概率论第五章

第五章 概率与概率分布

学习要点

第一节 概率的基本概念

第二节 随机变量及其概率分布

第三节 相对差异量表

第四节 SPSS实验——标准分数

本章小结

学习要点

1．熟练掌握百分等级与标准分数的意义及分析方法

2．应用百分等级与标准分数解释实际问题

3．了解分数的意义及其他的相对指标在实际工作中的应用

第一节 概率的基本概念

在语言实验研究中，我们通常选取研究对象的一部分（即样本）加以研究， 在此基础上， 通过推断统计对所有的研究对象 （即总体） 的情况作出推断。在进行这种推断时，我们不仅要指出总休可能是什么情况，而且还要指出我们进行这种推断的把握程度有多大，或者总体出现这种情况的可能性有多大， 这个 “可能性” 就是概率。 因此， 要学好推断统计， 就要对概率这一概念有所了解。

后验概率（或统计概率）是指通过实际观测，根据在总观测次数中某事件所出现的次数来计算该事件出现的概率，这种概率其实是一个相对频率，是实际概率的估计值。

一般用A代表随机事件 （例如 “全体学生中的男生” ） ，用P代表频率 （概率估计值） ，或用n表示观测的次数，用m表示事件出现的次数

原始分数，又称观测分数，它是观测所得的、未经任何加工的分数。在生活中人们时常用这种分数来评价他人，却不知由于原始分数本身的固有的缺陷造成使用和评价上的失误。原始分析的缺陷主要表现在三个方面。

一、原始分数无明确的意义

在考试或测验中，人们习惯用“分”作为分数的单位，然而“1分”究竟表示什么？其价值是多少？这在传统考试中并无科学的界定，就是说在传统的考试中对“分”的概念并无严格的定义。

二、原始分数的单位不等值

由于原始分数缺乏明确的定义，造成其单位的不等值。众所周知，相同的单位在人们的心目中都有相等的价值。譬如1公斤，在每个人心目中的认识都是一样的。不过，在传统的考试中却并非如此，譬如语文考试中的“1分”与数学考试中的“1分”就不见得等值。同是语文测验，不同的阅卷者因评分的宽严不一致，嗜好不同，看问题的角度不同等等，所给出的“1分”也不尽相同。因此，某考生语文得80分，数学也得80分，我们并不能确定该生的语文学习水平和数学学习水平相同。有人在某次全国统一高考的语文试卷中随机抽取了一名考生的作文，连同教育部规定的评分标准，分别请中学语文教师评阅，在67位评阅者中，给分最高的是25分，给分最低的是6分。可见，在这些人的以上中，“分”的价值是不同的。所以说，原始分数的“1分”实际上是不等值的。

1 概率论与数理统计教学教案

第五章大数定律及中心极限定理

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第五章 第一节 大数定律 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 切比雪夫不等式和依概率收敛的定义，三个大数定律的讲解 教学难点 用切比雪夫不等式求解概率上界；理解依概率收敛的定义

参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题

大纲要求 理解切比雪夫不等式的意义

掌握用切比雪夫不等式求解概率PXEX的上界

理解依概率收敛的定义

掌握切比雪夫大数定律

掌握伯努利大数定律

掌握辛钦大数定律

理解大数定律在实际中的应用

教 学 基 本 内 容

一、基本概念：

1、切比雪夫不等式

设随机变量X的数学期望EX及方差DX存在，则对于任意的0，有

2DXPXEX.

