第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示

别业岁月悠长，有暗香盈袖。

冗长了日与夜，空掷了乐与悲。

遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。

谨祝诸位：学业有成，前程似锦。

编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。

写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。

如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。

平面向量基本定理及向量坐标表示一、平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量运算中的重要基石。

基本定理表明，一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。

设有平面向量 a 和 b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：a和b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：v = k1a + k2b = k1a + k2b其中，k1 和 k2 是实数，称为 a 和 b 的系数，v 是由 a 和 b 组成的平面向量。

a和b的系数，v是由a和b组成的平面向量。

这一定理的证明较为简单，可根据向量加法和数量乘法的定义进行推导。

二、向量坐标表示向量坐标表示是在向量运算中常用的表示方法。

它将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，便于进行计算和研究。

以平面向量为例，设平面上有向量 v，其起点坐标为 (x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。

则向量 v 的坐标表示为：v，其起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。

则向量v的坐标表示为：其中，Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。

同样，可以进行类似的推导，将三维空间中的向量用坐标表示。

向量坐标表示可以便捷地进行向量的加法、减法和数量乘法等运算，是向量分析的基础。

三、小结本文介绍了平面向量基本定理及向量坐标表示。

平面向量基本定理表明一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。

向量坐标表示将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，方便进行运算和研究。

了解和掌握平面向量基本定理和向量坐标表示，对于进一步学习和应用向量运算具有重要意义。

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个□1互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝□2(λx1，λy1)，|a|＝□3x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝□4(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝□5（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.常用结论1.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为(x1＋x22，y1＋y2).22.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.()(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y1y 2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.回源教材(1)已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝.解析：∵a ∥b ，∴4y ＝2×6，解得y ＝3.答案：3(2)已知平行四边形ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为.解析：设D (x ，y )，则AD →＝(x ＋1，y ＋2)，BC →＝(2，7)，又AD →＝BC →，＋1＝2，＋2＝7，解得x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)(3)如图，AB→＝2CA →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则c ＝(用a ，b 表示).解析：OC →＝OA →＋AC→＝OA→＋12BA →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝32OA →－12OB →＝32a －12b .答案：32a －12b平面向量基本定理的应用例1(1)(2024·山西模拟)已知在矩形ABCD 中，E 为AB 边的中点，线段AC和DE 交于点F ，则BF→＝()A.－13AB →＋23AD→B.13AB →－23AD →C.23AB →－13AD → D.－23AB →＋13AD→解析：D 如图，取CD 的中点G ，连接BG ，交AC 于点H .∵BE ∥DG ，BE ＝DG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE .又E 为AB 的中点，∴AF ＝FH ，同理可得CH ＝FH ，∴AF→＝13AC →＝13(AB →＋AD →).∴BF→＝BA →＋AF →＝－AB →＋13(AB →＋AD →)＝－23AB →＋13AD →.故选D.(2)在△ABC 中，点D 在边AB 的延长线上，AB ＝2BD ，设CB →＝mCA →＋nCD →，则()A.m ＝23，n ＝12 B.m ＝23，n ＝13C.m ＝13，n ＝23 D.m ＝－13，n ＝43解析：C因为点D 在边AB 的延长线上，且AB ＝2BD ，所以AB →＝2BD →，即CB→－CA →＝2(CD →－CB →)，整理得CB →＝13CA →＋23CD →.又CB →＝mCA →＋nCD →，所以由平面向量基本定理可得m ＝13，n ＝23.故选C.反思感悟1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.训练1(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD→＝n ，则CB →＝()A.3m －2nB.－2m ＋3nC.3m ＋2nD.2m ＋3n解析：B因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.(2)如图，BE ，CD 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的中线，BE 与CD 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝()A.23B.57C.59D.811解析：A 由题意知，点F 是△ABC 的重心，∴AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB→＋23(BA →＋AE →)＝AB →＋23(－AB →＋12AC →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，∴x ＝y ＝13，x ＋y ＝23.