冲刺名校内部资料(高一数学课堂练习5)

专题3.12 解答（30道）冲刺篇（期末篇）1．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()2f x f x -=-，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），试判断()f x 是否为“局部中心函数”，并说明理由； （2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()f x 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）1m -≤≤ 解：（1）由题意，()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），所以()2241f x ax x a -=--+，()2222241124f x ax x a ax x a -=--+-=--+，当()()2f x f x -=-时，22241124ax x a ax x a --+=--+解得：2(4)0a x -=， 由于a R ∈，所以2x =±， 所以()f x 为“局部中心函数”. （2）因为()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，所以方程()()2f x f x -=-有解，即12124232423x x x x m m m m --++-⋅+-=-+⋅-+在R 上有解， 整理得：2442(22)280xxx x m m --+-⋅++-=，令22x x t -+=，[2,)t ∈+∞，故题意转化为2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，设函数22()2210g t t m t m =-⋅+-，当(2)0g ≤时，2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 即2442100m m -+-≤， 解得：13m -≤≤； 当(2)0g >时，则需要满足(2)002g m >⎧⎪∆≥⎨⎪>⎩才能使2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，解得：3m <≤综上：1m -≤≤2．设2,1()1,12,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩．（1）在图的直角坐标系中画出()f x 的图像； （2）若()2f t =，求t 值； （3）求函数()f x 的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）2t =-或t =2t =；（3）-1. （1）()f x 的图像如下边：（2）当1t ≤-时，()2f t t =-=，∴2t =-； 当12t -<<时，()212f t t =-=，解得：t =当2t ≥时，()2f t t ==，∴2t =， 综上所述：2t =-或t =，或2t =．（3）由图可知：当(1,2)x ∈-时，2()11f x x =-≥-，所以函数()f x 的最小值为1-． 3．已知函数23(5)y x a a x b =-+-+.（1）当关于x 的不等式23(5)0x a a x b -+-+>的解集为1(2，3)2时，求实数a ，b 的值；（2）若对任意实数a ，2x =时，23(5)0x a a x b -+-+<恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）26a b =⎧⎨=-⎩或36a b =⎧⎨=-⎩；（2）1{|}2b b <-.解：（1）由题意可得，一元二次方程23(5)0x a a x b -+-+=的两根为1213,22x x ==， 结合韦达定理可得：13(5)22313223a a b -⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得：26a b =⎧⎨=-⎩或36a b =⎧⎨=-⎩. （2）由题意可得：122(5)0a a b -+-+<恒成立， 即：2210(12)0a a b -++-<恒成立，结合二次函数的性质可得：()1008120b =+-<，求解不等式可得实数b 的取值范围是1{|}2b b <-.4．已知集合()(){}221,2,21A m m m i =++-，{3,5}B =，若{3}A B ⋂=，求实数m 的值. 【答案】1解：由{3}A B ⋂=，()()22213m m m i ++-=，所以222310m m m ⎧+=⎨-=⎩.解方程组，得1m =. 5．已知函数()()()()log 2,log 2a a f x x g x x =+=-，其中(0a >且1)a ≠，设()()()h x f x g x =-．(Ⅰ)求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； (Ⅱ)若()22f =，求使()0h x <成立的x 的集合．【答案】(Ⅰ) 定义域为()-2,2；()h x 为奇函数；(Ⅱ){}|20x x -<<. (1)∵f (x )＝log a (2＋x )的定义域为{x |x >－2}， g (x )＝log a (2－x )的定义域为{x |x <2}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x >－2}∩{x |x <2}＝{x |－2<x <2}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2＋x )－log a (2－x )，∴h (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－[log a (2＋x )－log a (2－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数．(2)∵f (2)＝log a (2＋2)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(2＋x )－log 2(2－x )， ∴h (x )<0等价于log 2(2＋x )<log 2(2－x )，∴ 222020x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得－2<x <0.故使h (x )<0成立的x 的集合为{x |－2<x <0}． 6．（1）已知()1x f x x =+，求1(2)+()2f x f x（2）已知2(1)21f x x x +=++，求()f x 的解析式．【答案】(1) 1 ；（2）2()f x x =(1) ()x f x x 1因为=+ ，所以()1f 2x +f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =12212112x x x x+++ =2112121x x x +=++. （2）f （x+1）＝x 2+2x+1＝（x+1）2∴f （x ）＝x 2.7．已知集合{|015}A x ax =<+≤，函数()f x =B . (I)求集合B .(II)当1a =-时，若全集{|4}U x x =≤，求U C A 及()U A C B ⋂； (III)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(I) 1{|2}2B x x =-<≤(II) {|414}U C A x x x 或=<-≤≤，()1{|4}2U A C B x x ⋂=-≤≤-(III)a <-8或2a ≥ 【解析】(I)要使函数f(x)有意义，只需满足20210x x -≥⎧⎨+>⎩ ，解得122x -<≤，即集合1{|2}2B x x =-<≤；(II)当a=-1时，0<-x+1≤5,解得集合{|41}A x x =-≤<，全集{|4}U x x =≤，则{|414}U C A x x x 或=<-≤≤，1{|24}2U C B x x x =≤-<≤或,()1{|4}2U A C B x x ⋂=-≤≤-(III) A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若a=0,则A=R,若A ⊆B ,此种情况不存在. ②若a<0,则41{|}A x x a a=≤<-;若A ⊆B,如图,则41212a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩ ,812a a <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ,则a<-8,③若a>0,则14{|}A x x a a=-<≤,若A ⊆B,如图,则11242a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,则22a a ≥⎧⎨≥⎩，即2a ≥，综上知,此时a 的取值范围是a<-8或2a ≥. 8．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， （1）求()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）函数最小值为2，最大值为3;（2）(1,4). 【解析】 （1）由题意,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而得到函数的最大值与最小值；（2）由不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即31sin 2232m m x π-+⎛⎫<-< ⎪⎝⎭在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用三角函数的值域，得到关于m 的不等式，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：（1）∵函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴当236x ππ-=时，函数取得最小值为2，当232x ππ-=时，函数取得最大值为3.（2）若不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即31sin 2232m m x π-+⎛⎫<-< ⎪⎝⎭在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴3122m -<，且112m +>，由此求得1m >，或4m <， 故实数m 的取值范围为()1,4.9．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数y =f （x ）满足：①T ={f （x ）|x ∈S }；②对任意x 1，x 2，当x 1＜x 2时，恒有f （x 1）＜f （x 2），那么称函数y =f （x ）为集合S 到集合T 的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f （x ）=111x x --，f （x ）=tan （πx -2π）是否是集合A ={x |0＜x ＜1}到集合R 的保序同构函数；请说明理由．（2）若f （x ）=21xx +是集合[0，s ]到集合[0，t ]是保序同构函数，求s 和t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）s 的最大值为1，t 的最大值为12【解析】解：（1）由②知，函数为增函数即可． 若f （x ）=111x x--， 当0＜x ＜1时，-1＜-x ＜0，函数y =11x -为增函数，同时y =1x-为增函数， 即f （x ）=111x x--增函数，满足条件． 若f （x ）=tan （πx -2π），当0＜x ＜1时，0＜πx ＜π，-2π＜πx -2π＜2π，此时函数f （x ）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A ={x |0＜x ＜1}到集合R 的保序同构函数． （2）函数f （x ）为f ′（x ）=()222121x x xx +-⨯+=()22211x x -+，当x ＞0时，由f ′（x ）＞0得1-x 2＞0得x 2＜1，得0＜x ＜1，由f ′（x ）＜0得1-x 2＜0得x 2＞1，即x ＞1，即函数f （x ）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数， 则s 的最大值为1，t 的最大值为f （1）=12． 10．已知函数9()3x xaf x -=是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）用定义证明函数()f x 在(),-∞+∞上的单调性；（3）若对于任意的x ∈R 不等式22()(2)0f x x f x k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) 1a =;(2)单调增函数,证明见解析;(3)112k <-. (1)由函数9()3x xaf x -=是奇函数,且在0x =处有定义, 则()00f =解得1a =,当1a =时,()()911991333x x x x x x f x f x ------===-=-为奇函数满足题意,所以1a =; (2)单调递增函数,证明如下:设12x x R <∈,则由()()121212919133x x x x f x f x ---=-化简得()()()()1212121233313x x x x x x f x f x ++-+-=,因为12xx R <∈,所以1233x x <,即12330x x -<,所以()()()()12121212333103x x x x x x f x f x ++-+-=<即()()12f x f x <,所以函数()f x 在定义域上为单调递增函数;(3)由(2)得函数()f x 在定义域上为单调递增函数,且为奇函数,则不等式22()(2)0f x x f x k -+->可转化为: ()()()22222f x x f x k f k x->--=-,所以有222x x k x ->-在x R ∈上恒成立,即230x x k -->恒成立,则由1120k =+<解得112k <-. 11．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y （件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）170y x =-+；（2）售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 根据题意得1205014030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1170k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为170y x =-+；（2）()()90170W x x =--+226015300x x =-+-，()22260153001301600W x x x =-+-=--+，∴当130x =时，W 有最大值1600．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．12．已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品x 吨并全部销售完.每吨的销售收入为()R x 万元，且()21112,0153108009570,151x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪+⎩. （1）求该企业年总利润y （万元）关于年产量x （吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？【答案】（1）31100200,015310800103012,151x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪+⎝⎭⎩（2）年产量为10吨（1）由题意()()31100200,01532001210800103012,151x x x y xR x x x x x ⎧--<≤⎪⎪=-+=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪+⎝⎭⎩. （2）当015x <≤时，311002003y x x =--，2100y x '=-， ∵()0,10x ∈时，0y '>，(]10,15x ∈时，0y '<， ∴函数在()0,10递增，在()10,15递减， ∴当且仅当10x =时，y 有最大值14003； 当15x >时，108001030121y x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，∵()1080010800121211211x x x x +=++-++12708≥=， ∴1080010301210307083221y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪+⎝⎭，当且仅当()108001211x x =++，即29x =时，y 取最大值322. ∵14003223<，∴当且仅当10x =时，y 有最大值14003. 故当年产量为10吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大， 最大利润为14003万元. 13．已知函数()()()sin 0,0f x x b ωϕωϕπ=++><<的图象两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y 轴对称且经过坐标原点. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()210f x af x a -++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（2）1a ≤- （1）()()()sin 0,0f x x b ωϕωϕπ=++><<，22T ππ=⨯=，故2,2T ππωω==∴=.向右平移3π个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=sin 223x b πϕ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即2sin 223x b πϕ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，故232k ππϕπ-=+，即7,6k k Z πϕπ=+∈， 1k =-时满足条件，即6π=ϕ，2sin 203b πϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故1b =-. 故()sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即210t at a -++≤恒成立. 即()21g t t at a =-++的最大值小于等于零即可.故满足：()10200g g ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩， 即11104210a a a ⎧+++≤⎪⎨⎪+≤⎩ ，解得1a ≤- 14．已知函数()11f x x a x =++-，a R ∈.（1）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当1a <-时，求函数()f x 的最大值；（3）若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(1,1)-；(2) 2；（3）[1,)+∞. 