高中数学教案 第11讲 函数模型及其应用
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第11讲函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解
“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型
刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数
性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性单调□1递增单调□2递增单调递增
增长速度越来越快越来越慢相对平稳
图象
的变化随x的增大逐渐表
现为与□3y轴平行随x的增大逐渐表
现为与□4x轴平行随n值变化而各有
不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模
型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模
型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数
学结果对实际问题的合理性.
常用结论1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，
其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速
度缓慢.2.“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a]上单调递减，
在[a，＋∞)上单调递增，当x＝a时f(x)取最小值2a.
1.回源教材
(1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人
持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立
即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大
利润是()
A.40万元B.60万元
C.80万元D.120万元
解析：D当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6
＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为
4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，
此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).(2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7
克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数
据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用
指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)
代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝()A.ln2B.ln3
C.ln25D.ln35
解析：C由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶
解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝ln25.
2.易错自纠(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增
长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)
解析：B在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，
增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).(2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来
的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千
分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放
射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11
解析：C设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”
后的含量为(12)n，由(12)n<11000，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要
经过10个“半衰期”.
利用函数图象刻画实际问题的变化过程1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，
后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数
图象正确的是()
解析：A前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C
图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，
因此A正确.2.如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于
此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为()
解析：D根据题意，△OAB是边长为2的等边三角形，则A点的坐标为(1，3)，B点的坐标为(2，0)，所以直线OA的方程为y＝3x，直线AB的方程为y＝－3(x－2)，
所以当0≤t≤1时，
y＝f(t)＝12×t×3t＝3t22；
当1＜t≤2时，y＝f(t)＝12×2×3－12(2－t)×3(2－t)
＝3－32(2－t)2；
当t＞2时，y＝f(t)＝12×2×3＝3，它的图象如D选项所示.故选D.
反思感悟
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，
验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.
已知函数模型解决实际问题例1(多选)(2024·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均
可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接
触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染
者传染人数为R0N(N－V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个
感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为()A.45%B.55%C.65%D.75%
解析：ABC为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N(N－V)≤1，即
R0·(1－VN)≤1，
因为R0＝4，故1－VN≤14，可得VN≥34.
反思感悟
已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练1(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借
助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为
4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
解析：C4.9＝5＋lgV⇒lgV＝－0.1⇒V＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以
该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
构造函数模型解决实际问题
构建二次函数模型
例2某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，
其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能
获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元
C.43万元D.43.025万元
解析：C设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16
－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
构建分段函数模型
例3某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼
技术.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生
长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数.当x不超过4
尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4
20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？
并求出最大值.
解：(1)由题意得当0
当4
显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，由已知得20a＋b＝0，4a＋b＝2，
解得a＝－18，
b＝52，
所以v＝－18x＋52.故函数v＝2，0
－18x＋52，4
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，
依题意，由(1)得
f(x)＝2x，0
－18x2＋52x，4
当0
故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4
＝－18(x2－20x)＝－18(x－10)2＋252.
所以f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当0
故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5
千克/立方米.
构建对勾函数模型
例4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆
客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.
解析：根据图象求得y＝－(x－6)2＋11(x＞0)，
∴年平均利润yx＝12－(x＋25x)，
∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立，
∴要使营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.
答案：5
