(新课标)高考数学大一轮复习-第二章 函数与基本初等函数 2.5 二次函数课件 理
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2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.2.函数的最值前提设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(3)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;(4)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示对∀x 1,x 2∈D ,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数,减函数类似.2.写出对勾函数y =x +ax (a >0)的增区间.提示(-∞,-a ]和[a ,+∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.(×)(2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)(3)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.(×)(5)所有的单调函数都有最值.(×)题组二教材改编2.函数f (x )=x 2-2x 的单调递增区间是____________.答案[1,+∞)(或(1,+∞))3.函数y =2x -1在[2,3]上的最大值是______.答案24.若函数f (x )=x 2-2mx +1在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.答案(-∞,2]解析由题意知,[2,+∞)⊆[m ,+∞),∴m ≤2.题组三易错自纠5.函数y =12log (x 2-4)的单调递减区间为________.答案(2,+∞)6.若函数f (x )=|x -a |+1的增区间是[2,+∞),则a =________.答案2解析∵f (x )=|x -a |+1的单调递增区间是[a ,+∞),∴a =2.7.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________.答案[-1,1)解析-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,a+1>2a,解得-1≤a<1.8.函数f(x)1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为________.答案2解析当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案D解析函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________.答案[-1,0],[1,+∞)解析由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图象如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解函数f (x )=ax 2+1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增.证明:设1≤x 1<x 2≤2,则f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-ax 21-1x 1=(x 2-x 1)a (x 1+x 2)-1x 1x 2,由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4,1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又因为1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12,得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上单调递增.引申探究如何用导数法求解本例?解f ′(x )=2ax -1x 2=2ax 3-1x 2,因为1≤x ≤2,所以1≤x 3≤8,又1<a <3,所以2ax 3-1>0,所以f ′(x )>0,所以函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数.思维升华确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.跟踪训练1(1)下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是()A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x -xD .f (x )=ln(x +1)答案C解析由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.(2)函数f (x )=(a -1)x +2在R 上单调递增,则函数g (x )=a |x -2|的单调递减区间是______________.答案(-∞,2]解析因为f (x )在R 上单调递增,所以a -1>0,即a >1,因此g (x )的单调递减区间就是y =|x -2|的单调递减区间(-∞,2].(3)函数f (x )=|x -2|x 的单调递减区间是________.答案[1,2]解析f (x )2-2x ,x ≥2,x 2+2x ,x <2.画出f (x )图象,由图知f (x )的单调递减区间是[1,2].题型二函数的最值1.函数y =x 2-1x 2+1的值域为____________.答案[-1,1)解析由y =x 2-1x 2+1,可得x 2=1+y 1-y.由x 2≥0,知1+y1-y≥0,解得-1≤y <1,故所求函数的值域为[-1,1).2.函数y =x +1-x 2的最大值为________.答案2解析由1-x 2≥0,可得-1≤x ≤1.可令x =cos θ,θ∈[0,π],则y =cos θ+sin θ=2sin θ∈[0,π],所以-1≤y ≤2,故原函数的最大值为 2.3.函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.答案[3,+∞)解析函数y 2x +1,x ≤-1,,-1<x <2,x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞).4.函数y =3x +1x -2的值域为________________.答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y =3x +1x -2=3(x -2)+7x -2=3+7x -2,因为7x -2≠0,所以3+7x -2≠3,所以函数y =3x +1x -2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}.5.函数f (x )-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.答案3解析由于y 在[-1,1]上单调递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.6.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ()A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关答案B 解析方法一设x 1,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m =x 21+ax 1+b ,M =x 22+ax 2+b .∴M -m =x 22-x 21+a (x 2-x 1),显然此值与a 有关,与b 无关.故选B.方法二由题意可知,函数f (x )的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b 的变动,相当于图象上下移动,若b 增大k 个单位,则最大值与最小值分别变为M +k ,m +k ,而(M +k )-(m +k )=M -m ,故与b 无关.随着a 的变动,相当于图象左右移动,则M -m 的值在变化,故与a 有关,故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:形如求y=cx+dax+b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f -12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f -12f522<52<3,所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是()A.{x|-3<x<0或x>3}B.{x|x<-3或0<x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数,f(-3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数,∴当0<x<3时,f(x)<0;当x>3时,f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数,∴当-3<x<0时,f(x)>0;当x<-3时,f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <-3}.命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]上是减函数,则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D .π答案C解析∵f (x )=cos x -sin x =-2sin∴当x -π4∈-π2,π2,即x ∈-π4,3π4时,y =sinf (x )=-2sin ∴-π4,3π4是f (x )在原点附近的单调减区间,结合条件得[0,a ]⊆-π4,3π4,∴a ≤3π4,即a max =3π4.(2)已知函数f (x )2+12a -2,x ≤1,x -a ,x >1,若f (x )在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________.答案(1,2]解析由题意,得12+12a -2≤0,则a ≤2,又y =a x -a (x >1)是增函数,故a >1,所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是______________.