第6课时 整式方程与分式方程

【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ）A ．343x y -=B ．24x -C ．322x x =-D ．22350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念．【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?① 23270x a x +-=； ②321240(0)x x x a b a b+-=+≠+； ③13(0)1x x x +=≠-； ④212(0)x x x +=-≠； ⑤213502m xm x ⋅+-=-； ⑥352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；【总结】考察一元整式方程的概念．【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★【答案】（1）1a =-（2）3k =【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．例题解析【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m ≤；B ．0m <；C ．0m ≥；D ．0m >；【难度】★ 【答案】D【解析】因为42x m =-，所以412x m =-，若方程没有实数根，则0m >．【总结】考察二项偶次方程有解的情况．【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．不确定【难度】★★ 【答案】D【解析】当0m =时，方程化为14104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次方程，160m =+≥V ，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<V ， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论．【例6】如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32x kmkx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216m n ==，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12x =代入得：()141682k km n -=--，整理得：()13282m k n -=-，若k 为任意实数，则13216m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用．（1）42416x x =；（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；（4）22(1)1x x x +--=．【难度】★★【答案】（1）1234022x x x x ===-=，，； （2）1211x x =-=，；（3）1234330322x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2220x x x +-=，解得原方程的解为：1234022x x x x ===-=，，；（2）由4220x x +-=，得：()()22210x x +-=，即()()()22110x x x ++-=， 解得原方程的解为：1211x x =-=，； （3）由222(231)22331x x x x -+=-+，得：()()()222223223111231x x x x x x -+-+=-+，即()()222239230x x x x ---=，分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，解得原方程的解为：1234330322x x x x ====-，，，；（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论： ①当20x +=时，解得：12x =-；②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，； ③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论．（1）(1)42a ax x -=-； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★【答案】（1）当2a ≠±时，12x a =+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解； （2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解，当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【解析】解：（1）由(1)42a ax x -=-，得：()242a x a -=-，故当240a -≠时，即2a ≠±，12x a =+；当240a -=时， （1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：()()2212310a x a a --++=， 即()()()()11121a a x a a +-=++，当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解；当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论．【例9】解下列方程：（1）222(2)0x x --=；（2）(1)(2)(3)35x x x x +++=；（3）()()()()123410x x x x +++++=． 【难度】★★【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）12x x ==；（3）12x x ==【解析】解：（1）由222(2)0x x --=， 得：()()22220x x x x +---=，即()()()()21210x x x x +--+=，故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，；（2）由(1)(2)(3)35x x x x +++=，得：()()2235370x x x x +-++=，2350x x ∴+-=或2370x x ++=，当2350x x +-=，12x x =2370x x ++=，0<V ，方程无解．所以原方程的解为：12x x =； （3）由()()()()123410x x x x +++++=， 得：()()()()142310x x x x +++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()22545610x x x x +++++=， 所以()22550x x ++=， 即2550x x ++=，解得原方程的解为：12x x =． 【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．【例10】关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43nx m+=-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解； （3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论．【例11】解下列方程：（1）22b x x a a b-+=（0a b <<）； （2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★【答案】（1）x =（2）3312b a x x a b ==，．【解析】（1）因为22b x x aa b -+=，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则()()()2a b x a b b a +=+-， 因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，所以原方程的解为：x =（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以()()330ax b bx a --=， 则30ax b -=或30bx a -=，∴3ax b =或3bx a =，0ab ≠Q ，∴00a b ≠≠，，∴原方程的解为：3312b a x x a b==，．【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．【例12】已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为13610，，，．【解析】（1）将原方程变形为()()2226x a x +=+，显然20x +≠，即2x ≠-．()()2262x a x +∴=+，Q a 是正整数，1a ∴≥，即()()22612x x +≥+，()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．Q 方程至少有一个整数根，∴当x 可取431012---，，，，，时，故对应的a 的值为141610319，，，，，，Q a 是正整数，a ∴的值为13610，，，．【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．【例13】已知方程：①2510x x +-=，②22123x x +=，③3711510x x +=+-，④10x=，⑤111y z x y x z +=---3=，其中分式方程有_________________． 