高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (12)(含答案解析)

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点题型与解题方法单选题1、下列说法错误的是（ ）A ．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等2、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 3、已知a ⃗=(2,−1), b ⃑⃗=(x, 4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则|a ⃗+b ⃑⃗|=（ ） A ．1B ．3C ．√5D ．54、如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB ⌢的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若AB =2，则|AC⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[√2,3]C ．[3,√10]D ．[√2,√10]5、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ） A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同； C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗6、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（ ） A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定7、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i8、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23多选题9、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC B ．若A >B ，则sin2A >sin2B C ．a =bcosC +ccosB D ．若(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，则△ABC 为等边三角形10、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是（ ） A ．cosC =√33B ．sinB =√23C ．a =3D ．S △ABC =√211、已知e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，则下列结论正确的是（ ） A ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是π3B ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是2π3 C ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=√32D ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1填空题12、已知A(1,0)，B(0,1)，O 为坐标原点，t ∈[0,1]，则|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为______．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(四)参考答案1、答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确. 小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型. 2、答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2， 于是AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积， 又|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ． 3、答案：D分析：利用向量的垂直，求出x ，然后求解向量的模．解：a ⃗=(2,−1)，b ⃑⃗=(x,4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，可得2x −4=0，解得x =2， 所以a ⃗+b ⃑⃗=(4,3)，则|a ⃗+b ⃑⃗|=√42+32=5． 故选：D ． 4、答案：D分析：根据题意可得出0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，然后根据向量的运算得出|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2= (|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1，从而可求出答案.因为点C 为AB⌢的中点，AB =2，所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2,∠CAB =π4， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos π4=|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+2=(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1， 因为点M 为线段AB 上的一点，所以0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，所以2≤(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1≤10， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是[√2,√10], 故选：D. 5、答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D. 6、答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°， 故此三角形无解． 故选:A. 7、答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ． 8、答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B 9、答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG⃑⃑⃑⃑⃑⃗，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|是单位向量，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗| =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0、AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=12，则AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗且AG 平分∠BAC ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为π3， 易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 10、答案：AD解析：根据正弦定理得到cosC =√33，sinB =sin2C =2√23，根据余弦定理得到a =1，S △ABC =√2，得到答案.A +3C =π，故B =2C ，根据正弦定理：bsinB=c sinC，即2√3sinC =3×2sinCcosC ，sinC ≠0，故cosC =√33，sinC =√63，sinB =sin2C =2sinCcosC =2√23. c 2=a 2+b 2−2abcosC ，化简得到a 2−4a +3=0，解得a =3或a =1， 若a =3，故A =C =π4，故B =π2，不满足，故a =1. S △ABC =12absinC =12×1×2√3×√63=√2.故选：AD .小提示：本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11、答案：ABD分析：根据条件知，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，结合二次函数与方程的特点可求出e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，从而求出|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |的值．∵ e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，且|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，∴ (e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2=λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +1的最小值为34，即λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +14=0在λ∈R 上有唯一一个解，所以Δ=(2e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ )2−1=0，所以e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =±12∴ e 1⃑⃑⃑ 与e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，所以A,B 正确，∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |2=1或3， ∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1或√3，所以D 正确，故选：ABD ． 12、答案：54解析：根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出． 解：∵A(1,0)，B(0,1)，∴ AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)，AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0)，BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)， ∴|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |， =|t(−1，1)−(−1，0)|+|34(0，−1)−(1−t)(1，−1)|，=|(1−t ，t)|+|(t −1，14−t)|，=√(1−t)2+t 2+√(t −1)2+(14−t)2， =√2t 2−2t +1+√2t 2−52t +1716， =√2(√t 2−t +12+√t 2−54t +1732)，=√2(√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2)， 令f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2，令T(t,0)，M(12，12)，N(58，−38)，则f(t)=|MT|+|TN|⩾|MN|=5√28，此时t =47∈[0，1]，则当t =47时，则|tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为54． 所以答案是：54．小提示：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2转化为动点T(t,0)到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理单选题1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：D.2、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤13. 故选：C.3、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinAbcosA−acosB 的取值范围是（ ） A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32) 答案：C分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB 的取值范围． 由b 2=a(a +c)及余弦定理，可得c −a =2acosB正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB∵A +B +C =π∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB∴sin(B −A)=sinA∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π2，π2<A +B <π， 那么：π6<A <π4则asinAbcosA−acosB =sin 2Asin(B−A)=sinA ∈(12，√22) 故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.4、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33 ， 此时|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ， 而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ， 故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B7、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（ ）A．346B．373C．446D．473答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．因为∠BCH=15°，所以CH=C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得：A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以A′B′=100×4×√2 2√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373． 故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D. 多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a //b ⃑ ，b ⃑ //c ，则a //cB ．若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =cC ．若a //b ⃑ ，则a 与b ⃑ 的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b ⃑ =0⃑ 可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a 、c 均为非零向量，则a //b ⃑ ，b ⃑ //c 成立，但a //c 不一定成立，A 错； 对于B 选项，若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =c ，B 对； 对于C 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a ≠0⃑ ，则b ⃑ 的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对. 故选：BD.10、（多选）已知向量a ⃗，b ⃑⃗，在下列命题中正确的是（ ） A ．若|a ⃗|>|b ⃑⃗|，则a ⃗>b ⃑⃗B ．若|a ⃗|=|b ⃑⃗|，则a ⃗=b ⃑⃗ C ．若a ⃗=b ⃑⃗，则a ⃗//b ⃑⃗D ．若|a ⃗|=0，则a ⃗=0 答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案. 解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A 错； 向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B 错； 两个向量相等，这两个向量平行，所以C 正确；模值为零的向量为零向量，故D 正确 故选：CD11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ B ．MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 正确； MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 正确； MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 错误； BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，D 正确. 故选：ABD .小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 填空题12、已知|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗夹角为60∘，且|(mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)−(nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)|=12，则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值为___________. 答案：√132分析：设a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗可得A,A ′,B,B ′共线，又|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，当|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，而此时A ′、B ′关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值. 由题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴令a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−m)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+mOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1+n)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−nOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故有A,A ′,B,B ′共线，∵|a →−b →|=|B ′A ′→|=12，故当且仅当|B′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小， ∴有A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√34， ∴|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√1−316=√134，即|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的终点共线，且|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12可分析得A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，进而求最小值即可. 13、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________. 答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p⃗=xm⃑⃑⃗+yn⃑⃗，则有p⃗=3a⃗+2b⃑⃗=x(2a⃗−3b⃑⃗)+y(4a⃗−2b⃑⃗)=(2x+4y)a⃗+(−3x−2y)b⃑⃗，得{2x+4y=3−3x−2y=2⇒{x=−74,y=138.，所以p⃗=−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗，所以答案是：−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则AB两点的距离为______m．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

