向量组线性相关性

判断向量组线性相关的方法

WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

判断向量组线性相关的方法

1． 0线性相关

2． 与的对应分量成比例与线性相关

3．含有零向量的向量组是线性相关的

4．向量组m21,)2(m线性相关该组中至少有一个向量可由其余的1m向量线性表出

5．部分相关则整体相关

6．设向量组r21,可由向量组s21,线性表出

（1）如果r>s,则r21,线性相关；

（2）如果r21,线性无关，则sr

7．n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)

8．该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关

9．n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的

10．线性相关向量组中每个向量截短之后还相关

判断向量组线性无关的方法

1． 0线性无关

2． 与的对应分量不成比例 与线性无关

3．向量组m21,)2(m线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的1m向量线性表出

4．整体无关则部分无关

5．线性无关向量组中每个向量加长之后还无关

6．该向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组线性无关

7．n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的

安阳师范学院本科学生毕业论文

向量组线性相关性的判定方法

作 者

院（系） 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学

年 级 2011级

学 号

指导教师 郭亚梅

论文成绩

日 期 2015年 月 日

学生诚信承诺书

本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.

作者签名： 日期：

导师签名： 日期：

院长签名： 日期：

论文使用授权说明

本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.

作者签名： 导师签名： 日期：

第 3 页 向量组线性相关性的判定方法

（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002）

摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.

第四章向量组的线性相关性1

第四章 向量组的线性相关性

§4.1 向量及其运算

1．向量：个数构成的有序数组, 记作 n

naaa,,,

21L

),,,(

21naaaL=α

, 称为维行向量． n

–– 称为向量

iaα

的第i个分量

R∈

ia–– 称α

为实向量（下面主要讨论实向量）

零向量 )0,,0,0(L=θ

；负向量 ),,,()(

21naaa−−−=−Lα

2．线性运算：),,,(

21naaaL=α

, ),,,(

21nbbbL=β

相等：若, 称),,2,1(niba

iiL==βα

=．

加法：=+βα

),,,(

2211nnbababa+++L

数乘：),,,(

21nkakakakL=α

减法：=−βα

=−+)(βα

),,,(

2211nnbababa−−−L

3．算律：),,,(

21naaaL=α

,),,,(

21nbbbL=β

,),,,(

21ncccL=γ

(1) αββα

+=+ (5) αα

=1

(2) )()(γβαγβα

++=++ (6) αα

)()(lklk=

(3) αθα

=+ (7) βαβα

kkk+=+)(

(4) θαα

=−+)( (8) ααα

lklk+=+)(

4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n

naaa,,,

21L

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

=

naaa

M21

α

第四章向量组的线性相关性2

或者, 称为维列向量． T

21),,,(

naaaL=α

n

零向量： 负向量：

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

=

000

Mθ

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

−−−

=−

naaa

M21

)(α

5．内积：设实向量),,,(

21naaaL=α

, ),,,(

21nbbbL=β

, 称

实数

nnbababa+++=L

2211],[βα

为α

与β

的内积．

算律：),,,(

21naaaL=α

,),,,(

21nbbbL=β

,),,,(

21ncccL=γ

(1) ],[],[αββα

=

(2) ],[],[βαβα

向量组的线性相关性

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

向量组的相关性质

（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；

（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。

（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。