【解析】(1)1,(1),()11(1)1,(11),(1)1,(1).a x a x f x x a x a x a x a x a x -++-<-⎧⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪++->⎩因为函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，且函数()f x 是连续不间断的，所以1010a a ->⎧⎨+>⎩，解得11a -<<，故所求实数a 的取值范围是(1,1)-.(2) 当1a <-时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以，当1x =时()f x 取得最大值(1)2f =.由不等式()2f x ≥恒成立知，(1)22f a -=≥，所以1a ≥，当1a =时，2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故()2f x ≥恒成立；当1a >时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,1)-上单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以，当1x =-时()f x 取得最小值(1)22f a -=>成立， 综上所述，实数a 的取值范围是[1,)+∞.15．已知22sin sin 21tan 42k ααππαα+⎛⎫=<< ⎪+⎝⎭试用k 表示sin cos αα-的值.【答案】sin cos αα-=由222sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )2sin cos sin cos sin 1tan 1cos cos αααααααααααααααα+++===+++， 所以2sin cos k αα=.又由2(sin cos )12sin cos 1k αααα-=-=-， 又因为42ππα<<，于是sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=16．求函数(1)log (164)xx y +=-的定义域．【答案】{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2} 【解析】因为164012,010,11x x x x x ⎧->∴-<<≠⎨+>+≠⎩ 即定义域为：{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}. 17．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ； （2）设不等式20x a x a+-≤-的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭；（2）94a ≥或14a <-． 【解析】（1）由题意知，方程20x x m --=在()1,1-上有解，即m 的取值范围就是函数2y x x=-在()1,1-上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭． （2）因为x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，所以M N ⊆且M N ≠ 若M N ⊆，分以下几种情形研究；①当1a =时，解集N 为空集，不满足题意，②当1a >时，2a a >-，此时集合{}|2N x a x a =-≤<，则12{42a a -≤-≥解得94a ≥，且94a =时，M N ≠，故94a ≥满足题意， ③当1a <时，2a a <-，此时集合{}|2N x a x a =<≤-，则1{422a a <--≥，解得14a <-． 综上，94a ≥或14a <-时x N ∈是x M ∈的必要不充分条件． 18．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]ab D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由； （2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数； （3）若0)y k k =+<是闭函数，求实数k 的取值范围【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）1(,0)4-（1）函数f （x ）在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数． （2）先证y ＝﹣x 3符合条件①：对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，且x 1＜x 2，有331221y y x x -=-＝()()22212121x x x x x x -++＝()222121113024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴y 1＞y 2，故y ＝﹣x 3是R 上的减函数．又因为y ＝﹣x 3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]． 所以函数y ＝﹣x 3（x ∈[﹣1，1]）为闭函数； （3）易知y k =+是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则有a k b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩故a ，b是x k =+22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪⎨⎪⎩有两个不等非负实根；设x 1，x 2为方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0的二根，则2212212(21)402100k k x x k x x k k ⎧∆=+->⎪+=+>⎪⎨=⎪⎪<⎩，解得：104-<<k ∴k 的取值范围：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． 19．函数1()26x f x x -=-，(3,2)x ∈-（1）用定义证明()f x 在(3,2)-上单调递减； （2）若(2)(21)0f a f a +--<，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）10a -<< （1）任取12,(3,2)x x ∈-，且12x x <，则()()()()211212033x x f x f x x x --=>--()f x 在(3,2)-上单调递减（2）3223212221a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得10a -<<20．已知函数2()(21)1f x ax a x a =-+++.（1）若1a =，直接写出关于x 的不等式()0xf x ≥的解集； （2）若0a ≠，求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）{|01x x ≤≤或2}x ≥；（2）当0a >时，不等式的解集为1|11x x a ⎧⎫<<+⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为1{|1x x a<+或 1}x >. （1）当1a =时，函数2()32(1)(2)f x x x x x =-+=--，由()0xf x ≥，可得(1)(2)0x x x --≥， 所以原不等式的解集为{|01x x ≤≤或2}x ≥.（2）由()0f x <，可得2()(21)1(1)[(1)]0f x ax a x a x ax a =-+++=--+<，令()0f x =，解得1x =或1ax a =+， 因为0a ≠，所以1x =或11x a=+， 当0a >时，可得111a +>，原不等式的解集为1|11x x a ⎧⎫<<+⎨⎬⎩⎭；当0a <时，可得111a+<，原不等式的解集为1{|1x x a <+或 1}x >.21．记函数()2()lg 1f x ax =-的定义域、值域分别为集合A ，B .（1）当1a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(1,0]-；（2）(,0]-∞． （1）1a =时，()2()lg 1f x x=-，由210x->得11x -<<，即(1,1)A =-，由2011x <-≤得(,0]B =-∞， ∴(1,0]AB =-；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，若0a >，则由210ax ->得x <<(A =，与（1）类似得(,0]B =-∞，不合题意，若0a =，则()lg10f x ==，即,{0}A R B ==，满足题意， 若0a <，则211ax -≥，A R =，[0,)B =+∞，满足题意． 综上a 的取值范围是(,0]-∞．22．设函数()()1xxf x a k a-=--()01a a >≠且是定义域为R 的奇函数.（1）求k 的值；（2）若223(1),()2()2x x f g x a a f x -==+-，求()g x 在[1,)+∞的最小值. 【答案】（1）k =2；（2）54(1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=0， ∴1−(k −1)=0，∴k =2. (2)由13(1),2=f a a -=-得a =2（负值舍去）， 则22()222(22)xx x x g x --=+--，令22,x x t -=-由x ≥1可得t ≥32， 则函数()222211y t t t =-+=-+， 且在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，可得g (x )在[1,+∞)上的最小值为2351124⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=. 23．如图，点0,2A P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数2()sin (0,0)3f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点，点,Q R 是该函数图象与x 轴的两个交点.（1）求ϕ的值；（2）若PQ PR ⊥，求A 的值.【答案】（1）6π=ϕ （2）2A = （1）∵()f x 的图象经过点(0,)2AP ，∴1sin 2ϕ=， ∵点P 在()f x 的递增区间，∴2,6k k Z πϕπ=+∈，∵0ϕπ<<,∴6π=ϕ. （2）由（1）可知2()sin()36f x A x ππ=+， 令0y =，得2sin()=036x ππ+，∴236x k πππ+=，解得31,24k x k Z =-∈， ∴1(,0)4Q -,5(,0)4R ，又(0,)2A P ，则1(,)42A PQ =--，5(,)42APR =-，∵PQ PR ⊥,∴0PQ PR ⋅=,即15()()04422A A ⎛⎫-⨯+--= ⎪⎝⎭，解得A =，又0A >,∴2A =. 24．我们知道对数函数()log (1)a f x x a =>有如下性质：①过定点(1,0)；②()*(),n f x nf x n =∈N ；③()log (1)a f x x a =>是增函数.已知函数(),y g x x +=∈R ，若对任意的,x y +∈R 都有()()()g xy g x g y =+，并且1x >时，()g >0x ，研究函数()y g x =是否具有与对数函数类似的性质，如果有，请给予证明.【答案】证明见解析性质一：把1x y ==代入()()()g xy g x g y =+ 得(1)0g =，所以必过点(1,0)； 性质二：()2()()()2()g xg x x g x g x g x =⋅=+=，()()32()2()3()g x g x x g x g x g x =⋅=+=，类似可得：()*(),n g x ng x n =∈N ；性质三：()g x 在+R 上是增函数，设12>0x x >，依题()()()g xy g y g x -= 令1122,1x xy x y x x x ==⇒=>， 所以()()11220x g x g x g x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以()()12g x g x >， 所以()g x 在+R 上是增函数. 25．定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;(2)求证：指数函数的短距小于1;(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？【答案】（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）151,,522a⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（1）设（当且仅当取得等号）短距为，长距不存在．+2分设+3分短距为，长距为5．+5分（2）设的短距不大于1 +7分与单位圆存在两个交点当1a>时，存在使得当时，存在使得指数函数的短距小于1; +10分（3）设函数的短距不小于2且长距不大于4 即对于始终成立+11分对于始终成立： 当时：对于始终成立当时：取即可知显然不成立 当时：对于始终成立+14分对于始终成立， 即对于始终成立：+17分综上151,,522a ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+18分26．已知函数()3sin(2)3f x x π=-.（1）用“五点法”作出函数()y f x =在一个周期闭区间上的图象（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为12π）；（2）请根据图象写出函数()f x 在7[]66ππ，上的单调区间及在区间3[]44ππ，上的值域.【答案】（1）详见解析；（2）增区间是5117,,,612126ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；值域是3[3]2-，. （1）列表如下：描点函数图象如图所示：（2）函数()f x 的增区间是5117,,,612126ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 因为3[]44x ππ∈，， 所以72[]366x πππ-∈，， 所以 1sin 2[1]32x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 所以()f x 在区间3[]44ππ，上的值域3[3]2-，. 27．设二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若1a =-，()0f x >的解集为()0,4，求函数()g x =的值域；（2）若不等式()2f x ax b ≥+对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值.【答案】（1）[]0,2；（2）2.（1）由题意()2f x x bx c =-++，且120,4x x ==是方程20x bx c -++=的两个根，所以01640c b c =⎧⎨-++=⎩，解得04c b =⎧⎨=⎩， 所以()g x =因为()[]224240,4x x x -+=--+∈，所以函数()g x 的值域为[]0,2；（2）若不等式()2f x ax b ≥+即()()220ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立， 则()()20240a b a a c b >⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩，即()2040b a c a a ⎧≤≤-⎨>⎩，易知0c a ≥>， 当c a =时，0b =，2220b a c =+； 当c a >时，设10c t a =->，则1c t a=+ 则()()222222241444221121c a c a b t a a c a c t c t t a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤===≤=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1c t a=-=()24b a c a =-时，等号成立， 所以222b a c+的最大值为2. 28．已知函数，()2020sin ()4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设324n n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）1(1)22n n T n +=-+. （1）1()2020sin 0()()444f x x x k k Z x k k Z πππππ⎛⎫=-=⇒-=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，这就是函数()f x 的全部零点，已知函数()f x 的全部正数的零点构成等差数列{}n a ， 则其首项等于14，公差等于1，{}n a 的通项公式就是()*34n a n n N =-∈. （2）3224n n n n b a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n nT n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---， 所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+.29．二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2，3)时，f （x ）<0，且f (－6)＝36，求二次函数的解析式．【答案】f （x ）＝x 2－x －6.二次函数的零点是－2和3，所以－2和3是函数的两根，又x ∈(－2，3)时，f （x ）<0，可知f （x ）开口向上.所以设f （x ）＝a (x ＋2)(x －3)且a >0∵f (－6)＝a (-6＋2)(-6－3)=36，∴a ＝1∴f （x ）＝(x ＋2)(x －3)满足条件－2<x <3时，f （x ）<0．∴f （x ）＝x 2－x －6．30．记关于x 的不等式()01a x a x -+＜的解集为P ，不等式|x ﹣1|≤1的解集为Q ．（1）若a ＝3，求P ；（2）若a ＞﹣1且Q ⊆P ，求a 的取值范围．【答案】（1）P ＝{x |﹣1＜x ＜3}．（2）（﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】（1）若a＝3，由31xx-+＜，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．（2）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．当a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．当﹣1＜a＜0时，()1a x ax-+＜⇔﹣a（x﹣a）（x+1）＞0，P＝（﹣∞，﹣1）∪（a，+∞），满足Q⊆P．综上所述，a的取值范围是：（﹣1，0）∪（2，+∞）。