【难度】★【答案】③、④、⑤．【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程． 【总结】考察分式方程的概念．【例14】解下列分式方程： （1）23y y +=；（2）216244y y y -=--． 【难度】★【答案】（1）1212y y ==，；（2）2y =-． 【解析】（1）由23y y+=，得：2320y y -+=，即()()120y y --=，解得：1212y y ==，， 经检验：1212y y ==，是原方程的解， 所以原方程的解为1212y y ==，；（2）由216244y y y -=--，得：2280y y --=，即()()420y y -+=，解得：1242y y ==-，， 经检验：14y =是原方程的增根，所以原方程的解为：2y =-． 【总结】本题主要考察分式方程的解法，注意解完后要检验． 【例15】解下列分式方程： （1）2613x x x +=+-； （2）214124x x -=--． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==； （2）1x =-． 【解析】（1）由2613x x x +=+-，得()()()2361x x x +-=+，即27120x x --=，解得：12x x =，经检验：12x x =是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）由214124x x -=-- ，得2244x x +-=-，即()()210x x -+=，解得：1221x x ==-，，经检验：2x =是原方程的增根， 所以原方程的解为：1x =-．【总结】考察分式方程解法，注意要检验根．【例16】解下列分式方程：（1）222412352x x x x x +-+=---；（2）21111333x x x x +-=--． 【难度】★★【答案】（1）12012x x ==-，；（2）无解． 【解析】（1）由222412352x x x x x +-+=---，得：()()22412312x x x x x +-+=-+-， 即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，， 经检验：12012x x ==-，是原方程的解， 所以原方程的解为12012x x ==-，；（2）由21111333x x x x +-=--，得：()()1111331x x x -=--， 即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，所以原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．【例17】解下列分式方程：（1）2223x x+=；（2）2231712x x x x -+=-．【难度】★★【答案】（1）123411x x x x =-===，，；（2）12122x x =-=，，3411x x =+=【解析】（1）由2223x x+=，得42320x x -+=，即()()(110x x x x +-=，解得：123411x x x x =-===，，，经检验：123411x x x x =-===，，是原方程的解，所以原方程的解为：123411x x x x =-==，，； （2）设21x a x =-，则1732a a +=可化为整式方程：26720a a -+=， 即()()32210a a --=， 解得：122132a a ==，，当2213x x =-时，即22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，， 当2112x x =-时，即2210x x --=，解得：3411x x =+= 经检验：12122x x =-=，，3411x x =+=所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==-【总结】考察利用换元法解分式方程，注意解完后进行验根．【例18】解下列分式方程：（1）517311x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）51342212x y xy ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）612x y =⎧⎨=⎩．【解析】（1）设11a b x y x y ==+-，，则5731a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， 1112x y x y⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，112x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，3414x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 经检验：3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解， ∴原方程的解为3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）设11a b x y ==，，则3541222a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：16112a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1161112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，612x y =⎧∴⎨=⎩， 经检验：612x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解， 所以原方程的解为：612x y =⎧⎨=⎩．【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验．【例19】解方程：（1）2225413242x x x x x -+=++--； （2）221193431x x x x x ++=--+-． 【难度】★★【答案】（1）6x =； （2）无解．【解析】（1）原方程可化为：()()()()254112222x x x x x x -+=+++--， 去分母，得：28120x x -+=， 即()()260x x --=，解得：1226x x ==，，经检验：2x =是方程的增根，∴原方程的解为6x =；（2）原方程可化为：()()()12113313x x x x x -+=----，去分母，得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，经检验：1213x x ==，是方程的增根，∴原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意先分解因式再计算，解完后注意验根．【例20】若方程222312122x b bx x x x +-+=---有增根，求b 的值．【难度】★★【答案】1b =±或2b =-．【解析】222312122x b bx x x x +-+=---，去分母得()2221210x b x b -++-=，Q 方程有增根，∴（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±； （2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-± 综上所述，1b =±或2b =-．【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值．【例21】解方程：34xx x x-=【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，43x x-=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，0x >Q ，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解； 当0x <时，43x x+=，去分母，得23400x x -+=<V ，此时，∴方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论．【例22】解方程：（1）11115867x x x x +=+++++； （2）222(3)223x x x x x x -+++=+--． 【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-；（2）12403x x ==，．【解析】（1）由11115867x x x x +=+++++，得11115678x x x x -=-++++， 即()()()()115678x x x x =++++，所以()()()()5678x x x x ++=++， 去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：132x =-， 经检验：132x =-是原方程的解， ∴原方程的解为132x =-； （2）由222(3)223x x x x x x -+++=+--，得()2362424223x x x x x x -++--++=+--， 即4412112223x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭，113223x x x -=-+-， 即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，解得：12403x x ==，，经检验：12403x x ==，是原方程的解，∴原方程的解为12403x x ==，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例23】解下列方程：（1）22111256890x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11111(1)(1)(9)(10)12x x x x x x ++⋅⋅⋅+=-+++；（3）222111011828138x x x x x x ++=+-+---．