复数的应用平面向量

平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。

通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。

本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。

比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。

它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。

3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。

5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。

6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。

复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。

3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。

如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。

一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。

复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。

2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。

共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。

3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。

复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。

4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。

欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。

二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。

平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。

减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。

2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。

数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。

3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。

4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。

平面向量与复数的联系与应用一、引言平面向量和复数是高中数学中常见的概念，它们在几何学和代数学中有着密切的联系与应用。

本文将探讨平面向量和复数之间的联系，以及它们在数学和物理中的应用。

二、平面向量与复数的定义和表示方法1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。

平面向量也可以用坐标表示，如A B⃗= (x,y)，其中(x,y)为向量的坐标。

2. 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a 和b为实数，i为虚数单位。

复数可以用平面上的点表示，其中实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。

三、平面向量与复数的联系平面向量和复数之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面。

1. 向量的加法与复数的加法向量的加法满足平行四边形法则，即A B⃗ +B C⃗ =A C⃗。

复数的加法满足实部相加，虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

2. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积满足A B⃗·B C⃗=|A B⃗||B C⃗|cosθ，其中θ为两向量夹角。

复数的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 平面向量与复数的相互转换对于平面上的向量A B⃗，可以与点B对应的复数表示形式相互转换。

即向量A B⃗对应的复数表示为z=x+yi，其中x和y分别为向量的分量。

四、平面向量与复数的应用平面向量和复数在数学和物理中有广泛的应用。

1. 平面向量的应用平面向量常用于解决几何学中的问题，如直线的判定、线段的长度和夹角的计算等。

此外，在力学和电磁学中，平面向量也被广泛应用于力的合成、力矩的计算等物理问题的求解。

2. 复数的应用复数在代数学的求解中有重要的应用。

它可以用于解决各类代数方程，如一元二次方程、三角方程等。

重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。

随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。

复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。

复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

第06讲-平面向量与复数一、高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念(1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数.(2)z 的共轭复数z －＝a －b i.(3)z 的模|z |＝a 2＋b 2.2.复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bdc 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0).3.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb .两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |.(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.活用结论规律，快速抢分1.复数的几个常用结论(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算.3.z ·z －＝|z |2＝|z －|2.4.三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB→，AC →共线； 向量P A →，PB →，PC →中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得P A →＝αPB→＋βPC →，且α＋β＝1. 5.向量的几个常用结论(1)在△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心.(2)在△ABC 中，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心.(3)在△ABC 中，向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心.(4)在△ABC 中，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心.二、真题再现1．设3i12i z -=+，则z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．设z=i(2+i)，则z =A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3．设z=-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．4．若(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．5．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且ba b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 6．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rAB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】【分析】 本题先计算a b -r r ，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r ，所以||a b -==r r故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．7．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t)，BC u u u v =1，则AB BC ⋅u u u v u u u v =A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u r g g ．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．8．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-v v ，则cos ,a b =v v ___________.【答案】10-【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】2826cos ,10a b a b a b ⨯-+⨯<>===-r rr r g r r g ．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．9．已知向量a v =（－4，3），b v =（6，m ），且a b ⊥v v ，则m=__________.【答案】8.【分析】利用a b ⊥r r 转化得到0a b •=r r 加以计算，得到m .【详解】向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r （），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 10．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r ___________. 【答案】23. 【解析】【分析】根据2||c v 结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果.【详解】因为2c a =v v ，0a b ⋅=v v ，所以22a c a b vv v v ⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+=v v v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．三、名校精选1．复数421i z i -=+的虚部为( ) A ．1- B ．3- C ．1 D ．2【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】()()()()42142426131112i i i iz i i i i -----====-++-,则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi.2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2z z +=（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】【分析】由1z i =+可求出1z i =-,22(1)2z i i =+=代入原式计算即可.【详解】Q 复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+.故选A ．