期末冲刺训练卷高一下学期数学人教A版2019必修第二册一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则的虚部为（ ）A．B．C．D．2．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）3．对于直线m，n和平面，，下列说法错误的是（ ）A．若，，m，n共面，则B．若，，m，n共面，则C．若，且，则D．若，且，则4．下列命题为真命题的有（ ）A．若随机变量的方差为，则B．已知经验回归方程，则与具有正线性相关关系C．对于随机事件与，若则事件与独立D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关5．设的内角的边长分别是，且，则的值是（ ）A．2B．4C．6D．以上都不对6．一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则V=（ ）A．B．6πC．D．8π7．某高中共有学生2400人，其中高一、高二、高三的学生人数比为5∶4∶6，现用分层随机抽样的方法从该高中所有学生中抽取一个容量为120的样本，则应从高三年级抽取的人数为（ ）A．32B．40C．48D．568．如图，在各棱长均为1的的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、92、94、95、100．则下列说法正确的有（ ）A．这10个分数的中位数为90B．这10个分数的第60百分位数为91C．这10个分数的平均数大于中位数D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则C可能为（ ）A．B．C．D．11．如图，在直三棱妵中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ）A．有7个面B．有13条棱C．有7个顶点D．平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 .13．设，且，则 .14．如图，在扇形中，，点在扇形内部，，，则阴影部分的面积为 .四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位.（1）当时，求实数的值.（2）当，且，求实数的值.16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求周长的取值范围.17．甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；（2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率.18．如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯、之间的距离是，为了测量点与河对岸一点之间的距离，此人先后测得，.（1）求、两点之间的距离；（2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点、之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出的长.19．如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，（1）证明：平面平面；（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．答案解析部分1．D2．A3．A4．C5．B6．C7．C8．B9．A,B,D10．A,C11．A,B,D12．213．014．15．（1）解：（2）解：16．（1）解：因为，所以，所以，又，所以；（2）解：由正弦定理可知：，则，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以周长的取值范围为.17．（1）解：设“甲第轮猜对”为事件，“乙第轮猜对”为事件，则，记“经过两轮活动，两人共猜对2个成语”为事件C，则事件有三种可能：甲全对、甲乙各对一个、乙全对，所以.（2）解：记“经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同”为事件D，则事件有三种可能：均全错、均错一个、均全对，所以，所以18．（1）解：在中，由正弦定理，有，即.答：、两点之间的距离为.（2）解：测得，，.在中，由正弦定理，有，即.在中，由余弦定理，有或. 19．（1）证明：连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，则有，而，即有都为正三角形，因此，，四边形是菱形，，而，，平面，因此，平面，平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面平面，平面平面，则点在底面圆内的射影在上，因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，即平面，有，，，而，即有，取的中点，连，于是得，则有是二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的余弦值是.。

