江西省景德镇市第一中学2023届高一上数学期末复习检测试题含解析

2020学年江西省景德镇一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案。

【详解】由题意，可画出韦恩图如下图所示：由图可知，所以选B【点睛】本题考查了集合与集合的基本关系，用韦恩图分析集合间包含关系的应用，属于基础题。

2.设，，，则( )A. y3 > y1 > y2B. y2 >y1 >y3C. y1>y2 > y3D. y1 > y3 >y2【答案】D【解析】试题分析：利用指数函数比较大小.，因为在上单增，所以有，故选D.考点：指数函数的单调性.3.正三棱锥的主视图如图所示，那么该正三棱锥的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由主视图可得正三棱锥的底面三角形的边长为2，正三棱锥的高为，再由高和斜高、斜高在底面的射影构成直角三角形，运用勾股定理和侧面积公式，计算可得所求值。

【详解】由正三棱锥的主视图可得空间结构体如图所示由正视图可知正三棱锥的高为，底面等边三角形的边长为2即则根据三角形AOE为直角三角形可得所以所以正三棱锥的侧面积为所以选D【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，根据三视图还原空间结构体并求侧面积问题，属于基础题。

4.过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线的倾斜角为求出直线的斜率,由此可利用点斜式求出过,倾斜角为的直线的方程.【详解】倾斜角为120°的直线的斜率为k=tan120°=–，∴过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为：y–0=–（x+2），整理得：=0．故选A【点睛】本题主要直线的倾斜角、考查点斜式方程的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题.5.已知，，那么⊙c1与⊙c2的位置关系是（）A. 内含B. 相切C. 相交D. 相离【答案】C【解析】【分析】将两个圆的方程化为标准方程，比较圆心距与两个半径的大小关系即可。

2023-2024学年江西省高一上学期期末考试数学模拟试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}2,4,6,7A =，{}3,5,6,7,8B =，则()()U U A B ⋂=痧（）A ．{}1,9B ．{}2,3,4,5,6,7,8C ．{}1,2,3,4,5,8,9D ．{}1,6,7,9【正确答案】A利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】 全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}2,4,6,7A =，{}3,5,6,7,8B =，由补集的定义可得{}1,3,5,8,9U A =ð，{}1,2,4,9U B =ð，因此，()(){}1,9U U A B = 痧.故选：A.本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2．已知0a b <<，下列不等式成立的是（）A ．22a b <B ．2a ab <C ．33a b <D ．11a b <【正确答案】C由作差法可判断A 、B 、D ，由函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，由22a b -()()0a b a b +->=可得22a b >，故A 错误；对于B ，由2a ab -()0a a b =->可得2a ab >，故B 错误；对于C ，由函数3y x =在R 上单调递增可得33a b <，故C 正确；对于D ，由11a b -0b a ab -=>可得11a b >，故D 错误.故选：C.3．若命题“x ∃∈R ，()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题，则k 的范围是（）A ．()1,7B ．[)1,7C ．()7,1--D ．(]7,1--【正确答案】B 【分析】本题首先可根据题意得出命题“x ∀∈R ，()()2214130k x k x -+-+>”是真命题，然后分为1k =、1k =-、210k -≠三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为命题“x ∃∈R ，()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题，所以命题“x ∀∈R ，()()2214130k x k x -+-+>”是真命题，若210k -=，即1k =或1k =-，当1k =时，不等式为30>，恒成立，满足题意；当1k =-时，不等式为830x +>，不恒成立，不满足题意；当210k -≠时，则需要满足()()222101614130k k k ⎧->⎪⎨∆=--⨯-⨯<⎪⎩，即()()()()110170k k k k ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩，解得17k <<，综上所述，k 的范围是[)1,7，故选：B.关键点点睛：本题考查根据命题的真假求参数，考查特称命题的否定，考查根据二次函数性质解不等式，要注意2x 的系数可能为0，考查计算能力，是中档题.4．命题：“0x ∀>，2ln 20x x +>”的否定是（）A ．0x ∀>，2ln 20x x +<B ．0x ∀>，2ln 20x x +≤C ．0x ∃>，2ln 20x x +≤D ．0x ∃>，2ln 20x x +<【正确答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.【详解】命题：“0x ∀>，2ln 20x x +>”是全称命题，它的否定是特称命题：0x ∃>，2ln 20x x +≤，故选：C5．党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少.如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）.根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%【正确答案】D由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果.【详解】由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误.故选：D .本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.6．在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210x f x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（）A ．()11.5，B ．()1.51.625，C ．()1.6251.75，D ．()1.752，【正确答案】C【分析】根据二分法可得答案.【详解】根据已知()150f =-<，()1.50f <，()1.6250f <，()1.750f >，()230f =>，根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75．故选：C.7．已知函数()4(0)f x x x x =+<，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4-D ．()f x 有最大值4-【正确答案】D 根据基本不等式即可求出．【详解】解：0x <Q ，0x ∴->，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+⎢⎥-⎣⎦4≤-=-，当且仅当()4x x-=-，即2x =-时取等号，()f x \有最大值4-.故选：D ．8．偶函数()(1)(1)f x mx nx =--的最大值为1，则mn 的最大值为A ．-1B ．0C ．1D ．3【正确答案】B【分析】根据题意考虑二次项系数为0何不为0两种情况.【详解】偶函数()()()11f x mx nx =--的最大值为1,根据这一条件得到，当mn=0时，即m=0且n=0，此时函数为y=1,是偶函数，当0nm ≠时，函数为二次的，开口向下，才会有最大值，此时mn<0,故mn 的最大值为0.故答案为B.这个题目考查了二次函数的图像性质的问题，当二次函数的二次项系数为参数时，先考虑二次项系数等于0，此时二次变一次，再考虑二次项系数不为0.二、多选题9．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.【详解】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.10．随着人民生活水平的提高以及高新电影制作技术的研发，人们利用周末和假期去电影院感受电影的魅力．我国2010年至2018年年底电影年度票房总收入与观影总人数统计如图所示，则下列说法正确的是（）A．这九年中，票价的增加导致年度总票房收入逐年攀升B．这九年中，票房收入与观影人数两个变量之间是正相关C．这九年中，观影人数的增长率是逐年上升的D．这九年中，年度总票房收入增速最快的是2015年【正确答案】BD【分析】根据2010年至2018年年底年度票房总收入与观影总人数统计图表，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得票房收入与观影人数之间显然是正相关，无法得出与票价增加有关，可得A项错误，B项正确；由2015年到2016年观影人数的增长率是下降的，可得C项错误；由2015年的票房增长率是最高的，大约为48.7%，可得D项正确．故选：BD ．11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--【正确答案】ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值0x =即可判定A ；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得()f x 在(,0]-∞上有最大值，进而判定B ；利用奇函数的单调性性质判定C ；利用奇函数的定义根据0x >时的解析式求得0x <时的解析式，进而判定D ．【详解】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，故A 正确；当0x ≥时，()1f x ≥-，且存在00x ≥使得()01f x =-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，且当0x x =-有()01f x -=,∴()f x 在(,0]-∞上有最大值为1，故B 正确；若()f x 在[1,)+∞上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，故C 错误；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，故D 正确．故选：ABD ．本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-上的图象如下，则下列结论正确的是（）A ．方程()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有且只有6个根B ．方程()0g f x ⎡⎤=⎣⎦有且只有3个根C ．方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有且只有5个根D ．方程()0g g x ⎡⎤=⎣⎦有且只有4个根【正确答案】ACD【分析】根据函数图像逐一判断即可.【详解】对于A ，令()t g x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321012t t t -<<-=<<，，，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，()3g x t =有两个不同的解，故()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有6个不同解，故A 正确；对于B ，令()t f x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<，从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解，故()0g f x ⎡⎤=⎣⎦有4个不同解，故B 错误；对于C ，令()t f x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<，从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，()3f x t =有一个解，故()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有5个不同解，故C 正确；对于D ，令()t g x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，故()0g g x ⎡⎤=⎣⎦有4个不同解，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．计算：12023211323(1.5)488--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭___．【正确答案】12##0.5【分析】应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.【详解】原式12232927334411()14822992--⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故1214．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，则(4)f 的值为___________.【正确答案】8利用待定系数法求出()f x 的表达式即可．【详解】解：设()f x x α=，则()22f α==32α=，则32()f x x =，()32428f ==，故8本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键，属于基础题．15．对于函数()()h x g x 、，定义函数()()()()()()(),,h x h x g x f x g x h x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若()21h x x =-，()32g x x =-，则()4f =_________.【正确答案】7【分析】由题意明确()f x 的表达式，根据对应法则即可得到结果.【详解】当()()h x g x ≥时，即2132x x -≥-时，可得：()f x =21x -，1x ≥；当()()h x g x ＜时，即2132x x --＜时，可得：()f x =32x -，1x ＜；∴()21,132,1x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩∴()42417f =⨯-=故答案为7本题考查分段函数的表达式的求法，以及函数值的求法，考查计算能力，属于基础题.16．设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为________【正确答案】()()3,03,-⋃+∞．【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性，可知()0f x >和()0f x <时x 的取值范围，然后分类讨论即可的不等式()0x f x ⋅<的解集.【详解】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称，∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==，∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<，∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<，综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-⋃+∞．故()()3,03,-⋃+∞．关键点点睛：本题的关键是理解偶函数的图象关于y 轴对称且在y 轴两侧的单调性相反.四、解答题17．设全集为Z ，{}2|2150A x x x =+-=，{|10}B x ax =-=．（1）若15a =-，求()Z A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .【正确答案】（1）(){3}Z A B ⋂=ð；（2）11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）解一元二次方程，求出集合A ，当15a =-，代入求出集合B ，根据集合的补集和交集的运算，即可得出()Z A B ⋂ð的结果；（2）根据题意，可知当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆；当B ≠∅时，1B a ⎧⎫=⎨⎩⎭，由子集的含义，列式求出实数a ，从而得到集合C .【详解】解：（1）{}2|2150{5,3}A x x x =+-==-，当15a =-，则{|10}{5}B x ax =-==-，则(){3}Z A B ⋂=ð；（2）当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆，当B ≠∅时，1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，此时若满足B A ⊆，则15a =-或13a=，解得15a =-或13a =，综上得：11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．18．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： 1.002xy =，lg 3y x =+，12y =．（参考数据：9001.002 6.039≈）(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大，并求出最大值．【正确答案】(1)y =(2)120【分析】（1）根据符合要求的模型满足的三个条件，即可根据所给的三个函数的性质逐一判断求解，（2）根据函数的单调性即可求解.【详解】（1）由题意，符合公司要求的模型只需满足：当[10x ∈，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x≤对于 1.002x y =，易知满足①；但当900x >时，6y >，不满足公司的要求,对于lg 3y x =+，易知满足①，当(]100,1000x ∈时，lg10035y >+=，不满足公司的要求,对于1220y x =，易知满足①，当[10x ∈，1000]时，5y ≤=，∴满足②又[10x ∈，1000]时，202044xy =≤=由此可知满足③综上所述，只有奖励模型：y =能完全符合公司的要求.（2）由（1）知：符合要求的函数为12y =，故121220y x x xx -==，当[10x ∈，1000]时，y x =单调递减，故当10x =时，取最大值为120，19．已知函数23y x x m =-+．（1）当4m =-时，解不等式0y ≤；（2）若0m >时，0y <的解集为{}x a x b <<．求14a b+的最小值．【正确答案】（1）{}14x x -≤≤；（2）3（1）4m =-代入不等式，分解因式进行求解；（2）由题意知a ，b 是方程230x x m -+=的两根，根据韦达定理列出两根之和与两根之积，再利用均值不等式进行求解即可.【详解】（1）当4m =-时，234y x x =--，将其代入0y ≤得2340x x --≤，()()140x x +-≤，解得{}14x x -≤≤（2）因为0y <的解集为{}x a x b <<，所以a ，b 是方程230x x m -+=的两根，则30a b ab m +=⎧⎨=>⎩，所以0a >，0b >，故()(14114141553333ba ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b =，即22a b ==时，14a b+取得最小值3.本题考查一元二次不等式、基本不等式，属于中档题.20．