高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的
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高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的
1.2.1任意角度的三角函数
互动课堂
疏导
1.任意角三角函数的定义
设P（a，b）为角α，单位圆的最终边缘与单位圆的交点从P轴到X轴引出一条垂直线，垂直脚为m。sin根据锐角三角函数α的定义得到=
|mp||om||mp|b?.=b,cosα==a,tanα=
|Op | om | a | Op |类似地，我们也可以使用单位圆定义任意角度的三角函数，如图1-2-2所示，集α为1
个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么
图1-2-2
(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.(3)
YY被称为α，其切线被表示为tanα，tanα=。三十二。三角函数线
设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为a(1,0)、a′(-1,0),与y轴的交点分别为b(0,1)、b′(0,-1).设角α的顶点在圆心o,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点p(如图1-2-3(a)),过点p作pm垂直于x轴于m,则点m是点p在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点p的坐标为(cosα,sinα),即p(cosα,sinα).
其中cosα=om，sinα=mp。也就是说，角α的余弦和正弦分别等于最终边和单位圆相交的角度α横坐标和纵坐标，单位圆在点a和α处的切线，如果终端边或其反向延长线在点t（t’）处相交（图1-2-3（b）），则Tanα=at（at’）。
我们把轴上向量om、mp、at(at')叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
图1-2-3
三.三角函数在各象限的符号 三角函数的符号可以通过三角函数的定义和每个象限点坐标的符号来确定
sinα=y,于是sinα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当
α当它是第三和第四象限的角度时，sinα＜0
cosα=x,于是cosα的符号与x的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.tanα=
y、 当x和y有相同的符号时，它们的比率为正。当x和y有不同的符号时，它们的比值为负，即当x为第一象限和第三象限角度时α，当α为第二象限和第四象限角度时Tanα＞0，Tanα＜0
规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一
根据三角函数的定义，在端部边缘相同角度的相同三角函数值相等，得到一组公式（公式1）sin（α+k2π）=sinαcos（α+k2π）=cosαtan（α+k2π）=tanαK∈ Z.利用公式1，可以将任意角度的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值，灵活学习和熟练使用
1.已知角α的终边经过点p(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.解析：x=3a,y=-4a,∴r=(3a)2?(?4a)2=5|a|(a≠0).(1)当a＞0时,r=5a,α是第四象限角.
4x3a3y？4a4y？4a=？？，cosα==？，tanα=？？？。
5r5a5x3a3r5a434(2)当a＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sinα=,cosα=?,tanα=?.
553434答案：sinα=±，cosα=±，tanα=？。
553sinα=
2.在单位圆α中画出适合以下条件的角度，即最终边缘的范围，并将角度α写成（1）sinα的集合≥
31;(2)cosα≤-.2231,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的22解析：作出满足sinα=范围.(1)作直线y=
3相交单位圆位于a点和B点，连接OA和ob，然后是OA和ob包围的区域（如图1-2-4所示，阴2的终端边缘范围，因此满足条件α的角度
的集合为 阴影部分）是角度α{α| 2kπ+
2??≤α≤2kπ+,k∈z}.
331（2）画一条直线x=-在两点c和D处与单位圆相交，以连接OC和OD，然后连接OC和OD包围的区域（如图1-2-5所示）
2
二
阴影部分)即为角α终边的范围.2?4?故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+
3.≤ α ≤2kπ+3，k∈z} 。
图1-2-4图1-2-5
确定以下三角函数的值（1）cos250°；（2） 罪(-
?114);(3)tan(-672°);(4)tan?3.
分析：（1）∵ 250°是第三象限角，∵ cos250°＜0（2）∵-
?4是第四象限角,∴sin(-?4)＜0.(3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,
——-672°是第一象限角∴tan（-672°）>0。
(4)∵
11? 3=2π+5? 3号和5号？3是第四象限角，11？3是第四象限角∴tan11？3＜0.
答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.
4.如果sinθcosθ＞0，则θIn（）
a.第一、二象限b.第一、三象限c.第一、四象限d.第二、四象限
分辨率：sinθcosθ＞0。Sinθ和COSθ符号相同，如果Sinθ＞0，COSθ＞0，则θ在第一象限；如果sinθ＜0，cosθ＜0，那么θ在第三象限∴ θ在第一和第三象限回答：B
5.确定下列三角函数值的符号.
（1） 因为
21?75;(2)sin(-760°);(3)tan?3. 分析：（1）cos21？？？？5=cos（5+4π）=cos5，5是第一象限角，
∴cos21?5＞0.
(2)∵sin（-760°）=sin（-40°-2×360°）=sin（-40°），而-40°是第四象限角，‡sin（-760°）<0（3）∵tan7？3=tan（？3+2π）=tan？？3，3是第一个象限角
7?3＞0.
三