试卷第1页，共71页高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习（含答案解析）一、解答题1．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-.（1）求2a b +；（2）若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；（3）若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析【分析】（1）先求()21,0a b +=，进而求2a b +；（2）列出方程组，求出13λμ=-⎧⎨=⎩，进而求出λμ+；（3）求出2AC a b =-，从而得到422CD a b AC =-=，得到结果.（1）()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；（2）()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=； （3） 因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线.2．（1）在直角三角形ABC 中，C =90°，AB =5，AC =4，求AB BC ⋅；（2）已知向量(3,1)AB =，(1,)AC a =-，a R ∈.若△ABC 为直角三角形，求a 的值.【答案】（1）9-；（2）3a =或13【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a 的值.【详解】（1）以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：3BC ==，所以()3,0B ，()0,4A ，所以()()3,43,09AB BC ⋅=-⋅-=-（2）()(1,)(3,1)4,1BC AB AC a a =-=--=--， ①π2A ∠=，此时(3,1)(1,)30AC a a AB ⋅=⋅-=-+=，解得：3a =； ②π2B ∠=，此时()(3,1)4,11210AB B a a C ⋅=⋅--=-+-=，解得：13a =； ③π2C ∠=，此时()2(1,)4,140AC a a BC a a ⋅=-⋅--=+-=，因为∆<0，无解； 综上：3a =或133．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. （1）求角C ；（2）若ABC 2c =，求ABC 的周长.【答案】（1）3π （2）6【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. （1）sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b c A B C R R R===试卷第3页，共71页222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=. （2）由（1）可知3C π=.1sin 2ABC S ab C ==4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=. ABC ∴的周长为6.4．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A 14=，若a =4，b +c =6，且b <c ，求b ，c 的值.【答案】2,4b c ==【分析】利用余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即()22215516236422b c bc b c bc bc =+-⨯=+-=-，则8bc =， 因为b c <，则可解得2,4b c ==.5．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B ､C ､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），（1）求向量BC ；（2）求顶点A 的坐标.【答案】（1）()4,1BC =（2）()2,1-【分析】（1）由点B ､C 的坐标即可求解BC 的坐标；（2）设顶点A 的坐标为(),x y ，由四边形ABCD 为平行四边形，有BC AD =，从而即可求解.（1）解：因为点B ､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以()()()3,41,34,1BC =--=；（2）解：设顶点A 的坐标为(),x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2），所以BC AD =，即()()4,12,2x y =--，所以2421x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩， 所以顶点A 的坐标为()2,1-.6．已知||1a =，||2b =，a b 与的夹角是60°，计算（1）计算a b ⋅，||a b +；（2）求a b +和a 的夹角的余弦值.【答案】（1）1a b ⋅=，||7a b +=（2 【分析】 （1）利用数量积的定义可求出a b ⋅，先求出2||a b +，即可得出||a b +； （2）先求出()a b a +⋅，根据向量夹角关系即可求出. （1） 由题可得1cos601212a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=， 222||212147a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=，所以||7a b +=；试卷第5页，共71页（2）()2112a b a a a b +⋅=+⋅=+=， 设a b +和a 的夹角为θ，所以()2cos 71a b a a b a θ+⋅==⨯+⋅7．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a，b ，c ，已知a =6，A =60°，B =75°.（1）求角C ；（2）求边c .【答案】（1）C =45°（2）c =【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.（1）解：在△ABC 中，因为A =60°，B =75°，所以角180180607545C A B =--=--=； （2）解：在△ABC 中，因为a =6，A =60°，又由（1）知C =45°，所以由正弦定理有sin sin a c A C ==c = 8．已知向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π.（1）求a b +；（2）求()()23a b a b +⋅-.【答案】（1【分析】（1）由cos 33a b a b π⋅=⋅=，结合222?a b a ab b +=++，即可求解；（2）由()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅-，即可求解. （1） 解：由题意，向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π， 可得1cos 32332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=，又由2222?32a b a ab b +=++=+⨯ （2）解：因为向量3a =，2b =，且3a b ⋅=，所以()()222236336418a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=-.9．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．（1）求AC 的长；（2）如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？ 【答案】（1）AC =（2）沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，试卷第7页，共71页（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.（1）解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2） 解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即2sin 2s in BC A B BC CA AC∠====∠ 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒n mile 即可到达C 处. 10．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行见此岛在北偏东30︒，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【答案】无触礁危险，理由见解析.【分析】根据题意，作出示意图，利用正弦定理，求得AD ，与8进行比较，即可判断.【详解】如图所示，在△ABC 中，依题意得BC =，907515ABC ∠=︒︒=︒－，6045BAC ABC ∠=︒∠=︒－. 由正弦定理，得sin15AC ︒＝sin 45BC ︒， 所以AC10（海里）故A到航线的距离为sin6010=︒==.AD AC因为8>，所以货轮无触礁危险．11．如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．（1）分别写出与OA、OB、OC相等的向量；（2）分别写出与OD、OE、OF共线的向量；（3）分别写出OD与OB，OD与OE的夹角；（4）分别写出OD与AB，OD与FA的夹角．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（1）解：由正六边形的性质可知，与OA相等的向量有：DO、试卷第9页，共71页 EF、CB ，与OB 相等的向量有：EO 、FA 、DC ，与OC 相等的向量有：FO 、AB 、ED .（2） 解：与OD 共线的向量有：DO 、AO 、OA 、AD 、DA 、EF、FE 、BC 、CB ， 与OB 共线的向量有BO 、EO 、OE 、CD 、DC 、BE 、EB 、FA 、AF ， 与OF 共线的向量有：FO 、OC 、CO 、CF 、FC 、ED 、DE 、AB 、BA . （3）解：OD 与OB 的夹角120，OD 与OE 的夹角60. （4）解：OD 与AB 的夹角为60，OD 与FA 的夹角120.12．已知|a |5=，|b |4=，（1）若a 与b 的夹角为120.θ=︒①求a ⋅b ；②求a 在b 上的投影向量．（2）若a //b ，求a ⋅b .【答案】（1）①10-；②58-b （2）答案见解析【分析】（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案. （2）根据a ，b 的夹角进行分类讨论，由此求得a ⋅b . （1） ①cos12010a b a b ⋅=⋅⋅︒=-.②a 在b 上的投影向量为15cos1205248b b a b⎛⎫⋅︒⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭b . （2）a //b ， ∴a 与b 的夹角为0θ=︒或180.θ=︒ 当0θ=︒时，cos020a b a b ⋅=⋅⋅︒=. 当180θ=︒时，cos18020a b a b ⋅=⋅⋅︒=-. 13．如图，O 为ABC 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c .求作：（1）b +c -a ；（2）a -b -c .【答案】 （1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （1）试卷第11页，共71页设D 是BC 的中点，连接OD 并延长，使OD DE =. b +c -a OE OA AE =-=.（2）a -b -c =a -△b +c △OA OE EA =-=.14．已知向量a ，b ，c ，d 分别表示下列位移：“向北10km ”△“向南5km ”△“向西10km ”△“向东5km ”．请说明向量a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义． 【答案】答案见解析 【分析】根据a ，b ，c ，d 的意义对a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义进行说明. 【详解】向量a b +表示“向北5km”； 向量b b +表示“向南10km”；向量a c +表示“”； 向量2a b b a b ++=+，表示没有位移；向量2a d d a d ++=+，表示“”．15．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径R 满足2222cos .R ac B a c +=+（1）求B 的大小； （2）若2b =，512C π=，求ABC 的面积． 【答案】 （1）6π（2）2+【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得R b =，再根据正弦定理，即可求出结果． （2）由三角形内角和可知A C =，进而可得a c =，由余弦定理即可求出2a ，再根据211sin sin 22ABCSac B a B ==，即可求出结果. （1）解：2222cos R ac B a c +=+，22222cos R a c ac B b ∴=+-=， 2sin bR b B ∴==，1sin 2B ∴=， 又B 为锐角，.6B π∴= （2） 解：6B π=，512C π=， 55()61212A ππππ∴=-+=，a c ∴=，又2b =,由余弦定理，得(22222cos 2b a c ac B a =+-=，24(2a ∴=，211sin sin 222ABCSac B a B ∴===16．在)1cos cos 2A A A ⋅-=；②cos cos 2A aC b c=-两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4b c +=，求a 的最小值．试卷第13页，共71页【答案】选择①或②a 的最小值为2. 【分析】选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得cos A 的值进而可得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值. 【详解】选择①：)1cos cos 2A A A ⋅-=可得：2sin 2cos 1A A A -=，1cos 22212AA +-⨯=，2cos22A A -=，所以π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ112,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ262A -=，π3A =，在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=，当且仅当b=c等号成立即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2， 选择②：cos cos 2A aC b c=-， 由正弦定理化边为角可得：sin cos cos 2sin sin A C B CA=-，所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2. 17．在△3A π=，a =b =△1a =，b =6A π=；△a =b =3B π=这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析 【分析】选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可得出C ，再利用正弦定理即可求出c ；选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可求出C 和c ；选择条件△：利用正弦定理求出A ，即可求出C 和c . 【详解】 选择条件△： 因为3A π=，a =b =由正弦定理得sin sin a b A B==所以sin B 4B π=或34B π=（舍去），所以53412C ππππ=--=，因为5sinsin sin cos cos sin 126464644πππππππ+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理可得2sin sin c aC A===，则c =. 选择条件△：因为1a =，b =6A π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即112=所以sin B =，解得3B π=或23B π=，符合题意，当3B π=时，632C ππππ=--=，则2c =，当23B π=时，2636C ππππ=--=，则1c a ==； 选择条件△：因为a =b =3B π=，试卷第15页，共71页由正弦定理得sin sin a bA B =，即sin 2A = 则sin 1A =，所以2A π=，所以236C ππππ=--=，c =18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1）cos sin sin B C C B =，进而得tan C =在求解即可得答案；（2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =19．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ. 【答案】（1）()2,4b =或()2,4b =--. （2）π4θ=. 【分析】（1）设(),b x y =，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. （1）解：设(),b x y =，因为//a b ，所以2y x =．①又25b =，所以2220x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--． （2）解：由()()243a c a c +⊥-，得()()222438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=，又||5,||10a c ==，解得5a c ⋅=，所以5cos [0,π]||||5a c a c θθ⋅==∈⨯， 所以a 与c 的夹角π4θ=.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】试卷第17页，共71页（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=. 由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC的面积1sin 2S bc A ==4bc =①.而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cab=．（1）求角B ；（2）若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】 （1）6B π=（2）3 【分析】 (1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ． （1）ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B =． 又0B π<<，所以6B π=．（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos6a c ac π=+-，即223a c +=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==22．在ABC 中，点P 是AB 上一点，且23CP CA =+13CB ，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，且CM =tCP ，求t 的值．【答案】34【分析】由2133CP CA CB =+，化简为2AP PB =，得到点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点），再根据A ，M ，Q 三点共线，设AM AQ λ=，然后用,AB AC 分别表示向量,CM CP ，再根据CM =tCP 求解. 【详解】 如图所示：因为2133CP CA CB =+，所以32CP CA CB =+， 所以()2CP CA CB CP -=-， 即2AP PB =，所以点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点）， 又因为A ，M ，Q 三点共线，且Q 为BC 的中点，试卷第19页，共71页设AM AQ λ=，则CM AM AC AQ AC λ=-=-()2222AB AC AC AB AC λλλ-=+-=+， 13CP AP AC AB AC =-=-， 因为CM =tCP ， 所以21223AB AC t AB AC λλ-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2322t tλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得1234t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以t 的值是34.23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x =+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为24．如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ．//CD BO ，某人从C 沿CD 走到D 用了10min ，从D 沿DA 走到A 用了6min ．若此人步行的速度为每分钟50m ，求该扇形的半径OA 的长．（精确到1m ）【答案】445m 【分析】设OA r =，连接OC ，在OCD 中利用余弦定理列方程求解即得. 【详解】设扇形半径OA r =m ，连接OC ，如图，依题意，300DA =m ，500CD =m ，在OCD 中，(300)OD r =-m ，60CDO ∠=， 由余弦定理得：2222cos OC OD CD OD CD CDO =+-⋅∠，即试卷第21页，共71页222(300)5002(300)500cos 60r r r =-+--⨯⨯，化简整理得：49000011000r -=，解得：490044511r =≈(m)， 所以该扇形的半径OA 的长约为445m.25．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】 （1）1040m （2）35min 37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求得sin B ，然后由正弦定理求得AB .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得d 的最小值.（3）根据“两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. （1） 由题意5sin 13A =，4sin 5C =，在ABC 中，()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得1040m AB =.所以，索道AB 的长为1040m. （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ， 此时甲行走了()1005t +，乙距离A 处130t ，由余弦定理得()()()222121005013021301005013d t t t t =++-⨯⨯+ ()2200377050t t =-+，因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 则当35min 37t =时，甲、乙两游客之间距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得sin 500m sin AC BC AB ==， 乙从B 出发时，甲已走了()50281550m ++=，还需要走710m 才能到达C ， 设乙步行的速度为m min v ， 由题意得500710125062533504314v v -≤-≤⇒≤≤， 所以为了使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ， 乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m min ）范围之内. 26．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.（1）若4A π=，求b .（2）若______，求c 的值及ABC 的面积.请从①b =sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【答案】（1；（2）选14ABCc S ==：， 26ABCc S==：，【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. （1）试卷第23页，共71页334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin a b B A =⨯== （2）选①：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选②：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=27．已知向量a 与b 的夹角为θ，5a =，4b =，分别求在下列条件下的a b ⋅： （1）120θ；（2）//a b ； （3）a b ⊥． 【答案】 （1）10- （2）20或20- （3）0 【分析】（1）根据=cos a b a b θ⋅⋅，代入数值，即可求出结果；（2）因为//a b ，所以0θ=︒或180︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果； （3）因为a b ⊥，所以90θ=︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果. （1）解：因为5a =，4b =，120θ，所以1=cos 54102a b a b θ⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：因为//a b ，所以0θ=︒或180︒， 当0θ=︒时，=cos054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=；当180θ=︒时，()=cos18054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯-=-； 所以a b ⋅的值为20或20-.（3）解：因为a b ⊥，所以90θ=︒， 所以=cos905400a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=.28．已知()3,1a =-，()1,2b =-，求a b ⋅，a ，b ，,a b <>． 【答案】5a b ⋅=，10a =，5b =，,4a b π<>=.【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知：()()()()3,11,231125a b ⋅=-⋅-=⨯+-⨯-=， (23a a a =⋅=+=(21b b b =⋅=+=又因为2c 1os 0,5a b a b a b=<>=⨯⋅=0,a b π≤<>≤，所以,4a b π<>=. 29．已知O 为坐标原点，()3,1OA =，()1,2OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求点C 的坐标． 【答案】()14,7. 【分析】设(),C x y ，根据OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】解：设(),C x y ，则()(),,1,2OC x y BC OC OB x y ==-=+-， 因为OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，所以()201320x y x y -+=⎧⎨+--=⎩，解得147x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()14,7.30．已知()110e ,=，()20,1e ，一动点P 从()012P -,开始，沿着与向量12e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为12m /s e e +.另一动点Q 从()02,1Q --开始，沿着与向量1232e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为1232m /s e e +，设P ，Q 在0s t =时分别在0P ，0Q 处，问当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为多少？试卷第25页，共71页【答案】2s 【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知()120121212e e OP OP t e e t e e e e +-=+⋅=++，()12012121233323232e e OQ OQ t e e t e e e e +-=+⋅=++，两式相减得，()00122PQ P Q t e e -=+，由()001,3PQ =--，()110e ,=，()20,1e =，得()()0012212,3PQ P Q t e e t t =++=-+-+， 因为00PQ PQ ⊥，所以()()00112330PQ PQ t t ⋅=-⨯-+-⨯-+=，解得2s =t . 故当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为2s .31．两个力1F i j =+，245F i j =-作用于同一质点，使该质点从点()20,15A 移动到点()7,0B （其中i 、j 分别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N ，位移的单位：m ）.求：（1）1F ，2F 分别对该质点做的功； （2）1F ，2F 的合力F 对该质点做的功. 【答案】（1）1F 对该质点做的功为28-（N m ⋅），2F 对该质点做的功23（N m ⋅）； （2）5-（N m ⋅）. 【分析】（1）根据题意，求出位移AB ，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力F ，结合功的计算公式，即可求解. （1）根据题意，()11,1F i j =+=，()2454,5F i j =-=-，()13,15AB =--， 故1F 对该质点做的功11131528W F AB =⋅=--=-（N m ⋅）；2F 对该质点做的功()2213415523W F AB =⋅=-⨯-⨯-=（N m ⋅）. （2）根据题意，1F ，2F 的合力()125,4F F F =+=-，故1F ，2F 的合力F 对该质点做的功()()5134155W F AB =⋅=⨯--⨯-=-（N m ⋅）. 32．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力1F ，2F ，3F 的作用，沿北偏东45的方向移动了8m ，其中12N F =，方向为北偏东30 ；24N F =，方向为北偏东60；36N F =，方向为北偏西30，求合力F 所做的功.【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出1F ，2F ，3F 以及位移s 的坐标，进而可得合力123F F F F =++的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算W F s =⋅即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得(11,F =，()223,2F =，(3F =-，位移(42,s =，所以(12322,2F F F F =++=+，所以合力F 所做的功为()(2322W F s =⋅=⨯+⨯=，33．在ABC 中，已知4cos 5A =，65a =.试卷第27页，共71页（1）当3B π=时，求b 的值；（2）设02B x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求函数22xy b =+的值域．【答案】 （1（2）(24++ 【分析】（1）利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦公式以及辅助角公式可得4sin 3y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭再由正弦函数的性质即可求解. （1） 4cos 5A =，0A π<<，所以3sin 5A =， 当3B π=时，由正弦定理sin sin a bA B=， 可得65sin sin b A B =，解得b =（2）由正弦定理可得65sin 2sin sin b B xA=⋅=，所以22x y b =+)2sin 1cos x x =++2sin x x =+++4sin 3x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为02x π<<，所以3365x πππ<+<， 所以1sin 123x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以24sin 43x π⎛⎫+<+++ ⎪⎝⎭所以函数22xy b =+的值域为(24++. 34．在ABC 中，AB a =，BC b =，当0a b ⋅≥时，判断ABC 的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形.【分析】根据向量数量积的定义可得0,2a b π<≤，即有2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，由此可得答案. 【详解】解：因为在ABC 中，AB a =，BC b =， 0a b ⋅≥，所以cos ,0a b a b ⋅⋅≥，即cos ,0a b ≥，又[],0a b π∈，，所以0,2a b π<≤，即02ABC ππ<-∠≤，所以2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，所以ABC 是直角三角形或钝角三角形.35．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点． （1）求BA 在CD 上的投影向量； （2）求CD 在BA 上的投影向量． 【答案】（1）DC （或BD ） （2）34BA -【分析】（1）先求出BA 在CD 上的投影，然后乘以与CD 同向的单位向量即得； （2）先求出CD 在BA 上的投影，然后乘以与BA 同向的单位向量即得． （1）如图，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．则AD BC ⊥，1AD =，AD CD ==所以,150BA CD <>=︒，23BA CD ⋅=︒=-，BA 在CD 上的投影为BA CD CD⋅-==BA 在CD 上的投影向量为CDCD DC CD=-=BD =；试卷第29页，共71页（2）CD 在BA 上的投影为3322BA CD BA⋅-==-， CD 在BA 上的投影向量为3324BA BA BA -⨯=-． 36．如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：（1）AC ； （2）AD ； （3）AD AB -； （4）AB CF +； （5）BF BD -． 【答案】 （1）c a →→- （2）d a →→- （3）d b →→- （4）b a f c →→→→-+- （5）f d→→- 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. （1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.37．已知a b ⊥，且2=a ，1b =，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得()3a b t +-与ka tb -+垂直，试求k 的最小值．【答案】916- 【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，再由()3a b t +-与ka tb -+垂直，转化得234t tk -=，结合二次函数性质可求k 的最小值． 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又()3a b t +-与ka tb -+垂直，所以()()30a b ka tb t ⎡⎤+-⋅=⎣⎦-+，即()()22330ka t t b t k t a b ⎡⎤-+-+--⋅=⎣⎦，又2=a ，1b =，所以()430k t t -+-=，234t tk -=，当32t =时，k 取到最小值916-. 38．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=，1cos 2DAB ∠=.求DC BC +与CD BC +． 【答案】3DC BC +=1CD BC += 【分析】首先根据已知条件得到四边形ABCD 为菱形，且3DAB π∠=，根据DC BC AC +=，CD BC BD +=，再求其模长即可.【详解】试卷第31页，共71页因为0OA OC OB OD +=+=，所以OA OC =-，OB OD =-，即四边形ABCD 为平行四边形. 又因为1AB AD ==，则四边形ABCD 为菱形，如图所示：1cos 2DAB ∠=，0DAB π<∠<，所以3DAB π∠=. 23DC BC AD DC AC AO +=+===. 1CD BC CD CB BD +=-==. 39．是否存在a ，b ，使a b a b +==？请画出图形说明．【答案】存在，图形见解析【分析】根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出a 与b 的夹角，即可得解； 【详解】 解：因为a b a b +==，所以22a b a +=，即2222a a b b a +⋅+=，即2222a a b b a +⋅+=，即212a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅，因为[]0,θπ∈，所以23πθ=，即当a 与b 的夹角为23π且a 与b 的模相等时，满足a bab +==， 图形如下所示：40．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，作向量a +b +c ．【答案】答案见详解.【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由向量加法的三角形法则， a +b +c 如图，41．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．【答案】见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.试卷第33页，共71页42．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.【答案】3(2AC=，(BD -= 【分析】 依题意B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义， 得1cos30x ︒==，11sin 302y ︒==，△12B ⎫⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，2sin120y ︒==△12D ⎛- ⎝⎭． ()0,0A △3122AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12AD ⎛=- ⎝⎭． ∴3(2AC AB AD=+=，(BD AD AB -=-=43．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()6,1AB →=，(),BC x y →=，()2,3CD →=--，且BC AD →→∥．（1）求x 与y 间的关系；（2）若AC BD →→⊥，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）20x y +=（2）2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出AD →，BC →的坐标，利用平行关系即可得到x 与y 间的关系.（2）由（1）得到x 与y 间的关系以及利用AC BD →→⊥数量积为0，通过联立方程分别解出,x y ，并确定AC →，BD →坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.（1）由题意得()4,2AD AB BC CD x y →→→→=++=+-，(),BC x y →=，因为BC AD →→∥，所以()()420x y y x +--=，即20x y +=……① （2）由题意得()6,1AC AB BC x y →→→=+=++，()2,3BD BC CD x y →→→=+=--， 因为AC BD →→⊥，所以0AC BD →→⋅=，即()()()()62130x x y y +-++-=， 整理得2242150x y x y ++--=……②联立①②2242150{20x y x y x y ++--=+=,解得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩. 记四边形ABCD 面积为S当2,1,x y =⎧⎨=-⎩时，()8,0AC →=，()0,4BD →=-，则1162S AC BD →→==， 当6,3x y =-⎧⎨=⎩时，()0,4AC →=，()8,0BD →=-，则1162S AC BD →→==试卷第35页，共71页 综上2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 44．已知向量()8,4a →=-，(),1b x →=.△a →，b →共线，△a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭. （1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x 的值；（2）当2x =时，求a →与b →夹角θ的余弦值.【答案】（1）选择△，2x =-；选择△，212x =； （2）35. 【分析】（1）选择△，根据,a b →→共线即可得出840x +=，解出x 即可；选择△，先求出(8,5)a b x →→-=--，根据a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭即可得出()0a b a →→→-=，然后进行数量积的坐标运算即可求出x 的值； （2）2x =时，可得出向量b →的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ． （1）解：如果选择△，,a b →→共线，840x ∴+=，解得2x =-；如果选择△，(8,5)a b x →→-=--，且a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴()8(8)200a b a x →→→-=-+=，解得212x =. （2）解：当2x =时，(2,1)b →=，∴12a b →→=，|||a b →→= ∴123cos 545||||a ba b θ→→→→==． 