当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：组数分组（单位：岁）频数频率1[20,25)50.052[25,30)200.203[30,35)a 0.354[35,40)30b 5[40,45]100.10合计n1.00(1)求出表中的,,a b n 的值，并补全频率分布直方图；(2)媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[)30,40的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[)35,40的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【正确答案】(1)100n =，35a =，0.3b =，频率分布直方图见解析；(2)分布列见解析，()1213E ξ=【分析】（1）根据频率等于频数除以总数,分别求出,,a b n ,再根据小长方形对应纵坐标等于频率除以组距补全频率分布直方图；（2）先根据分层抽样确定年龄在[)30,35和[)35,40的人数,再确定ξ的可能取值为0，1，2，利用组合计算对应概率,列出分布列,最后根据数学期望公式求期望【详解】（1）由题意知频率分布表可知：50.05100n =÷=，所以1000.3535a =⨯=，300.3100b ==，则[)35,40小组的小矩形高度为0.30.065=，补全频率分布直方图，如图所示．（2）设抽出的20名受访者年龄在[)30,35和[)35,40分别有,m p 名，由分层抽样可得20=1003530m p=，解得7,6m p ==，所以年龄在[)30,40共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2，()()()021*******67222131313C C C C C C 7750,1,2C 26C 13C 26P P P ξξξ=========所以ξ的分布列为：ξ012P726713526∴数学期望()7751201226132613E ξ=⨯+⨯+⨯=21．已知函数()221x f x a =-+为奇函数.(1)求a 的值；(2)探究()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)求满足()()22f ax f x <-的x 的范围.【正确答案】(1)1a =(2)在R 上单调递增，证明见解析(3)()(),12,-∞-+∞ 【分析】（1）根据奇函数的定义可得出()()0f x f x +-=，即可求得实数a 的值；（2）任取1x 、2x ∈R 且12x x >，作差()()12f x f x -并判断差值符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（3）由（2）中函数()f x 的单调性可得出关于x 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：对任意的x ∈R ，210x +>，即函数()f x 的定义域为R ，因为函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即22202121xx a ---=++，()12121212121221x x x x x x x a -∴=+=+=++++.（2）解：函数()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x 、2x ∈R 且12x x >，则12220x x >>，所以，()()()()()12122112122222222110212121212121x x x x xx x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，所以，()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的增函数.（3）解：因为函数()f x 为R 上的增函数，由()()22f x f x <-可得22x x ->，即220x x -->，解得1x <-或2x >.因此，满足()()22f ax f x <-的x 的范围是()(),12,-∞-+∞ .22．已知()()log 1a f x x =+，点P 是函数()y f x =图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点Q 形成函数()y g x =的图象.（1）求()y g x =的解析式；（2）当01a <<时，解不等式()()0f x g x +≥；（3）当1a >，且[)0,1x ∈时，总有()()2f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()log (1)a g x x =--，（2）(1,0]-；（3）0m ≤.【分析】（1）根据已知可得()g x 与()f x 关于原点对称，设(,)Q x y ，则(,)P x y --在()f x 图象上，即可求解；（2）根据对数函数的单调性，将不等式转化为真数关系，得到整式不等式，即可求出结论；（3）由（1）令()()2(1)2l ()og 1a x f x g x xh x ++==-，只需min ()h x m ≥，令2(1)1x u x +=-，利用换元法求出2(1),[0,1)1x u x x+=∈-单调性，进而求出min ()h x .【详解】（1）设(,)Q x y ，点,P Q 关于原点对称，(,)P x y ∴--，由点(,)P x y --在()f x 图象上，log (1),()log (1)a a y x g x x ∴-=-+∴=--，（2）()()0,log (1)log (1)a a f x g x x x +≥∴+≥- ，01,a <<∴ 不等式等价于101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+≤-⎩，解得10-<≤x ，∴不等式的解集为(1,0]-；（3）()()2(1)2l ()og 1a x f x g x x h x ++==-，令22(1)[(1)2]4(1)4111x x u x x x x+-+===-+----，令1,01,01t x x t =-≤<∴<≤ ，设4()4m t t t=+-，设12121212401,()()()(1)0t t m t m t t t t t <<≤-=-->，()m t ∴在(0,1]t ∈上单调递减，()m t ∴的最小值为1，即min min 1,1,()0u a h x =>∴= [)0,1x ∈时，总有()()()2h x f x g x m =+≥恒成立，min ()0m h x ∴≤=，m ∴的取值范围是0m ≤.本题考查函数的中心对称问题、对数不等式的解法、不等式恒成立问题、函数单调性、最值，考查等价转化思想，意在考查直观想象、逻辑推理、计算求解能力，属于较难题.。

2023-2024学年江西省高一上册期末复习数学试题一、单选题1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．BCD ．【正确答案】A【分析】根据三角函数的定义以及两角和的正弦公式即可求解．【详解】解：（1）当α为第一象限时，由题意sinα=cos α=，所以sin()cos )4πααα++．（2）当α为第三象限时，由题意sinα=cos α=，所以sin()(sin cos )422πααα+=+=-=故选：A ．2．向量()2,1a =- ，()1,2b =-r，则()2a b a +⋅= （）A ．6B ．5C ．1D ．-6【正确答案】A【分析】利用向量线性坐标运算以及向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由()2,1a =- ，()1,2b =-r，则()()()222,11,23,0a b +=-+-=，所以()()223106a b a +⋅=⨯+-⨯= .故选：A3．若sin 5sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（）A ．34B ．32C ．43D ．23【正确答案】B【分析】将sin 5sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开即可求出.【详解】 sin 5sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos cos sin 5sin cos cos sin 4444p p p pa a a a 骣琪\+=-琪桫，∴()sin cos 5sin cos αααα+=-，所以sin 3tan cos 2ααα==．故选：B.本题考查和与差的正弦公式的应用，属于基础题.4．()()()()1tan111tan 471tan 881tan124-︒-︒-︒-︒=（）A ．2B ．-2C ．4D ．-4【正确答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得1tan11tan124tan11tan1242-︒-︒+︒︒=，1tan 47tan88tan 47tan882-︒-︒+︒︒=，然后可得答案.【详解】因为tan11tan124tan13511tan11tan124︒+︒︒==--︒︒，所以可得1tan11tan124tan11tan1242-︒-︒+︒︒=同理可得1tan 47tan88tan 47tan882-︒-︒+︒︒=()()()()1tan111tan 471tan881tan124-︒-︒-︒-︒()()1tan11tan124tan11tan1241tan 47tan88tan 47tan88=-︒-︒+︒︒-︒-︒+︒︒4=故选：C5．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 的中点，点P 是以AB 为直径的圆弧上任一点．则AE AP ⋅的最大值为（）A ．4B ．5C ．D ．2【正确答案】D建立如图所示的xoy 平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即)2AP AE θϕ⋅=++，即可得到答案；【详解】则(1,1)E ，(1,0)A -，设(cos ,sin )(0)P θθθπ≤≤，∴(cos 1,sin ),(2,1)AP AE θθ=+=，∴2cos 2sin sin()2AP AE θθθϕ⋅=++++，其中tan 2ϕ=，∴max ()2AE AP ⋅=+故选：D.6．函数()cos sin xf x xx =+，[]2π,2πx ∈-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据奇偶性，可排除CD ，计算可得()2π0f >，可排除B ，即可选出答案.【详解】由题意，[]2π,2πx ∈-，且()()()()cos cos sin sin f x fx xx x x xx-==-=--+--，所以()f x 在[]2π,2π-上是奇函数，可排除选项CD ；当2πx =时，()cos 2πsin 12π022ππ2πf ==>+，可排除选项B ，只有A 符合题意.故选：A.本题考查函数图象的识别，考查奇偶性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.7．若不等式2log (1)21a x x x -+<-在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．43,12-⎡⎫⎛⎫⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭B ．43,12-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．431,2⎛⎤⎛⎫ ⎥⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦D ．433,22⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】把不等式变形为()21log (1)a x x -<+，分01a <<和1a >情况讨论，数形结合求出答案.【详解】2log (1)21a x x x -+<-变形为：221log (1)-+<+a x x x ，即()21log (1)a x x -<+在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，若01a <<，此时()log (1)a f x x =+在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，()1log (1)log (1)02a a f x x =+<+<，而当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()201g x x =->，显然不合题意；当1a >时，画出两个函数的图象，要想满足()21log (1)a x x -<+在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，只需1122f g ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即211log (1)122a ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，解得：432a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，综上：实数a 的取值范围是431,2⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.故选：C8．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且2BC CD DB ===，若四面体ABCD ，则这个球面的面积是（）A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【正确答案】A【分析】作出图形，取AB 的中点O ，设BCD △的外心E ，连接OE 、BE ，求出点A 到平面BCD 的距离，可得出OE 的长，利用勾股定理可求得OB ，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，再利用球体的表面积公式可得结果.【详解】如下图所示，取AB 的中点O ，设BCD △的外心E ，连接OE 、BE ，由题意可知212sin 23BCD S π=⨯⨯△，设点A 到平面BCD 的距离为h，则133A BCD BCD V S h -=⋅=△，解得h =由球的几何性质可得OE ⊥平面BCD ，BE ⊂ 平面BCD ，OE BE ∴⊥，因为O 为AB的中点，则123OE h ==，由正弦定理可得232sin 3BE π==，所以2OB =，则2416S R ππ==球，故选：A.方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.二、多选题9．若角α的终边与512π角的终边关于x 轴对称，且()2,2αππ∈-，则α的值为（）A ．512π-B ．1912π-C ．1912πD ．1712π【正确答案】AC【分析】由题意，可得52,12k k Z παπ=-+∈，对k 赋值，即可得答案.【详解】因为角α的终边与512π角的终边关于x 轴对称，所以52,12k k Z παπ=-+∈，又因为()2,2αππ∈-，所0k =时，512πα=-，当1k =时，1912πα=.故选：AC10．(多选)要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只要将函数sin y x =的图象（）A ．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3π个单位长度B ．每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移6π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)D ．向左平移6π个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)【正确答案】BC【分析】分别分析先伸缩后平移和先平移后伸缩两种情况下图像的变换.【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移6π个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．（2）先平移后伸缩时：向左平移3π个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选：BC.11．若关于x的方程2sin2x x m -=在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，则m 的值可能为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【正确答案】AC【分析】整理换元之后，原问题转化为cos 2m t =-在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上有且只有一个解，即cos y t =的图象和直线2my =-只有1个交点.作出简图，数形结合可得结果.【详解】2sin2x x m -=整理可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令26t x π=+，因为,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,32t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以cos 2m t =-在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，即cos y t =的图象和直线2m y =-只有1个交点.由图可知，12m-=或1022m -<，解得2m =-或10m -<.故选：AC.12．将曲线1:sin C y x =上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线()2:C y f x =，则下列结论正确的是（）A ．()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭B ．()136f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．()f x 在[]0,2π上有4个零点D ．()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】BC【分析】根据三角函数图象的变换即可得出()sin(2)3f x x π=+，再根据三角函数的诱导公式、零点的定义及三角函数的单调性即可判断每个选项的正误.【详解】根据图象变换可得()sin(2)3f x x π=+，故A 错误；由13132()sin(2)sin(2)sin(2()63333f f x x x x x πππππ-=-+=-=+=，故B 正确；由[]0,2x π∈得132,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[]0,2π上有4个零点，故C 正确；由,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭得2(2(,333x πππ+∈-由正弦函数图象与性质可知()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.故选：BC三、填空题13．化简：3sin()2cos()2sin()sin()sin(2)2παπαππααπα---++---=___________【正确答案】1【分析】利用三角函数的诱导公式即可求解．【详解】3sin()2cos()2sin()sin()sin(2)2παπαππααπα---++---cos 2cos cos 1sin cos sin cos ααααααα-+===-++.故114．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC 的顶点()2,C t被阴影遮住，||BC =则AB BC ⋅=_______．【正确答案】6-【分析】根据图示，可得A 、B坐标，根据||BC = ，即可求出C 点坐标，即可得,AB BC坐标，根据数量积公式，即可得答案.【详解】由题意，(0,0)A ，(4,1)B，则||BC ==解得3t =，所以(2,3)C ，所以(4,1),(2,2)AB BC ==-所以4(2)126AB BC ⋅=⨯-+⨯=-．