第二章 数学基础
2.1 引言
机器人操作手的研究涉及物体之间以及物体与操作手之间的关系。在这一章中，我们将研究描述这些关系所需的表示方法。在同样必须描述物体之间关系的计算机制图学领域中，已经解决了类似的表示方法问题。在该领域以及计算机视觉方面使用了齐次变换。这些变换以前Denavit用来描述连杆机构。而现在我们用这些变换来描述操作手。
我们将首先建立向量和平面的符号，再在这些符号基础上引入变换。这些变换主要由移动和转动所组成。接着将表明，这些变换也可以作为表示包括操作手在内的物体的坐标架。然后将引入逆变换。后一节叙述绕任一向量旋转的一般旋转变换。再介绍一种算法，以用来找出用任何已知变换表示的等效旋转轴和等效旋转角。伸张和缩放变换的一小节，连同透视变换一节也包含在本章中。这一章用一节关于变换方程的内容来作为结尾。
2.2 符号
在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。例如：
向量 v, xl, x
平面 ，坐标架 I, A, CONV
我们将把点向量、平面和坐标架作为具有关联数值的变量使用。例如，一个点向量就具有三个笛卡尔坐标分量。
如果希望相对于坐标架E来描述空间一个称为p的点我们将用一个称为ｖ的向量，并将这一向量写成
VE
前置的上标表示所定义的坐标架。
我们也可以利用向量w相对于例如H这样的不同坐标架，来描述相同的点p为
WH
v和w是两个很可能具有不同分量的向量，虽然两个向量描述相同的点p，但vw。也可能存在这种情况，用一个向量a来描述在任一坐标架上面3英寸地方的一个点
1aF 2aF
在这一情况中，向量是完全相同的，但是描述了不同的点，通常文中定义的坐标架是明显的，这时上标就不用。在许多情况中，向量的名称将与被描述的物体的名称相同，例如，销的末端可以用相对于坐标架BASE的向量tip来描述
第三章 机器人的机型与结构
3.1 串联机器人机械手的形态与自由度
机械手的动作形态是由三种不同的单位动作——旋转、回转、伸缩组合而成的。
如图3-1所示，旋转或回转是指运动机构产生相对转动，两者的不同仅在于转动部件的轴线与转动轴线是否同轴，因而常常把它们笼统地称为转动。伸缩是指运动机构产生直线运动，这在人臂的动作中是不存在的，但机械手引入了伸缩动作，运动范围就可以得到扩大。
根据单位动作组合方式的不同，机械手的动作形态一般归纳为以下四种类型：（1）直角坐标型（2）圆柱坐标型（3）极坐标型（4）多关节型。
（1）直角坐标机器人。
如图3-2所示，直角坐标型机器人可以在三个相互正交的方向上作直线伸缩运动，机器人的手爪位于一个笛卡尔坐标系内。有的机器人还利用旋转关节控制手爪的姿态。这类机器人手各个方向的运动是独立的，计算比较方便，末端位置和精度也是一定的，但由于占地面积大，往往限于特定的应用场合。
（2）圆柱坐标机器人。
圆柱坐标机器人主要由垂直柱子、水平手臂（或机械手）和底座构成。水平机械手装在垂直柱子上，能自由伸缩，并可沿垂直柱子上下运动。垂直柱子安装在底座上，并与水平机械手一起（作为一个部件）能在底座上移动。这样，这种机器人的工作包迹（区间）就形成一段圆柱面，如图3-3所示。因此，把这种机器人叫做圆柱坐标机器人。
（3）极坐标机器人。
这种机器人如图3-4所示。它像坦克的炮塔一样。机械手能够作里外伸缩运动、在垂直平面上摆动以及绕底座在水平面上转动。因此，这种机器人的工作包迹形成球面的一部分，并被称为球面坐标机器人。
（4）多关节型机器人。
这种机器人主要由底座（或躯干）、上臂和前臂构成。上臂和前臂可在通过底座的垂直(c)伸缩 (a)旋转
(b)回转
图3-1 机械手的单位动作
图3-3 圆柱坐标机器人
图3-4 极坐标机器人 图3-2 直角坐标机器人 平面上运动，如图3-5所示。在前臂和上臂间，机械手有个肘关节；而在上臂和底座之间，有个肩关节。在水平平面上的旋转运动，既可由肩关节进行，也可以绕底座旋转来实现。这种机器人的工作包迹形成球面的大部分，称为多关节型机器人。
第一章《机械运动》复习——导学案
课题 第一章《机械运动》复习 课型 课时 1课时
学习目标 1．知道机械运动与参照物的关系，理解运动和静止的相对性。
2．会使用适当工具测量长度和时间，并能求平均速度。
3．能用速度描述物体的运动，能用速度公式进行简单的计算。
重难点 重点：构建知识体系，能用所学知识解决实际问题。
难点：关于长度测量的估读。
教 学 过 程
课
前
延
伸 知识梳理，基础巩固（学生课前归纳）：
单位：
长度测量
工具：
时间测量 单位：
工具：
定义：
机 机械运动 参照物： 定义：
械 选择：
运 运动和静止的相对性：
动 运动快慢的描述：
公式：
工业机器人基础讲义 第2章 工业机器人运动学
黄海东 第 1 页 共 31 页 注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容
第2章
工业机器人运动学
2.1 引言
通过上一章的学习我们知道，从机构学的角度看，工业机器人可以认为是用一系列关节连接起来的连杆所组成的开链机构。工业机器人运动学研究的是各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。本章仅研究位移关系，重点是研究手部相对于机座的位姿与各连杆之间的相互关系。“位姿”是“位置和姿态”的简称。
工业机器人手部相对于机座的位姿与工业机器人各连杆之间的相互关系直接相关。为了便于数学上的分析，一般选定一个与机座固联的坐标系，称为固定坐标系，并为每一个连杆（包括手部）选定一个与之固联的坐标系，称为连杆坐标系。一般把机座也视为一个连杆，即零号连杆。这样，连杆之间的相互关系可以用连杆坐标系之间的相互关系来描述。工业机器人手部相对机座的位姿就是固联在手部的坐标系相对固定坐标系的位姿。
工业机器人运动学主要包括正向运动学和反向运动学两类问题。正向运动学是在已知各个关节变量的前提下，解决如何建立工业机器人运动学方程，以及如何求解手部相对固定坐标系位姿的问题。反向运动学则是在已知手部要到达目标位姿的前提下，解决如何求出关节变量的问题。反向运动学也称为求运动学逆解。
在工业机器人控制中，先根据工作任务的要求确定手部要到达的目标位姿，然后根据反向运动学求出关节变量，控制器以求出的关节变量为目标值，对各关节的驱动元件发出控制命令，驱动关节运动，使手部到达并呈现目标位姿。可见，工业机器人反向运动学是工业机器人控制的基础。在后面的介绍中我们会发现，正向运动学又是反向运动学的基础。
工业机器人相邻连杆之间的相对运动不是旋转运动，就是平移运动，这种运动体现在连接两个连杆的关节上。物理上的旋转运动或平移运动在数学上可以用矩阵代数来表达，这种表达称之为坐标变换。与旋转运动对应的是旋转变换，与平移运动对应的是平移变换。坐标系之间的运动关系可以用矩阵之间的乘法运算来表达。用坐标变换来描述坐标系（刚体）之间的运动关系是工业机器人运动学分析的基础。