【难度】★★★【答案】（1）12122x x ==，，343223x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3）2181x x ==-，，3481x x =-=，． 【解析】（1）设1x a x+=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即()()256130a a --=，解得：1251326a a ==，，当52a =时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：12122x x ==，；当136a =时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：343223x x ==，；经检验：12122x x ==，，343223x x ==，是原方程的解， ∴原方程的解为12122x x ==，，343223x x ==，； （2）原方程变形为111111111191012x x x x x x -+-++-=-+++L ， 整理得：111111012x x -=-+，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，， 经检验12211x x ==-，是原方程的根，∴原方程的解为12211x x ==-，；（3）令228x x y +-=，原方程可化为1110915y x y y x++=+-， 解得：9y x =或5y x =-，当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，； 当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，； 经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解，∴原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例24】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，当1x =时，221a +=-，解得：32a =-；当2x =时，解得：2a =-，综上所述：当32a =-或2a =-时，x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根． 【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．【例25】当a 取什么整数时，关于x 的方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-． 【解析】原方程可化为()222402x x ax x -++=-， （1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，Q 方程只有一个实数根，0∴=V ，即8280a =--=V ，72a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-；此时原方程为()224022x x x x x x x --++=--，去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-；此时原方程为()228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论．【例26】解已知关于x 的方程22(1)()(27)1011x xa a x x --++=-- （1）求a 的取值范围，使得方程有实数根；（2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，，且121231111x x x x +=--，求a 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-且1a ≠±（2）5328a =-或1a ≠±；（3）128103a a ∴=-=，．【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设1xy x =-，原方程可以化为()()2212710a y a y --++=，()()2227410a a ∴=+--≥V ，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-且1a ≠±， 综上所述：5328a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=V ，5328a ∴=-； （3）令12121211x x y y x x ==--，，则12311y y +=，即2273111a a +=-， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128103a a =-=解得：，．【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．随堂检测【习题1】 在方程：①969642x x -=-，②213014000x x +-=，③3132x x +=， ④121014x x -=+中，是分式方程的有（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【难度】★ 【答案】D【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义．【习题2】 下列方程中，有实数根的是（） A ．220x x -+= B ．410x -=C ．40n x +=D ．111x x x =-- 【难度】★ 【答案】B【解析】.0A <V ，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．【总结】考察方程有无实数根的分类讨论．【习题3】 下列方程中，不是二项方程的为（ ）A ．51x =；B ．6x x =C ．31309x += D ．4160x +=【难度】★ 【答案】B【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数) 【总结】考察二项方程的定义．【习题4】 （1）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于__________；（2）若分式351x x +-无意义，当510322m x m x -=--时，则m =__________．【难度】★【答案】（1）2；（2）37m =．【解析】（1）由2220210x x x x ⎧--=⎨++≠⎩， 得：()()()212010x x x +-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，2x ∴=； （2）若分式351x x +-无意义，10x ∴-=，即1x =；5103221m m ∴-=--， 去分母，得730m -=，解得：37m =．【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法．【习题5】 （1）用换元法解方程222212x x x x -+=-时，如设212y x x=-，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________； （2）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m =__________． 【难度】★【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．【解析】（1）原方程可转化为()2212212x x x x ⋅--=-，212y x x =-Q ， ∴方程转化为分式方程为1210y y --=，去分母化为整式方程为：2210y y --=；（2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用． 【习题6】 解下列方程： （1）3(2)80x ++=； （2）45(52)10x -=．【难度】★★【答案】（1）4x =-；（2）12x x ==． 【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()328x +=-，解得：4x =-；（2）由45(52)10x -=，得：()4522x -=，解得：12x x ==． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个．【习题7】 解下列方程： （1）3244160x x x --+=；（2）()()426767720x x +-+-=；（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★【答案】（1）123224x x x =-==，，；（2）125233x x =-=-，；（3）12341122x x x x ====，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，即()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（2）由()()426767720x x +-+-=，得：()()226796780x x ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，所以()26790x +-=，即673x +=±，故原方程的解为：125233x x =-=-，；（3）原方程可变形为：()()()43322227777220x x x x x x x +--+++--+=，即()()()()43322227777210x x x x x x x ---+---=，所以()()32127720x x x x --+-=，()()()32122770x xx x ⎡⎤----=⎣⎦，()()()()21211710x x x x x x ⎡⎤--++--=⎣⎦，即()()()212210x x x ---=，解得原方程的解为12341122x x x x ====，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析．