概率论第六章

概率论与数理统计第六章

一、估计及其性质

“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。用英文的话，可以表示成不同的单词：

estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。例如，已知总体服从正态分布 [公式] ，但总体均值 [公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值， [公式] 。

estimator：“估计量”（名词） [公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。一般使用 [公式]

表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。

estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数 [公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。

随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。如何比较它们的优劣呢？

（1）均方误差 MSE Mean Square Error

评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。也就是所谓的“均方误差”函数：

[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：

[公式]

注意： [公式] 和 [公式] 均为数值， [公式] 表示参数的真实值，

[公式] 表示估计量的数学期望。

由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances） ，即 [公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即 [公式] 。

从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：

备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”

“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实

值的距离。

左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；

右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；

1 第八章 认识概率

复习目标：

1、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述随机现象的数学模型；

2、知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率。

学习重点：了解概率的意义，体会概率是描述随机现象的数学模型。

学习难点：可以用频率来估计概率。

学习过程：

【课前准备】知识点回顾：

1、确定事件和随机事件：

在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是__________事件。

在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是____________事件。

_________事件和_____________事件都是确定事件。

在特定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是_________事件。

2、概率：

随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的_________，称为这个事件的概率。若用A表示一个事件，则我们就用AP表示事件A发生的概率。

通常规定，必然事件发生的概率是______，记作___AP；不可能事件发生的概率为___，记作___AP；随机事件发生的概率是___和____之间的一个数，即____＜AP＜____。

任一随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性。它反映这个随机事件发生的可能性大小。

一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率nm会稳定地在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率AP。事实上，事件A发生的概率AP的精确值，即这个常数还是未知的，但是在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值。

在充分多次试验中，一些事件的频率总在一个定值附近摆动，试验次数越多，摆动幅度越小，这个性质称为频率的稳定性。

通过试验用频率估计概率的大小，必须要求试验是在相同条件下进行。

第六章 样本及抽样分布

1.[一] 在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。

解：

8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2XPXPNX

2.[二] 在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.

（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}.

（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)>10}.

解：（1）25541225415412}112{|XPXPXP

=2628.0)]25(1[2

（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15}

=.2923.0)]21215([1}15{1551iiXP

（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10}

=.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551iiXP

4.[四] 设X1，X2…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012iiXP 1 解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表iiiiiiXPXPχX

7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X，S2分别为样本均值和样本方差，求E (X), D (X), E (S 2 ).

概率论与数理统计之间的关系：数理统计是数学的一个分支，研究如何有效地收集，整理和分析随机数据，从而推测和预测所研究的问题，然后采取某些决策和行动来提供基础和建议。统计方法的数学理论需要使用许多现代数学知识，例如函数论，拓扑学，矩阵代数，组合数学等，但是关系最密切的是概率论。因此，可以说概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的一种应用。但是，它们是数学的两个平行分支，并且没有从属关系。以上提到的知识属于概率论的范畴，其中随机变量及其概率分布全面地描述了随机现象的统计规律。在概率论的许多问题中，通常假定概率分布是已知的，并且所有计算推理都基于该已知分布。例如，给定一个随机变量以查找其数学期望和方差，此处的参数假定为已知，在我们事先不知道的实际问题中，我们需要确定自己。让我们再举一个例子：一家公司要购买一批产品，而每种产品都是正品或有缺陷的。如果这批产品的次品率是p（通常未知），则从该批产品中随机选择一件，次品的数量用X表示。不难看出x服从0 -1分布。当分布中的参数P未知时。 P的大小决定了产品批次的质量，这直接影响购买行为的经济利益。因此，对P提出了一些问题，例如“ P的大小是多少？”。从这个例子中，我们可以看到，通常假定概率论

中研究的随机变量的分布是已知的。然而，在实际问题中，尽管我们研究的随机现象可以用随机变量x来描述，但是随机变量x的概率分布通常是未知的，这要求我们用数理统计的方法解决此类实际问题。 1，整体与个体整体：研究对象的整体。像一批灯泡。个体：构成整体的每个元素。像灯泡。注意：对于大多数实际问题，总体上来说，个体是真实的人或事物。例如，如果我们想研究一所大学的学生身高，那么大学中的所有学生就构成了整个问题，每个学生都是一个人。实际上，每个学生都有许多特征：性别，年龄，身高，体重等。在此问题中，我们仅关注学校中学生的身高，而未考虑其他特征。这样，每个学生（个人）的数字指标值-身高是一个个体，所有身高都被视为一个整体。第6.2节人口和样本。这样，如果我们撇开实际背景，人口就是一堆数字。有成千上万的数字，其中一些机会更多，而一些机会更少。因此，用概率分布来描述和总结它们是适当的。从这个意义上说，总体是分布，并且其定量指标是服从该分布的随机变量。后来，据说“从人口中抽样”和“从某种分布中抽样”是相同的意思。示例1：调查工厂产品的质量并将其分为合格产品和不合格产品。如果0被认为是合格产品，而1被认为是不合格产品，则总和= {工厂生产的所有合格产品和不合格