故-6.15．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的截面面积为π，则球的表面积为________．【正确答案】6π【分析】用球半径R 表示出其内切正方体的棱长，进而得正11A C B △的边长，再经11A C B △内切圆半径而得解.【详解】设内切球半径为R ，则正方体棱长为2R ，如图，平面11A C B 截球O 所得圆为正11A C B △的内切圆，而截面圆半径为1，在正11A C B △中122A B R =，∴32216⋅=，62R =故内切球的表面积为264(6ππ⋅⋅=．故6π16．已知正三棱锥-P ABC 内接于半径为2的球O ，且扇形OPA 的面积为4π3，则正三棱锥-P ABC 的体积为______．934【分析】根据扇形的面积计算公式和三棱锥的体积公式可计算得答案．【详解】解：设底面ABC 的中心为O '，平面PAO 如图所示，由扇形OPA 的面积为4π3，2OA OP ==，所以2π3POA ∠=，所以π3AOO '∠=，所以3O A '，1OO '=，所以正三棱锥-P ABC 的高为3PO '=，底面ABC 934193933344⨯=934四、解答题17．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若,312ππα⎡⎤∈-⎢⎣⎦，()35f α=，求6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34310-【分析】（1）由图象可知33π44T =，由此得到T 和ω，利用112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭和ϕ的范围可求得ϕ，由此得到()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；将26x π-整体放入cos y x =的单调递增区间中，求得x 的范围即为所求单调递增区间；（2）根据α范围可求得26πα-的范围，利用同角三角函数关系可求得sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，由sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差正弦公式可求得sin 2α，即为6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）由图象可知：35346124T πππ=-=，解得：T π=，2ππω∴=，解得：2ω=；cos 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()26k k Z πϕπ∴+=∈，解得：()26k k Z πϕπ∴=-∈，又2πϕ<，6πϕ∴=-，()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令()2226k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得：()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；()f x \的最小正周期为π，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）,312ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，52,066ππα⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，又()3cos 265f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，4sin 265πα⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦433133525210-=-⨯+⨯=，又cos 2cos 2sin 26622f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3610fπα-⎛⎫∴-=⎪⎝⎭.方法点睛：求解余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的对称轴、对称中心和单调区间时，通常采用整体对应的方式，即令x ωϕ+整体对应cos y x =的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.18．已知函数()212()log 23f x x ax =-+.(1)当1a =-时，求函数的值域；(2)是否存在a ∈R ，使()f x 在(,2)-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)(,1]-∞-(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设223t x x =++并配方，进而得到定义域，并算出t 的范围，进而得到函数的值域；（2）根据题意，只需223t x ax =-+在(,2)-∞上单调递减且2230x ax -+>在(,2)-∞上恒成立，进而列出不等式组求得答案.【详解】（1）当1a =-时，()212()log 23f x x x =++，设2223(1)22t x x x =++=++≥，则x ∈R ，所以()1f x ≤-，所以()f x 的值域为(,1]-∞-.（2）要使()f x 在(,2)-∞上单调递增，只需223t x ax =-+在(,2)-∞上单调递减且2230x ax -+>在(,2)-∞上恒成立，所以227(2)7404a a h a a ≥⎧≥⎧⎪⇒⎨⎨=-≥≤⎩⎪⎩，此不等式组无解.故不存在a ∈R ，使()f x 在(,2)-∞上单调递增.19．设()sin 2cos(2[0,]62f x x x x ππ=++∈．（1）若3sin 5x =，求()f x 的值；（2）设02πφ<<，若方程1()2f x φ-=有两个解，求φ的取值范围．【正确答案】（1；（2）124ππφ≤≤．【分析】（1）化简函数()f x 由正余弦二倍角公式，结合已知条件即可求解函数值；（2）化简()sin 223f x x πφφ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，根据,x φ的范围得42422[2,2][,33333x πππππφφφ+-∈--⊆-，又因为因为1sin 2x =在24[,33ππ-内有两解，列出不等式组即可求解参数范围．【详解】解：（1）1()sin 22sin 2sin(2223f x x x x x π=+-=+，因为3sin 5x =，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5x =，所以24sin 22sin cos 25x x x ==，2237cos 212sin 12525x x ⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭，所以()1sin 222f x x x ==；（2）()sin[2()]sin 2233f x x x ππφφφ⎛⎫-=-+=+- ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且02πφ<<42422[2,2][,33333x πππππφφφ+-∈--⊆-，因为1sin 2x =在24[,]33ππ-内的解为5,66ππ所以23645236ππφππφ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩解得124ππφ≤≤故φ的取值范围为124ππφ≤≤关键点点睛：本题的解题关键在于用整体法代换求解角的取值范围从而求得参数范围．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB ==ABCD 为边长为2的菱形，且3BAD π∠=.（1）证明：PD AB ⊥；（2）若2PD =，在线段DC 上是否存在一点E ，使得E 到平面PBC 217？若存在，求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（210535.【分析】（1）先证明ABD △为等边三角形，再证明OD AB ⊥，接着证明OP AB ⊥，从而证明AB ⊥平面OPD ，最后证明AB PD ⊥.（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，再求点D 到平面PBC 的距离为2217h =接着判断E 为DC 中点，最后求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值即可解题.【详解】（1）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，取AB 中点O ，连接OD 、OP ，所以OD AB ⊥，且PA PB =，所以OP AB ⊥，∵OP OD O ⋂=，所以AB ⊥平面OPD ，∵PD ⊂平面OPD ，所以AB PD ⊥；（2）线段DC 上存在一点E ，使得E 到平面PBC 的距离为217.因为2PA PB ==2AB =，所以90APB ∠=︒，所以1PO =，3OD =∴222PO OD PD +=，所以OP OD ⊥，OP ⊥平面ABCD ，7OC =，22=PC 设点D 到平面PBC 的距离为h ，3BDC S 3cos 4BPC ∠=，7sin 4BPC ∠=72PBC S =△P BDC D PBC V V --=，得出7h =当E 为DC 中点时，E 到平面PBC .此时2OE =，PE =PE 与平面PBC .本题考查通过证明线面垂直来证明线线垂直，点到平面的距离，线面所成角的正弦值，是中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，CD AD ⊥，PAD 是等腰直角三角形，1PD PA ==.（Ⅰ）证明：PD PB ⊥；（Ⅱ）若PB 与平面PAD 所成角的大小为60︒，2CD AB =，求点C 到平面PBD 的距离.【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【分析】（1）由题目条件易证AB PD ⊥，AD PD ⊥，然后可证明PD ⊥平面PAB ，得出PD PB ⊥；（2）由（Ⅰ）可知AB ⊥平面PAD ，所以PB 与平面PAD 所成的角即60APB ∠=o ，则可计算出四棱锥P ABCD -的各棱长，然后利用等体积法求解点C 到平面PBD 的距离.【详解】解：（Ⅰ）因为CD AD ⊥，//AB CD ，所以AB AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，所以AB ⊥平面PAD ，于是AB PD ⊥.在等腰直角三角形PAD 中，PD PA =，所以PD PA ⊥，又因为AB PA A = ，所以PD ⊥平面PAB ，所以PD PB ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，所以PB 与平面PAD 所成的角即60APB ∠=︒，结合已知可得AD =AB =2PB =，CD =，BD =.可得PBD △是以BD 为斜边的直角三角形.设点C 到平面PBD 的距离为d ，则111123323C PBD PBD dV d S d -=⨯=⨯⨯⨯=△.又因为111332P BCD BCD V S -=⨯=⨯⨯△，所以3d =d =本题考查空间利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查线面角的概念，考查利用等体积法计算点到面距离，难度一般.22．四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，60ABC ∠=︒，M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =，若5PA PC ==，PB =.（1）求证：//MN 平面PAC ；（2）求证：PN ^平面ABCD ；（3）求直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）11【分析】（1）通过证明直线与平面内的一条直线平行证明直线与平面平行；（2）通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直证明直线与平面垂直；（3）利用等体积法求解三棱锥的高，进而求解线面角的正弦值或通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式求解.【详解】解：（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，则12BM BNBP BO==，∴//MN PO ，又PO ⊂平面PAC ，MN ⊄平面PAC ，从而//MN 平面PAC .（2）证明：连接PN ，∵PA PC =，O 是AC 中点，∴PO AC ⊥，又5PA PC ==，2AO =，∴PO PB ==，又N 是BO 中点，∴PN BD ⊥，且易求PN =NC =∴222PN NC PC +=，从而PN NC ⊥，又BD NC N ⋂=，∴PN ^平面ABCD .（3）解法一：设N 到平面PCD 的距离为h ，PN 与平面PCD 所成角为θ，则sin h PNθ=∵N PCD P NCD V V --=，∴PCD NCD S h S PN ⋅=⋅ ，计算可得NCD S =PD =，∴PCD S =PN =∴h =sin 11θ=.解法二：作OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC ，OD ，OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,B -，(2,0,0)C，(0,D，(0,N ，设()000,,P x y z ，由5PA PC ==，PB =，得()()(222000222000222000225,225,21,x y z x y z x y z ⎧+++=⎪⎪-++=⎨⎪+++=⎪⎩解得0000,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴(0,P.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，(CD =-，PC =- ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20,20,x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令1y =，得2x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴n =⎭，记直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则||sin ||||||n PN n PN θ⋅== 本题考查空间直线与平面平行以及垂直的判定、线面角、空间向量的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.。

2023-2024学年江西省高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合1{|0}1x A x x -=≤+，{|21}x B x =<，则A B = （）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．[1,0)-D ．(0,1]【正确答案】A【分析】解分式不等式、指数不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】不等式101x x -≤+化为：(1)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得11x -<≤，即(1,1]A =-，解不等式21x <得：0x <，即(,0)B =-∞，所以(1,0)A B =- .故选：A2．已知0.33a =，2log 6b =，0.3log 2c =，则三数大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c b a<<D ．c<a<b【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，结合“媒介数”比较作答.【详解】因为3120.2033<<<，即02a <<，而22log 6log 42b =>=，0.30.3log 2log 10c =<=，所以c<a<b .故选：D3．函数()2e ln f x x x=-，（常数e 2.718≈）的零点所在区间为（）A ．()23,e e B ．()2e,eC ．()0,1D ．()1,e 【正确答案】B【分析】由零点存在定理及()f x 的单调性可得()f x 在()2e,e 上有唯一零点，从而得解.【详解】因为ln y x =与2ey x=-在()0,∞+上单调递增，所以()2eln f x x x=-在()0,∞+上单调递增，又()e ln e 210f =-=-<，()()2222e 12e e ln e 0e ef -=-=>，所以()f x 在()2e,e 上有唯一零点，所以()f x 的零点所在区间为()2e,e .故选：B.4．用二分法求方程383x x =-在()1,2内的近似解，已知 1.25 1.5 1.753 3.95,3 5.20,3 6.84≈≈≈判断，方程的根应落在区间（）A ．()1,1.25B ．()1.25,1.5C ．()1.5,1.75D ．()1.75,2【正确答案】B【分析】由零点存在定理及()f x 的单调性可得()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点，从而得到方程的根应落在(1.25,1.5)上.【详解】令()338x f x x =+-，因为3x y =与38y x =-在R 上单调递增，所以()338x f x x =+-在R 上单调递增，因为()1133180f =+⨯-<，() 1.51.5331.58 5.20 4.580f =+⨯-≈+->，1.25(1.25)331.258 3.95 3.7580f =+⨯-≈+-<，所以()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点0x ，即003380x x +-=，故00383xx =-，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，故选：B.5．已知不等式19640x x x m +-⋅+≥对任意上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(,1]-∞B ．(,2]-∞C ．(,4]-∞D ．(,5]-∞【正确答案】C【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答.【详解】(0,)∀∈+∞x ，12232964033420(24()23x x x x x xx x x m m m +-⋅+≥⇔-⋅+⋅≤⋅⋅≥⇔+，令3(12x t =>，4()4f t t t =+≥，当且仅当4t t =，即322,log 2t x ==时取等号，因此当32log 2x =时，32()4(23x x+⋅取得最小值4，则4m ≤，所以实数m 的取值范围是(,4]-∞.6．已知函数2()f x ax x c =++，有下列四个命题：1:1p x =-是()f x 的零点；2:2p x =是()f x 的零点；3:()p f x 的两个零点之和为3；4:()p f x 有两个同号零点.如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．1p B ．2p C ．3p D ．4p 【正确答案】A【分析】由四个命题分析，假命题在12,p p 中，然后再分类讨论：1p 为真，2p 为假；1p 为假，2p 为真，结合命题34,p p 得出结论．【详解】若1p ，2p 是真命题，则3p ，4p 均为假命题不合题意，故1p ，2p 中必有一个假命题，若1p 是真命题，2p 是假命题，由3p 是真命题，知()f x 的另一个零点为4x =，则4p 为假命题，不符合题意；若1p 是假命题，则2p 是真命题，由3p 是真命题，知()f x 的另一个零点为1x =，此时4p 为真命题，符合题意.综上，故选：A.7．函数e 1()e x xx f x x+-=-的零点为（）A ．0B ．1C ．()0,0D ．()1,0【正确答案】B【分析】根据零点的概念排除C,D 选项，而函数分母不为0，则排除A 选项，计算()10f =，则可得到答案.