专题5.2 函数的应用（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021·全国·高一专题练习）一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是（）A．y=2t B．y=120t C．y=2t(t≥0)D．y=120t(t≥0)).若普通2．（2022·全国·高一课时练习）声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍3．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K，其中1+e−0.23(t−53)K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．694．（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<1005．（2021·全国·高一课时练习）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年.至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：log20.7719≈−0.3735，log20.7674≈−0.3820，log20.7628≈−0.3906）（）A ．75.42%B ．76.28%C ．76.74%D ．77.19%6．（2020·海南·高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．（2022·全国·高一课时练习）中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 8．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））已知函数f (x )={12x +1,x ≤0lgx,x >0 ，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|，则a +b +c +d 的取值范围为（ ）A ．(0,+∞)B ．(−2,8110]C ．(−2,6110]D ．(0,8110]二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）．A ．f(x)=3x −1B ．f(x)=x 2−2x +1C ．f(x)=log 4xD ．f(x)=e x+1−210．（2022·全国·高一）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）A ．甲、乙都亏损B ．甲盈利，乙亏损C ．甲亏损，乙盈利D ．甲、乙亏损的一样多11．（2021·江苏省南通中学高一阶段练习）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B ．该单位每月最低可获利20000元C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损12．（2022·广东·饶平县第二中学高一开学考试）已知函数f (x )={x +2x ≤0|lgx |x >0，方程f 2(x )−mf (x )−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）A ．函数f (x )的零点的个数为2B ．实数m 的取值范围为(−∞,32]C ．函数f (x )无最值D ．函数f (x )在(0,+∞)上单调递增三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022·北京爱迪学校高一期中）对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a 2−ab,b 2−ab, a ≤b a >b，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，且关于x 的方程为f(x)=m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是___________.14．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（理））牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）15．（2022·全国·高一课时练习）某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm )的函数关系式___________.16．（2021·江苏·高一专题练习）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=a t，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·全国·高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米．(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD的面积为S 平方米，当x 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？18．（2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函x2−200x+80000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100数关系可近似的表示为y=12元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？19．（2022·湖北·葛洲坝中学高一阶段练习）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.利润为10(a−3x500（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？20．（2022·全国·高三专题练习）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（1≤x≤5），公司甲的整体报价为y 元．(1)试求y关于x的函数解析式；(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为(580x+20000)元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．21．（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y=kx+b(k>0)，+2)+n(k>0)供选择.②y=k⋅1.2x+b(k>0)，③y=klog2(x15(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：√2≈1.414，结果保留整数）22．（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N∗，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t).（1）求p(t)的解析式；−360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t段这条线路每分钟的净收益最大？。