【习题8】 解下列方程： （1）22(a b)ax b bx a +=+≠；（2）2(3)40m y y -+=．【难度】★★【答案】（1）x a b =+；（2）1240(3)3y y m m==≠-，此时． 【解析】（1）原方程可变形为：()()()a b x a b a b -=+-， a b ≠Q ，0a b ∴-≠，()()a b a b x a b+-∴=-，x a b ∴=+；（2）原方程可变形为：()340y m y -+=⎡⎤⎣⎦，当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=；当30m -≠，即3m ≠时，12403y y m==-，，综上所述：1240(3)3y y m m ==≠-，此时【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论．【习题9】 解下列分式方程：（1）3363242x x -=-+； （2）214124y y -=--； （3）2116122312x x x x -+=--+--； （4）222222322141233636109x x x x x x x x x x -+-+-+=+--++． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==；（2）1y =-； （3）12233x x =-=，；（4）12912x x ==-，．【解析】（1）去分母，得：()()()()12233222432x x x x +--+=-， 化简，得：21224912127248x x x x +--+=-，2324280x x +-=，解得：12x x ，经检验：12x x ==是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；（3）去分母，得：()()()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=， 解得：12233x x =-=，，经检验：12233x x =-=，是原方程的解， 所以原方程的解为：12233x x =-=，；（4）原方程变形为：()()()()()()()()()()()12261311326(6)19x x x x x x x x x x x x ----+-+=+--+++，即()()21311369x x x x x x ---+=+++，去分母得：()()()()()()()()()169213931360x x x x x x x x x -+++-++--++= 所以()()()()()()()1692393360x x x x x x x -+++++-++=⎡⎤⎣⎦，即 ()()112540x x -+=，解得：12912x x ==-，经检验：12912x x ==-，是原方程的解，∴原方程的解为12912x x ==-，．【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根．【习题10】 当a 为何值时，方程2233x ax x-=---有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，Q 方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，∴当1a =时，方程有增根．【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值．【习题11】 解下列分式方程：（1）1111x a x a +=+--（a 为已知数）； （2）1121511015x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪⎨⎪+=⎪-++-⎩； （3）16252736x x x x x x x x +++++=+++++． 【难度】★★★【答案】（1）121a x a x a ==-，；（2）22x y =⎧⎨=⎩；（3）92x =-． 【解析】（1）原方程变形为：()()111111x a x a -+=-+--， 11x a ∴-=-或111x a -=-，解得：121a x a x a ==-，， 经检验：121ax a x a ==-，是原方程组的解，∴原方程组的解为121ax a x a ==-，；（2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为()()112115110215b ab a ⎧+=⎪⎪+-⎨⎪+=⎪+-⎩，由()()21-，得：225a =--，解得：4a =，将4a =代入()1得：0b =，40x y x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩经检验：22x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，∴原方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩；（3）原方程可化为111111112736x x x x -+-=-+-++++，则11112736x x x x +=+++++， 即11112367x x x x -=-++++， 去分母，得：()()()()6723x x x x ++=++， 解得：92x =-，经检验92x =-是原方程的根，所以原方程的解为：92x =-．【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验．【习题12】 若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★【答案】74m <或2m =【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，Q 原方程无实数根，则（1）()1420m =--<V ，即74m <；（2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =，综上所述：当74m <或2m =时，原方程无实数根．【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．【习题13】 已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求实数k ． 【难度】★★★ 【答案】7k =或133k =或4k = 【解析】原方程可化为：()()()23562680k k x k x --+-+=，即 ()()34520k x k x -+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()350k k --≠Q ，124235x x k k ∴=-=---，， 124235k k x x ∴-=--=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，()()12212x x ∴+-=-．12x x Q ，都是整数，122112x x +=⎧∴⎨-=-⎩，122112x x +=-⎧⎨-=⎩，122211x x +=⎧⎨-=-⎩，122211x x +=-⎧⎨-=⎩解得：1211x x =-⎧⎨=-⎩，1233x x =-⎧⎨=⎩，1200x x =⎧⎨=⎩（舍去），1242x x =-⎧⎨=⎩解得：7k =或133k =或4k =；经检验，7k =或133k =或4k =满足分式方程的解，综上所述：7k =或133k =或4k =． 【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．【作业1】用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关 于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=【难度】★ 【答案】A【解析】原方程可化为310y y-+=，去分母得230y y +-=． 【总结】考察分式方程运用换元法转化整式方程的方法．【作业2】（1）若关于x 的方程(2)1a x b -=-无解，那么a ________，b __________；（2）已知关于x 的方程1302x a --=与203x ax --=的解相同，则a =____________．【难度】★【答案】（1）21a b =≠，；（2）531a =-． 【解析】（1）方程ax b =，当00a b ==，时，x 为一切实数；当00a b =≠，时，方程无解；当0a ≠时，bx a =-；（2）由方程1302x a --=，解得：61x a =+；由方程203x a x --=，解得：5ax =-：Q 方程的解相同，615a a ∴+=-，解得：531a =-．【总结】考察含字母的方程的解得问题的分类讨论．课后作业【作业3】下列说法错误的个数是（）①二项方程一定有解；②二项方程的解最多有两个；③二项方程如果有两个解，则一定互 为相反数； A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B【解析】①二项方程一定有解；（错）；①二项方程的解最多有两个；（对）①二项方程如果有两 个解，则一定互为相反数；（对），故错误的有1个，选B ． 