故选A.平面向量的坐标运算例2(1)已知AB→＝(1，－1)，C (0，1)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为()A.(－2，3)B.(2，－3)C.(－2，1)D.(2，－1)解析：D 设D (x ，y )，则CD →＝(x ，y －1)，2AB →＝(2，－2)，根据CD →＝2AB →，得(x ，y －1)＝(2，－2)，＝2，－1＝－2，＝2，＝－1，所以点D 的坐标为(2，－1).(2)(2024·嘉兴平湖模拟)等边△ABC 的边长为3，若AD →＝2DC →，BF →＝FD →，则|AF→|＝()A.192 B.172C.152 D.132解析：A 如图，以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，332)，B (－32，0)，C (32，0).由AD →＝2DC →，得AD →＝23AC →＝23(32，－332)＝(1，－3)，设D (x ，y )，则(x ，y －332)＝(1，－3)，解得D (1，32).由BF→＝FD →，得BF →＝12BD →＝12(52，32)＝(54，34)，设F (m ，n )，则(m ＋32，n )＝(54，34)，解得F (－14，34)，所以AF→＝(－14，－534)，故|AF →|＝（－14）2＋（－534）2＝192.故选A.反思感悟1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.训练2(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA→＝(32，12)，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB→，则OB →＝()A.(0，1) B.(1，0)C.(32，－12) D.(12，－32)解析：A ∵OA→＝(32，12)，∴OA→与x 轴的夹角为30°，依题意，向量OB →与x 轴的夹角为90°，则点B 在y 轴正半轴上，且|OB →|＝|OA →|＝1，∴点B (0，1)，则OB →＝(0，1).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为()A.65B.85C.2 D.83解析：B建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.平面向量共线的坐标表示利用向量共线求参数例3已知AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →，则x ＋2y 的值为()A.－1B.0C.1D.2解析：B因为AB→＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD→＝(－2，－3)，所以AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y －2)，所以DA →＝(－x －4，2－y )，因为BC→∥DA →，所以x (2－y )＝y (－x －4)，所以2x ＋4y ＝0，即x ＋2y ＝0.利用向量共线求向量或点的坐标例4设点A (2，0)，B (4，2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P的坐标为()A.(3，1)B.(1，－1)C.(3，1)或(1，－1)D.(3，1)或(1，1)解析：C∵A (2，0)，B (4，2)，∴AB →＝(2，2)，∵点P 在直线AB 上，且|AB→|＝2|AP →|，∴AB →＝2AP →或AB →＝－2AP →，故AP →＝(1，1)或AP →＝(－1，－1)，故P 点坐标为(3，1)或(1，－1).反思感悟平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R ).训练3平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1).(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标.解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，（x－4）－2（y－1）＝0，x－4）2＋（y－1）2＝5，＝3，＝－1，＝5，＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).限时规范训练(三十六)A级基础落实练1.(多选)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是()A.(2，23) B.(1，－3)C.(1，－2)D.(－1，－13)解析：AD因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.2.已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为()A.23B.43C.74D.75解析：B由已知得a＋2b＝(5，2－4λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝43.3.已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN→＝－2PM→，则P点的坐标为()A.(2，4)B.(－14，16)C.(6，1)D.(22，－11)解析：A 设P (x ，y )，则PN →＝(10－x ，－2－y )，PM→＝(－2－x ，7－y )，由PN →＝－2PM →－x ＝－2（－2－x ），2－y ＝－2（7－y ）＝2，＝4.4.如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e 1与e 1＋e 2B.e 1－2e 2与e 1＋2e 2C.e 1＋e 2与e 1－e 2D.e 1－2e 2与－e 1＋2e 2解析：D 对A 项，设e 1＋e 2＝λe 1＝1，＝0，无解，故e 1与e 1＋e 2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对B 项，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)＝1，2＝2λ，无解，故e 1－2e 2与e 1＋2e 2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对C 项，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，＝1，＝－λ，无解，故e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对D 项，e 1－2e 2＝－(－e 1＋2e 2)，所以e 1－2e 2与－e 1＋2e 2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底.5.