一、选择题1. 题目：如果 \( a > b \) 且 \( b > c \)，那么下列哪个不等式一定成立？A. \( a > c \)B. \( a < c \)C. \( a = c \)D. 无法确定解答：选择 A。

因为 \( a > b \) 且 \( b > c \)，所以\( a > c \)。

2. 题目：下列哪个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 7解答：选择 B。

因为 4 是偶数，其他选项都是奇数。

二、填空题1. 题目：\( 5 \times 6 = \) ______解答：\( 5 \times 6 = 30 \)。

2. 题目：\( 9 + 7 = \) ______解答：\( 9 + 7 = 16 \)。

三、解答题1. 题目：求解方程 \( 2x + 3 = 7 \)。

解答：将方程两边减去 3，得到 \( 2x = 4 \)。

然后将方程两边除以 2，得到 \( x = 2 \)。

所以方程的解是 \( x = 2 \)。

2. 题目：计算 \( 3 \times (4 + 5) 2 \)。

解答：计算括号内的加法，得到 \( 3 \times 9 2 \)。

然后计算乘法，得到 \( 27 2 \)。

计算减法，得到 \( 25 \)。

所以\( 3 \times (4 + 5) 2 = 25 \)。

一、选择题1. 题目：如果 \( a > b \) 且 \( b > c \)，那么下列哪个不等式一定成立？A. \( a > c \)B. \( a < c \)C. \( a = c \)D. 无法确定解答：选择 A。