45．已知O 为坐标原点，()2,5OA →=，()3,1OB →=，()6,3OC →=，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA MB →→⊥若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】假设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤,求出,MA MB →→的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出λ,最后求出点M 坐标.【详解】解：设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤()26,53MA λλ→=--，()36,13MB λλ→=--, 因为MA MB →→⊥,所以0MA MB →→⋅=,有()()()()2126365313045481103λλλλλλλ--+--=⇒-+=⇒=或1115λ= ()2,1OM →∴=或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意. 46．已知a 、b 、c 为同一平面内的三个向量，其中()1,2a =（1）若()2,c k =-，且c a ∥，求c ；（2）若()1,b m =，且a 与b 垂直，求b .【答案】（1）()2,4c =--（2）11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由a 与b 垂直，可得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （1）解：∵()2,c k =-，()1,2a =且//c a ，∴()2210k -⨯-⨯=，∴4k =-，∴()2,4c =--.（2）解：由a 与b 垂直，得0a b ⋅=，即1120m ⨯+⨯= ∴12m =-. 47．如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==.设OP xOA yOB =+.试卷第37页，共71页（1）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）； （2）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：___________； （3）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ， ①图形G 是___________；A△线段 B△射线 C△直线 D△圆②在图2中作出图形G .【答案】（1）答案见解析（2）x y =且0,0x y ≤≤（3）① A ；②答案见解析【分析】（1）根据向量的加法的几何意义作出点P 的位置；（2）根据向量的线性运算的几何意义确定“点P 在射线OC 上”的一个充要条件； （3）根据向量共线定理的推论确定P 的轨迹形状，并画图.（1）图中点P 即为所求.（2）根据向量线性运算的几何表示可得x y =且0,0x y ≤≤；（3）①因为OP xOA yOB =+，24x y +=且0xy ≥， 所以4242x y OP OA OB =⋅+⋅，其中142x y +=， 设4OD OA =，2OE OB =，则42x y OP OD OE =+，142x y +=,又0xy ≥ 所以点P 所构成的图形为线段DE故选：A ；②图中线段DE 即为所求.48．已知5a =，4b =， a 与b 的夹角为60，问：当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+？【答案】1415. 【分析】根据数量积的定义可得a b ⋅的值，再利用数量积的定义和性质计算()()20ka b a b -⋅+=即可求解.【详解】 因为5a =，4b =， a 与b 的夹角为60， 所以1cos6054102a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 若()()2ka b a b -⊥+，则()()20ka b a b -⋅+=，即()222120ka k a b b +-⋅-=，所以()222120k a k a b b +-⋅-=， 所以()2521102160k k +-⨯-⨯=，可得：1415k =.试卷第39页，共71页49．已知()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈．（1）若a b ∥，求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值； （2）若a b ⊥，且3sin 5β=，()0,βπ∈，求sin()αβ+的值． 【答案】（1）1（2）详见解析【分析】（1）由题得tan 2α=，再利用二倍角公式及同角关系式可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--22tan tan tan 2ααα=+-，即求； （2）由题可得cos 2sin 0αα+=，再利用同角关系式及两角和公式即求. （1）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈，a b ∥，∴2cos sin 0αα-=，即tan 2α=， ∴222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-. （2）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，，a b ⊥∴cos 2sin 0αα+=，()0,απ∈，∴25sin 1,sin 0αα=>，∴sin αα== 又3sin 5β=，()0,βπ∈， ∴4cos 5β=±， 当4cos 5β=时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355== 当4cos 5β=-时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355==. 50．已知||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为23π，设27,m ta b n a b =+=+．（1）求(2)a a b ⋅+的值；（2）若m 与n 的夹角是锐角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹒ 【分析】(1)将(2)a a b ⋅+展开，通过数量积运算即可得到答案；(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒ （1）2221(2)2||2||||cos 4221232a a b a a b a a b π⎛⎫⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）△m 与n 的夹角是锐角，△0m n ⋅>且m 与n 不共线．△()222(27)()2||277||m n ta b a tb t a t a b t b ⋅=++=++⋅+22827721570t t t t t =--+=-+->，△221570t t -+<，解得172t <<． 当m 与n 共线时，则存在实数λ，使27()ta b a tb λ+=+，△2,7t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t =±．综上所述，实数t 的取值范围是114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 51．如图，正三角形ABC 的边长为4，D ，E ，F 分别在线段,,AB BC CA 上，且D 为AB 的中点，DE DF ⊥.试卷第41页，共71页（1）若60BDE ∠=︒，求三角形DEF 的面积. （2）求三角形DEF 面积的最小值. 【答案】 （1（2）12- 【分析】（1）根据题意，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意，设BDE θ∠=，结合正弦定理，以及三角恒等变换，及可求解. （1）根据题意，知2AD BD ==，因为60BDE ∠=，所以2DE =，又因为DE DF ⊥，所以30ADF ∠=， 因此cos303DF AD ==，故12DEFS DE DF =⋅= （2）根据题意，设BDE θ∠=，090θ≤≤.在BDE 和ADF 中，由正弦定理知()sin 60sin 120DE BD θ=-，()sin 60sin 30DF ADθ=+， 化简得)3sin 60DE θ=+，)3sin 30DF θ=+，故()()1322sin 60sin 30DEFSDE DF θθ=⋅=++， 因为()()311sin 60sin 30sincos 222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 22θ= 所以12DEF S =- 52．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 1b =，120C =． （1）求B 的大小； （2）求ABC 的面积S 【答案】 （1）30；（2 【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角A ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，c =1b =，120C =，由正弦定理得sin sin b c B C =即1si 20n B =，所以1sin 2B ==， 因为b c <，所以B C <， 因为060B <<，所以30B = （2）因为180A B C ++=，所以1801803012030A B C =--=--=，所以ABC 的面积为113sin 1sin 30224S bc A ==⨯=.53．已知()1,2a =，()3,1b =- （1）求2a b -；（2）设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； （3）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值 【答案】 （1）()7,0；（2）10-；（3）【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解； （2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解. （1）因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=. （2）因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，试卷第43页，共71页所以21cos 1a b a bθ⨯⋅===⋅+（3）由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=， 即221k =，解得：k =. 54．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，求点P 的坐标．【答案】()8,15- 【分析】根据点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =，可得12AB BP =，可得2OP OB AB =+． 【详解】点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =， ∴12AB BP =， ∴2(4OP OB AB =+=，3)2(2-+，6)(8-=，15)-．所以点P 的坐标为()8,15-55．已知ABCD 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，求顶点D 的坐标． 【答案】(1，5)﹒ 【分析】由平行四边形可得：DC AB =，于是OD OC AB =-． 【详解】设坐标原点为O ，由平行四边形可得：DC AB =，(5OD OC AB =-=，6)(4-，1)(1=，5)．∴D 的坐标为(1，5)﹒56．如图，已知平行四边形ABCD ，点O 为任一点，设OA a =，OB b =，OC c =，试。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BDAB =√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)． 故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗． 在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确； 在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确； 在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误． 故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（ ） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确； 对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确； 对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32， 由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ， 在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ， 在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3， 所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3． （Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案知识点题库单选题1、下列命题中假命题是（ ） A ．向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ 与BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等2、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则|a −b ⃑ +c |=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=2,|b ⃑ |=1,a ⋅(a −2b ⃑ )=2，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4、已知向量a ，b ⃑ 满足|a |=√3，|b ⃑ |=2，且a ⊥(a −b ⃑ )，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5、给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( ) A ．①②③是数量，④⑤⑥是向量B ．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C ．①④是数量，②③⑤⑥是向量D ．①②④⑤是数量，③⑥是向量6、已知不共线的平面向量a ⃗,b ⃑⃗,c ⃗两两所成的角相等，且|a ⃗|=1,|b ⃑⃗|=4,|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，则|c ⃗|=（ ） A ．√2B ．2C ．3D ．2或37、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−118、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 多选题9、在△ABC 中，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B 的值可以为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π610、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +S B ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +S C ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗.若O 是锐角△ABC 内的一点，A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ .则（ ）A ．O 为△ABC 的外心B ．∠BOC +A =πC ．|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |:|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |:|OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=cosA:cosB:cosC D ．tanA ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanB ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanC ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗ 11、下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A ．e 1⃑⃑⃑ =(0,0),e 2⃑⃑⃑ =(1,2)B ．e 1⃑⃑⃑ =(2,−1),e 2⃑⃑⃑ =(1,2) C ．e 1⃑⃑⃑ =(−1,−2),e 2⃑⃑⃑ =(1,2)D ．e 1⃑⃑⃑ =(1,1),e 2⃑⃑⃑ =(1,2) 填空题12、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(三十一)参考答案1、答案：D分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误. 对于A 选项，AB⃑⃑⃑⃑⃑ 与BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确； 对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误. 故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题. 2、答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ， 所以a −b ⃑ +c =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 又|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，所以|a −b ⃑ +c |=|2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2 故选：B 3、答案：B分析：由题意，先求出a ⋅b⃑ ，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⋅(a −2b ⃑ )=a 2−2a ⋅b ⃑ =|a |2−2a ⋅b ⃑ =4−2a ⋅b ⃑ =2，所以a ⋅b⃑ =1， 设a 与b ⃑ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃑ ⋅b ⃑ |a⃑ ||b ⃑ |=12， 因为θ∈[0°,180°]， 所以θ=60°， 故选：B.4、答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃑ ),所以a ⋅(a −b ⃑ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0， 解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b ⃑ 的夹角为30°，故选：A. 5、答案：D分析：根据向量的定义即可判断.密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D ． 6、答案：D 分析：先求出θ=2π3，转化|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√(a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗)2=√7，列方程即可求出. 由不共线的平面向量a ⃗，b ⃑ ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c |=m.因为|a ⃗|=1，|b ⃑⃗|=4，|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，所以|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|2=7， 即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2+2b ⃑⃗⋅c ⃗+2a ⃗⋅c ⃗+c ⃗2=7， 所以12+2×1×4cos2π3+42+2×4×mcos2π3+2×1×mcos2π3+m 2=7即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3. 