【详解】首先函数的零点不是点，而是数，故排除C,D 选项，而函数的定义域为()(),00,∞-+∞U ，则排除A 选项，0e 11(1)e 1f +-=-=，故函数()f x 的零点为1，8．已知函数f (x )＝221,0|log ,0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪⎩，则函数()(())()2g x f f x f x =--的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】A【分析】令()f x t =，借助导数求出函数()()2h t f t t =--的零点个数及对应区间，再对每个零点判断()f x t =的零点个数作答.【详解】令()f x t =，函数()()2h t f t t =--，当0t ≤时，()21t h t t =--，显然(0)0h =，当0t <时，()2ln 210t h t '=-<，()h t 在(,0)-∞上单调递减，0t ∀<，()(0)0h t h >=，因此当0t ≤时，()h t 有唯一零点10t =；当0t >时，222log 2,01()log 2log 2,1t t t h t t t t t t ---<≤⎧=--=⎨-->⎩，若01t <≤，()h t 在(0,1]上单调递减，而1711()0,()08844h h =>=-<，则存在211(,84t ∈，使得2()0h t =，若1t >，1()1ln 2h t t '=-，由()0h t '>得21log e t <<，由()0h t '<得2log e t >，即有函数()h t 在2(1,log e)上单调递增，在2(log e,)+∞上单调递减，而21log e<2<，2222()(log e)log log e log e 20h t h ≤=--<，因此函数()h t 在(1,)+∞无零点，于是函数()()2h t f t t =--在定义域内内有两个零点10t =，211(,84t ∈，当1()f x t =时，()0f x =，而当0x ≤时，1213x <+≤，因此20log 0x x >⎧⎨=⎩，解得1x =，当2()f x t =时，同理22log x x t >⎧⎨=⎩，解得22t x -=或22t x =，所以函数()(())()2g x f f x f x =--的零点个数为3.故选：A思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.二、多选题9．已知0a >，0b >，且满足9a b =，3log 3a b +=，则b 的可能取值为（）A ．13B ．3C ．19D ．9【正确答案】BD【分析】根据指对互化得和对数的运算性质得2log 3b a =，代入得到关于3log b 的方程，解出即可.【详解】0,0a b >> ，则由9a b =可得log 92log 3b b a ==,33332log 2log 3log log 3log b a b b b b∴+=+=+=，即()233log 3log 20b b -+=，解得3log 1b =或3log 2b =，3b ∴=或9b =.故选：BD.10．不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞【正确答案】CD【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】解不等式5log 32)1(x -<得：0321x <-<，解得312x <<，即原不等式的解集为3(1,2，(1,0)-、(1,1)-与3(1,)2的交集都空集，因此选项A ，B 都不是；而3(1,)2(1,2)-，3(1,2(1,)-+∞，因此选项C 、D 都是.故选：CD11．下列函数为奇函数的是（）A ．2121x xy +=-B ．2log 4)(1xy x=+-C ．|3|3y x =--D ．y =【正确答案】ACD【分析】利用奇函数的定义，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，函数21()21x x f x +=-的定义域为R ，2112()()2112x xx x f x f x --++-===---，即2121x xy +=-是奇函数，A 是；对于B ，函数22()log (41)log (22)x x x g x x -=+-=+定义域为R ，2()(22)()log x xg x g x --=+=，则函数2log 4)(1xy x =+-是偶函数，B 不是；对于C ，函数()h x 240330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得20x -≤<或02x <≤，()h x x =-，()()h x h x -=-，则函数y =C 是；对于D ，函数()x ϕ=中，221010x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得{1,1}x ∈-，此时()0x ϕ=，()0()x x ϕϕ-==-，因此函数y =是奇函数.故选：ACD12．设函数()2xf x =，对于任意的()1212,x x x x ≠，下列命题正确的是（）A ．()()()1212f x x f x f x +=B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()1212f x f x x x ->-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【正确答案】ACD【分析】根据指数运算法则可知A 正确，利用反例可知B 错误；根据指数函数单调性可知C 正确；结合基本不等式可确定D 正确.【详解】对于A ，()()()12121212222x x x xf x f x f x x +=⋅==+，A 正确；对于B ，令11x =，22x =，则()()1224f x x f ==，()12f x =，()24f x =，()()()1212f x x f x f x ∴≠+，B 错误；对于C ，()f x 为定义在R 上的增函数，()()12120f x f x x x -∴->，C 正确；对于D ，()()1212122222x x x x f x f x f +⎛⎫+=+>== ⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x f 骣++琪\<琪桫，D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知函数)()ln f x ax =-为R 上单调递减的奇函数，则实数a 的值为_____．【正确答案】1【分析】利用奇函数的定义求出a ，再根据给定的单调性确定作答.【详解】因为函数())f x ax =为R 上的奇函数，则R x ∀∈，()()0f x f x +-=，即有22))ln[(1)1]0ax ax a x +=-+=恒成立，因此22(1)11a x -+=对任意实数x 恒成立，于是210a -=，解得1a =±，当1a =-时，())f x x =+，函数y =y x =在[0,)+∞上单调递增，则函数y x =在[0,)+∞上单调递增，而函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，因此函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，于是奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，即()f x 在R 上单调递增，不符合题意，当1a =时，()))f x x x ==-，因此函数()f x 在R 上单调递减，符合题意，所以实数a 的值为1.故114．解关于x 的不等式2)l g (o 24xx <-解集为_____．【正确答案】1(0,)2【分析】根据给定的不等式，利用对数函数、指数函数单调性求解作答.【详解】不等式222log 24log 24(log 2)(4)202x x x x xx -⇔--<<<<⇔，解240x ->，即222x <，有21x <，解得12x <，解224x x -<，即22220x x +->，化为2)(21)0(2x x +->，有21x >，解得0x >，因此102x <<，所以不等式2)l g (o 24xx <-解集为1(0,)2.故1(0,)215．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________．【正确答案】2【分析】由已知可得22b a-2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值.【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-，则82222b a ba -=+，且有2b =22b a ∴-=令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴===，即22b a -的最大值是2，故2.16．已知函数()2221e 123ex x g x x x a --+=+-++，若()y g x =与()()y g g x =有相同的最小值，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】(,3]-∞-【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合二次函数最值，确定函数()g x 取最小值的x 值，再借助函数能成立求解作答.【详解】依题意，函数1211()e (1)2e x x g x x a --+-+=++，显然111e 2e x x --+≥=，当且仅当111eex x --=，即1x =时取等号，2(1)22x a a -+≥++，当且仅当1x =时取等号，因此当1x =时，min ()4g x a =+，因()y g x =与()()y g g x =有相同的最小值，于是得()1g x =成立，即12111(e )(1)ex x a x --=--+--成立，而1211(e)2(1)ex x x --++≥-，当且仅当1x =时取等号，因此12111(e )(1)e3x x x ---+--≤--，即3a ≤-，所以实数a 的取值范围是(,3]-∞-.故(,3]-∞-四、解答题17．化简求值(1)1131227(0.002)2)8--⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+⨯÷⎣⎦．【正确答案】(1)372-(2)1【分析】（1）指数式化简，关键利用1(),m n mn mma a a a -==进行化简，即先将负指数幂化为正指数幂，再将大数化为指数形式，最后进行加减运算；（2）对数式运算，先化同底，再利用log 1,log log log a a a a a mn m n ==+将大数化小数进行化简，最后根据除法得结果【详解】（1）原式)113131232271350010285002-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3372022=+=-.（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⋅⨯÷⎢⎥⎣⎦()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()22666612log 3log 31log 3log 4⎡⎤=-++-÷⎣⎦()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--===.18．已知函数()212()log 69f x x x =++．(1)求函数f (x )的零点；(2)判断()f x 的单增区间并证明．【正确答案】(1)4,2--；(2)递增区间是(,3)-∞-，证明见解析.【分析】（1）根据给定方程，直接求出零点作答.（2）分析函数()f x 的单调性及单调区间，再利用定义推理证明作答.【详解】（1）由()0f x =，即212log (69)0x x ++=，得2691x x ++=，解得4x =-或2x =-，经检验4x =-或2x =-符合题意，所以函数f (x )的零点是4,2--.（2）函数212()log (69)f x x x =++中，2690x x ++>，解得3x ≠-，即函数()f x 的定义域为(,3)(3,)-∞-⋃-+∞，函数269t x x =++在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，而函数12log y t =在(0,)+∞上单调递减，因此()f x 的递增区间是(,3)-∞-，递减区间是(3,)-+∞，任意1212,(,3),x x x x ∈-∞-<，221211221212(69)(69)()(6)t t x x x x x x x x -=++-++=-++，因为123x x <<-，有12120,60x x x x -<++<，则120t t ->，即120t t >>，于是111222log log t t <，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(,3)-∞-上单调递增.19．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为116x ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 的之间的函数关系；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【正确答案】(1)0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)0.6【分析】（1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭．【详解】（1）解：依题意，当00.1x ≤≤时，可设y kx =，且10.1k =，解得10k =又由0.11116a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）解：令0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即20.21144a -⎛⎫<⎪⎝⎭，得20.21a ->，解得0.6x >，即至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．20．已知函数()()22g lo xx f m x x ⋅=++()0m >．(1)当1m =时，求()f x 在区间[]1,2内的最小值；(2)若对任意12x >都有不等式()212f x m >恒成立，求m 的取值范围．【正确答案】(1)1(2)()0,1【分析】（1）利用一次函数与指数函数的单调性，结合函数单调性的定义证得()g x 在()0,∞+上单调递增，又利用一次函数与对数函数的单调性，结合函数单调性的性质即可证得()f x 在()0,∞+上单调递增，从而得解；（2）结合（1）中结论，结合函数单调性的性质得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而将问题转化为211122m m -≥，从而得解.【详解】（1）因为1m =，所以()22g lo xx f x x ⋅=++，0x >，令()()02xg x x =>⋅，易知y =与2x y =在()0,∞+上单调递增，不妨设120x x <<，则210<，12022x x <<，则()()12122122x xg x g x ⋅=⋅<=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又2log y x =与y x =在()0,∞+上单调递增，所以()22g lo xx f x x ⋅=++在()0,∞+上单调递增，所以()f x 在区间[]1,2上单调递增，故()()12min 112log 111f x f =⨯⨯++=+.（2）由（1）知()()02xg x x =>⋅在()0,∞+上单调递增，又2log y x =与y x =在()0,∞+上单调递增，0m >，所以()2log y m x x =+在()0,∞+上单调递增，所以()()22g lo xx f m x x ⋅=++在()0,∞+上单调递增，所以对任意12x >，有()221g 111111222lo 222m m ⎛⎫⎛+⎫>==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯+，因为对任意12x >都有不等式()212f x m >恒成立，所以211122m m -≥，整理得220m m +-≤，解得21m -≤≤，又0m >，所以01m <≤，即m 的取值范围为(]0,1.21．已知函数2322,2()log (1)1,2x x aa x f x x x -+⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中01a <<．(1)求函数f (x )的最大值；(2)若方程f (x )＝m 有两个不同的根，求m 的取值范围．【正确答案】(1)142a -；(2)14(0,1)[2,2)a - .【分析】（1）根据给定的分段函数，利用单调性探讨函数值的情况作答.（2）由（1）所得函数()f x 的性质，作出函数()y f x =的图象，利用直线y m =与该图象有两个公共点求解作答.【详解】（1）01a <<，当2x ≤时，223132()24t x x x =-+=--在3(,)2-∞上单调递减，在3(,2]2上单调递增，当32x =时，min 14t =-，而函数2t y a =在1[,)4t ∈-+∞上单调递减，此时14()2f x a -≤，当2x >时，()log (1)1a f x x =-+在(2,)+∞上单调递减，此时()1f x <，显然1421a ->，所以当32x =时，函数()f x 取得最大值142a -.（2）由（1）知，当2x ≤时，函数232()2xx f x a -+=在3(,]2-∞上单调递增，函数值集合为14(0,2]a -，在3(,2]2上单调递减，函数值集合为14[2,2]a -，当2x >时，()log (1)1a f x x =-+在(2,)+∞上单调递减，函数值集合为(,1)-∞，方程()f x m =有两个不同的根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，在同一坐标系内作出直线y m =与函数()y f x =的部分图象，如图，观察图形知，当01m <<或1422m a -≤<时，直线y m =与函数()y f x =的图象有两个公共点，所以方程()f x m =有两个不同的根，m 的取值范围是14(0,1)[2,2)a - .思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.22．已知函数41()x xf x a+=（a ＞0或a ≠1）为偶函数，函数22()()x x g x a a mf x -=+-（m ∈R ）．(1)求a 的值；(2)若对任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使得方程12()()g x f x =成立，求m 的取值范围．【正确答案】(1)2a =；(2){0}.【分析】（1）根据偶函数的定义，列式计算求出a 值作答.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，并求出在[0,2]上的值域A ，利用换元法分类讨论求出()g x 在[0,1]上的值域B ，再结合已知利用B A ⊆求出m 范围作答.【详解】（1）函数41()x x f x a +=的定义域为R ，依题意，对R x ∀∈，恒有()()f x f x -=成立，即R x ∀∈，2224141144142()124x x x x x x x x x x x x x x xaa a a a a a a ----++++=⇔=⇔⇔⋅=⋅=⇔=，因此12a=，解得2a =，所以2a =.（2）由（1）知，41()222x x x x f x -+==+，令2x t =，当[0,2]x ∈时，[1,4]t ∈，对勾函数1y t t=+在[1,4]上单调递增，因此1724y ≤≤，即函数()f x 在[0,2]上的值域17[2,]4A =，当[0,1]x ∈时，[1,2]t ∈，对勾函数1u t t =+在[1,2]上单调递增，则有522u ≤≤，222222(22)(22)(22(2)2)x x x x x x x x x g m m u mu ----+-+=+-=-=+--，令252,22()u mu h u u =--≤≤，当4m ≤时，函数()h u 在5[2,2上单调递增，5(2)()(2h h u h ≤≤，即17522()42m h u m -≤≤-，因此函数()g x 在[0,1]上的值域175[22,]42B m m =--，因为对任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,2]x ∈，使得方程12()()g x f x =成立，则有B A ⊆，于是422217517424m m m ⎧⎪≤⎪-≥⎨⎪⎪-≤⎩，解得0m =；当45m <<时，2min ()()2224m m h u h ==--<，则函数()g x 在[0,1]上的值域不可能包含于A ，此时无解；当5m ≥时，函数()h u 在5[2,]2上单调递减，min 517533()()22424h u f m ==-≤-<，函数()g x 在[0,1]上的值域不可能包含于A ，此时无解，综上得：0m =，所以m 的取值范围是{0}.