曲线与方程练习题

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..... 曲线与方程

一、选择题

1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足PA→·PB→＝x22，则点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．拋物线

解析 设点P(x，y)，则PA→＝(1－x,1－y)，PB→＝(－1－x，－1－y)，

所以PA→·PB→＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.

由已知x2＋y2－2＝x22，即x24＋y22＝1，所以点P的轨迹为椭圆．

答案 B

2．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )．

A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线

解析 由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.

答案 D

3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是( )

A．线段 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

解析 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①

又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

即 a＝3x，b＝32y，②

代入①式整理可得x2＋y24＝1.

答案 C

4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．

A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1

C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1

解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，

∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆， .

..... ∴a＝52，c＝1，则b2＝a2－c2＝214，

∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1.

答案 D

5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是( )

A．x2－y2＝9(x≥0)

B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)

C．y2－x2＝9(y≥0)

D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)

解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，

即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．

答案 B

6．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )

A.x29－y216＝1 B.x216－y29＝1

C.x29－y216＝1(x>3) D.x216－y29＝1(x>4)

解析 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，

实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3)．

答案 C

7．|y|－1＝1－x－12表示的曲线是( )．

A．抛物线 B．一个圆

C．两个圆 D．两个半圆

解析 原方程等价于 |y|－1≥01－x－12≥0|y|－12＝1－x－12

⇔ |y|－1≥0x－12＋|y|－12＝1 .

..... ⇔ y≥1x－12＋y－12＝1或 y≤－1x－12＋y＋12＝1

答案 D

二、填空题

8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在 x轴上，离心率为22。过l的直线 交于,AB两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为 。

答案

9．在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－a2，0，Ca2，0(a>0)，且满足条件sin C－sin B＝12sin A，则动点A的轨迹方程是________．

解析 由正弦定理：|AB|2R－|AC|2R＝12×|BC|2R，

∴|AB|－|AC|＝12|BC|，且为双曲线右支．

答案 16x2a2－16y23a2＝1(x>0且y≠0)

10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．

解析 设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

答案 x24＋y23＝1(y≠0)

11．已知P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是______________．

解析 由OQ→＝PF1→＋PF2→，

又PF1→＋PF2→＝PM→＝2PO→＝－2OP→， .

..... 设Q(x，y)，则OP→＝－12OQ→＝－12(x，y)

＝－x2，－y2，

即P点坐标为－x2，－y2，又P在椭圆上，

则有－x22a2＋－y22b2＝1，即x24a2＋y24b2＝1.

答案 x24a2＋y24b2＝1

12. 曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2.

其中，所有正确结论的序号是________．

解析 ①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a2；③三角形的面积S△F1F2P2≤a22，很显然

S△F1F2P＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤12|PF1||PF2|＝a22.所以②③正确．

答案 ②③

三、解答题

13.如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP·QF ＝FP·FQ.求动点P的轨迹C的方程．

解析 法一：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，

由QP·QF＝FP·FQ，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.

法二：由QP·QF＝FP·FQ，

得FQ·(PQ＋PF)＝0，∴(PQ－PF)·(PQ＋PF)＝0，

∴PQ2－PF2＝0.∴|PQ|＝|PF|.

∴点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y2＝4x.

14．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→·RQ→的最小值． .

..... 解析 (1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离， ∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，

∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.

(2)由题意知，直线l2方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，

与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

又易得点R的坐标为－2k，－1，

∴RP→·RQ→＝x1＋2k，y1＋1·x2＋2k，y2＋1

＝x1＋2kx2＋2k＋(kx1＋2)(kx2＋2)

＝(1＋k2)x1x2＋2k＋2k(x1＋x2)＋4k2＋4

＝－4(1＋k2)＋4k2k＋2k＋4k2＋4

＝4k2＋1k2＋8.

∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取等号，

∴RP→·RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→·RQ→的最小值为16.

15．已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．

解析 (1)由题设知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，

则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①

直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2)．②

联立①②解得交点坐标为x＝2x1，y＝2y1x1，

即x1＝2x，y1＝2yx，③

则x≠0，|x|＜2.

而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，

∴x212－y21＝1. .

..... 将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为

x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.

(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，

联立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.

令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，

解得k1＝ h2－12，k2＝ －h2－12.

由于l1⊥l2，则k1k2＝－h2－12＝－1，故h＝3.

过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，

由h2×－h2＝－1，得h＝2.此时，

l1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2，

它们与轨迹E分别仅有一个交点－23，223与23，223.

所以，符合条件的h的值为3或2.

16．设椭圆方程为x2＋y24＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足OP→＝12(OA→＋OB→)，点N的坐标为12，12，当直线l绕点M旋转时，求：

(1)动点P的轨迹方程；

(2)|NP→|的最大值，最小值．

解析 (1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.