因为 \( a > b \) 且 \( b > c \)，所以\( a > c \)。

2. 题目：下列哪个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 7解答：选择 B。

因为 4 是偶数，其他选项都是奇数。

高一数学期末冲刺（必修五）知识点一解三角形1.正余弦定理设∆ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，R为∆ABC外接圆半径，则有2.三角形的面积公式（1）S∆ABC=12aℎ(ℎ表示边a上的高)；（2）S∆ABC=12bcsinA=12acsinB=12absinC.3. 三角形中的其它关系式（1）射影公式：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA （2）其他关系式：利用∆ABC中，A+B+C=π，A+B+C2=π2，或者结合诱导公式等减少角的种类.如：sin(B+C)=sinA，cos(B+C)=−cosA，tan(B+C)=−tanA；cos C2=sin A+B2.1. （广州四十七中）在△ABC中，若a cos A=b cos B，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形2. （广州六中）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，m→=(√3b−c,cosC)，n→=(a,cosA)，若m→//n→，则cosA的值为（）A．√36B．√34C．√32D．√333. （铁一，广外，广附三校联考）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）．A．(30+30√3)m B．(30+15√3)mC．(15+30√3)m D．(15+15√3)m4. （番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知A,B,C为△ABC的三内角，且其对边分别为a,b,c，若（1）求角A 的值；（2）若a =2√3，b +c =4，求△ABC 的面积.4. （华附）如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC =1，且cos∠BCD =−35．（1）若AC 平分∠BCD ，且AB =2，求AC 的长； （2）若∠CBD =45°，求CD 的长．知识点二 数列1. 等差数列及其性质（1）定义：a n+1−a n =d （d 为公差）（2）通项公式：a n=a1+(n−1)d一般地，任意两项的关系为a n=a m+(n−m)d（m,n∈N∗）（3）前n项和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n−1)d2=d2n2+(a1−d2)n（n∈N∗）（4）性质：①恒等性：m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q特别地，m+n=2p，则a m+a n=2a p②等分性：S n，S2n−S n，S3n−S2n，⋯也成等差数列，公差为n2d2．等比数列及其性质（1）定义：a n+1a n=q（q为公比）（2）通项公式：a n=a1q n−1（n∈N∗）；若m,n∈N∗，则a m=a n q m−n（3）前n项和公式：S n={na1， q=1a1(1−q n)1−q，q≠1（4）性质：①恒等性：m+n=p+q，则a m a n=a p a q特别地，m+n=2p，则a m a n=a p2②等分性：S n，S2n−S n，S3n−S2n，⋯也成等比数列，公比为q n 3．数列求通项方法（1）公式法：a n={S1， n=1，S n−S n−1，n≥2．（注意检验n=1的情况）（2）累加法：a n−a n−1=f(n)（3）累乘法：a na n−1=f(n)（4）构造法：a n=pa n−1+q（p≠1且q≠0）（5）倒数变换法：例a n+1=3a n2a n+3⇒2a n a n+1+3a n+1=3a n⇒23+1a n=1a n+14．数列求和方法（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．（2）裂项相消法，如a n=14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)常见的裂项技巧：①1n(n+1)=1n−1n+1②1n(n+k)=1k(1n−1n+k)③2n(2n+1)(2n+1+1)=12n+1−12n+1+1④√n+√n+k =1k(√n+k−√n)（3）错位相减法（4）分组求和法➢ 等差、等比数列定义与性质5.（仲元中学）在等比数列{a n }中，若a 1=2，a 4=16，则{a n }的前5项和S 5等于（ ）A ．30B ．31C ．62D ．645.（六中）等差数列{a n }的首项为1，公差不为0. 若a 2,a 3,a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．86.（六中）已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1a 5a 9=−8,b 2+b 5+b 8=6π，则sinb 4+b 61−a 3a 7的值是（ ）A ．12 B ．−12C ．√32D ．−√327.（省实）已知数列{}n a 的通项公式为503-=n a n ，则当n 等于（ ）时，n S 取得最小值？ A ．16 B ．17 C ．18 D ．16或17➢ 数列求通项公式8．（1）已知数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n(n ∈N ∗)，则a n =．（2）已知数列{a n }满足a 1=12，且前n 项和S n =n 2a n ，则a n = ．9．（广州中学）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任何正整数n，等式S n=−a n+12(n−3)都成立，则数列{a n}的通项公式a n=．➢数列综合10.（番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S n，且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n.11.（广外、铁一、广附三校联考）设公差不为0的等差数列的首项为1，且a2,a5,a14构成等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1a1+b2a2+⋯+b na n=1−12n，n∈N∗，求数列{b n}的前n项和T n.知识点三不等式1. 不等式性质（1）对称性：a>b⇔b<a（2）传递性：a>b，b>c⇔a>c（3）可乘性：a>b，c>0 ⇒ac>bca>b，c<0 ⇒ac<bc（4）移项法则：a+b>c ⇒ a>c−d（5）同向不等式相加：a>b，c>d ⇒ a+c>b+d （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ⇒ac>bd （7）可乘方性：a>b>0 ⇒a n>b n (n∈N∗，n≥2)（8）常用不等式：a>b>0 ⇒1a <1b2. 常见不等式（1）一元二次不等式例如：(x−1)(x−3)≥0⇒(x−1)(x+2)≤0⇒口诀（a>0）：大于取；小于取（2）高次不等式先将最高次的系数化为正数的形式，然后因式分解，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“穿针引线”的方法得出不等式的解集．（3）分式不等式解法f(x) g(x)>0⇔f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0⇔{f(x)g(x)≥0g(x)≠03. 基本不等式（1）如果a,b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立（2）如果a,b都是正数，那么a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立（3）常见变形：ab≤a2+b22，ab≤(a+b2)2（4）应用基本不等式求最值：①若a>0，b>0且a+b=s（和为定值），那么当a=b时，积ab取得最大值s24②若a>0，b>0且ab=p（积为定值），那么当a=b时，和a+b取得最小值2√p ➢解不等式12.（华附）在R 上定义运算☆，a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)＜0的实数x 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞,−2)∪(1,＋∞) D ．(－1,2)13. （华附）关于x 的解集是 .➢ 基本不等式14.（省实）用基本不等式求最值，下列运用正确的是（ ） A ．0442422≥=⋅≥+=x xx x x y B ．)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x x x x x y =⋅≥+= C ．已知0≠ab ，22=⋅≥+a b b a a b b a D ．43432343=⋅≥+=x x x x y15.（天河区统考）已知x,y ∈(0,+∞)，2x−3=(14)y，则xy 的最大值为（ ） A ．2B ．98C ．32D ．9416. （广雅）已知x,y∈R∗，且满足x+2y=2xy，那么x+4y的最小值为（）A．3−√2B．3+2√2C．3+√2D．4√216.（番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若任意x>0，y>0，有x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(−1−√5,−1+√5) B．(−∞,−1−√5)∪(−1+√5,+∞) C．(−4,2)D．(−∞,−4)∪(2,+∞)。