结论点睛：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2023-2024学年江西省高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4,6A =，{}4,5B =，则()U A B = ð（）A ．{}4B ．{}5C ．{}3,5D ．{}3,4,5【正确答案】D由{}3,5U A =ð，代入()U A B ⋃ð计算即可得解.【详解】由{}3,5U A =ð，可得{}()3,4,5U A B = ð，故选：D.本题考查了集合的运算，考查了补集和并集的计算，属于基础题.2．若,x y R ∈，则下列不等式一定成立的是（）A ．2112x x ≥+B ．2112x x <+C ．22245x y x y +≥--D ．22245x y x y +<--【正确答案】C 作差法分别比较21x x +与12、22x y +与245x y --的大小.【详解】()()()2222211*********x x x x x x x ---+--==≤+++ ，2112x x ∴≤+，故A 、B 错；()2222(245)(1)20x y x y x y +---=-++≥ ，22245x y x y ∴+≥--.故选：C本题考查作差法比较数或式的大小，属于基础题.3．已知命题“R x ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是真命题，则a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,3-C ．()3,+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞【正确答案】D【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题“R x ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是真命题，则相应的二次方程有不等的实根,利用判别式即可求解.【详解】因为命题“R x ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是真命题，所以方程()2110x a x +-+=有两个不等的实数根，所以2(1)40a ∆=-->，解得：1a <-或3a >，故选.D4．命题“[)210,,04x x x ∀∈+∞-+≥”的否定是（）A ．[)200010,,04x x x ∃∈+∞-+≥B ．[)200010,,04x x x ∃∈+∞-+<C ．()201,0,04x x x ∀∈-∞-+≥D ．[)2010,,04x x x ∀∈+∞-+<【正确答案】B根据全称命题的否定为特称命题即可解答.【详解】解：命题为全称命题，则全称命题“[)210,,04x x x ∀∈+∞-+≥”的否定是[)00,∃∈+∞x ，200104x x -+<故选：B ．本题主要考查含有量词的命题的否定，含有量词命题的否定：结论否定，量词相应改变，属于基础题.5．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（）A ．2022年甲系列产品收入比2020年的多B ．2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C ．2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的13D ．2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍【正确答案】C【分析】利用已知条件可分别得出2022年和2020年5种系列产品所占总收入的比例，结合该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，逐一检验选项，得出答案．【详解】对于A ，2022年甲系列产品收入占了总收入的20%，2020年甲系列产品收入占了总收入的30%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年甲系列产品收入比2020年的多，正确；对于B ，2022年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的55%，该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多，正确；对于C ，2022年丁系列产品收入占了总收入的5%，2020年丁系列产品收入占了总收入的20%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的12，错误；对于D ，2022年戊系列产品收入占了总收入的20%，2020年戊系列产品收入占了总收入的20%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍，正确；故选：C6．用二分法求方程81log 03x x-=近似解时，所取的第一个区间可以是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4)【正确答案】B【分析】()81log 3f x x x=-，判断函数得单调性，在求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】解：令()81log 3f x x x=-，因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上都是增函数，所以函数()81log 3f x x x=-在()0,∞+上是增函数，()()81111110,2log 2036366f f =-<=-=-=>，所以函数()81log 3f x x x=-在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程81log 03x x-=近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2).故选：B.7．设正数x ,y 满足x +4y =40,则lgx +lgy 的最大值是A ．40B ．10C ．4D ．2【正确答案】D【详解】0,0,440;40x y x y >>+=∴≥= 100;xy ∴≤所以lg lg lg lg1002x y xy +=≤=故选D8．函数()()9f x x a a a R x=+-+∈在区间[]1,9上的最大值为10，则实数a 的最大值为（）A ．6B ．8C ．9D ．10【正确答案】B【分析】令9t x x=+，[1,9]x ∈，则[6,10]t ∈，问题转化为||y t a a =-+在[6,10]t ∈上的最大值为10，对a 分四种情况讨论求出最大值即可得解.【详解】令9t x x =+，[1,9]x ∈，则函数9t x x=+在[1,3)上单调递减，在[3,9]上单调递增，所以当3x =时，min 6t =，当9x =时，max 10t =，所以[6,10]t ∈，所以||y t a a =-+在[6,10]t ∈上的最大值为10，①当10a ≥时，||y t a a =-+2a t a a t =-+=-，所以2610max y a =-=，8a ∴=，舍去；②当6a ≤时，||y t a a =-+t a a t =-+=10≤，此时命题成立;③当68a <<时，max |10|10y a a =-+=，此时命题成立;④当810a ≤<时，max |6|626y a a a a a =-+=-+=-，所以2610a -=，解得8a =，此时命题成立;综上所述：实数a 的取值范围是8a ≤，即实数a 的最大值为8，故选：B ．本题考查了对勾函数的单调性，考查了转化化归思想，考查了分类讨论思想，考查了由函数的最大值求参数的取值范围，属于中档题.二、多选题9．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a=-1【正确答案】CD【分析】先根据一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，求得a<0，然后结合选项与充分不必要条件的概念即可求出结果.【详解】因为一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，所以2024010a a a⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪<⎩，解得a<0，结合选项与充分不必要条件的概念可知选CD ，故选：CD.10．小张一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．储蓄金额为300元B ．日常开支比食品中的其他开支多150元C ．娱乐开支比通信开支多50元D ．肉类开支占总开支的13【正确答案】ABC【分析】根据图表信息一一分析可得；【详解】解：由食品开支图，可知食品开支有30401008050300++++=元，所以一星期的总开支30030%1000÷=元，其中储蓄金额为100030%300⨯=元，故A 正确；日常开支为100020%200⨯=元，故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B 正确；娱乐开支比通信开支多()100010%5%50⨯-=元，故C 正确；肉类开支占总开支的1100100010÷=，故D 错误；故选：ABC11．已知函数2(2)41([2,2])f x x x =+∈-，下列说法正确的是（）A ．(1)5f =B ．2()1f x x =+C ．()f x 的定义域为[1,1]-D ．(1)f x -的图像关于1x =对称【正确答案】BD【分析】先求解函数()f x 的表达式及定义域，根据函数()f x 的性质判断各项正误.【详解】解：因为2(2)41([2,2])f x x x =+∈-，所以2()1f x x =+，故B 项正确；(1)112f =+=，故A 项错误；因为[]2,2x ∈-，所以[]24,4x ∈-，故()f x 的定义域为[]4,4-，故C 项错误；因为2()1f x x =+，所以()f x 为偶函数，则(1)f x -的图像关于1x =对称，故D 项正确.故选：BD.12．已知函数224,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（）A ．124x x +=-B ．341x x ⋅=C ．414x <<D ．123404x x x x <≤【正确答案】AB【分析】作出函数()f x 的图象，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则直线y t =与函数()y f x =的图象4个交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，可得出04t <<，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.【详解】函数224,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则04t <<，则直线y t =与函数()y f x =的图象4个交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，对于A ：函数24y x x =--的图象关于直线2x =-对称，则124x x +=-，故A 正确；对于B ：由图象可知2324log log x x =，且3401x x <<<，∴2324log log x x -=，即()234log 0x x =，所以341x x =，故B 正确；当0x ≤时，22()4(2)44f x x x x =--=-++≤，由图象可知()24log 0,4x ∈，则4116x <<，故C 错误；由图象可知142x -<<-，所以()21234111121(2)4(0,4)44x x x x x x x x x =⋅--=--∈=-++，故D 错误.故选：AB.三、填空题13．已知幂函数()f x 满足()42f =，则()16f =________．【正确答案】4【分析】先求得()f x 的解析式，然后求得()16f .【详解】设()f x x α=，则()()()11222144=22,1616=42f f x x f ααα==⇒==⇒=.故答案为.414．已知函数()()()()21lg 11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则((1))=f f ______．【正确答案】0【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.【详解】由题意，1(1)22f ==，()()1(2)lg10f f f ∴===．故015．已知函数()24log 1,1()4,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(1)f =a ，则()f a =______．【正确答案】72【分析】通过()1f a =求出a ，代入解析式求得结果.【详解】因为()411log 22a f ===所以()1174222f a f ⎛⎫==-=⎪⎝⎭本题正确结果：72本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.16．已知函数()1f x x =+，()2g x x=，用()m x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，则()m x 的值域是______.【正确答案】(](],10,2-∞-⋃【分析】令()()f x g x =可求得临界点，结合()(),f x g x 的图像可确定()m x 的图像，由此可得结果.【详解】令()()f x g x =，即21x x+=，解得：2x =-或1x =，则()(),f x g x 图像如下图所示，由此可确定()m x 图像如下图所示，由图像可知：()m x 的值域为(](],10,2-∞-⋃.故答案为.(](],10,2-∞-⋃四、解答题17．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【正确答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞.（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解.【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<；（2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤.由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞.18．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020⎡⎣，，)2040⎡⎣，，)4060⎡⎣，，)6080⎡⎣，，)80100⎡⎣，．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．【正确答案】(1)0.0125x =(2)72名(3)33.6分钟.【分析】（1）利用概率和为1列方程即可得解．（2）计算出新生上学时间不少于1小时的频率为0.12，问题得解．（3）直接利用均值计算公式求解即可．【详解】解：（1）由直方图可得：200.025200.0065200.0032021x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0125x =.（2）新生上学时间不少于1小时的频率为0.0032020.12⨯⨯=，因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.（3）由题可知200.0125100.0252030⨯⨯+⨯⨯0.006520500.00320700.0032090+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯33.6=分钟.故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.本题主要考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式，属于中档题．19．已知函数()()1,f x a b ax b =∈+R ，且()113f =，()11f -=-．(1)求a 、b 的值；(2)试判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性，并证明；(3)求函数()f x 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值．【正确答案】(1)2a =，1b =(2)函数()f x 在()2,+∞上为减函数，证明见解析(3)最大值为15，最小值为113【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数a 、b 的方程组，即可得解；（2）根据反比例函数的单调性可得出函数()f x 在()2,+∞上的单调性，然后任取1x 、()22,x ∈+∞且12x x >，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）根据函数()f x 在[]2,6上的单调性可求得()f x 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值．【详解】（1）解：由已知可得()()1113111f a b f b a ⎧==⎪⎪+⎨⎪-==-⎪-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.（2）解：由（1）可知，()121f x x =+，函数()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下：任取1x 、()22,x ∈+∞且12x x >，则210x x -<，1210x +>，2210x +>，()()()()()21121212211021212121x x f x f x x x x x --=-=<++++，()()12f x f x ∴<，所以，函数()f x 在()2,+∞上为减函数.（3）解：由（2）可知，函数()f x 在[]2,6上为减函数，当[]2,6x ∈时，()()max 125f x f ==，()()min 1613f x f ==.故函数()f x 在[]2,6上的最大值为15，最小值为113.20．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型()2f x ax bx c =++，乙选择了模型x y p q r =⋅+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．(1)如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；(2)至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参考数据：1021024=88.28≈）【正确答案】(1)应将250x y =+作为模拟函数，理由见解析(2)至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人【分析】（1）分别将1x =，2，3代入两个解析式，求得a ，b ，c ，p ，q ，r ，求得解析式，并分别检验4x =，5，6时函数值与真实值的误差，分析即可得答案.（2）令2502000x +>，可求得x 的范围，根据所给数据进行分析，即可得答案.