第二象限角，

所以cos3π5＜0，

所以1－sin23π5＝cos23π5＝cos3π5＝－cos3π5.]

3．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝________.

－43 [因为α为第四象限角，且cos α＝35，

所以sin α＝－1－cos2α＝－1－352＝－45，

所以tan α＝sin αcos α＝－43.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

直接应用同角三角函数关系求值

(1)已知α∈π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.

(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值. 【导学号：84352041】

[思路探究] (1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.

(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.

(1)－55 [(1)由已知得 sin αcos α＝2，①sin2α＋cos2α＝1，②

由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝15，又α∈π，3π2，所以cos α＜0，

所以cos α＝－55.]

(2)∵cos α＝－817＜0，

∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，

tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－1－cos2α＝－1517，tan α＝158.

[规律方法] 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：

(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．

(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．

提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．

[跟踪训练]

1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

[解] ∵sin α＋3cos α＝0，

∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，

即10cos2α＝1，

∴cos α＝±1010.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，

∴角α的终边在第二或第四象限．

当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010；

当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010.

灵活应用同角三角函数关系式求值

(1)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________.

(2)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．

①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；

②sin2α－2sin αcos α＋1. 【导学号：84352042】

[思路探究] (1)法一求sin αcos α→求sin α－cos α→求sin α和cos

α→求tan α

法二求sin αcos α→弦化切构建关于tan α的方程→求tan

α

(2)求tan α→换元或弦化切求值

(1)－125 [法一：(构建方程组)

因为sin α＋cos α＝713，①

所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝49169，

即2sin αcos α＝－120169.

因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.

所以sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝1713.②

由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，

所以tan α＝sin αcos α＝－125.

法二：(弦化切)

同法一求出sin αcos α＝－60169，sin

αcos αsin2α＋cos2α＝－60169，tan

αtan2α＋1＝－60169，

整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125.

由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125.

(2)由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，

得sin α＝3cos α，

所以tan α＝3.

①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.

法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.

②原式＝sin2α－2sin αcos αsin2α＋cos2α＋1

＝tan2α－2tan αtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.]

母题探究：1.将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？

[解] 由例(1)求出2sin αcos α＝－120169，

因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，

所以sin α－cos α＝－α－cos α2

＝－1－2sin αcos α＝－1713.

与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，

所以tan α＝sin αcos α＝－512.

2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝713”改为“sin α·cos α＝－18”其他条件不变，求cos α－sin α.

[解] 因为sin αcos α＝－18＜0，所以α∈π2，π，所以cos α－sin α＜0，

cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－1－2×－18＝－52.

[规律方法] 1.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值

解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．

提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.

应用同角三角函数关系式化简

(1)化简2sin2α－11－2cos2α＝________.

(2)化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.(其中α是第三象限角)

[思路探究] (1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．

(2)首先将tan α化为sin αcos α，然后化简根式，最后约分．

(1)1 [(1)原式＝2sin2α－11－－sin2α＝2sin2α－12sin2α－1＝1.

(2)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α

＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos

α

＝sin α1－cos α·－cos

α21－cos2α

＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|.

又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.

所以原式＝sin α1－cos α·1－cos

α－sin

α＝－1.]

[规律方法] 三角函数式化简的常用方法

化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.

对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.

[跟踪训练]

2．化简tan α1sin2α－1，其中α是第二象限角．

[解] 因为α是第二象限角，所以sin

α＞0，cos α＜0.

故tan α1sin2α－1＝tan α1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos

αcos αsin

α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.

应用同角三角函数关系式证明

[探究问题]

1．证明三角恒等式常用哪些方法？