2、随机变量序列极限的定义方式

设12,,XX是一个随机变量序列。如果存在一个常数c，使得对任意一个0，总有lim(||)1nnPXc。那么，称随机变量序列12,,XX依概率收敛于c，记作PnXc。0,(||)0,nPXcn即对任意。 2

二、定理与性质

1、如果PnXc，PnYb，且函数(,)gxy在(,)ab处连续，那么

(,)(,)PnngXYgab。

2、切比雪夫大数定律

设随机变量序列12,,,,nXXX相互独立（或两两不相关），若存在常数c，使得2=iiDXc，1,2,,,in.则对任意0，有

1111lim1.nniiniiPXEXnn

也可以表示为1111nnPiiiiXXEXnn。

3、独立同分布大数定律

《概率论》计算与证明题 152

第五章 有 限 定 理

1、设()(0)fxx是单调非降函数，且()0fx，对随机变量，若(||)Ef，则对任意xo，1{||}(||)()PxEffx。

2、为非负随机变量，若(0)aEea，则对任意xo，{}axaPxeEe。

3、若()0hx，为随机变量，且()Eh，则关于任何0c，

1{()}()PhccEh。

4、{}k各以12概率取值sk和sk，当s为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n的算术平均值？

5、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：

（1）1{2}2kkPX；

（2）(21)2{2}2,{0}12kkkkkPXPX；

（3）11221{2},{0}12kkkPXkPXk。

6、若k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，k和1k有相关，而1,(||2)kkl是独立的，证明这时对{}k大数定律成立。

7、已知随机变量序列12,,的方差有界，nDc，并且当||ij时，相关系数0ijr，证明对{}k成立大数定律。

8、对随机变量序列{}i，若记11()nnn，11()nnaEEn，则{}i服从大数定律的充要条件是22()lim01()nnnnnaEa。

9、用斯特灵公式证明：当,,nmnm，而0mn时，

22211~2nmnnenmn。

10、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

《概率论》计算与证明题 153

第五章 概率与概率分布

学习要点

第一节 概率的基本概念

第二节 随机变量及其概率分布

第三节 相对差异量表

第四节 SPSS实验——标准分数

本章小结

学习要点

1．熟练掌握百分等级与标准分数的意义及分析方法

2．应用百分等级与标准分数解释实际问题

3．了解分数的意义及其他的相对指标在实际工作中的应用

第一节 概率的基本概念

在语言实验研究中，我们通常选取研究对象的一部分（即样本）加以研究， 在此基础上， 通过推断统计对所有的研究对象 （即总体） 的情况作出推断。在进行这种推断时，我们不仅要指出总休可能是什么情况，而且还要指出我们进行这种推断的把握程度有多大，或者总体出现这种情况的可能性有多大， 这个 “可能性” 就是概率。 因此， 要学好推断统计， 就要对概率这一概念有所了解。

后验概率（或统计概率）是指通过实际观测，根据在总观测次数中某事件所出现的次数来计算该事件出现的概率，这种概率其实是一个相对频率，是实际概率的估计值。

一般用A代表随机事件 （例如 “全体学生中的男生” ） ，用P代表频率 （概率估计值） ，或用n表示观测的次数，用m表示事件出现的次

数

原始分数，又称观测分数，它是观测所得的、未经任何加工的分数。在生活中人们时常用这种分数来评价他人，却不知由于原始分数本身的固有的缺陷造成使用和评价上的失误。原始分析的缺陷主要表现在三个方面。

一、原始分数无明确的意义

在考试或测验中，人们习惯用“分”作为分数的单位，然而“1分”究竟表示什么？其价值是多少？这在传统考试中并无科学的界定，就是说在传统的考试中对“分”的概念并无严格的定义。

二、原始分数的单位不等值

由于原始分数缺乏明确的定义，造成其单位的不等值。众所周知，相同的单位在人们的心目中都有相等的价值。譬如1公斤，在每个人心目中的认识都是一样的。不过，在传统的考试中却并非如此，譬如语文考试中的“1分”与数学考试中的“1分”就不见得等值。同是语文测验，不同的阅卷者因评分的宽严不一致，嗜好不同，看问题的角度不同等等，所给出的“1分”也不尽相同。因此，某考生语文得80分，数学也得80分，我们并不能确定该生的语文学习水平和数学学习水平相同。有人在某次全国统一高考的语文试卷中随机抽取了一名考生的作文，连同教育部规定的评分标准，分别请中学语文教师评阅，在67位评阅者中，给分最高的是25分，给分最低的是6分。可见，在这些人的以上中，“分”的价值是不同的。所以说，原始分数的“1分”实际上是不等值的。