六年级奥数讲义卷分数的分拆

六 年 级 奥 数 讲 义 卷

分 数 的 分 拆

一、理解：分数的分拆就是设法将分数写成两个或几个分数的和或差的形式。

二、分数的分拆常用等式：

＝ －

， ＝

－ （n、d都是自然数）

三、补充例题：

计算：

＋ ＋ ＋ ＋

＋

思路导航：观察发现，每个分数的分子都是3，而分母是两个自然数的乘积，且分子恰好等于分母的两个自然数的差，于是每个分数都可以拆成两个分数的差。

四、练习：

计算下面各题

（1） ＋ ＋

＋

＋

（3）

＋

＋

＋…＋

1n（n＋1）1n1n＋1dn（n＋d）1n1n＋d31×437×10310×13313×16316×1934×71812414818011201216112120130142156172

（4）

＋

＋

＋ ＋

（5）

＋ ＋ ＋ ＋ ＋

（6） ＋ ＋ ＋…＋

（7）1 ＋3 ＋5 ＋…＋11

思考： 单位分数分拆

把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）

zxc

把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）

28的约数有1、2、4、7、14、28

（取1、2）1/28=（1+2）/[28*（1+2）]=1/84+1/42

（取1、4）1/28=（1+4）/[28*（1+4）]=1/140+1/35

（取1、7）1/28=（1+7）/[28*（1+7）]=1/224+1/32

（取1、14）1/28=（1+14）/[28*（1+14）]=1/420+1/30 11×414×717×10125×28211×13213×15215×17217×1911931×434×737×10310×13313×16316×1911×2×312×3×413×4×5198×99×10032×535×835×11317×2011×2×3×412×3×4×513×4×5×6117×18×19×20（取1、28）1/28=（1+28）/[28*（1+28）]=1/812+1/29

（取2、4）1/28=（2+4）/[28*（2+4）]=1/84+1/42（重复）

（取2、7）1/28=（2+7）/[28*（2+7）]=1/126+1/36

（取2、14）1/28=（2+14）/[28*（2+14）]=1/224+1/32（重复）

（取2、28）1/28=（2+28）/[28*（2+28）]=1/420+1/30（重复）

（取4、7）1/28=（4+7）/[28*（4+7）]=1/77+1/44

（取4、14）1/28=（4+14）/[28*（4+14）]=1/126+1/36（重复）

（取4、28）1/28=（4+28）/[28*（4+28）]=1/224+1/32（重复）

（取7、14）1/28=（7+14）/[28*（7+14）]=1/84+1/42（重复）

（取7、28）1/28=（7+28）/[28*（7+28）]=1/140+1/35（重复）

（取14、28）1/28=（14+28）/[28*（14+28）]=1/84+1/42（重复）

所以有1/28=1/84+1/42=1/140+1/35=1/224+1/32=1/420+1/30=1/812+1/29=1/126+1/36=1/77+1/44，共7种不同的方法。

测试

1/28=1/a+1/b，ab=28(a+b)，ab-28a-28b=0，(a-28)(b-28)=28^2=(2^4)*(7^2)，显然，a, b>28；

(2^4)*(7^2)有5*3=15个不同的因数，有7个小于28，有7个大于28

不妨设a

当a-28取遍(2^4)*(7^2)的小于28的因数时，b-28对应地取遍(2^4)*(7^2)的大于28的因数；

因此满足要求的解共7个

过路人

对小学而言，例举会简明一些。

我的方法： 对分母进行质因数分解，如N=a×b，a,b均为质数，则可以分拆成：

1/N=1/(a×b)=(1/a)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=1/a(a+b)+1/b(a+b)

如N=a×b×c，a,b,c均为质数，则可以分拆成：

1/N=1/(a×b×c)=(1/ab)×[1/(c+1)+1/c(c+1)]=(1/c)×[1/(ab+1)+1/ab(ab+1)]

=(1/bc)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=(1/a)×[1/(bc+1)+1/bc(bc+1)]

=(1/ac)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(ac+1)+1/ac(ac+1)]

=1/ac(a+b)+1/bc(a+b)=1/ab(a+c)+1/bc(a+c)=1/ab(b+c)+1/ac(b+c)

=1/(abc+1)+1/abc(abc+1)。

（注：abc表示a×b×c，其他同理。）

质数合数 分解质因数

一、质数与合数的概念

自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类：

①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等

②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个，除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8等等

③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自然数只有1

注意：

1不能质数也不是合数

2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数

4是最小的合数

100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

二、质数与合数的应用

例1．3个质数的和是80，这3个质数的积最大是多少？

解析：由于3个数的和是偶数，所以这3个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以3个数中一定有2。

另两个质数的和是78，要使乘积最大，这两个质数应该相差尽可能小，显然，和是78的两个质数，41和37的差最小，即这两个数的积是最大。

2×37×41=3034

这3个质数乘积最大是3034。

例2．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称这样的两位质数为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？

解析：设“无暇质数”为ab，那么ba也是质数

因此，a、b无为奇数，容易检验，“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个

所以，它们的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429

例3．正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18对面所写的质数是a，14对面所写的质数是b，35对面所写的质数是c，那么a+b+c=？

解析：由题意可知18+a=14+b=35+c，要想等式成立，a、b、c的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。而a、b、c均为质数，所以只有c=2成立，此时b=23，a=19，所以a+b+c=44

例4．一个质数的2倍与另一个质数的3倍之和是100，这两个质数的积是多少？

解析：一个质数的2倍是一个偶数，由于和是100，也是偶数，所以另一个质数的3倍应该是偶数，即另一个质数是偶数，即是2，我们可以把剩余的那个质数求出来，是47，

两个质数之积是2×47=94

三、分解质因数的应用

质因数：如果一个数的约数（即因数）是质数，这个约数（即因数）就叫做这个数的质因数。

分解质因数：就是把一个数表示成质因数乘积的形式， 如： 12=2×2×3

例1．四个连续自然数的积是360，求这四个自然数

解析：360=2×2×2×3×3×5

=3×（2×2）×5×（2×3）

=3×4×5×6

例2．把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组里四个数的乘积相等

解析：把八个数平均分成两组，每组四个数，要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全相同。因此，我们可以先把这八个数分解质因数，然后根据这些质因数进行分组。

9=3×3 15=3×5 28=2×2×7 30=2×3×5

34=2×17 55=5×11 77=7×11 85=5×17

从上面18个质因数中可以看出，每组四个数的乘积中，都必须含有两个2，两个3，两个5，一个7，一个11和一个17。因此，这两组数分别是（9，28，55，85）和（15，30，34，77）

例3．小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910，你能算出小明的名次、年龄和分数吗？

解析：2910=名次×年龄×分数，可以看出，名次、年龄和分数分别是2910的因数，将2910分解质因数=2×3×5×97

=2×（3×5)×97

=2×15×97

所以，他得第2名，年龄是15岁，得分是97分

例4．王老师带领一班学生去种树，学生恰好平均分成3组，已知师生每人种的树一样多，共种了572棵，那么，这班学生有多少人，每人种多少棵树？

解析：572=师生人数×每人种的棵数

=（学生人数+1）×每人种的棵数

=2×2×11×13

=44×（1+12）或 =11×（1+51）

很明显，1+51为师生总人数更符题意。

所以，学生为51人，每人种11棵树

例5．某商店卖每支5角的铅笔，很少有人买。于是，该店进行降价销售，结果全部卖光，共卖得31.93元.问:这种铅笔共多少支?每支降价多少元?