【详解】（1）由题意，把1x =，2，3代入()f x 得：52,4254,9358,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1a =，1b =-，52c =，所以()252f x x x =-+，所以()24445264f =-+=，()25555272f =-+=，()26665282f =-+=，则()4662f -=，()58210f -=，()611533f -=；把1x =，2，3代入()xy g x p q r ==⋅+，得：2352,54,58,pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1p =，2q =，50r =，所以()250xg x =+，所以()4425066g =+=，()5525082g =+=，()66250114g =+=，则()4660g -=，()5820g -=，()61151g -=因为()4g ，()5g ，()6g 更接近真实值，所以应将250x y =+作为模拟函数；（2）令2502000x +>，解得2log 1950x >由于101121024195020482=<<=即()2log 195010,11∈，所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．21．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b 或.(1)求,a b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有221x y k +≥-恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)1,2a b ==(2)[]3,3-【分析】（1）由一元二次不等式的解集可得该二次不等式对应的一元二次方程的两个根，再利用韦达定理即可解出,a b 的值.（2）221x y k +≥-恒成立等价于()2min 12k x y -≤+，结合（1）的结论再利用均值不等“1”的代换即可求出()min 2x y +，最后解出不等式即可.【详解】（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b 或，所以1,b 为方程2320ax x -+=的两个根，由韦达定理可得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.故：1,2a b ==（2）因为0x >，0y >时，有121x y+=，所以()1242222428x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即2,4x y ==时等号成立.又因为221x y k +≥-恒成立，所以()2min 12k x y -≤+，即218k -≤，解得33k -≤≤.故：k 的取值范围为[]3,3-.22．已知函数()()()log log 2(01)m m f x x m x m m m =-+->≠且.(1)当12m =时，解不等式()2log 50f x +>；(2)若对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，求实数m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在5,,2m αβ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使()f x 在区间[α，β]上的值域是[]log ,log m m βα？若存在，求实数m 的取值范围:若不存在，说明理由.【正确答案】(1){}13x x <<(2)112m ≤<(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；（2）根据对数函数性质求得()f x 在[3,4]m m 上的最大值max ()f x ，由max ()1f x ≤可得；（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5(,)2m+∞上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．【详解】（1）∵12m =∴()()11221log log 12f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域为（1，+∞）.由()()1211222111log 1log 5log 1log 0225x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，化简得()1152x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得332x -<<，又1x >，∴所求不等式的解集为{}13x x <<.（2）对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，等价于max ()1f x ≤，∵()()()()22log 2log 32([3,4])m m f x x m x m x mx m x m m ⎡⎤=--=-+∈⎣⎦设[]()22223323,424m t x mx m x m x m m ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭则t 在[3,4]m m 上是增函数，下面按照log m y t =的单调性分类讨论:当01m <<时，()f x 在[3,4]m m 上递减，则()()()2max 3log 21m f x f m m ==≤，解得112m ≤<，当1m >时，()f x 在[3,4]m m 上递增，则()()()2max 4log 61m f x f m m ==≤，解得106m <≤与1m >矛盾，故舍去.综上，112m ≤<.（3）∵112m ≤<，∴()f x 在(52m,+∞)上递减，∴()()log log m m f f ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()22a m a m m m αβββ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，即关于x 方程()()2x m x m x --=在(52m ,+∞)上有两个不等的实根，设()()()()222312h x x m x m x x m x m =---=-++，则22112Δ(31)80315225(02m m m m m m h ⎧≤<⎪⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪⎪>⎪⎩，即211261012103m m m m m ⎧≤<⎪⎪++>⎪⎪⎨<⎪⎪⎪>⎪⎩m ⇒∈∅．综上，不存在这样的α，β满足条件.结论点睛：一元二次方程根的分布：20ax bx c ++=(0)a >，记2()f x ax bx c =++，（1）方程20ax bx c ++=的两根都大于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩；（2）方程20ax bx c ++=的两根都小于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩；（3）方程20ax bxc ++=的一根大于m ，一根小于m ⇔()0f m <；（4）方程20ax bx c ++=的两根都都在区间(,)m n 上⇔Δ02()0()0b m n a f m f n ≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩．。

2020-2021学年江西省景德镇一中高一（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）集合，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[﹣1，+∞）D．[0，2]2．（5分）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，O′B′＝2，则原四边形AOBC的面积为（）A．12B．6C．D．3．（5分）已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面（）①若m∥α，m∥β，则α∥β，n⊥β，α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，则m∥n；④若m∥α，则m∥β．A．②③B．②④C．①②③D．①②④4．（5分）若已知函数f（x）为减函数，若a＝f（log47），b＝f（log23），c＝f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c5．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，圆C2：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离6．（5分）刍薨（chúhōng），中国古代算数中的一种几何形体．《九章算术》中记载“刍薨者，下有袤有广，刍，草也，薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽的矩形，刍薨字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍薨的三视图，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）（）A．8B．16C．8D．147．（5分）设函数，则使得f（3x）≤f（4x﹣1）（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．8．（5分）若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）A．4πB．8πC．12πD．24π10．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一个动点，且满足|DP|+|PB1|＝5+2，则直线B1P与直线AD1所成角的取值范围为（）（参考数据：sin53°＝）A．[37°，53°]B．[37°，90°]C．[53°，90°]D．[37°，127°]二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝的单调增区间为．14．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝9，过点M（1，1）的直线l与圆C交于A、B 两点．15．（5分）2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，﹣15），圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d ＝．16．（5分）已知f（x）＝x2+2x+a，若函数y＝f（f（x））﹣f（x），则实数a的取值集合是．三、解答题（本题共6题，第17题10份，其余每题12分，共70分）17．（10分）已知直线l：（2m+1）x+（m﹣2）y﹣5m＝0．（1）求证：直线l必经过定点P；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般方程．18．（12分）已知函数在其定义域内是奇函数．（1）求a，b的值及函数的定义域；（2）证明f（x）的单调性（要求用定义证明）．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ACB＝30°1＝3，BC1⊥A1C，E为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1EB；（2）求证：A1C⊥平面C1EB．20．（12分）已知一个动点P在圆x2+4x+y2﹣32＝0上移动，它与定点Q（6，0）所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足+＝，求直线l的方程．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，M为AD的中点（1）求证：EM∥平面P AC；（2）取PC中点F，证明：PC⊥平面AEF；（3）求点D到平面ACE的距离．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+mx﹣m，，且函数y＝f（x﹣2）是偶函数．（1）求g（x）的解析式；（2）若不等式g（lnx）﹣nlnx≥0在上恒成立；（3）若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．2020-2021学年江西省景德镇一中高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）集合，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∪B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[﹣1，+∞）D．[0，2]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合＝{y|y≥0}，B＝{x|x4﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}＝[﹣6，+∞）．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，O′B′＝2，则原四边形AOBC的面积为（）A．12B．6C．D．【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，A'C′∥O′B'，A'C′⊥B′C′，O′B'＝2；∴O'A'＝，所以原图形OACB中，AC∥OB，AC＝7，AO＝2A′O′＝2×，所以梯形OACB的面积为S＝×（1+2）×6．故选：C．【点评】本题考查了斜二侧画法的直观图应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同的平面（）①若m∥α，m∥β，则α∥β，n⊥β，α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，则m∥n；④若m∥α，则m∥β．A．②③B．②④C．①②③D．①②④【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．【解答】解：对于①，若m∥α，则α∥β或α与β相交；对于②，若m⊥α，α⊥β，故②正确；对于③，若m⊥α，则m⊥β，所以m∥n；对于④，若m∥α，则m∥β或m⊂β．所以说法正确的是②③．故选：A．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题．4．（5分）若已知函数f（x）为减函数，若a＝f（log47），b＝f（log23），c＝f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，然后根据f（x）为减函数，即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，0.22.6＜0.70＝1，∴，且f（x）为减函数，∴，∴b＜a＜c．故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，圆C2：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】根据题意，由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心距，分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y6﹣4x﹣4y﹣2＝0，即（x﹣2）7+（y﹣2）2＝10，其圆心为（7，半径R＝，圆C2：x2+y8+2x+8y﹣2＝0，即（x+1）8+（y+4）2＝25，其圆心为（﹣3，半径r＝5，两圆圆心距|C1C7|＝＝3，有5﹣＜3，则两圆相交，故选：B．【点评】本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的标准方程，属于基础题．6．（5分）刍薨（chúhōng），中国古代算数中的一种几何形体．《九章算术》中记载“刍薨者，下有袤有广，刍，草也，薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽的矩形，刍薨字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍薨的三视图，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）（）A．8B．16C．8D．14【分析】根据勾股定理计算三角形和等腰梯形的高，从而得出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知几何体由两个等腰梯形和两个三角形组成，几何体高为2，由主视图可知三角形面的高为＝，由侧视图可知梯形面的高为＝，∴几何体（无底）的表面积为×4+．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图与表面积计算，属于基础题．7．（5分）设函数，则使得f（3x）≤f（4x﹣1）（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性与奇偶性，将不等式合理转化，即可求解．【解答】解：函数的定义域为R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，且f（x）在R上单调递减，所以不等式f（3x）≤f（4x﹣6）等价于3x≥4x﹣3，解得x≤1，即x的取值范围是（﹣∞，1]．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于基础题．8．（5分）若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】曲线表示以C（0，2）为圆心、半径等于2的半圆，当直线y＝x+b过点（0，4）时，可得b＝4，满足条件，当直线y＝x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径求得b，数形结合可得实数b的取值范围．【解答】解：曲线方程变形为x2+（y﹣2）4＝4（y≥2），表示圆心C为（6，半径为2的上半圆，据题意画出图形，如图所示：当直线y＝x+b过点（0，8）时，满足直线y＝x+b与曲线y＝2+．当直线y＝x+b和半圆相切时，由2＝或b＝6﹣2，故直线y＝x+b与曲线y＝8+有两个不同的公共点时，2+2），故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9．（5分）已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）A．4πB．8πC．12πD．24π【分析】构造一个各棱长为2的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，则四面体的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：构造一个各棱长为2的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱长为，则此四面体的外接球即为正方体的外接球．此球的直径为正方体的体对角线，则外接球的半径R＝，∴该球表面积S＝4πR2＝．故选：C．【点评】本题考查球的表面积的求法，训练了分割补形法，考查运算求解能力，是中档题．10．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】分别取棱A1B1，A1D1的中点M，N，连结MN，B1D1，连结NF，可证明平面AMN∥平面BDEF，得到点P在线段MN上，分析判断点P的位置来确定AP的最值即可．【解答】解：如图所示，分别取棱A1B1，A7D1的中点M，N，连结MN，B1D6，因为M，N，E，F分别为所在棱的中点，则MN∥B1D1，EF∥B6D1，所以MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，所以MN∥平面BDEF，连结NF，可得NF∥A1B7，NF＝A1B1，所以四边形ANFB是平行四边形，所以AN∥FB，因为AN⊄平面BDEF，故AN∥平面BDEF，又AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面BDEF，因为P是上底面A5B1C1D3内一点，且AP∥平面BDEF，所以点P在线段MN上，在Rt△AA1M中，，同理，在Rt△AA1N中，可得，所以△AMN为等腰三角形，当P在MN的中点时，AP最小为，当P与M或N重合时，AP最大为，故线段AP长度的取值范围是．故选：C．