所以|c |=2或3 故选：D 7、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ).因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 8、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 9、答案：BC分析：利用余弦定理边化角可整理得到sinB ，结合B ∈(0,π)可得结果. ∵(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，∴a 2+c 2−b 22ac⋅tanB =cosB ⋅sinBcosB =sinB =√32， 又B ∈(0,π)，∴B =π3或2π3. 故选：BC. 10、答案：BCD分析：由根据数量积的运算律可得OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇔OB ⊥CA ,可得O 为△ABC 的垂心；结合∠OBC +C +∠OCB +B =π与三角形内角和等于π可证明B 选项；结合B 选项结论证明cosA:cosB =OA:OB 即可证明C 选项，利用奔驰定理证明S A :S B =tanA:tanB 可证明D 选项．解：因为OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇔OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0⇔OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇔OB ⊥CA ， 同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心，故A 错误； ∠OBC +C =π2,∠OCB +B =π2，所以∠OBC +C +∠OCB +B =π， 又∠OBC +∠OCB +∠BOC =π，所以∠BOC =C +B ， 又A +B +C =π，所以∠BOC +A =π，故B 正确； 故A =π−∠BOC ，同理B =π−∠AOC ， 延长CO 交AB 与点P ，则cosA:cosB =cos(π−∠BOC):cos(π−∠AOC)=cos∠BOP:cos∠AOP =OP OB :OPOA =OA:OB ，同理可得cosA:cosC =OA:OC ，所以cosA:cosB:cosC =OA:OB:OC ，故C 正确；S A :S B =(12⋅OC ⋅BP):(12⋅OC ⋅AP)=BP:AP =OPtan∠POB:OPtan∠AOP=tan∠BOC:tan∠AOC =tan(π−A):tan(π−B)=tanA:tanB ， 同理可得S A :S C =tanA:tanC ，所以S A :S B :S C =tanA:tanB:tanC ，又S A ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +S B ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +S C ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗，所以tanA ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanB ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +tanC ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑⃗，故D 正确． 故选：BCD ．11、答案：AC分析：根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项. A 选项，零向量和任意向量平行，所以e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 不能作为基底. B 选项，e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 不平行，可以作为基底.C 选项，e 1⃑⃑⃑ =−e 2⃑⃑⃑ ，所以e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 平行，不能作为基底.D 选项，e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 不平行，可以作为基底. 故选：AC 12、答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ， 在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC=4+x 2−x 24x=1x ，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3。

6.2.1 向量的加法运算课后训练巩固提升1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向( ) A.与向量a 方向相同 B.与向量a 方向相反 C.与向量b 方向相同D.不确定a 和b 方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,已知a 的模大于b 的模,那么它们的和的方向与a 的方向相同.3.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .CD⃗⃗⃗⃗⃗ B .OC⃗⃗⃗⃗⃗ C .DA ⃗⃗⃗⃗⃗D .CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( ) A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 是矩形.5.(多选题)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗ D .MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG⃗⃗⃗⃗⃗项,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; B 项,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;C 项,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; D 项,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =0.6.若a 表示“向东走8 km”,b 表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b 的方向是 .,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,因为a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.√2 km 东北方向7.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)a+b+c= ; (2)b+d+c= .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ .DB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 8.若在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是 .|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.9.如图,请在图中直接标出:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ .,(1)向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ . 10.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴以OA,OB 为邻边所作的▱OACB 为菱形.连接OC,AB,则OC ⊥AB,设垂足为点D.∵∠AOB=60°,∴AB=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, ∴在Rt △OBD 中,OD=3√32, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=3√32×2=3√3.1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式成立的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.在矩形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度等于( ) A.2√5B.4√5C.12D.6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的2倍. 又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+22=2√5, 所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为4√5.3.已知P 为△ABC 所在平面内一点,当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 成立时,点P 位于( )A.△ABC 的AB 边上B.△ABC 的BC 边上C.△ABC 的内部D.△ABC 的外部,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则点P 在△ABC 的外部.4.(多选题)设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列结论正确的是( ) A.a ∥bB.a+b=bC.|a+b|<|a|+|b|D.|a+b|=|a|+|b|a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且b 为任一非零向量, ∴A,B,D 均正确.5.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .,以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵在Rt △OAC 中,∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°, ∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3, ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上6.设P 为▱ABCD 所在平面内一点,则:①PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ .其中成立的为 .(填序号)PA,PC 为邻边作平行四边形PAEC,则PE 与AC 交于AC 的中点O,同样以PB,PD 为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD 与PF 交于BD 的中点O',因为O 与O'重合,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .7.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列式子:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)∵F,E,D 分别是AB,AC,BC 的中点, ∴FE ⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 8.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .。

第六章平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算一、选择题（共40小题；共200分）1. 在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 已知 a =(1,2)，b ⃗ =(0,1)，c =(k,−2)，若 (a +2b ⃗ )⊥c ，则 k = ( ) A. 2B. −2C. 8D. −83. 正三角形 ABC 中，D 是边 BC 上的点，若 AB =3，BD =1，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. 212B. 152C. 132D. 924. 已知向量 a ，b ⃗ 的夹角为 60∘，且 |a |=1，|b ⃗ |=2，则 |2a +b⃗ |= ( ) A. √3B. √5C. 2√2D. 2√35. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =4，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A. −16B. −8C. 8D. 166. 设 x ，y ∈R ，向量 a =(x,1)，b ⃗ =(1,y )，c =(2,−4)，且 a ⊥c ，b ⃗ ∥c ，则 ∣a +b⃗ ∣= ( ) A. √5 B. √10 C. 2√5 D. 10 7. 非零向量 a ，b ⃗ ，若 ∣a ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=4，且 (a +b ⃗ )⊥a ，则向量 a 与 b ⃗ 的夹角是 ( ) A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 135∘8. 设 P 是 △ABC 的重心，若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.b ⃗ −c 2B.c −b ⃗ 2C.b ⃗ −c 3D.c −b ⃗ 39. 已知向量 a ，b ⃗ ，满足 (a +2b ⃗ )(a −b ⃗ )=−6，且 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，则 a与 b ⃗ 的夹角为 ( ) A. π4B. π3C. π6D. 2π310. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，则 λ 的值为 ( )A. 12B. 2C. 13D. 311. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD =120∘，点 E ，F 分别在边 BC ，DC 上，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则 λ+μ= ( )A. 12 B. 23 C. 56 D. 71212. 如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ( )A. 43B. 53C. 158D. 213. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1．若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ( )A. 2116B. 32C. 2516D. 314. 在 △ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点 O 在线段 CD 上（与点 CD 不重合），若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ的取值范围是 ( )A. (−14,0)B. (−13,0)C. (1,43)D. (0,14)15. 已知 △ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE =2EF ，则 AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A. −85B. 18C. 14D. 11816. 在 △ABC 中，已知 M 是 BC 的中点，AM =1，点 P 在 AM 上且满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP⃗⃗⃗⃗⃗ ) 等于 ( )A. 49B. 43C. −43D. −4917. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. 2√3B. √32 C. √33D. √318. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1),B (−1,3)，若点 C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 m,n ∈R 且 m +n =1，则点 C 的轨迹方程为 ( ) A. 3x +2y −11=0 B. (x −1)2+(y −2)2=5C. 2x −y =0D. x +2y −5=019. 在 △ABC 中，∠A =90∘，AB =1，AC =2．设点 P ，Q 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ．若 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，则 λ= ( )A. 13B. 23C. 43D. 220. 已知 △ABC 为等边三角形，AB =2，设点 P ，Q 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ，若 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则 λ= ( )A. 12B.1±√22C.1±√102D.−3±2√2221. O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若 (OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则 △ABC 是 ( ) A. 以 AB 为底边的等腰三角形 B. 以 BC 为底边的等腰三角形C. 以 AB 为斜边的直角三角形D. 以 BC 为斜边的直角三角形22. 如图，在三角形 ABC 中，已知 AB =2，AC =3，∠BAC =θ，点 D 为 BC 的三等分点．则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ( )A. (−113,133) B. (13,73)C. (−53,553)D. (−53,73)23. 已知 a ，b ⃗ 满足：∣a ∣=3，∣b ⃗ ∣=2，且 ∣a +b ⃗ ∣=4，则 ∣a −b⃗ ∣= ( ) A. √3B. √5C. 3D. √1024. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (−1,3)，若点 C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中有 α，β∈R 且 α+β=1，则点 C 的轨迹方程为 ( ) A. 3x +2y −11=0 B. (x −1)2+(y −2)2=5C. 2x −y =0D. x +2y −5=025. 如图，在三角形 ABC 中，已知 AB =2，AC =3，∠BAC =θ，点 D 为 BC 的三等分点．则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ( )A. (−113,133) B. (13,73)C. (−53,553)D. (−53,73)26. 如图所示，下列结论正确的是 ( ) ① PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a +32b⃗ ② PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32a −32b⃗ ③ PS ⃗⃗⃗⃗ =32a −12b ⃗④ PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a +b ⃗A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④27. 已知 △ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE =2EF ，则 AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A. −58 B. 18 C. 14 D. 11828. 若 △ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A. −15 B. 15C. −65D. 6529. 在 △ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，AB =2，AC =1，E ，F 为 BC 的三等分点，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 89B. 109C. 259D. 26930. 在矩形 ABCD 中，AB =1，AD =√3，P 为矩形内一点，且 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√32，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 λ+√3μ 的最大值为 ( )A. √62B.3+√34C.√6+3√24D. 3231. 在如图的平面图形中，已知 OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A. −15B. −9C. −6D. 032. 