如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF →＝xAB →＋yAD→，则x ＋y ＝()A.1B.6C.16D.13解析：C 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，AD →＝BC →，又CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF (图略)，在△AEF 中，EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12AD→＝23AB →－12AD →，又EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.6.(2024·忻州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是AB ︵上的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则BD →等于()A.12a －bB.a －12bC.－12a ＋bD.－a ＋12b解析：C画出图象如图所示，由于C ，D 是AB ︵上的两个三等分点，所以△AOC ，△COD ，△DOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝AC ＝CD ＝BD ，所以四边形OACD 和四边形OBDC 是菱形，所以BD→＝OC →＝AC →－AO →＝AC →－12AB →＝－12a ＋b .7.已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，0)，若向量m a ＋b 与2a －n b 共线，则mn ＝.解析：因为a ＝(1，－1)，b ＝(2，0)，1×0－(－1)×2≠0，所以a 与b 不共线，则a 与b 可以作为平面内的一个基底，因为m a ＋b 与2a －n b 共线，又m a ＋b ＝(m ＋2，－m )，2a －n b ＝(2－2n ，－2)，所以(m ＋2)×(－2)＝－m (2－2n )，即mn ＝－2.答案：－28.如图所示，在△OAB 中，C 是AB 中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝(请用a ，b 表示OC→).解析：因为C 是AB 中点，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋12AB →，又因为AB →＝OB →－OA →，所以OC→＝OA →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →，即OC→＝12(a ＋b ).答案：12(a ＋b )9.(2024·天津模拟)已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，若BP→＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝.解析：因为D ，F 分别为BC ，AC 的中点，所以DF 是△ABC 的中位线，所以DF AB ＝PD AP ＝12，则BP→＝BA →＋AP →＝－AB →＋23AD →＝－AB →＋23×12(AB →＋AC →)＝－23a ＋13b ，所以x ＝－23，y ＝13，所以x ＋y ＝－13.答案：－1310.已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1).(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使得AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，＝λ，＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m ).∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF→＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标；(2)求证：EF →∥AB →.解：(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2，2)，BC→＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)，所以AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1).因为AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23)，即(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1，0)＝(－13，23，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，即(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(730)，所以E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0).(2)证明：由(1)得EF →＝(83，－23)，AB→＝(4，－1)，因为4×(－23)－(－1)×83＝0，所以EF→∥AB →.B 级能力提升练12.已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝()A.－79 B.－139C.－32 D.－913解析：B设网格中每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知b ＝(3，3)，a ＝(－2，1)，c ＝(－1，－3)，代入c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，得(－1，－3)＝λ(－2，1)＋μ(3，3)1＝－2λ＋3μ，3＝λ＋3μ，＝－23，＝－79，所以λ＋μ＝－139.故选B.13.在△ABC 中，D 是直线AB 上的点.若2BD →＝CB →＋λCA →，记△ACB 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2，则S 1S 2等于()A.λ6B.λ2C.13D.23解析：D 依题意作图，如图所示，设BD→＝μBA →＝μ(CA →－CB →)＝－μCB →＋μCA →，由条件BD →＝12CB →＋λ2CA →，得μ＝－12，λ2＝μ＝－12，BD →＝－12BA →，∴点D 在AB 的延长线上，并且AD ＝32AB ，∴S 1S 2＝AB AD ＝23.14.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，DM →＝13DC →，BN →＝23BC →，AC 与MN 相交于点E .(1)若MN →＝λAB →＋μAD →，求λ和μ的值；(2)用向量AM→，AN →表示AE →.解：以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，D (0，1)，B (2，0)，M (23，1)，N (2，23)，C (2，1).(1)由题意知MN→＝(43，－13)，AB →＝(2，0)，AD →＝(0，1)，所以MN →＝(43，－13)＝λAB →＋μAD →＝(2λ，μ)，λ＝43，＝－13，解得λ＝23，μ＝－13.(2)设AE →＝tAC →，AC →＝mAM →＋nAN →，因为AM →＝(23，1)，AN →＝(2，23)，AC →＝(2，1)，所以AC→＝(2，1)＝(23m ＋2n ，m ＋23n ).解得m ＝37，n ＝67，即AC →＝37AM →＋67AN →，所以AE→＝tAC →＝37tAM →＋67tAN →，又因为M ，E ，N 三点共线，所以37t ＋67t ＝1，t ＝79，所以AE →＝13AM →＋23AN →.。