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的性质定理和判定定理以及面面平行的性质定理和判定定理的应用，解题的关键是通过构造平行平面找到点P的位置，属于中档题．11．（5分）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解（）A．B．C．D．【分析】根据解析式作出图象，将关于x的方程恰有两个互异的实数解，转化为y＝f（x）与的图象由两个不同的交点，由临界点位置得到，由直线在x＞1时与相切得到m＝1，综合可得答案．【解答】解：作出函数f（x）和函数的图象如下所示：关于x的方程恰有两个互异的实数解的图象有两个不同的交点，平移，考虑直线经过点（3，1）时有两个交点或，考虑直线在x＞1时与，可得2﹣2＝0，得m＝1或﹣2（舍），综上所述，m的取值范围为．故选：B．【点评】本题考查在函数与方程的数学思想上解决函数图象的交点问题，考查数形结合思想，属于较难题目．12．（5分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一个动点，且满足|DP|+|PB1|＝5+2，则直线B1P与直线AD1所成角的取值范围为（）（参考数据：sin53°＝）A．[37°，53°]B．[37°，90°]C．[53°，90°]D．[37°，127°]【分析】首先以点D为原点建立空间直角坐标系，证明DB1⊥平面A1B1C1，并求B1O＝3，D1O＝6，然后将异面直线AD1与B1P所成的角，转化为BC1与B1P所成的角，再如图建立第二个坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角的余弦值，再求角的范围即可．【解答】解：如图，建立空间直接坐标系，交平面ABC于点O，D（0，0.3），B1（3，3，2）、A1（5，0，7）、B（3，3，C7（0，3，3），＝（3，2，3）、＝（0，5），＝（﹣3，2，3），•＝0，•，∴DB1⊥A4B，DB1⊥BC1，A7B∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A3BC1，根据等体积转化可知V＝V，即B1O＝（3）3，解得B1O＝3，B3D＝3×＝9，∵AD1∥BC6，∴异面直线AD1与B1P所成的角，转化为BC2与B1P所成的角，如图，将部分几何体分类出来，取BC1的中点E，过点O作OF∥BC4，则以点O为原点，OF，OB1为x，y，z轴的正方向，P（x，y，0），B8（0，0，2），0，﹣6），，8），C1（﹣，，0），＝（x，y，﹣3），，0，0），∵|DP|+|PB4|＝5+2，∴+＝5+3，∵x2+y2+3＜x2+y2+36，即|PB7|＝5，|PB1|＝3，即x2+y2+2＝25，即x2+y2＝16，x∈[﹣6，cos＜，＞＝＝∈[﹣，]，因为异面直线所成的角是锐角，并设为θ，则cosθ∈（0，]，∵sin53°＝，cos37°＝．∴θ∈[37°，90°]，故选：B．【点评】本题主要考查空间异面直线所成角的求解，建立坐标系求出向量坐标，利用坐标法是解决本题的关键，本题综合性较强，运算量较大，是个难题．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝的单调增区间为[0，2]．【分析】根据复合函数的单调性之间的关系求函数的单调区间．【解答】解：设t＝g（x）＝﹣x2+4x，则y＝，由t＝g（x）＝﹣x8+4x≥0，解得x2﹣4x≤0，即4≤x≤4，又函数由t＝g（x）＝﹣x2+5x的对称轴为x＝2，抛物线开口向下，∴函数t＝g（x）＝﹣x2+6x的单调增区间为[0，2]，8]．∴函数f（x）＝的单调增区间为[8．故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用，注意要先求函数的定义域．14．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝9，过点M（1，1）的直线l与圆C交于A、B 两点2x+y﹣3＝0．【分析】由已知求得圆C的圆心坐标与半径，当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，求出直线CM的斜率，由直线垂直与斜率的关系可得直线AB的斜率，由直线的点斜式方程得答案．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y﹣8）2＝9的圆心C为（2，2），点M（1，4）在圆C内部，当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，此时K CM＝，则K AB＝﹣2，此时直线AB的方程为y﹣1＝﹣8（x﹣1），变形可得2x+y﹣3＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长|AB|最短的条件，属于基础题．15．（5分）2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，﹣15），圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．【分析】由题意圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l的方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d．【解答】解：由题意圆L与圆S关于原点对称，设S（a，则＝15+2，即S（5，0），0），设方程为y＝kx（k≠4），则三个圆心到该直线的距离分别为d1＝，d2＝，d4＝，则d3＝4（4﹣d62）＝4（3﹣d22）＝2（225﹣d32），则由4﹣（）2＝4﹣（）5＝225﹣（）3，解得k2＝，则d6＝4（4﹣）＝5（4﹣，所以d＝，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．16．（5分）已知f（x）＝x2+2x+a，若函数y＝f（f（x））﹣f（x），则实数a的取值集合是{0}．【分析】利用换元法，结合一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：令f（x）＝t，则t2+t+a＝0有两个不等实数根t3，t2，则，令g（x）＝x2+2x，若使函数f（f（x））＝f（x）有且有3根2+2x的图象与直线y＝t2﹣a，y＝t2﹣a恰有3个公共点，所以必有一条直线经过g（x）＝x2+2x的顶点，不妨设t1﹣a＝﹣8，而t2﹣a＞﹣1，故有t3＝a﹣1，t2＝﹣a，所以t4t2＝（a﹣1）（﹣a）＝a，解得a＝8，故答案为：{0}【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，正确分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题（本题共6题，第17题10份，其余每题12分，共70分）17．（10分）已知直线l：（2m+1）x+（m﹣2）y﹣5m＝0．（1）求证：直线l必经过定点P；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般方程．【分析】（1）先在直线的方程中分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l经过的定点坐标．（2）设直线l的方程为x+y＝λ，把定点坐标代入，求得λ的值，可得直线l的方程；再求出直线经过原点时的方程，综合，可得结论．【解答】解：（1）证明：∵直线l：（2m+1）x+（m﹣6）y﹣5m＝0，即m（5x+y﹣5）+x﹣2y＝7，令2x+y﹣5＝5，求得x＝2，y＝1，4）．（2）∵直线l在两坐标轴上的截距相等，设直线l的方程为x+y＝λ，把定点（2，1）代入，可得直线l的方程为x+y＝5．当直线l经过原点时，斜率为＝（x﹣5），即直线l的方程为x+y﹣3＝0，或x﹣8y＝0．【点评】本题主要考查经过定点的直线方程的求法，用待定系数法求直线的方程，属于中档题．18．（12分）已知函数在其定义域内是奇函数．（1）求a，b的值及函数的定义域；（2）证明f（x）的单调性（要求用定义证明）．【分析】（1）由f（0）＝0，求得a，再由奇函数的定义域关于原点对称，求得b的值，进而得定义域；（2）由（1）知，f（x）＝log2021，再根据“五步法”证明函数的单调性即可．【解答】（1）解：由题意知，f（0）＝02021＝3，∴a＝1，由＞0（b＞0），得，∵奇函数的定义域关于原点对称，∴b＝1，f（x）的定义域为（﹣1，综上，a＝4，f（x）的定义域为（﹣1．（2）证明：由（1）知，f（x）＝log2021，任取﹣1＜x1＜x7＜1，则f（x1）﹣f（x7）＝log2021﹣log2021＝log2021（•）＝log2021（•），∵﹣1＜x1＜x8＜1，∴＞2，，∴•＞11）﹣f（x3）＞0，故f（x1）＞f（x4），∴函数f（x）在其定义域内单调递减．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，对数的运算法则，熟练掌握定义法证明函数单调性的步骤是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ACB＝30°1＝3，BC1⊥A1C，E为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面C1EB；（2）求证：A1C⊥平面C1EB．【分析】（1）取A1C1中点D，连接AD，B1D，推导出BE∥B1D，AE DC1，从而四边形AEC1D是平行四边形，进而AD∥C1E，由此能证明平面ADB1∥平面C1EB，从而AB1∥平面C1EB．（2）证明BE⊥AC，推出BE⊥平面A1ACC1，得到BE⊥A1C．结合BC1⊥A1C，证明A1C ⊥面C1EB．【解答】证明：（1）取A1C1中点D，连接AD，B3D，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C6中，E为AC的中点．∴BE∥B1D，AE1，∴四边形AEC5D是平行四边形，∴AD∥C1E，∵AD∩DB1＝D，AD⊂平面ADB6，DB1⊂平面ADB1，BC6∩BE＝B，BC1⊂平面C1EB，BE⊂平面C4EB，∴平面ADB1∥平面C1EB，∵AB8⊂平面ADB1，∴AB1∥平面C6EB．（2）∵BA＝BC，E为AC的中点，又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A7ACC1∩平面ABC＝AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面A1ACC8，又A1C⊂平面A1ACC5，∴BE⊥A1C．又BC1⊥A8C，BE∩BC1＝B，∴A1C⊥面C3EB．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．20．（12分）已知一个动点P在圆x2+4x+y2﹣32＝0上移动，它与定点Q（6，0）所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹方程交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足+＝，求直线l的方程．【分析】（1）利用代入法求点M的轨迹方程．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，满足条件，当直线Ll的斜率存在时，设直线l：y＝kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线l的方程，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）设M（x，y）1，y1），由中点的坐标公式解得x6＝2x﹣6，y8＝2y，点P在圆x2+2x+y2﹣32＝0上，即点P在圆（x+2）2+y2＝36上，所以（4x﹣4）2+（7y）2＝36，所以点M的轨迹方程是（x﹣3）8+y2＝9．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝8，），B（0，﹣），此时x1＝x2＝8，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx﹣3，则，消去y，得（1+k2）x5﹣（4+6k）x+6＝0，由根与系数的关系得x1+x4＝，x1x3＝，由已知+＝，可得+＝，x1x6⇒7k2﹣24k+17＝5⇒k＝1或k＝，经检验Δ＞5．综上，直线l为：x﹣y﹣3＝0．【点评】本题考查的知识点是轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，是直线与圆的综合应用，属于中档题．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，M为AD的中点（1）求证：EM∥平面P AC；（2）取PC中点F，证明：PC⊥平面AEF；（3）求点D到平面ACE的距离．【分析】（1）可得EM∥P A，即可证明ME⊄平面P AC，则EM∥平面P AC．（2）取PC中点F，只需证明PC⊥AF，PC⊥CD即可证明PC⊥平面AEF．（3）设点D到平面ACE的距离为h，利用，即可得点D到平面ACE的距离．【解答】解：（1）因为E为PD的中点，M为AD的中点，EM∥P A，∵P A⊂平面P AC，ME⊄平面P AC（2）证明：取PC中点F，在Rt△ABC中，AB＝2，则．而P A＝4，则在等腰三角形APC中．①…（4分）又在△PCD中，PE＝ED，则EF∥CD因为P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，…（5分）又∠ACD＝90°，即AC⊥CD，则CD⊥平面P AC，所以PC⊥CD因此EF⊥PC．②…（6分）又EF∩AF＝F，由①②知（3）在Rt△ACD中，，∴…（8分）又EM∥P A，P A⊥平面ABCD，即EM为三棱锥E﹣ACD的高…（7分）∴…（10分）在△ACE中，，∴S△ACE＝8…（11分）设点D到平面ACE的距离为h，则∴，即点D到平面ACE的距离为．…（12分）【点评】本题考查了线面平行、垂直，点到面的距离，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+mx﹣m，，且函数y＝f（x﹣2）是偶函数．（1）求g（x）的解析式；（2）若不等式g（lnx）﹣nlnx≥0在上恒成立；（3）若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．【分析】（1）根据y＝f（x﹣2）是偶函数求得表达式，算出m的值进而求得g（x）的解析式即可；（2）换元法令t＝lnx，再求解g（lnx）﹣nlnx的最小值，化简利用二次不等式进行范围运算即可；（3）换元法令，将函数的零点问题转化为有三个根，结合复合函数的零点问题分析即可．【解答】解：（1）将f（x）向右平移2个单位得到y＝f（x﹣2），因为y＝f（x﹣3）是偶函数，关于y轴对称，所以f（x）关于x＝﹣2对称，即，解得m＝4，所以f（x）＝x2+8x﹣4，所以；（2）令t＝lnx，因为，0），不等式g（lnx）﹣nlnx≥8在上恒成立，0）上恒成立，所以，令，令，则，所以z＝﹣4s2+8s+1，故当时，z取得最大值为﹣2，所以n≥﹣2；（3）令，则p≥7，方程可化为，即，即，又因为方程有三个实数根，所以有一个根为2，所以p5﹣5p+6＝6，解得p＝2或p＝3，由，解得x＝0，由，解得x＝±6，所以函数的零点为0，﹣2，6．【点评】本题主要考查了二次函数解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用，包括二次函数的范围问题与函数的零点问题，属于难题．。

2023-2024学年江西省高一上册期末考试数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}15A x x =≤≤，{}2340B x x x =--≤，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{}45x x <≤B ．{}45x x ≤≤C ．{}14x x ≤≤D ．{}11x x -≤≤【正确答案】A【分析】先求出集合B ,再利用集合A ,B 表示出阴影部分的集合，最后利用集合的运算求解即可.【详解】由已知得，集合{}14B x x =-≤≤，则{}14A B x x ⋂=≤≤，阴影部分表示的集合为(){}=45A A B x x ⋂<≤ð故选.A2．下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则22a c b d ->-B ．若a ，b ∈R ，则2ab b a +≥C ．若0a b >>，0m n >>，则b b m a a n+<+D ．若||a b >，则22a b >【正确答案】C【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A ：令2a =，1b =；1c =，0d =，则20a c -=，21b d -=，不满足22a c b d ->-，故A 错误；B ：a ，b 异号时，不等式不成立，故B 错误；C ：()()()()b m b b m a b a n ma nb a n a a n a a n a ++-+--==+++，0a b >> ，0m n >>，0am bm ∴->，即b m ba n a+>+，故C 正确；D ：令1a =，2b =-，22a b >不成立，故D 错误.故选：C3．已知“0x ∃∈R ，0200x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．14a >-B ．14a ≥-C ．14a -≤D ．14a <-【正确答案】A【分析】由题知()2mina x x>-，再根据二次函数求最值即可求解.【详解】因为命题“0x ∃∈R ，0200x x a --<”为真命题，所以命题“0x ∃∈R ，002a x x >-”为真命题，所以x ∈R 时，()2mina x x>-，因为221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以当12x =时，min 14y =-，所以14a >-.故选：A4．已知命题p :对于任意x ∈[1，2]，都有20x a -≥；命题q :存在x ∈R ，使得2220.x ax a ++-=若p 与q 中至少有一个是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤-2B ．a ≤1C ．a ≤-2或a =1D ．2a >-且1a ≠【正确答案】D【分析】根据题意，求出命题p 和命题q 为真命题时a 的取值范围，求出它们都为真时的a 的取值范围，再求补集即可．【详解】根据题意，命题p ：任意x ∈[1，2]，20x a -≥，若命题p 为真，必有2min ()1a x ≤=，即a ≤1；对于命题q ,存在x ∈R ，2220x ax a ++-=，若命题q 为真，即方程2220x ax a ++-=有解，则有244(2)0a a ∆=--≥，解可得：a ≥1或a ≤−2，若命题p 与q 都是真命题，即112a a a ≤⎧⎨≥≤-⎩或，则有a ≤−2或a ＝1；若p 与q 中至少有一个是假命题，则实数a 的取值范围是2a >-且1a ≠故选：D.5．用条形图描述某班学生的一次数学单元测验成绩（满分100分）.如图所示，由图中信息给出下列说法：①该班一共有50人；②如果60分为合格，则该班的合格率为88%；③人数最多的分数段是80-90；④80分以上（含80分）占总人数的百分比为44%.其中正确说法的个数为：（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】D【分析】利用条形图进行数据分析，对四个说法一一判断，即可.①直接相加，即可求出该班人数；②直接计算该班的合格率；③由条形图直接判断；④直接计算出80分以上(含80分)占总人数的百分比，即可判断.【详解】根据条形图进行数据分析：①该班一共有2+4+10+12+14+8=50(人),此项正确；②5042100%88%50--⨯=，此项正确；③由条形图可知：人数最多的分数段是80-90,此项正确;④80分以上(含80分)占总人数的百分比为148100%44%,50+⨯=,此项正确.故选：D6．已知用二分法求函数()f x 在(1,2)内零点近似值的过程中发现，(1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则可以确定方程()0f x =的根所在区间为（）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．无法确定【正确答案】B【分析】根据零点存在性定理可直接判断.【详解】由(1.25)0f <，(1.5)0f >，可判断方程()0f x =的根所在区间为(1.25,1.5).故选：B.7．