已知在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 所对的边，且 cosC =23，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，且 a +b =√26，则 c 边长为 ( )A. √5B. 4C. √13D. √1733. O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈[0,+∞)，则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心34. 在 △ABC 中，M 是 BC 的中点，AM =1，点 P 在 AM 上且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 等于 ( )A. −49 B. −43C. 43D. 4935. △ABC 中，∠C =90∘，CA =CB =2，点 M 在边 AB 上，且满足 BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A. 12B. 1C. 2D. 1336. 如图，O 、 A 、 B 是平面上的三点，C 为 AB 中点，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，设 P 为线段 AB 的垂直平分线 CP 上的任意一点，向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ．若 ∣a ∣=4，∣∣b ⃗ ∣∣=2，则 p⋅(a −b ⃗ ) 等于 ( )A. 1B. 3C. 5D. 637. 在 Rt △ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则∣PA∣2+∣PB∣2∣PC∣2= ( )A. 2B. 4C. 5D. 1038. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD =120∘，点 E ，F 分别在边 BC ，DC 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则 λ+μ= ( )A. 12B. 23C. 56D. 71239. 如图，在边长为 1 的正三角形 ABC 中，E ，F 分别为边 AB ，AC 上的动点，且满足 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 m,n ∈(0,1)，m +n =1，M ，N 分别是 EF ，BC 的中点，则 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ( )A. √24B. √33C. √34D. 5340. 已知 O 是锐角 △ABC 的外接圆的圆心，且 ∠A =θ，若 cosBsinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 m = ( ) A. sinθB. 2sinθC. cosθD. 2cosθ二、填空题（共40小题；共200分） 41. 在 △ABC 中，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tanA ，当 A =π6时，△ABC 的面积为 ． 42. 若等边 △ABC 的边长为 2√3，平面内一点 M 满足 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 43. 若 a ，b ⃗ 均为非零向量，且 (a −2b ⃗ )⊥a ，(b ⃗ −2a )⊥b ⃗ ，则 a ，b ⃗ 的夹角为 ． 44. 若向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=∣∣a +b ⃗ ∣∣=1，则 a⋅b ⃗ 的值为 ． 45. 在 △ABC 中， AB =2 ， AC =3 ， D 是边 BC 的中点，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 46. 已知向量 a =(−2,−1)，a ⋅b ⃗ =10，∣∣a −b ⃗ ∣∣=√5，则 ∣∣b ⃗ ∣∣= ．47. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣∣a +2b ⃗ ∣∣=3，∣∣2a −b ⃗ ∣∣=2，则 a⋅b ⃗ 的取值范围是 ．48. 已知 P 是 △ABC 内一点，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，△PBC 的面积为 2016，则 △PAB 的面积为 ．49. 若向量 a 、 b ⃗ 夹角为 30∘，∣a ∣=√3，∣∣b ⃗ ∣∣=4，则 ∣∣a +b ⃗ ∣∣= ．50. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，AB =3，AC =2．若 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则 λ 的值为 ．51. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，△ACD 是等边三角形，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．52. 已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 而的夹角为 120∘，且 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3，若 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数 λ 的值为 ．53. 在 △ABC 中，∠BAC =120∘，AB =2，AC =1，D 是边 BC 上一点，DC =2BD ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 54. 在三角形 ABC 中，∠B =45∘，AB =2，BC =3，点 D 、 F 为 AB 、 AC 的中点，点 E 在 BC 上，且 BE =2EC ，则 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ． 55. 在平行四边形 ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，则线段 AC 的长为 ．56. 如图，在 △ABC 中，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则实数 λ= ．57. 在平行四边形 ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为 CD 的中点．若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则 AB 的长为 ．58. 已知向量 m ⃗⃗ =(λ+1,1)，n ⃗ =(λ+2,2)，若 (m ⃗⃗ +n ⃗ )⊥(m ⃗⃗ −n ⃗ )，则 λ= ．59. 在直角 △ABC 中，∠C =90∘，∠A =30∘，BC =1，D 为斜边 AB 的中点，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 60. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD =120∘，点 E ，F 分别在边 BC ，DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ．若 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则 λ 的值为 ． 61. 已知 △ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE =2EF ，则 AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．62. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥CD ，AB =4，BC =2，∠ABC =60∘，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =19λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当 λ= 时，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值为 ．63. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD =120∘，点 E ，F 分别在边 BC ，DC 上，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数 λ 的值为 ．64. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1，则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．65. 已知直线 ax +by +c =0 被圆 M:{x =2cosθy =2sinθ所截得的弦 AB 的长为 2√3，那么 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于 ．66. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥CD ，AB =2，BC =1，∠ABC =60∘，点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上，且 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =16DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 67. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD =120∘，点 E 、 F 分别在边 BC 、 DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ．若 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则 λ 的值为 ．68. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD =60∘，E 为 CD 的中点，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．69. 已知直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90∘，AD =2，BC =1，P 是腰 DC 上的动点，则∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最小值为 ．70. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥DC ，AB =2，BC =1，∠ABC =60∘，点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上，且 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =16DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ． 71. 若向量 ∣a ∣=√2，∣b ⃗ ∣=2，(a −b ⃗ )⊥a ，则向量 a 与 b⃗ 的夹角等于 ． 72. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若 ma +nb ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R )，则 m −n 的值为 ．73. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为 P ，且 AP =3，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．74. 如图，已知四边形 ABCD 是底角为 60∘ 的等腰梯形，其中 AB ∥CD ，AD =4，DC =6，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．75. 在直角梯形 ABCD 中，已知 BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，BC =2，若 P 为线段 CD 上一点，且满足 DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5，则 ∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣= ．76. 如图，O 为 △ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边 BC 的中点，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．77. 已知四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点 P 为 △BCD 内（含边界）的动点，设 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =αOC ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (α、β∈R)，则 α+β 的最大值等于78. 已知 O 为 △ABC 的外心，AB =2a ，AC =2a，∠BAC =120∘，若 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 3x +6y 的最小值为79. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥DC ，AB =2，BC =1，∠ABC =60∘．动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =19λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ．80. 如图，在 △ABC 中，∠BAC =120∘，AB =2，AC =1，D 是边 BC 上一点，DC =2BD ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知点 O (0,0)，A (1,2)，B (4,5) 及 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）当 t 为何值时，P 在 x 轴上，P 在 y 轴上，P 在第三象限内； （2）四边形 OABP 能否成为平行四边形，若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由.82. 已知点 A (1,2)，B (2,3)，C (−2,5)．（1）求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）若向量 a =(1,−2) 可表示为 a =mAB⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 m ，n 的值． 83. 设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，求证：点 P 在直线 AB 上的充分必要条件是 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且 λ+μ=1．84. （1）设非零向量 a =(x,2x )，b ⃗ =(−3x,2)，且 a ，b⃗ 的夹角为钝角，求 x 的取值范围． （2）已知 a ，b ，c 为 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ⃗⃗ =(√3,−1)，n ⃗ =(cosA,sinA )．若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，且 acosB +bcosA =csinC ，求角 A ，B ．85. 已知 a ,b ⃗ ,c 在同一平面内，且 a =(1,2)．（1）若 ∣c ∣=2√5，且 c ∥a ，求 c ； （2）若 ∣b ⃗ ∣=√52，且 (a +2b ⃗ )⊥(2a −b ⃗ )，求 a 与 b⃗ 的夹角．86. 设平面内的向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3)，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，点 P 在直线 OM 上，且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16 .（1）求 OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标； （2）求 ∠APB 的余弦值；（3）设 t ∈R ，求 ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最小值.87. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ⃗⃗ =(√22,−√22)，n ⃗ =(sinx,cosx ),x ∈(0,π2) .（1）若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求 tanx 的值； （2）若 m ⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为 π3，求 x 的值.88. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB =3，BC =2，e 1⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，e 2⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 π3．（1）若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1⃗⃗⃗ +ye 2⃗⃗⃗ ，求 x ，y 的值； （2）求 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．89. 已知 A (−1,0)，B (0,2)，C (−3,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=10．（1）求 D 点坐标；（2）若 D 点在第二象限，用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； （3）AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,2)，若 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，求 AE⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标．90. 如图所示，在 △ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN =2NC ，AM 与 BN 相交于点 P ．求证：AP:PM =4:1 ．91. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ⃗⃗ =(√22,−√22)，n ⃗ =(sinx,cosx )，x ∈(0,π2)．（1）若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求 tanx 的值； （2）若 m ⃗⃗ 与 n ⃗ 的夹角为 π3，求 x 的值．92. 在 △ABC 中，M 是 AB 的中点，E 是 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于点 F ，MH ∥AF ，MH与 BC 交于点 H ．求证：BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．93. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 S 为 △ABC 的面积，满足 4S =√3(a 2+b 2−c 2)． （1）求角 C 的大小； （2）若 1+tanAtanB =2c b，且 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8，求 c 的值．94. 如图所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边 AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 求证：四边形 EFGH 是梯形．95. 已知 ∣∣F 1⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 3⃗⃗⃗⃗ ∣∣=a （a >0）且两两向量的夹角相等，求 ∣∣F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值．96. （1）若非零向量 α ，β 满足 ∣∣α +β ∣∣=∣∣α −β ∣∣，证明：α⊥β ； （2）设 P 1，P 2，⋯，P n 是圆 O 内接正 n 边形的顶点，P 是圆 O 上任意一点，证明：PP 12+PP 22+⋯+PP n 2为定值．