【总结】考察二项方程及二项方程的解得概念．【作业4】关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）A ．2a b ≠；B ．6a ≠且3b ≠；C ．3b ≠；D ．6a =且3b ≠【难度】★ 【答案】C【解析】原方程可化为：()36b x a -=-，若方程有唯一解，则30b -≠，3b ∴≠． 【总结】考察含字母的方程求解问题的分类讨论．【作业5】如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk+--=-的解，试求a 、b 的值． 【难度】★★ 【答案】10332a b =-=，． 【解析】把1x =-代入方程，得：2123k a bk-+---=-，整理得()23310b k a -+=-， 230310b a ∴-==-，，解得：10332a b =-=，．【总结】考察了一元一次方程的解以及方程未知数的转换．【作业6】解下列方程： （1）3215200x x +=；（2）3244160x x x --+=；（3）22(321)(327)120x x x x -+--+=；（4）222()4(223)0x x x x ----=．【难度】★★【答案】（1）123403x x x ===-，； （2）123224x x x =-==，，；（3）1234151133x x x x ==-=-=，，，； （4）12341223x x x x =-==-=，，，．【解析】（1）由3215200x x +=，得：()25340x x +=，解得原方程的解为：123403x x x ===-，；（2）由3244160x x x --+=，得()()24440x x x ---=，故()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（3）由22(321)(327)120x x x x -+--+=，得()()2223263250x x x x ---+=，即()()223213250x x x x ----=，分解因式，得：()()()()1311350x x x x -++-=，解得原方程的解为：1234151133x x x x ==-=-=，，，；（4）由222()4(223)0x x x x ----=，得：()()2228120x x x x ---+=，即()()22260x x x x ----=，分解因式，得：()()()()12230x x x x +-+-=， 解得原方程的解为：12341223x x x x =-==-=，，，． 【总结】考察整式方程中运用换元思想降幂，求解高次方程的解法．【作业7】解下列方程：（1）222()0abx a b x ab -++=（0a ≠，0b ≠）； （2）2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-． 【难度】★★【答案】（1）12b ax x a b==，；（2）当0a =时，0x =；当1a =时，2x =； 当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【解析】（1）原方程可分解为：()()0ax b bx a --=，即ax b =或bx a =， 00a b ≠≠Q ，，∴可得原方程的解为：12b ax x a b==，； （2）原方程可整理为：()()()2222210a a x a x a a ---++=， 当20a a -=时，当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当20a a -≠时，即0a ≠且1a ≠时，()()110ax a a x a -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得：1211a ax x a a +==-，， 综上所述：当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【总结】考察含字母系数的方程的求解，注意进行分类讨论．【作业8】解下列方程： （1）651(1)x x x x +=++；（2）225242414015x x x x x x-+++=+-；（3）221245422x x x x +++=++；（4）22171()102x x x x +--+=．【难度】★★【答案】（1）1x =； （2）1212x x ==，，3434x x =-=-，；（3）1x =-；（4）12122x x =-=，，3411x x =+=-【解析】（1）对原方程去分母得：65x x =+，解得：1x =， 经检验1x =是原方程的解，∴原方程的解为：1x =；（2）设251x xy x -=+，原方程可化为24140y y ++=， 214240y y ∴++=，()()2120y y ++=，解得：12212y y =-=-，．当2y =-时，2521x xx -=-+，2320x x -+=，解得：1212x x ==，当12y =-时，25121x xx -=-+，27120x x ++=，解得：3434x x =-=-，经检验1212x x ==，，3434x x =-=-，均是原方程的解， 所以原方程的解为：1212x x ==，，3434x x =-=-，； （3）原方程可化为()2212223022x x x x +++-=++，设222x x a ++=，则可化为1230a a+-=，转化整式方程得：22310a a -+=， ()()2110a a ∴--=，解得：12112a a ==，．当12a =时，21222x x ++=，22430x x ++=，0<V ，方程无解；当1a =时，2221x x ++=，2210x x ++=，121x x ∴==-； 经检验1x =-是原方程的解，所以原方程的解为：1x =-； （4）原方程可化简为：21712102x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x t x -=，则27302t t -+=，化成整式方程得：22760t t -+=，即()()2320t t --=，解得：12322t t ==，，当32t =时，132x x -=，22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，；当2t =时，12x x-=，2210x x --=，解得：3411x x ==经检验12122x x =-=，，3411x x ==所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==【总结】本题主要考察利用去分母或者是换元法解分式方程，注意解完后要检验．【作业9】解下列方程：（1）11118475x x x x +=+----； （2）222212219116x x x x x x x +++++=+++． 【难度】★★★【答案】（1）6x =；（2）12x x ==，31x =． 【解析】（1）原方程可变形为：11118754x x x x -=-----，即()()()()118754x x x x =----， 所以()()()()8754x x x x --=--， 去括号，得：221556920x x x x -+=-+， 解得：6x =．经检验6x =是原方程的解，所以原方程的解为6x =；（2）原方程可变形为：222211231132x x x x x x ++++=++++，设2211x x y x ++=+，则原方程变为12332y y +=+，解得：122332y y ==，．当221213x x x ++=+时，化简得：2310x x ++=，解得：12x x ==； 当221312x x x ++=+时，化简得：2210x x -+=，解得：31x =，经检验12x x =，31x =是原方程的解，所以原方程的解为：12x x ==，31x =． 【总结】考察分式方程的解法，注意对方法的归纳总结，解完后注意要检验．【作业10】若方程x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】0k =或12k =． 【解析】原方程可以化为()22310kx k x +--=①，（1）当0k =时，原方程有一个解，12x =； （2）当0k ≠时，()225410k k =+->V ，则方程①恒有两个不相等的实数根，又Q 原方程只有一个解，则必有一个解为原方程的增根，即0x =或1x =，当0x =时，不是方程①的解，1x ∴=，代入方程①得12k =；把12k =代入原方程，得2x =-．综上所述：0k =或12k =【总结】考察先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程解的讨论．【作业11】已知方程()222221210()x ax a a x a +-++-=+有实数根，求实数a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】原方程可整理得()()22221210x a x a a x a +-++-=⎡⎤⎣⎦+，进一步整理得：()()222220x ax a ax x a +-+=+，()20x a x a x a ⎡⎤∴+-=⎢⎥+⎣⎦，()0x a x a x a ∴+-=+， 去分母整理，得：()223210ax a x a +-+=；当0a =时，解得：0x =，此时0x a +=，原方程无意义；当0a ≠时，若方程有实数根，则()2242140a a =--≥V ，解得：1122a -≤≤，其方程的根为：x =，又0x a +≠Q ，即x a =≠-，解得：0a ≠，综上所述，当原方程有实数根时，a的取值范围为：1122a-≤≤且0a≠．【总结】考察方程有解求方程中参数的问题，以及结合含字母系数的分类讨论的综合运用，综合性加强，注意进行方法的总结．。

