向量组的线性关系

1 第十讲 向量组的线性关系

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关．

考试要求

（1）理解n维向量的概念；

（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念；

（3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；

（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法；

注 适合于第十讲和第十一讲．

二、知识要点

引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Axo（Axb）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？

线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）；

矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数；

线性相关：方程组Axo有无穷解时，能否用有限个解表示出来；

线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组．

复习 （1）非齐次方程组Axb有解的条件：()(,)RARAbm

其中A=（12,,,m），要特别注意m是未知量个数，也是向量组12,,,m中向量的个数．

（2）齐次方程组Axo唯一零解无穷解（有非零解），o是向量．

1．线性组合（线性表示）

定义1 线性组合（线性表示）

给定向量12,,,,m，如果存在数12,,,mkkk，使关系式成立

1122mmkkk 2 则称是向量组12,,,m的线性组合，或称可以由向量组12,,,m线性表示：

注意1

（1）线性组合（或线性表示）对12,,,mkkk没有要求，可以全为零；

（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示；

（3）判断是否可由向量组12,,,m线性表示转化为求Ax是否有解，一个具体表示就是Ax有一个特解．

（4）表示式可以不惟一，但若12,,,m线性无关时，表示式惟一；

（5）任一n维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,neee线性表示；

（6）向量组12,,,m中每个向量都可由自身向量组线性表示：

11100100jjjjm

定义2 向量组的等价

向量组（I）：12,,,s中每个向量都可由向量组（II）：12,,,t线性表示，而向量组（II）中每个向量都可由向量组（I）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I）（II）．

向量组的等价具有

① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I）（I）；

② 对称性：若（I）（II），则（II）（I）；

③ 传递性：若（I）（II），（II）（III），则（I）（III）．

注意 2

记12,,,sA，12,,tB，则

（1）向量组（II）可以由向量组（I）线性表示的充分必要条件是()(,)RARAB

这是单个向量可由向量组12,,,s线性表示的推广．

（2）向量组（I）与向量组（II）等价的充分必要条件是()()(,)RARBRAB

（3）若向量组（I）：12r，，，(2)r可由向量组（II）：s，，，21线性表示，则当rs时，向量组（I）必线性相关；

（4）若向量组（I）：12r，，，(2)r可由向量组（II）：s，，，21线性表 3 示，且向量组（I）线性无关，则必有rs；

这是（3）的逆否命题．

向量组（I）：12r，，，(2)r可由向量组（II）：s，，，21线性表示，则必有rs；反之不成立

２．线性相关与线性无关

定义3 线性相关与线性无关

给定向量组（I）：12,,,m，如果存在不全为零的数12,,,mkkk，使

1122mmkkko

则称向量组（I）是线性相关的，否则称它线性无关．

例如：由于23=210+301，即210+301-23=o，向量组10，01，23是线性相关的．而向量组10，01与向量组100，010，001均是线性无关的．

注意3

(1）单位坐标向量组12,,,neee是线性无关的；

(2）含有零向量的向量组线性相关；

(3）单个非零向量线性无关；

(4）两个向量线性相关对应坐标成比例．

证明如下：

(1）单位坐标向量组12,,,neee是线性无关的．

证 由1k100+2k010++nk001=o，有12nkkk=o

故1k=2k==nk=0，故向量组12,,,neee是线性无关．

(2）含有零向量的向量组12,,,m，o线性相关．

证 120001moo

(3）单个非零向量线性无关． 4 证 设o，若ko，必有k0，故线性无关．

(4）两个向量线性相关对应坐标成比例．

证 设12(,,,)Tnaaa，12(,,,)Tnbbb

必要性 由于向量,线性相关，则存在不全为零的数12,kk，有

12kko

不妨设10k，则21kk，即21,1,2,iikabink，对应坐标成比例．

充分性 对应坐标成比例，,1,2,iiakbin，即k，ko，1,k不全为零，,线性相关．

3．线性相关、线性无关的性质

性质1 向量组部分相关，则整体相关；向量组整体无关，则部分无关．

性质2 记A=(12,,,m)，则

向量组12,,,mAxoAxo线性无关有唯一零解线性相关有非零解

性质3 若向量组中的向量的维数小于向量的个数，则向量组线性相关．

或：向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关．

推论：1n个n维向量一定线性相关．

性质4

向量组12,,,m线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示

应注意向量组12,,,m线性相关，则12,,,m中至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不是每一个向量都可由其余向量线性表示．

性质5 设向量组（I）：12,,,m线性无关，而向量组（II）：12,,,,m线性相关，则向量能由向量组（I）线性表示，且表示式是惟一的．

性质6 向量组12,,,m线性无关，则添维数仍线性无关线性相关，则减维数仍线性相关

学习这些性质应该采取对上述每一点都可先用简单的例题予与理解，然后再证明．下面以性质1、性质4和性质6为例具体说明． 5 例 判断向量组10，01，23，43的线性相关性？

由于23=210+301，即210+301-23=00，故10，01，23是线性相关，则由性质（1）知向量组10，01，23，43整体相关．这由210+301-23+043=00即可简单的证明．

向量组10，01，23，43是线性相关的也可由上述性质3看出，因为维数是2，向量个数是4，所以线性相关．

对性质4的理解：由于010+001+100=00，故向量组10，01，00线性相关，00=010+001，10和01都不能由其它两个向量线性表示．

对性质6的理解：向量组10，01线性无关，添维数后101，011仍线性无关；111，222线性相关，减维数后11，22仍线性相关。

4．性质的证明

性质1 证明：① 部分相关，在向量组在12,,,,sm中，不妨设12,,s线性相关，则存在一组不全为零的 数12,,,mkkk，有

1122sskkko

即 1122100sssmkkko

1,,,0,,0skk不全为零，故向量组整体相关．

② 反证法：设部分相关，在向量组12,,,,sm中，不妨设12,,,s线性相关，由①知整体相关，与假设矛盾．

性质2 证明 由Axo得： 6 1122mmxxxo

当12(,,,)Tmxxxx有惟一零解时，12,,,,sm线性无关．

当12(,,,)Tmxxxx有非零解时，12,,,,sm线性相关．

可总结为：n维向量组12,,,m0,0,AmnAmnR(A)=m,mn线性无关R(A)

简单记忆为：()RA等于向量组中向量的个数m，向量组线性无关；()RA小于向量组中向量的个数，向量组线性相关．

性质3 证明 若向量组12,,,m中的向量的维数n小于向量的个数，记

12(,,,)mA

由于()min,RAmn，12(,,,)mR=()RAm，由性质2知12,,,m组线性相关，得证．

性质4 证明 必要性：只需证明上半部分，下半部分用反证法可得．

向量组12,,,m线性相关，故存在不全为零的数12,,,mkkk，使

1122mmkkko

不妨设10k，则12211()mmkkk．

充分性 不妨设111mmm，即

111mmmo

121,,,,1m不全为零，向量组12,,,m线性相关．

性质5 证明：记A=(12,,,m)，B=12(,,,,)m，则()()RARB（（I）组是（II）组的部分），因为（I）组线性无关，由性质2知()RAm．

因为（II）组线性相关，有()1RBm，故()1mRBm，即()RBm．

()()(,)RARBRAm，Ax有惟一解，故向量能由向量组（I）惟一线性表