答案(-4,4]解析设g (x )=x 2-ax +3a ,根据对数函数及复合函数的单调性知,g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0,2,a >0,∴-4<a ≤4,∴实数a 的取值范围是(-4,4].思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.跟踪训练2(1)如果函数f (x )2-a )x +1,x <1,x ,x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.答案32,解析对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以y =f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.-a >0,>1,2-a )×1+1≤a ,解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32,(2)已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f x 的取值范围是______________.答案12,解析因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f (2x -1)<所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .yD .y =x +1x答案A解析函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案B解析设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案A解析因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).4.已知函数f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围是(),13 B.13,12,12 D.14,13答案A解析当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)是R上的减函数.∵f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,-2a<1,a<1,-2a≥13,∴0<a≤13.5.设f (x )x -a )2,x ≤0,+1x +a ,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为()A .[-1,2]B .[-1,0]C .[1,2]D .[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知函数f (x )2x ,x ≥1,+c ,x <1,则“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增,则需log 21≥c +1,即c ≤-1.由于c =-1,即c ≤-1,但c ≤-1不能得出c =-1,所以“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件.7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a =-b =f (log 24.1),c =f (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为________________.答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数,∴a =-log f (log 25).又f (x )在R 上是增函数,且log 25>log 24.1>log 24=2>20.8,∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8),∴a >b >c .8.如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a 的取值范围是______________.答案-14,0解析当a =0时,f (x )=2x -3在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得-14≤a <0.综上,实数a 的取值范围是-140.9.记min{a ,b },a ≤b ,,a >b ,若f (x )=min{x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为________.答案6解析由题意知,f (x )+2,0≤x ≤4,-x ,x >4,易知f (x )max =f (4)=6.10.设函数f (x )x 2+4x ,x ≤4,2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________.答案(-∞,1]∪[4,+∞)解析作函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a +1)上单调递增,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4.11.已知f (x )=x x -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.(1)证明当a =-2时,f (x )=x x +2.设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增.(2)解设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).因为a >0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),F (x )x ),x >0,f (x ),x <0.(1)若f (-1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0成立,求F (x )的解析式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围.解(1)∵f (-1)=0,∴b =a +1.由f (x )≥0恒成立,知a >0且方程ax 2+bx +1=0中Δ=b 2-4a =(a +1)2-4a =(a -1)2≤0,∴a =1.从而f (x )=x 2+2x +1.∴F (x )x +1)2,x >0,(x +1)2,x <0.(2)由(1)可知f (x )=x 2+2x +1,∴g (x )=f (x )-kx =x 2+(2-k )x +1,由g (x )在[-2,2]上是单调函数,知-2-k 2≤-2或-2-k 2≥2,得k ≤-2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).13.已知函数f (x )3,x ≤0,(x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是()A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)答案D 解析∵当x =0时,两个表达式对应的函数值都为0,∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数,当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数,∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x ,即x 2+x -2<0,解得-2<x <1.14.已知f (x )2-4x +3,x ≤0,x 2-2x +3,x >0,不等式f (x +a )>f (2a -x )在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案(-∞,-2)解析二次函数y 1=x 2-4x +3的对称轴是x =2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x +3≥3,同样可知函数y 2=-x 2-2x +3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x +3<3,∴f (x )在R 上单调递减,∴由f (x +a )>f (2a -x )得到x +a <2a -x ,即2x <a ,∴2x <a 在[a ,a +1]上恒成立,∴2(a +1)<a ,∴a <-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).15.已知函数f (x )=2020x +ln(x 2+1+x )-2020-x +1,则不等式f (2x -1)+f (2x )>2的解集为____________.答案解析由题意知,f (-x )+f (x )=2,∴f (2x -1)+f (2x )>2可化为f (2x -1)>f (-2x ),又由题意知函数f (x )在R 上单调递增,∴2x -1>-2x ,∴x >14,∴16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )是增函数,f (1)=0,f (3)=1.(1)解不等式0<f (x 2-1)<1;(2)若f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)2-1>0,x 2-1<3,得2<x <2或-2<x <- 2.∴原不等式的解集为(-2,-2)∪(2,2).(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数,∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)=1,∴不等式f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立转化为1≤m 2-2am +1对所有a ∈[-1,1]恒成立,即m 2-2am ≥0对所有a ∈[-1,1]恒成立.设g (a )=-2ma +m 2,a ∈[-1,1],∴(-1)≥0,(1)≥0,m +m 2≥0,2m +m 2≥0,解该不等式组,得m ≤-2或m ≥2或m =0,即实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。