1对3辅导教案1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念；2．理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法； 3．会解可化成一元二次方程的分式方程．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾下上次课的预习思考内容1．一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程． 2．一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程叫做一元n 次方程． 3．一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．4．（1）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．（2）二项方程的一般形式为0(0,0,)nax b a b n +=≠≠是正整数 （3）二项方程根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根当n 为偶数时，如果ab <0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab >0，那么方程没有实数根.5．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A ．212x x x =+B ．33x x x --=C ．100991x x x -=-D ．()7110x x+= 6．下面四个关于x 的方程中，次数和另外三个不同的是（ ）．A ．231ax x a +=-B ．32x x ax -=C ．3230ax a x x ++=D ．33x a = 7．下列方程中，是二项方程的是（ ）A . 230x x +=；B .42230x x +-=；C .41x =；D . 2(1)80x x ++=.参考答案：5．C ； 6．A ； 7．C（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：用适当的方法解下列方程（1）()228x -= （2）22410x x --=（3）2699910x x --=（4）()()212115x x ---=教法说明：首先回顾下解一元二次方程的四种方法：开平方法、因式分解法、配方法、公式法，要求灵活应用四种方法解一元二次方程，可以让学生观察四个方程分别用什么方法解比较简单。

分式方程与整式方程在数学中，分式方程与整式方程是我们经常遇到的两类方程。

它们之间有着明显的区别，下面我将从不同的角度来介绍它们的特点和应用。

一、定义和形式1. 分式方程：分式方程是指方程中含有分式的方程。

一般形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为整数，b和d不为0。

分式方程的特点是方程中含有未知数的分数形式。

2. 整式方程：整式方程是指方程中只含有整数和未知数的方程。

一般形式为ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0，其中a、b、c、d 为整数，n为非负整数。

整式方程的特点是方程中只含有未知数的整数形式。

二、解的形式1. 分式方程：分式方程的解一般为有理数。

通过对分子和分母进行因式分解，我们可以求得方程的解。

2. 整式方程：整式方程的解可以是有理数或无理数。

通过代数运算，我们可以求得方程的根。

三、求解方法1. 分式方程：求解分式方程时，我们通常采用通分的方法，将方程中的分式转化为整式方程。

然后通过解整式方程，得到方程的解。

2. 整式方程：求解整式方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法，根据方程的形式选择合适的方法求解。

