向量组的线性相关性

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[理学]线代教案第3章向量组的线性相关性

线性代数教案第3章向量组的线性相关性

第3章向量组的线性相关性（共6学时）

一、教学目标与基本要求

1．掌握向量组的线性相关与无关的概念及其简单性质

2．掌握向量组的相关性的判定定理

3．掌握向量组的秩和矩阵的秩的关系

4．了解正交向量组的概念，掌握施密特正交化过程

5．了解向量空间、坐标变换等的概念

二、教学内容与学时分配

1．n维向量

2．向量组的线性相关与线性无关（2学时）

3．向量组的最大线性无关组与秩（2学时）

4．正交向量组

5．向量空间（2学时）

三、教学内容的重点难点

重点：线性相关性的判断，向量组（矩阵）秩、最大无关组的求法。

难点：有关向量组的线性相关性的证明题，矩阵运算后秩的变化。

四、教学内容的深化和拓宽

矩阵运算后秩的变化（详情见讲稿），从而强化教材中概念的理解及应用。

五、思考题与习题

思考题：见讲稿

习题：3，5，（2），6，8，10，（2），12，13，16，19，（1），24

六、教学方式与手段

以课堂讲授为主，提问、互动为辅。本章内容抽象，定理、结论较多，注意强化

概念、定理内容。

1线性代数教案第3章向量组的线性相关性

讲稿内容

在上一章我们介绍的矩阵的概念及其运算，为了进一步了解矩阵及矩阵的

行、列之间关系，本章介绍向量的概念及性质。

3.1 n维向量

3.1.1 维向量的概念及运算 n

从解析几何中我们已看到，刻画数轴上的点，只须一个数却可；要刻画平

面上的点的位置，须用两个有序数来确定，也即是平面上点的坐标；要刻

画空间中某点的位置，要用三个数所组成的数组来确定，反过来，给定

的有序数组，也能确定平面、空间点的位置。 ),(yx

),,(zyx

要刻画椭球体的位置，需用6个数所组成的数组来确定，椭球体的中心需三

个数，长、中、短半轴需用三个数，我们可写成有序数组，反

过来我们给定了有序数组，并说明表示椭球的中心，

表椭球的长、中、短半轴，则椭球的位置及形状也确定了，事实上其方

向量组线性相关性判定

安阳师范学院本科学生毕业论文

向量组线性相关性的判定方法

作者

院（系）数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级 2011级

学号

指导教师郭亚梅

论文成绩

日期 2015年月日

学生诚信承诺书

本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.

作者签名：日期：

导师签名：日期：

院长签名：日期：

论文使用授权说明

本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.

作者签名：导师签名：日期：

第 3 页向量组线性相关性的判定方法

（安阳师范学院数学与统计学院河南安阳 455002）

摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.

线性代数--向量组线性相关性

第四章向量组的线性相关性1

第四章向量组的线性相关性

§4.1 向量及其运算

1．向量：个数构成的有序数组, 记作 n

naaa,,,

21L

),,,(

21naaaL=α

, 称为维行向量． n

–– 称为向量

iaα

的第i个分量

R∈

ia–– 称α

为实向量（下面主要讨论实向量）

零向量 )0,,0,0(L=θ

；负向量 ),,,()(

21naaa−−−=−Lα

2．线性运算：),,,(

21naaaL=α

, ),,,(

21nbbbL=β

相等：若, 称),,2,1(niba

iiL==βα

=．

加法：=+βα

),,,(

2211nnbababa+++L

数乘：),,,(

21nkakakakL=α

减法：=−βα

=−+)(βα

),,,(

2211nnbababa−−−L

3．算律：),,,(

21naaaL=α

,),,,(

21nbbbL=β

,),,,(

21ncccL=γ

(1) αββα

+=+ (5) αα

(2) )()(γβαγβα

++=++ (6) αα

)()(lklk=

(3) αθα

=+ (7) βαβα

kkk+=+)(

(4) θαα

=−+)( (8) ααα

lklk+=+)(

4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n

naaa,,,

21L

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

naaa

M21

第四章向量组的线性相关性2

或者, 称为维列向量． T

21),,,(

naaaL=α

零向量：负向量：

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

000

Mθ

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡

−−−

=−

naaa

M21

)(α

5．内积：设实向量),,,(

21naaaL=α

, ),,,(

21nbbbL=β

, 称

实数

nnbababa+++=L

2211],[βα

为α

与β

的内积．

算律：),,,(

21naaaL=α

,),,,(

21nbbbL=β

,),,,(

21ncccL=γ

(1) ],[],[αββα

(2) ],[],[βαβα