【点睛】本题主要考查复数的基本运算,难度容易.3．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i ==+-所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限.故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.4．已知i 是虚数单位，若32i az i +=+是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．12 C ．12- D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z ，再令实部为0，即得解.【详解】 由于3()(2)(21)(2)22(2)(2)5i a a i a i i a aiz i i i i +-----+====+++- 若为纯虚数，则12102a a -=∴=故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = )A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+， ||2z ∴=，故选B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．6．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数m 的值是（ ）A ．14 B ．1 C ．12 D ．32 【答案】C【解析】【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r.又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u uu r，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．7．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，()23a b +=r r ，则||a b -=r r （ ）A 3B 7C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】由()222()2()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，求解a b ⋅r r ，再根据22||()2()a b a a b b -=-⋅+r r r r r r .【详解】由于()222()2()3a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r1a b ⋅∴-=r r||a b ∴-===r r 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积在模长求解中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．35- D ．45- 【答案】B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r ，得a b ==r r 设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．9．已知向量()()1,,,2,a k b k ==r r 若a r 与b r 方向相同，则k 等于( )A ．1B ．C ． D【答案】D【解析】【分析】依题a r //b r ，且a r 与b r 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a r 与b r 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>r r， 因为()()1,,,2a k b k ==r r ，所以(,2)b k λλλ=r ，所以12k kλλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >， 所以2k =. 故答案选：D 【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.10．如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =u u u v u u u v ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u v u u u v u u u v ，若ABC ∆的面积为23，则AP u u u v 的最小值为( )A 2B ．43 C ．3 D 3【答案】D【解析】【分析】 运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可．【详解】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ()21132k AB k AC mAC AB =+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为231332AC AB u u u v u u u v ⋅=得到8AC AB ⋅=u u u v u u u v ，所以AP ==≥u u u v D ． 【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难．11．已知向量(1,2)m =-v ，(1,)n λ=v ．若m n ⊥u v v ，则2m n +v v 与m u v 的夹角为_________． 【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r ，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】 因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ， 因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m u r 的夹角为θ，因此有(2)cos 22m m n m m n θ+⋅===+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=. 【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12．已知1e r ，2e r 是夹角为120°的两个单位向量，则122a e e =+r r r 和212b e e =-r r r 的夹角的余弦值为_________．【答案】7【解析】【分析】 首先利用数量积公式求得3a b ⋅=r r,a =r b =r 利用夹角公式代入即可.【详解】设a r 与b r的夹角为θ，因为()()221221122243a b e e e e e e ⋅=+⋅-=-+=u u r u u r r r u r u u r u u r u r ，a ===rb ==r ，所以cos a b a b θ⋅===r r ．故答案为:. 【点睛】 本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易.13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v____________. 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算2a b +=r r .【详解】 由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ， 因此，2a b +====r r ，【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．已知向量()4,2a =v ，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】【分析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -rr 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，．【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值， 即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<2λ≠．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．15．在等腰ABC ∆中，已知底边2BC =，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一点且满足2EB AE =，若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，则EC AB ⋅=u u u r u u u r _____． 【答案】43【解析】【分析】根据已知条件求出BA BC ⋅u u u r u u u r 和BA u u u r 的值，然后以BC uuu r 、BA u u u r 为基底表示向量EC uuu r ，利用平面向量数量积的运算律可计算出EC AB ⋅u u u r u u u r 的值.【详解】D Q 为AC 的中点，()()111222BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r r u ur ， AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，()()()22111222BD AC BC BA BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2221BA -=-u u u r，可得BA =u u u r ， ()22222AC BC BA BC BA BC BA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2122BA BC BC ∴⋅==u u u r u u u r u u u r ， ()22224523333EC AB BC BE AB BA BC BA BA BC BA ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：43．【点睛】本题考查了向量的线性运算、数量积运算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中档题．。

平面向量与复数平面向量是数学中的重要概念，它与复数之间存在着紧密的联系和相互转化的关系。

本文将介绍平面向量和复数的基本概念，并探讨它们之间的关联。

一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用有序数对表示。

设有平面上两个点A和B，用→AB表示从点A指向点B的有向线段，这条有向线段便是平面向量。

2. 平面向量的表示：平面向量的表示通常有三种方式，即坐标表示、模长与方向角表示、分解成单位向量表示。

a. 坐标表示：如果平面向量→AB的起点坐标为A(x₁, y₁)，终点坐标为B(x₂, y₂)，则向量的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。

b. 模长与方向角表示：平面向量→AB的模长记作|→AB|，方向角表示为θ，这样，向量的模长与方向角表示为(|→AB|,θ)。

c. 分解成单位向量表示：平面向量→AB可以表示为它在两个单位向量上的投影和，即→AB = |→AB|cosθ·→i + |→AB|sinθ·→j，其中→i和→j分别为横轴和纵轴上单位长度的向量。

二、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，记作a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的表示：复数可以用代数形式和三角形式表示。

代数形式为a+bi，三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

3. 复数的运算：复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

具体的运算规则与实数的运算类似，只是需要注意虚数单位i的运算规律。

三、平面向量与复数的关系1. 平面向量的表示与复数的表示：平面向量可以通过复数的模长与方向角表示。

设平面向量→AB的表示为(|→AB|,θ)，则可以将→AB对应的复数记作z=|→AB|cosθ+|→AB|sinθ·i。

2. 复数的运算与平面向量的运算：复数的加法、减法和乘法可以直接对应到平面向量的加法、减法和数量乘法上，这是因为复数运算与平面向量的运算都遵循平行四边形法则和数量乘法的分配律。