97. 已知向量 a =(sinx,32)，b ⃗ =(cosx,−1)． （1）当 a ∥b ⃗ 时，求 2cos 2x −sin2x 的值； （2）求 f (x )=(a +b ⃗ )⋅b ⃗ 在 [−π2,0] 上的最大值．98. 如图，M 是矩形 ABCD 的边 CD 上的一点，AC 与 BM 相交于点 N ，BN =23BM ．（1）求证：M 是 CD 的中点； （2）若 AB =2，BC =1，H 是 BM 上异于点 B 的一动点，求 AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．99. 设椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，离心率为 √33，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33． （1）求椭圆的方程；（2）设 A ，B 分别为椭圆的左右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C ，D 两点．若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求 k 的值．100. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率 e =√32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4． （1）求椭圆的方程；（2）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B ，已知点 A 的坐标为 (−a,0)． （i ）若 ∣AB ∣=4√25，求直线 l 的倾斜角；（ii ）若点 Q (0,y 0) 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4．求 y 0 的值．答案第一部分 1. D2. C 【解析】因为 a =(1,2)，b ⃗ =(0,1)，所以 a +2b⃗ =(1,4)． 又因为 (a +2b ⃗ )⊥c ，所以 (a +2b ⃗ )⋅c =k −8=0，解得 k =8．3. B【解析】提示：△ABC 为边长为 3 的等边三角形，BD =1，所以 CD =2，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=152.4. D5. D【解析】方法 1：因为 cosA =ACAB ，故 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosA =AC 2=16，故选 D ， 方法 2：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosA =∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，故 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosA =AC 2=16 . 6. B 【解析】依题意有 2x −4=0，−4−2y =0，解得 x =2，y =−2，故 a +b ⃗ =(3,−1)． 故有 ∣a +b⃗ ∣=√9+1=√10． 7. C8. D 【解析】设 D 是 BC 的中点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(c −b⃗ )． 9. B【解析】设 a 与 b⃗ 的夹角为 θ， 因为 (a +2b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=−6，且 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，所以 1+a ⋅b ⃗ −8=−6，所以 a ⋅b⃗ =1，所以 cosθ=12，θ=π3． 10. D【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ−1λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(λ−1λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14， 所以 14λ−1λ−12+12λ−1λ−12×12=−14，解得 λ=3．11. C12. B 【解析】AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 所以由平面向量基本定理得 {λ−μ=1,λ2+μ=1,解得 λ=43，μ=13 ，所以 λ+μ=53． 13. A14. A 【解析】AO⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +y(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+y )AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为 BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 在线段 CD 上， 所以 y ∈(0,13)，λ=−y ，μ=1+y ，所以 λμ=−y1+y =−1+11+y ∈(−14,0)． 15. B【解析】BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12⋅1⋅1⋅12−12+34−34⋅1⋅1⋅12=14+34−12−38=18.16. D 【解析】AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−49AM 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−49. 17. D 【解析】过 C 作直线 AD 的垂线交 AD 的延长线于 E ，因为 ∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠CAD =∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠CAD =∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣.由于 AD ⊥AB ，则 AB ∥CE ，从而AD DE =BDDC, 即AD AE =BDBC,结合 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 得AE =AD ⋅BC BD =1⋅√3BDBD=√3, 故 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3．18. D 【解析】设点 C 的坐标为 (x,y )，则 (x,y )=m (3,1)+n (−1,3)=(3m −n,m +3n ) ， 所以 {x =3m −n,①y =m +3n,②①+2×② 得，x +2y =5m +5n ，又 m +n =1，所以 x +2y −5=0，所以点 C 的轨迹方程为 x +2y −5=0． 19. B 【解析】提示：BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ．20. A【解析】因为 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，且 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=60∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos60∘=2，所以 [(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−32，即 λ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2+(λ2−λ−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=32，所以 4λ+2(λ2−λ−1)+4(1−λ)=32，解得 λ=12．21. B 【解析】由 (OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，得 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，根据向量加法的平行四边形法则，可知以 AC ，AB 为邻边的平行四边形的对角线垂直平分 BC ，所以 △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形．22. D 【解析】因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2+13∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2+13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×4+13×9+13×2×3cosθ=2cosθ+13．因为 −1<cosθ<1，所以 −53<2cosθ+13<73，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(−53,73)． 23. D 【解析】因为 ∣a ∣=3，∣b ⃗ ∣=2，且 ∣a +b ⃗ ∣=4， 所以 ∣a +b ⃗ ∣2=a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=13+2a ⋅b ⃗ =16， 所以 a ⋅b⃗ =32，所以 ∣a −b ⃗ ∣=√(a −b ⃗ )2=√(a +b ⃗ )2−4a ⋅b ⃗ =√16−4×32=√10． 24. D 【解析】点 C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中有 α+β=1，则 A 、 B 、 C 三点共线．所以 C 的轨迹为 x +2y −5=0． 25. D【解析】因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2+13∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×4+13×9+13×2×3cosθ=2cosθ+13． 因为 −1<cosθ<1，所以 −53<2cosθ+13<73，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(−53,73)． 26. C27. B 【解析】方法一：如图，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 ∣a ∣=∣b ⃗ ∣=1，a ⋅b ⃗ =12，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +34b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ， 所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12a +34b ⃗ )(b ⃗ −a )=12a ⋅b ⃗ −12a 2+34b ⃗ 2−34b ⃗ ⋅a=34b ⃗ 2−12a 2−14b ⃗ ⋅a =34−12−18=18.方法二：建立如图所示的直角坐标系，则 A (0,√32)，B (−12,0)，C (12,0)，D (−14,√34)． 设 F (x 0,y 0)，则 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,−√34)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)．因为 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 F (18,−√38)． 所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(18,−5√38)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =18． 28. A 【解析】因为 −5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以−5OC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1−OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 对 −5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，整理后得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．所以 −5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，所以 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−15． 29. B 30. A【解析】因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，所以 λ2+3μ2=34． 因为 √λ2+3μ22≥λ+√3μ2，所以 λ+√3μ≤√62． 31. C32. B 【解析】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，所以 −b ⋅acosC =−2，所以 ab =3． 又因为 a +b =√26，所以 a 2+b 2=20，由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =16，所以 c =4．33. B 【解析】∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣、 AC⃗⃗⃗⃗⃗∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的方向与 ∠BAC 的角平分线的方向一致．∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)，∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与 ∠BAC 的角平分线一致，故一定通过 △ABC 的内心． 34. A 35. B【解析】提示：因为 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1． 36. D 【解析】p =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a +b ⃗ )+CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而 a −b ⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为 CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(a −b ⃗ )=0，所以 p ⋅(a −b ⃗ )=(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(a −b ⃗ )=12(a +b ⃗ )⋅(a −b ⃗ )=6． 37. D 【解析】因为 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 ∣PA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ． 因为 PB⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 ∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ． 所以 ∣PA⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2+∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ． 又 AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 ∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2+∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=10∣CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2， 所以∣PA∣2+∣PB∣2∣PC∣2=10 ．38. C 【解析】因为 ∠BAD =120∘，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos120∘=−2,因为 BE =λBC ，DF =μDC ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ =μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，所以 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，即2λ+2μ−λμ=32, ⋯⋯①同理由 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，可得 λμ−λ−μ=−23, ⋯⋯②①+② 得 λ+μ=56．39. C 【解析】MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(nAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 所以 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√m 2+n 2+mn =12√(m +n )2−mn =12√1−mn 因为 m +n =1≥2√mn ，所以 mn ≤14，所以 |MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√34． 40. A【解析】设外接圆的半径为 R ．连接 AO ，BO ，CO 如图，则可知，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 代入原等式得，cosBsinC (OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+cosC sinB(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 等式两边同时作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积得， cosB sinC (OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+cosCsinB(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2mAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为 ∠BOA =2∠BCA =2∠C ，∠COA =2∠CBA =2∠B 且 OA =OB =OC ．所以等式可化为 cosB sinC (R 2cos2C −R 2)+cosC sinB (R 2cos2B −R 2)=−2mR 2⇒cosB sinC (−2sin 2C )+cosCsinB(−2sin 2B )=2m ⇒2(sinCcosB +cosCsinB )=2m ⇒sin (B +C )=2m ⇒sinA =m.所以，m =sinθ．第二部分 41. 16【解析】由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tanA ，得 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣cosA =tanA ． 因为 A =π6，所以 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=tanAcosA=tanπ6cosπ6=23，故 S △ABC =12∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣sinA =12×23×12=16． 42. −2【解析】提示：MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )． 43. π344. −12【解析】将 ∣∣a +b ⃗ ∣∣=1 平方，得a 2+2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=1, 将 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=1 代入，解得a ⋅b⃗ =−12. 45. 52【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=52. 46. 2√5【解析】因为向量 a =(−2,−1)，所以 ∣a ∣=√(−2)2+(−1)2=√5； 又 a ⋅b ⃗ =10，∣∣a −b ⃗ ∣∣=√5，所以 a 2−2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=5−2×10+∣∣b ⃗ ∣∣2=5， 解得 ∣∣b ⃗ ∣∣=2√5． 47. [−825,2825]【解析】（一）几何角度由 ∣∣a +2b ⃗ ∣∣=∣∣a −(−2b ⃗ )∣∣=3 和 ∣∣∣a −b ⃗ 2∣∣∣=1 可以画图，找到向量模长的几何意义．