四、应用领域1. 分式方程：分式方程常常出现在实际问题中，例如涉及到比例、速度、浓度等方面的问题。

求解分式方程可以帮助我们解决实际生活中的实际问题。

2. 整式方程：整式方程广泛应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。

解整式方程可以帮助我们深入理解数学的基本概念和原理。

总结：分式方程与整式方程在定义、解的形式、求解方法和应用领域上都有所区别。

了解它们的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

无论是在实际生活中还是学术研究中，掌握分式方程与整式方程的区别都是非常重要的。

第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。

分式方程与整式方程1. 引言在数学中，方程是一种用于描述等式关系的数学语句。

它是由未知量、已知量和运算符组成的代数表达式。

分式方程和整式方程是常见的两种方程类型。

分式方程是包含有一个或多个分式的等式，其中分子和分母都可以是整式（多项式）。

而整式方程则包含有一个或多个整式的等式，其中所有的项都是整数次幂的多项式。

本文将详细介绍分式方程与整式方程，包括其定义、性质、解法以及实际应用。

2. 分式方程2.1 定义分式方程是指包含有一个或多个分式的等式。

在分数中，我们将分子和分母都看作是整体，并且可以对它们进行各种运算。

例如，下面是一个简单的分式方程：2 x +3y=5z其中x、y和z都是未知量。

2.2 性质•分母不能为0：在求解分式方程时，我们需要注意避免让任何一个出现在分母中的变量取值为0。

因为除以0在数学中是没有定义的。

•分式方程可以化简：我们可以对分式方程进行合并同类项、约分等操作，使其更简洁明了。

2.3 解法要解决一个分式方程，我们需要将方程两边的分式化为相同的分母，然后根据等式性质进行运算。

下面是一般的解题步骤：1.将方程两边的分式化为相同的分母；2.合并同类项；3.在等号两边进行消元操作，将未知量移到一边，已知量移到另一边；4.求解得到未知量的值。

下面通过一个例子来说明解决分式方程的过程。

例题：解方程1x +2y=3。

解：首先，我们将方程两边的分式化为相同的分母。

由于x和y都是未知量，我们可以选择它们的最小公倍数作为通分的基数。

在本例中，最小公倍数是xy。

因此，我们需要将每个分数乘以适当的因子来得到通分后的形式：1 x ⋅y+2y⋅x=3接下来，合并同类项：y x +2xy=3然后，我们可以通过消元操作将未知量移到一边，已知量移到另一边。

在本例中，我们可以通过乘以xy来消去分母：y2+2x2=3xy最后，我们需要将方程化为标准形式，并求解得到未知量的值。

在本例中，我们可以将方程移项得到：y2−3xy+2x2=0这是一个二次方程，可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。

