函数模型及其应用（共2课时）
［教学目标］
通过实际问题的解答，了解利用数学方法处理实际问题的一般步骤．
［学法指导］
1.重点是根据已知条件建立函数关系式，难点是数学建模意识的逐步建立．
2.通过利用数学模型解决实际问题的过程，培养严谨的思维，强化分析问题和解决问题的能力．
例1,某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量X（台）的函数关系式。
例2, 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
例3 ,在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x) =f(x+1) －f(x)，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台
(X∈N﹡)的收入函数为R(x)=3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。
(1),求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际函数MP(x)是否具有相同的最大值？
例4，某自来水厂的蓄电池中有水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时的速度向池中注水。若小时内向居民供水总量为，问：每天几点时蓄水池中的存水量最少？
例5, 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则, 其中Ta表示环境温度， h称为半衰期。
现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温倒35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1）？
第2课时 一次函数的实际应用
1．(2019常德)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
解：(1)设y甲＝k1x，根据题意，得5k1＝100.解得k1＝20.∴y甲＝20x.设y乙＝k2x＋100.根据题意，得20k2＋100＝300.解得k2＝10.∴y乙＝10x＋100.
(2)①y甲＜y乙，即20x＜10x＋100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②y甲＝y乙，即20x＝10x＋100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③y甲＞y乙，即20x＞10x＋100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
2．(2019郑州二模)郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年6月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求，郑州市林荫路推广率要超过85%.在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A，B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：
树种 购买数量低于50棵 购买数量不低于50棵
A 原价销售 以八折销售
B 原价销售 以九折销售
如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．
(1)A种树木与B种树木的单价各多少元？
(2)经过测算，需要购置A，B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．
解：(1)设A种树木的单价为x元，B种树木的单价为y元．依题意，得40x＋0.9×60y＝11400，0.8×50x＋0.9×50y＝10500.
1 第二章 第十节 函数模型及其应用
一、选择题
1．(2012·惠州模拟)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
x 1.99 3 4 5.1
6.12
y 1.5 4.04 7.5 12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( )
A．y＝2x－2 B．y＝(12)x
C．y＝log2x D．y＝12(x2－1)
解析：直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y＝(12)x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求．
答案：D
2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )
A．不能确定 B．①②同样省钱
C．②省钱 D．①省钱
解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)
方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)
∵210<211.6，故方法①省钱．
答案：D
3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2012年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为________万 m2.(1.0110≈1.1045)( )
A．90 B．87
C．85 D．80
解析：到2012年底该城市人口有500×(1＋1%)10，
2 则500×1＋1%10×7－500×610≈86.6(万 m2)．
答案：B
4．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(
第27课 函数模型及其应用（1）
分层训练
1．某工厂生产一种产品每件成本为a元，出厂价为b元，厂家从每件产品获纯利%p，则（ ）
()A%bap ()B%bapb
()C%bapa ()D%apb
2．某商场进了AB、两套服装，A提价20%后以960元卖出，B降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ）
A不赚不亏 B赚了80元
C亏了80元 D赚了2000元
3．某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A 10% B 20% C 25% D
35%
4．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y（元）表示为茶杯个数x（个）的函数 ，其定义域为 ．
5．某种商品的进货价为a元，零售价为每件1100元，若商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a
元．
6．建筑一个容积为36000m，深为6m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/2m，池底的造
价为2a元/2m，把总造价y（元）表示为底的一边长()xm的函数．
7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米()ba，再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是
（ ）
()A ()B
()C ()D
8．某物体一天中的温度T是时间t的函数：3()360Tttt，时间单位是小时，温度单位是C，0t时表示12:00，其后t取值为正，则上午8时的温度为 （ ）
()A8C ()B18C
()C58C ()D128C
9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了19.6米，则下落的距离S（米）与所经过的时间t（秒）间的关系为 .