【新高考题型】2020-2021学年高一数学下学期期末考前冲刺刷题卷（人教A 版2019必修第二册）检测卷11.D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C9．ABD 10．AD 11．ACD 12．ABC13．3 8 9.5 14．0 15．25 16．217．【解析】 (1)cos =13a b a b π⋅=⋅， ∴2222(2)44=23a b a b a a b b +=+=+⋅+.(2) )a b a +⊥（，)=0a b a ∴+⋅（，即2=1a a b =-⋅，即1a b ⋅=-， 1cos =2a b a b a b ⋅∴=-⋅，，又[]0a b π∈，，，所以a 与b 的夹角为23π. 18．【解析】（1）若z 为纯虚数，则22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得=2m -．（2）z 对应的点为()22,1m m m +--在第一象限，则22>01>0m m m ⎧+-⎨-⎩，解得1m ．19．【解析】（1）由题意得(0.120.140.100.04)215025024a b b a +++++⨯=⎧⎨⨯⨯-⨯⨯=⎩， 解得0.03a =，0.07b =. （2）设应该制定的月销售冲刺目标值为x 万元，则在频率分布直方图中x 右边的面积为10.80.2-=. 最后一组的面积是0.0420.08⨯=，最后两组的面积之和为0.1020.0420.28⨯+⨯=.因为0.080.20.28<<，所以x 位于倒数第二组，则(22)0.100.080.2x -⨯+=，解得20.8x =.所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元.20．【解析】（1）苹果的重量在[)90,95的频率为200.450=； （2）重量在[)80,85的有541515⨯=+（个）； （3）设这4个苹果中重量在[)80,85的有1个，记为1；重量在[)90,95的有3个，分别记为2,3,4； 从中任取两个，可能的情况有：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6种，设任取2个，重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有()()()1,2,1,3,1,4共3种，所以31()62P A ==. 21．【解析】()1,60AB AD BAD =∠=︒，ABD ∴为等边三角形，P 为AD 中点．,BP AD ∴⊥取BD 中点E ﹐连接,AE 则AE BD ⊥，平面ABD ⊥平面,BCD 平面ABD ⋂平面,BCD BD =AE ∴⊥平面,BCD ,AE CD ∴⊥又,CD AD AD AE A ⊥⋂=，CD 平面,ABDBP ⊂平面,ABD ,CD BP ∴⊥又,CD AD D ⋂=且,BP AD ⊥BP ∴⊥平面ACD .()2由()1可知CD BD ⊥，30BCD ∠=，所以23,4DC BC ==，作PH BD ⊥于H ，连接BM ，因为AE ⊥平面,BCD 所以PH ⊥平面,BCD 又点P 为线段的中点，所以132PH AE ==， 又M 为CD 的中点，所以12332BCM S =⨯⨯=，所以11313332P BCM BCM V PH S -=⨯⨯=⨯⨯=， 在PBC 中，3,4,13BP BC PC ===，所以满足222+BC BP PC =，所以BP PC ⊥，所以1391332BCP S =⨯⨯=， 设点M 到面PCB 的距离为h ，P BCM M BCP V V --=，所以139132P BCM M BCP V V h --==⨯⨯=，解得39h =， 又()22132PM =+=，设MP 与平面BPC 所成角为θ，所以393913sin 2θ==， 所以MP 与平面BPC 所成角的正弦值39．22．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE为赛道，2,,8km 34BCD BAE CBD CD DE ππ∠=∠=∠===．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①712∠=CDE π；①3cos 5DBE ∠= （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即+BA AE 最大），最长值为多少？【解析】（1）在BCD △中，由正弦定理知sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，2sin sin 34BD π∴=6BD =， 选①：2,34BCD CBD ππ∠=∠=，2()()3412BDC BCD CBD πππππ∴∠=-∠+∠=-+=， 712122BDE CDE BDC πππ∴∠=∠-∠=-=， 在Rt BDE ∆中，10BE ==；若选①，在BDE 中，由余弦定理知cos DBE ∠= 2222BD BE DE BD BE +-⋅，222368526BE BE+-∴=⨯⨯，化简得2536BE BE --1400=，解得10BE =或145-（舍负）， 故服务通道BE 的长度 10BE =；（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos BE BA AE BA AE BAE =+-⋅⋅∠， 22100BA AE BA AE ∴=++⋅，2()100BA AE BA AE ∴+-⋅=，即22()()1004BA AE BA AE BA AE ++-=⋅≤，当且仅当BA AE =时，等号成立，此时23()1004BA AE +=，+BA AE的最大值为3．。