解法一：基底法因为 a ⋅b⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为 ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，∣∣OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，cos∠AOD 三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做．那么题目中哪些向量适合做基底呢?显然 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两个向量长度已知，适合做基底． （这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就不会是求最小值了．） 所以由 C ，O ，D 三点共线，且 CO =4OD ，可知 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以a ⋅b⃗ =2OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅15CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =225(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=225(9−4+3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=225(5+9cosθ)∈[−825,2825].解法二：解三角形设 ∣OD∣=x ，∣OC∣=4x ，∣OA∣=y ，∠AOD =θ，则在 △AOD 与 △AOC 中运用余弦定理得 {16x 2+y 2+8xycosθ=9,x 2+y 2−2xycosθ=1, 解得 a ⋅b⃗ =2xycosθ=85−3x 2， 又在 △ACD 中，利用三角形两边之和大于等于第三边得 3+1≥4x +x ≥3−1，即 25≤x ≤45， 所以 a ⋅b ⃗ =2xycosθ=85−3x 2∈[−825,2825]． （二）代数角度 解法三：换元思想令 a +2b ⃗ =u ⃗ ，2a −b ⃗ =v ，则反解得 a =u ⃗ +2v ⃗ 5，b ⃗ =2u ⃗ −v ⃗ 5，且 ∣u ⃗ ∣=3，∣v ∣=2， 所以 a ⋅b ⃗ =u ⃗ +2v ⃗ 5⋅2u ⃗ −v ⃗ 5=18+3⋅2⋅3cosθ−825∈[−825,2825]．这个做法本质上其实就是转基底，只是不是从几何图形出发，采用换元法． 解法四：平方角度我们常说：“向量的模长一次想几何，二次想代数运算”，所以本题的两个条件也可以平方． 即 {a 2+4a ⋅b⃗ +4b ⃗ 2=9,4a 2−4a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=4,这里将解得 a 2，b ⃗ 2，a ⋅b ⃗ 三者视为整体，那么就属于“三个字母，两个方程，少一个，求取值范围，合情合理！”的问题．所以用要求的 a ⋅b ⃗ 表示 a 2，b ⃗ 2 得 {a 2=7+20a⃗ ⋅b ⃗ 15,b ⃗ 2=32−20a⃗ ⋅b ⃗ 15, 所以由题干知 ∣∣(a +2b ⃗ )⋅(2a −b ⃗ )∣∣≤3⋅2=6， 即 ∣∣2a 2+3a ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2∣∣≤6， 即 ∣∣∣2⋅7+20a ⃗ ⋅b ⃗ 15+3a ⋅b ⃗ −2⋅32−20a ⃗ ⋅b⃗ 15∣∣∣≤6， 即 ∣∣125a ⋅b ⃗ −50∣∣≤90，所以 −90≤125a ⋅b ⃗ −50≤90，故 −825≤a ⋅b ⃗ ≤2825． 解法五：在解法四 {a 2+4a ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=9,4a 2−4a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4的基础上，也可解得 a ⋅b ⃗ =34a 2−720， 所以要求 a ⋅b ⃗ 的最小值，只需要求 ∣a ∣ 的最小值即可，这里用代数中的三角不等式“∣∣∣∣a ∣−∣∣b ⃗ ∣∣∣∣∣≤∣∣a +b ⃗ ∣∣≤∣a ∣+∣∣b ⃗ ∣∣”来解决． 由 ∣3−4∣≤∣∣a +2b ⃗ +4a −2b ⃗ ∣∣≤3+4，即 1≤∣5a ∣≤7， 所以 ∣a ∣≥15，所以 a ⋅b ⃗ =34a 2−720≥−825． 48. 4032【解析】令 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为四边形 ADPE 为平行四边形， 所以 S △PAD =S △PAE ．因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以 14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 2CP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 延长 CP 交 AB 于 F ，则 CP =PF ，且 F 为 AB 中点． 所以S △PBC S △PAB=12，所以 S △PAB ＝2016×2=4032． 49. √31【解析】∣∣a +b ⃗ ∣∣=√(a +b ⃗ )2=√∣a ∣2+2∣a ∣∣∣b ⃗ ∣∣cos30∘+∣∣b ⃗ ∣∣2=√31．50. 311【解析】如图所示，△ABC 中，∠BAC =60∘，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(13λ−23)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(13λ−23)×3×2×cos60∘−13×32+23λ×22=−4,所以 113λ=1，解得 λ=311． 51. 72【解析】AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5⋅4⋅45+5⋅5⋅(−12)=72． 52. 127【解析】因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 (λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0． 所以 −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(λ−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得 λ=127． 53. −83【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =13×1+13×2×1×cos120∘−23×4=−83． 54. 2+√24【解析】作图：DE⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=2+√24. 55. √3【解析】因为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⊥AB ， 又因为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，由向量投影的定义， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=3， 所以 ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3． 56. 13【解析】因为 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又因为 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=13． 57. 12【解析】设 AB 的长为 a (a >0)，因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a 2+14a +1.由已知，得 −12a 2+14a +1=1．又因为 a >0，所以 a =12，即 AB 的长为 12． 58. −3 59. −1。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量a⃑=(1,−√7)，|b⃑⃑|=3，a⃑⋅b⃑⃑=3√6，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：A分析：先计算向量a⃑的模，再根据向量数量积的定义，将a⃑⋅b⃑⃑=3√6展开，即可求得答案. 因为a⃑=(1,−√7)，所以|a⃑|=√12+(−√7)2=2√2，又因为a⃑⋅b⃑⃑=3√6，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，θ∈[0,π]，所以|a⃑||b⃑⃑|cosθ=3√6，即2√2×3×cosθ=3√6，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.2、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.3、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4、已知向量a⃗=(√3,1)，b⃑⃗=(−√3,1)，则a⃗与b⃑⃗的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a⃗,b⃑⃑⟩=a⃑⃗⋅b⃑⃑|a⃑⃗||b⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a⃗,b⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a⃗,b⃑⃑⟩=120°，故选：C5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.6、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D.8、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C. 多选题9、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3 C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2 D ．若a +b =2c ，则C >π2 答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可； 解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.10、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有 （ ）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9）， 即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40， 故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB ＝csinC ，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去），sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.11、已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−3,1)，则（ ） A ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑B ．|a ⃑+2b⃑⃑|=6 C ．向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量是(−65,25)D ．(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量答案：AD分析：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A ； 根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B ； 根据投影向量的计算公式即可判断C ； 判断向量(2√55,√55)是否与向量a ⃑共线，及模是否为1，即可判断D.解：对于A ，a ⃑+b ⃑⃑=(−1,2)，则(a ⃑+b ⃑⃑)⋅a ⃑=−2+2=0， 所以(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，故A 正确；对于B ，a ⃑+2b ⃑⃑=(−4,3)，则|a ⃑+2b ⃑⃑|=5，故B 错误； 对于C ，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为|a ⃑|⋅cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=a⃑⃑⋅b ⃑⃑|b⃑⃑|⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=−5b ⃑⃑10=(32,−12)，故C 错误； 对于D ，因为向量(2√55,√55)的模等于1，2√55×1−2×√55=0，所以向量(2√55,√55)与向量a ⃑共线，故(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量，故D 正确.故选：AD. 填空题12、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)， 故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36.13、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S =√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________． 答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3． 所以答案是：6√3．14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b⃑⃑， 所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题15、已知向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120∘，|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2. （1）求(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)的值； （2）求|2a ⃑+b ⃑⃑|的值. 答案：（1）19；（2）2√7.分析：（1）由向量数量积的定义计算即可求解； （2）先计算|2a ⃑+b ⃑⃑|2=(2a ⃑+b ⃑⃑)2的值，再开方即可求解. （1）因为|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑，b ⃑⃑的夹角为120∘， 所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b⃑⃑|⋅cos120∘=3×2×(−12)=−3， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2a ⃑2−3a ⃑⋅b⃑⃑−2b ⃑⃑2=2|a⃑|2−3a⃑⋅b⃑⃑−2|b⃑⃑|2=2×9−3×(−3)−2×4=19；（2）|2a⃑+b⃑⃑|2=(2a⃑+b⃑⃑)2=4|a⃑|2+4a⃑⋅b⃑⃑+|b⃑⃑|2=36−12+4=28，所以|2a⃑+b⃑⃑|=2√7.。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳单选题1、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．62、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−113、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−14、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．235、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A ＝23°，∠C ＝120°，AC =60√3米，则A ，B 间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（ ）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]7、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．表高×表距表目距的差+表高B ．表高×表距表目距的差−表高 C ．表高×表距表目距的差+表距D ．表高×表距表目距的差−表距8、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（ ） A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 多选题9、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑10、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√211、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b +c =10，a =2√10，则三角形的面积不可能是（ ）A ．5√3B ．6√3C ．14√3D ．16√3 填空题12、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则2λ+μ=___________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(二)参考答案1、答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 2、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 3、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 4、答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosCAB2=42+32−2×4×3×2 3可得AB2=9，即AB=3由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =9+9−162×3×3=19故cosB=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB =ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，∠B=180°−∠A−∠C=37°，在△ABC中，ACsinB =ABsinC，即60√3sin37°=√32，所以AB=90sin37°≈150米.故选：C6、答案：B分析：直接由||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|求解即可.由已知必有||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EH AH ,FGAB =CGAC ，而 DE =FG ，所以DE AB=EH AH=CG AC=CG−EH AC−AH=CG−EH CH，而 CH =CE −EH =CG −EH +EG ， 即AB =CG−EH+EG CG−EH×DE =EG×DE CG−EH+DE ＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 8、答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ． 9、答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心， 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF+BD+CE=12(AB →+BC →+CA →)=0, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 10、答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, sinA ≠0 cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π) ∴B =π3S △ABC=3√34,b =3∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 11、答案：BCD分析：根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.解：因为A =π3，b +c =10，a =2√10，所以由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得40=b 2+c 2−ab =(b +c)2−3bc =100−3bc ，所以bc =20， 所以S △ABC =12bcsinA =12×20×√32=5√3．故选：BCD 12、答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43。