已知：0,0,2a b a b >>+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值1B ．ab 有最小值1C ．11a b+有最大值4D ．11a b+有最小值4【正确答案】A【分析】利用基本不等式进行判断即可.【详解】因为0,0,2a b a b >>+=，所以有2()12a b ab +≤=，当且仅当1a b ==时取等号，因此选项A 正确，选项B 错误；因为0,0,2a b a b >>+=，所以有1111111()()()(2)(222222b a a b a b a b a b +=⋅++=++≥+，当且仅当ba a b=时取等号，即当且仅当1a b ==时取等号，所以选项D 不正确，当17,44a b ==时，显然有114447a b +=+>，因此选项C 不正确，故选：A8．函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],()a b D a b ⊆<，使得()f x 在[],a b 上的值域也是[],a b ，则称()y f x =为高斯函数.若()f x k =实数k 的取值范围是（）A ．11,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．111,24⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】判定函数()f x 的单调性，然后根据条件建立方程组，可知,a b 是方程k x =在[)3,x ∈+∞上的两个不等实根，令t =，则230t t k -+-=在[)0,t ∈+∞上有两个不等实根，令2()3g t t t k =-+-，建立关于k 的不等式组，解之即可．【详解】()f x k =[)3,x ∈+∞上单调递增，则()()f a k af b k b⎧==⎪⎨==⎪⎩所以,a b 是方程k x =在[)3,x ∈+∞上的两个不等实根，令t ，则()230x t t =+≥，所以230t t k -+-=在[)0,t ∈+∞上有两个不等实根，令2()3g t t t k =-+-，对称轴12t =，则(0)0Δ14(3)0g k ≥⎧⎨=-⨯->⎩，即304110k k -≥⎧⎨->⎩，解得11,34k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：B ．二、多选题9．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.【详解】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.10．根据关于世界人口变化情况的三幅统计图（如图所示），有下列四个结论：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口将达到大约15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．其中所有正确结论的编号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【正确答案】AC【分析】根据统计图一一分析即可；【详解】解：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；②从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错；③从扇形统计图中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；④由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．因此正确的命题有①③．故选：AC ．11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x=--【正确答案】ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值0x =即可判定A ；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得()f x 在(,0]-∞上有最大值，进而判定B ；利用奇函数的单调性性质判定C ；利用奇函数的定义根据0x >时的解析式求得0x <时的解析式，进而判定D ．【详解】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，故A 正确；当0x ≥时，()1f x ≥-，且存在00x ≥使得()01f x =-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，且当0x x =-有()01f x -=,∴()f x 在(,0]-∞上有最大值为1，故B 正确；若()f x 在[1,)+∞上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，故C 错误；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，故D 正确．故选：ABD ．本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．12．对任意两个实数a ，b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()24f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 有3个单调区间D ．函数()F x 有最大值为4，无最小值【正确答案】AB【分析】由题意写出()F x 解析式，后画出()F x 图像，据此可得答案.【详解】当224x x -≤，即x ≤x ≥时，()F x =24x -；当224x x ->，即x <<时，()F x 2x =.则()22244x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=-<⎨⎪-≥⎪⎩，，，，画出图像如下.对于A 选项，因()()F x F x =-，且x ∈R ，则函数()F x 是偶函数，A 正确.对于B 选项，由图可得()0F x =有三个解，B 正确.对于C 选项，由图可得()F x 有4个单调区间，故C 错误.对于D 选项，由图可得()F x 有最大值为2，无最小值，故D 错误.故选：AB三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值等于___________.【正确答案】14##0.25【分析】设幂函数解析式为()f x x α=，代入点12,2⎛⎫⎪⎝⎭可求得1α=-，计算(4)f 即可【详解】由题意，设幂函数解析式为()f x x α=，过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭故122α=，解得1α=-故1()f x x -=则1(4)4f =故1414．计算：20.258lg83lg52-+=______.【正确答案】80根据指数幂与根式的互化，由指数运算法则，以及对数运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】422312log log 30.25448lg 83lg 5222lg 8lg12522lg10008180-+=⨯--+=-+=.故答案为.80本题主要考查指数幂与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.15．已知函数2log 3,(0)()23,(0)x x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则211log 43f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________．【正确答案】1.【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可.【详解】因为2log 3,(0)()23,(0)xx x f x x -->⎧=⎨+⎩所以211log 3544f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，221log log 3321log 23233363f -⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭所以211log 143f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故116．若函数()f x 为奇函数，且()()11f x f x +=-，若()12f =，则()()20222023f f +=_________．【正确答案】2-【分析】由奇函数的性质结合()()11f x f x +=-得出函数()f x 的周期为4，再由周期性求函数值.【详解】因为()()()()1111fx f x -+=--，所以()()2f x f x =-.因为函数()f x 为奇函数，所以()()2f x f x --=-.即()()()24f x f x f x =-+=+，故函数()f x 的周期为4.()2(0)0f f =-=，()(1)23f f =-=-()()()()()()245052450532022202323f f f f f f ⨯+⨯++=+=+=-故2-四、解答题17．已知全集U =R ，若集合{}24A x x =-<<，{}0B x x m =-<.（1）若3m =，求()U A C B ⋂；（2）若A B A = ,求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）[3,4)（2）4m ≥【分析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；（2）由A B A ⋂=可得A B ⊆，利用集合的包含关系求解即可.【详解】（1）当时，，所以，因为，所以；（2）由得，，所以本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.18．某企业为了降低生产部门在产品生产过程中造成的损耗，特成立减少损耗技术攻关小组，企业预期每年能减少损耗10万元～1000万元．为了激励攻关小组，现准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随减少损耗费用x （单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％．(1)若建立函数()f x 模型奖励方案，试用数学语言表述企业对奖励函数()f x 模型的基本要求；(2)现有三个奖励函数模型；①314y x =+；②20lg 10y x =-；③()2110100002000y x x =-+．试分析这三个函数模型是否符合企业要求．【正确答案】(1)当[]10,1000x ∈时，Ⅰ、函数()f x 为增函数，Ⅱ、()12f x x ≤恒成立；(2)函数模型③.【分析】（1）随减少损耗费用x （单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％，即是增函数与()12f x x ≤，翻译成数学语言即可.（2）分别验证这三个模型是否满足在定义域下为增函数且()12f x x ≤.【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，则企业对函数模型的基本要求是：当[]10,1000x ∈时，Ⅰ、函数()f x 为增函数，Ⅱ、()12f x x ≤恒成立．（2）Ⅰ．对于①函数模型，由()31142f x x x =+>，该模型不符合企业奖励方案；Ⅱ．对于②函数模型，由()11020lg101010102f =-=>⨯，故当10x =时，()12f x x ≤不恒成立，该模型不符合企业奖励方案；Ⅲ．对于③函数模型，二次函数()f x 的对称轴为1051021x -=-=<⨯，故函数()f x 在区间[]10,1000上单调递增；令()()12g x f x x =-()211101000020002x x x =-+-()211010100002000x x =-+()()11010002000x x =--当101000x ≤≤时，100x -≥，10000x -≤，故()()110100002000x x --≤．得当[]10,1000x ∈时，()12f x x ≤恒成立．由上知，函数模型③()2110100002000y x x =-+符合企业奖励方案．19．已知函数()()2x a a x x f b =+++．(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}23x x <<，求a ，b 的值；(2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．【正确答案】(1)6,11a b ==-；(2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式解法可知2，3为方程()0f x =的两个根，然后利用韦达定理求解即可；（2）化简()()()()2110f x x a x a x a x =+++=++>，讨论a 的取值分别求解不等式即可．【详解】（1）由条件知，关于x 的方程()20x a b x a +++=的两个根为2和3，所以()2323a b a ⎧-+=+⎨=⨯⎩，解得611a b =⎧⎨=-⎩．（2）当1b =时，()()210f x x a x a =+++>，即()()10x a x ++>，当1a -<-时，即1a >时，解得x a <-或1x >-；当1a -=-时，即1a =时，解得1x ≠-；当1a ->-时，即1α<时，解得1x <-或x a >-．综上可知，当1a <时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞-⋃-+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞-⋃-+∞．20．为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：cm ）按[)140150,，[)150,160，[)160,170，[)170,180，[]180,190分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值；(2)求100名学生中身高在[)150,170内的人数；(3)估计这100名学生身高的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【正确答案】(1)0.02(2)50人(3)166.2cm【分析】（1）利用频率和为1可求得结果.（2）求出身高在[)150,170的频率即可得到人数.（3）直接利用平均数公式计算即可.【详解】（1）()0.10.030.0280.0120.010.02a =-+++=（2）由图可知，身高在[)150,170内的频率为()0.020.03100.5+⨯=，故这100名学生中身高在[)150,170有50人（3）平均数为()()1450.011550.021650.031750.0281850.01210166.2cm ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即这100名学生身高的平均数为166.2cm ．21．已知()311log 1x f x x-=++.（1）求1120192019f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值.【正确答案】（1）2；（2）2【分析】（1）由解析式可求得()f x -，得到()()2f x f x -+=，进而求得结果；（2）通过分离常数法，将解析式化为()321log 11f x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭；根据11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合不等式的性质及对数函数的单调性可求得()f x 值域，进而得到最大值.【详解】（1）由()311log 1x f x x -=++得：()33111log 1log 11x x f x x x +--=+=--+()()2f x f x ∴-+=11220192019f f ⎛⎫⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()33321121log 1log 1log 1111x x f x x xx -+-⎛⎫=+=+=+- ⎪+++⎝⎭当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，131,22x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦24,413x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦211,313x ⎡⎤∴-∈⎢⎥+⎣⎦[]32log 11,11x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭[]321log 10,21x ⎛⎫∴+-∈ ⎪+⎝⎭∴当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()y f x =的最大值为2本题考查函数性质的应用、分离常数法求解函数的值域等知识；关键是能够根据解析式的特征，结合对数函数运算性质得到()()f x f x -+的值；处理与分式型有关的函数值域问题时，通常采用分离常数法，结合不等式的性质来求得值域.22．设函数()x x f x a a -=-（x ∈R ，0a >且1a ≠）．(1)若()10f >，且不等式()()10f tx f x ++>在区间[]0,2恒成立，求实数t 的取值范围；(2)若()312f =，函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间(],1-∞上的最小值为2-，求实数m 的值．【正确答案】(1)3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)2m =-或2512m =【分析】（1）求得a 的范围，判断()f x 的奇偶性和单调性，并由此把问题转化为()11t x +>-在区间[]0,2恒成立，求解即可；（2）求出a 的值，得()()()2222222x x x x g x m --=---+，利用换元法，令22x x t -=-，设()222G t t mt =-+，转化为二次函数求最值问题，分类讨论求解即可．【详解】（1）()1110f a a a a-=-=->，因为0a >，解得1a >，因为()()f x f x -=-，且x y a =，x y a -=-在R 上为单调递增函数，则函数()x x f x a a -=-为R 上单调递增的奇函数，不等式()()10f tx f x ++>等价于()()()1f tx f x f x +>-=-，所以1tx x +>-，即()11t x +>-在区间[]0,2恒成立，当0x =时，01>-，则R t ∈，当(]0,2x ∈时，11t x +>-，即max1112t x ⎛⎫+>-=- ⎪⎝⎭，解得32t >-，综上所述，实数t 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1211132a a a a f a a ---====-，即22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍），所以()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+，令22x x t -=-，则22x x t -=-在(],1-∞单调递增，所以1322222x x t -=-≤-=，即32t ≤，设()222G t t mt =-+，对称轴为t m =，当32m ≥时，则()G t 在区间3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，则()2min3331722322224G t G m m ⎛⎫⎛⎫==-⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：253122m =>符合题意，当32m <时，则()G t 在区间(],m -∞单调递减，在区间3,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()()22min 222G t G m m m ==-+=-，解得：2m =-或2m =（舍），综上所述2m =-或2512m =．。