整式方程与分式方程【教学目标】1. 认识整式方程与分式方程，了解它们的定义2. 掌握解方程的方法，会求解整式方程与分式方程【教学重难点】1. 能根据定义正确判断整式方程中的不同分类2. 熟练掌握解方程的方法，正确求解整式方程与分式方程【教学内容】★ 知识梳理一、整式方程1. 一元整式方程（1）一元一次方程：形如b ax =，其中x 是未知数，a 是字母系数（2）一元二次方程：形如02=++c bx ax ，其中x 是未知数，a 、b 、c 是字母系数（3）一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式（4）一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数）（5）高次方程：n 大于2的一元n 次方程2. 特殊高次方程解法（1）二项方程：形如0=+b ax n ，一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零（2）对于二项方程0=+b ax n ，当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数，如果0>ab ，那么方程没有实数根（3）双二次方程：形如024=++c bx ax ，只含有偶数次项的一元四次方程二、分式方程1. 定义：分母中含有未知数的方程2. 解法：通过方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为整式方程来解★ 考点一、整式方程例1. 当a 时，方程0=+b ax 是一元一次方程，它的根是当a 时，方程02=++c bx ax 是一元二次方程，它的根是 当0≠a 、0>c 时，方程02=+c ax 有实数根（填“一定”或“一定没”或“不一定”）例2. 下列关于x 的方程中，是整式方程的有（1）32x x x =+；（2）071615124=+-x x ；（3）a x ax 5322=-；（4）x x x x =++1362例3. 下列关于x 的方程中，是二项方程的有（1）0854=+x ；（2）053=+x x ；（3）1255+=x x ；（4）)0,0( 02≠≠=+c a c ax例4. 下列关于x 的方程中，是双二项方程的有（1）063224=+-x x ；（2）024=-+x x ；（3）1)3)(3(22=-+x x ；（4）5)2)(2(24=-+x x例5. 解方程（1）432-=a x （2）2)3(=+x a （3）73)12(+=+x x a（4）5322=-x x （5）2)1()1(8+=+x x x （6）0)32(2)1(322=--+x x（7）9)2(23=+x （8）08)1(32=+-x（9）05424=-+x x （10）025324=--x x（11）09)1(10)1(222=++-+x x （12）08223=--x x x（13）03323=+--x x x （14）2)1)(2(2=++x x二、分式方程（注意检验增根）例6. 下列关于x 的方程中，是分式方程的有（1）0162=-+x x ；（2）64552=+x x ；（3）z x y x z y -=-+-111；（4）325611=-++-x x ； （5）53212++-x x x ；（6）01=x例7. 当x 取哪些值时，代数式x x 11-有意义？例8. 解方程（1）01212=++--x x （2）44422-+=-+x x x x x（3）21212-=---x xx x x x（4）918332-=--+x x x x x（5）x x x x x x 3133512=-++-+（6）26219132--=-x x x x（7）142214232=----+x xx x（8）11171272-=+---x x x x例9. 当x 是什么值时，代数式3472--x x x 与534+x 的值互为倒数例10. 若关于x 的方程211=-x 与312=+a x x 的解相等，求a 的值例11. 当m 为何值时，关于x 的分式方程11122-+=---x x x m x x 没有实数根★ 能力训练1. 解高次方程：021434136=+-x x2. 解分式方程：3221431--+--=--+-x x x x x x x x3. 解分式方程：12112)1(22=----xx x x4. 若关于x 的方程242122xk x x -=--+有增根，求k 的值【课后作业】一、填空1. 方程0352=-+a x 的根为2. 已知x=1是方程x a x =-+6322的根，则aa 1+的值为 3. 下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（1）02=++c bx ax ； （2）()()5272102+=-x x ； （3）08112=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ； （4）222132x x x x +-=-4. 对于二项方程0=+b ax n ，当n 为偶数时，如果ab 0，则方程有两个实数根，如果ab 0，方程没有实数根（填写“>”、“=”或“<”）5. 方程0233=+x 是一元 次方程，它的解的情况是6. 方程08=+b ax （0,0≠≠b a ）有一个解是x=2，则它的另一个解是7. 下列关于x 的方程中，分式方程的个数是（1）732=-x x ；（2）155=+x x ；（3）23122=+x ；（4）x x x=-+13212 8. 方程02132=+-x x 的根为 9. 若代数式x x 132-有意义，则x 的取值范围是 10. 当x = 时，分式325422-+-+x x x x 的值是2二、解方程11. 2)3(=+x a 12. 5)13(2-=-x x a13. 03522=--x x 14. 22)2(16)12(9-=+x x15. 01032=--x x 16. 4)1(23=+x17. 027)5(32=+-x 18. 0624=-+x x19. 035224=--x x 20. 03223=--x x x21. 024223=+--x x x三、简答题22. 已知代数式8624-+-x x x 的值等于1，求代数式1+x x 的值23. 当x 是什么值时，代数式27+x x 与432-+x x 的值互为相反数。

分式方程和整式方程的运算方法数学是一门非常重要的学科，我们在日常生活中处处可见它的应用。

在学习数学的过程中，方程是一个非常重要的知识点。

方程是指由等号连接的左右两个式子，其中至少有一个未知数。

方程有很多种类型，例如整式方程和分式方程。

本文将主要讲解分式方程和整式方程的运算方法。

一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的形式，方程通常形如a/b=c/d，其中a、b、c、d均为式子，其中b和d不为0。

分式方程的求解过程，需要将分母约分，把分式方程化为整式方程。

1. 分式方程的基本性质分式方程有一些基本的性质，我们在运算的过程中需要注意以下几点：(1)如果两个分式式子的分母相等，则可以把分母去掉，同时保留分子，合并成一个式子。

(2)如果两边同时乘以同一个数或同一个式子，分式方程仍然成立。

(3)如果两边同时除以同一个数或同一个式子，分式方程仍然成立。

(4)在分式方程中，不能将一个分数直接移到另一边，需要通过乘除法等变形方法进行处理。

2. 分式方程的运算方法分式方程的运算方法主要分为以下两种。

(1)通分法。

如果分式方程中的分母不相同，则需要通过通分的方法，将分母变成相同的数，然后再进行求解。

其中，通分的方法与普通的通分方法相同。

例如：3/x+1/2x=7/2首先对2x和x求最小公倍数，得到2x。

然后将分子和分母乘以合适的系数，使分母变为2x。

然后将分式方程化简为整式方程即可。

经过上述处理，得到6+3=x*7，化简后得到x=3。

(2)交叉乘法法。

如果分式的分母相同，则可以使用交叉乘法将分式方程化为整式方程。

其中，交叉乘法的方法同分数的通分方法。

例如：2/x+1/2=5/4将分式进行交叉乘法得到：2*2+1*x=1*x*5然后将方程化简得到x=4/3。

二、整式方程整式方程是指方程中的未知数只带有整数幂。

例如，x+3=6，x^2+3x+2=0等是整式方程。

整式方程和分式方程都是方程的一种，但它们的运算方法是不同的。