高一数学参考答案： 第一部分 集合练习1．{}61,78.x x x -<<-<<或 2．{}4,13,4x x x x ≤-<<≥或或 3． 104．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<371x x 5．{}02<<-x x6．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x 7．{}77≤≤-x x 8．5a ≤-，或 5.a > 9．{}1-≥a a 10．{}25,5,4,2,4-=B A 11．R x ∈ 13．{}1,3-12．Q P ⊂,{}P m m Q P =<<-=⋂04 14．4=m15．2 16．相交 17．－1418．31≤≤a 19．逆命题：若,a b 中至少有一个为0，则0ab ≠；否命题：若0ab =，则,a b 都不为0；逆否命题：若,a b 都不为0，则0ab =．四种命题全是假命题． 20．解：（1）否命题：若0≠ab ，则0≠a 且0≠b ，逆否命题：若0≠a ，且0≠b ，则0≠ab ． （2）否命题：若022≠+b a ，则0≠a 或0≠b ，逆否命题：若0≠a 或0≠b ，则022≠+b a ． 21．B22．B 23．B 24．A 25．D 26．D 27．C28．充要条件是0 4.a << 29．解：2:>x p 或32<x 232:≤≤⌝∴x p又2:>x q 或1-<x 21≤≤-⌝∴x :q p ⌝∴是q ⌝的充分不必要条件30．解：由题设知0≠x 又0≠a （1）方程有一正根和一负根01)0(>=f 000<⇒⎩⎨⎧<>∆∴a a（2）方程有两个负根100200≤<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥∆>∴a aa ∴方程至少有一个负根的充要条件是0<a 或10≤<a第二部分 函数的基本性质一、CBAAB DBAA D 二、11．1---=x y ； 12．]0,21[-和),21[+∞，41； 13．2)()(x s x s --；14．R x x y ∈=,2 ；三、15． 解： 函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[-.16． 解①定义域),0()0,(+∞⋃-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数. ②定义域为}21{不关于原点对称。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第一单元集合与常用逻辑用语第5课全集，补集及综合应用一、基础巩固1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝() A．{2，6}B．{3，6}C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}【答案】A【解析】由题知A∪B＝{1，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A.2．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝()A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}【答案】B【解析】由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．3. 若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个【答案】C【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个．4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}【答案】A【解析】阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.5．设全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1，2}，则实数m＝________．【答案】－3【解析】由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.6．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁U A＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________．【答案】2【解析】因为∁U A＝{x|x<1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.7．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号)①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.【答案】①【解析】结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.8．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．【答案】见解析【解析】如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．二、拓展提升9．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.【答案】{2}【解析】[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁U A＝{2}．10. 已知集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁R M≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是________．【答案】a≥－2【解析】由题意知∁R M＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．因为N ∩∁R M ≠∅，所以a ≥－2.11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．【答案】a ＝87，b ＝－127【解析】由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0. 解得a ＝87，b ＝－127即为所求． 12．已知全集U ＝{不大于20的质数}，若M ，N 为U 的两个子集，且满足M ∩(∁U N )＝{3，5}，(∁U M )∩N ＝{7，19}，(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，则M ＝________，N ＝________．【答案】{3，5，11，13} {7，11，13，19}【解析】法一：U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图所示，所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．法二：因为M ∩(∁U N )＝{3，5}，所以3∈M ，5∈M 且3∉N ，5∉N .又因为(∁U M )∩N ＝{7，19}，所以7∈N ，19∈N 且7∉M ，19∉M .又因为(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，所以∁U (M ∪N )＝{2，17}，所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．。

期末冲刺五1.某校高中年级有20个教学班，每个班恰好有40名同学且各班同学从1到40排了学号，学校为了了解高中生最近的学校情况，随意要求每班学号为17的同学去进行座谈，请问这里运用的是 （ ） A.抽签抽样 B.系统抽样 C.随机抽样 D.分层抽样2.在△ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为 （ ） (A)6π(B)3π(C)566ππ或(D)233ππ或 3.x 是[4,4]-上的一个随机数，则使x 满足220x x +-<的概率为 （ ） A ．12B ．38C ．58D ．04.已知等比数列{}n a 的公比31=q ，则=++++++86427531a a a a a a a a （ ）A ．31-B ．-3C ．31- D ．35.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次从中任取一个，有放回地取3次，则下列事件：⑴颜色全同；⑵颜色不全同；⑶颜色全不同； ⑷无红球。

其中发生的概率 等于89的事件共有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6.下列关系中， ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 ⑤正方体的棱长和体积之间的关系 ⑥单位圆中角的度数和所对弧长之间的关系则具有相关关系的有 ，无相关关系的有 ，具有函数关系的有 。

7.在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 为圆心，3为半径 画一弧，分别交AB 、AC 于D 、E .若在△ABC 这一平面区域内任 丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________． 8.函数()()+∞∈+=,0,12x x xx f 的最大值是 ，取得最大值时x = 。

9.已知由样本数据点集合(){}i i x ,y i 12,n = ，，求得的回归直线方程为 y 1.23x 0.08=+， 且x 4=。

【新高考题型】2020-2021学年高一数学下学期期末考前冲刺刷题卷（人教A 版2019必修第二册）检测卷1一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z 满足2025(1)1z i i +⋅=-，则z 的虚部为（ ）A ．iB ．1-C ．i -D ．12．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A ．系统抽样B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．非以上三种抽样方法3．若||25,(1,2),//a b a b ==，则a 的坐标可以是（ ）A ．(2,4)-B ．(2,4)-C ．(2,4)--D ．(4,2)- 4．已知向量18,2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),1b x =，0x >，若()()2//2a b a b -+，则x 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．4或55．若复数z 满足325i i z -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（ ） A ．25π B ．34π C ．68π D ．100π7．一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：917 966 191 925 271 932 735 458 569 683431 257 393 627 556 488 812 184 537 989则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）A ．720B ．310C ．14D ．158．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a a c =+，则sin cos cos a A b A a B-的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分．9．下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”10．下列结论正确的有A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件B ．在标准大气压下，水在o 4C 时结冰为随机事件C ．若一组数据1，a ，2，4的众数是2，则这组数据的平均数为3D ．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6:5:5:4，则应从四年级中抽取80名学生11．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法错误的是（ ）A ．客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧B ．客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分C ．客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度D ．客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A ．若ABC >>，则sin sin sin A B C >>；B ．若40,20,25a b B ===︒，则满足条件的ABC 有两个；C ．若0tan tan 1A B <<，则ABC 是钝角三角形；D ．存在角A ，B ，C ，使得tan tan tan tan tan tan A B C A B C <++成立；三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为______，75%分位数为________，90%分位数为________．14．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=_________．15．暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________. 16．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三梭柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，其中1,1AC BC AA AC ⊥==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积为13时，则“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知向量12a b ==，． （1）若a 与b 的夹角为3π，求2+a b ；（2）若+a b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．18．实数m 分别取什么数值时，复数()2=+2(1)z m m m i -+-满足下列条件： （1）纯虚数；（2）对应的点在第一象限内．19．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展.某主打线上零售产品的企业随机抽取了50名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照[12,14),[14,16),,[22,24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.已知[14,16)组的频数比[12,14)组多4.（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值.20．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下： 分组(重量) [)80,85 [)85,90 [)90,95 [)95,100 频数(个) 5 10 20 15（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.21．已知四边形,2,60,30ABCD AB AD BAD BCD ==∠=∠=．现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，AD CD ⊥．点P 为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）求证：BP ⊥平面ACD ；（2）若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值．22．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道，2,,26km,8km 34BCD BAE CBD CD DE ππ∠=∠=∠===． （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度；①712∠=CDE π；①3cos 5DBE ∠= （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即+BA AE 最大），最长值为多少？。