概率论与数理统计第六章
一、估计及其性质
“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。用英文的话，可以表示成不同的单词：
estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。例如，已知总体服从正态分布 [公式] ，但总体均值 [公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值， [公式] 。
estimator：“估计量”（名词） [公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。一般使用 [公式]
表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。
estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数 [公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。
随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。如何比较它们的优劣呢？
（1）均方误差 MSE Mean Square Error
评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。也就是所谓的“均方误差”函数：
[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：
[公式]
注意： [公式] 和 [公式] 均为数值， [公式] 表示参数的真实值，
[公式] 表示估计量的数学期望。
由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances） ，即 [公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即 [公式] 。
从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：
备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”
“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实
值的距离。
左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；
右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；
1 5. Random vectors and Joint Probability Distributions
随机向量与联合概率分布
5.1 Concept of Joint Probability Distributions
(1) Discrete Variables Case 离散型
Often, trials are conducted where two random variables are observed
simultaneously in order to determine not only their individual behavior
but also the degree of relationship between them.
( X, Y)
For two discrete random variables X and Y, we write the probability
that X will take the value x and Y will take the value y as P(X=x, Y=y).
Consequently, P(X=x, Y=y) is the probability of the intersection of the
events X=x and Y=y.
(X=x, Y=y) ------ (X=x)∩(Y=y)
The distribution of probability is specified by listing the probabilities
associated with all possible pairs of values x and y, either by formula or in
a table. We refer to the function p(x, y)= P(X=x, Y=y) and the
1 概率论与数理统计教学教案
第五章大数定律及中心极限定理
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第五章 第一节 大数定律 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 切比雪夫不等式和依概率收敛的定义，三个大数定律的讲解 教学难点 用切比雪夫不等式求解概率上界；理解依概率收敛的定义
参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题
大纲要求 理解切比雪夫不等式的意义
掌握用切比雪夫不等式求解概率PXEX的上界
理解依概率收敛的定义
掌握切比雪夫大数定律
掌握伯努利大数定律
掌握辛钦大数定律
理解大数定律在实际中的应用
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望EX及方差DX存在，则对于任意的0，有
2DXPXEX.
2、随机变量序列极限的定义方式
设12,,XX是一个随机变量序列。如果存在一个常数c，使得对任意一个0，总有lim(||)1nnPXc。那么，称随机变量序列12,,XX依概率收敛于c，记作PnXc。0,(||)0,nPXcn即对任意。 2
二、定理与性质
1、如果PnXc，PnYb，且函数(,)gxy在(,)ab处连续，那么
(,)(,)PnngXYgab。
2、切比雪夫大数定律
设随机变量序列12,,,,nXXX相互独立（或两两不相关），若存在常数c，使得2=iiDXc，1,2,,,in.则对任意0，有
1111lim1.nniiniiPXEXnn
也可以表示为1111nnPiiiiXXEXnn。
3、独立同分布大数定律
概率论与数理统计（经管类）
您的姓名： [填空题] *
_________________________________
1描述随机变量取值偏离数学期望程度的数字特征是（） [单选题] *
A.方差(正确答案)
B.平方差
C.期望
D.偏差
2设C为常数，则C的方差D （C）=( ) [单选题]
*
A.1
B.0(正确答案)
C.2
D.5
3设随机变量X服从【2,5】上的均匀分布，则E(X)=（）。 [单选题]
*
A.1
B.2.5
C.3.5(正确答案)
D.5
4设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(2X)=_________。（） [单选题] *
A.1
B.4(正确答案)
C.2 D.5
5设随机变量X的方差D(X)=1，则-X的方差D(-X)=（）。 [单选题] *
A.1(正确答案)
B.0
C.2
D.5
6已知随机变量X～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为(） [单选题]
*
A.1
B.2
C.3
D.4(正确答案)
7设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，E(X)=5，则λ=（） [单选题]
*
A.1
B.0
C.2
D.5(正确答案)
8设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为（）。 [单选题] *
A.1/6
B.1/4
C.1/3(正确答案)
D.1/2
9同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为（）。 [单选题] * A.1/6
B.1/4
C.1/3
D.1/2(正确答案)
10设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（） [单选题] *
A.P(A)=1-P(B)
B.P(A-B)=P(B)
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P(A-B)=P(A)(正确答案)