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[解] (1)法一:待定系数法因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法二:换元法令2x +1=t (t ∈R),则x =t -12,所以f (t )=4⎝⎛⎭⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法三:配凑法因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)解方程组法由f (-x )+2f (x )=2x , ① 得f (x )+2f (-x )=2-x ,② ①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x . 即f (x )=2x +1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法对于形如y =f (g (x ))的函数解析式,令t =g (x ),从中求出x =φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=________________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx . 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).答案:12x 2+12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=________________.解析:令2x +1=t ,得x =2t -1,则f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1(x >1). 答案:lg2x -1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________. 解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x,解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0).答案:2x -1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3[解析] 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,① f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点.考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[解析] 法一:分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x ),即为2-(x +1)<2-2x,即-(x +1)<-2x ,解得x <1. 因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x ),即为1<2-2x,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0). 法二:数形结合法∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ), 则需⎩⎪⎨⎪⎧x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0,∴x <0,故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.[题组训练]1.设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( ) A .2 B .4 C .6D .8解析:选C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a , 解得a =14或a =0(舍去).∴f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1≥2,f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴2(a -1)=2a ,无解. 综上,f ⎝⎛⎭⎫1a =6.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤1,f (x -1),x >1,则f (f (3))=________.解析:由题意,得f (3)=f (2)=f (1)=21=2,∴f (f (3))=f (2)=2. 答案:23.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.①当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,故-14<x ≤0.②当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.③当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,x ,x ≥0,若f (a )<1,则实数a 的取值范围是____________.解析:若a <0,则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a-7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8,解得a >-3,故-3<a <0; 若a ≥0,则f (a )<1⇔a <1,解得a <1,故0≤a <1. 综上可得-3<a <1. 答案:(-3,1)[课时跟踪检测]1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.故选B.2.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0,且x ≠2.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.4.(2019·贵阳检测)下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x C .y =13x -1D .y =x +1x -1解析:选D 对于A ,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B ,定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足题意;对于C ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D ,y =x +1x -1=1+2x -1,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).5.(2018·福建期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,所以舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.6.已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f (2x +1)log 2(x +1)的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎡⎦⎤-12,0 D .(-1,0)解析:选D 由f (2x -1)的定义域是[0,1], 得0≤x ≤1,故-1≤2x -1≤1, ∴f (x )的定义域是[-1,1], ∴要使函数f (2x +1)log 2(x +1)有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0.7.下列函数中,不满足f (2 018x )=2 018f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +2D .f (x )=-2x解析:选C 若f (x )=|x |,则f (2 018x )=|2 018x |=2 018|x |=2 018f (x );若f (x )=x -|x |,则f (2 018x )=2 018x -|2 018x |=2 018(x -|x |)=2 018f (x );若f (x )=x +2,则f (2 018x )=2 018x +2,而2 018f (x )=2 018x +2 018×2,故f (x )=x +2不满足f (2 018x )=2 018f (x );若f (x )=-2x ,则f (2 018x )=-2×2 018x =2 018×(-2x )=2 018f (x ).故选C.8.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.9.(2019·青岛模拟)函数y =ln ⎝⎛⎭⎫1+1x +1-x 2的定义域为________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1+1x >0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]. 答案:(0,1]10.(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,则f (f (-9))=________.解析:∵函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,∴f (-9)=lg 10=1,∴f (f (-9))=f (1)=-2.答案:-211.(2018·张掖一诊)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.解析:∵f (1)=2,且f (1)+f (a )=0,∴f (a )=-2<0,故a ≤0. 依题知a +1=-2,解得a =-3. 答案:-312.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-(x -1)2≥-1, 解得-4≤x ≤0或0<x ≤2, 故所求x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示.第二节函数的单调性与最值一、基础知识1.增函数、减函数定义:设函数f(x)的定义域为I:(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.二、常用结论在公共定义域内:(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数;(2)函数f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )+g (x )是减函数; (3)函数f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )是增函数; (4)函数f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )是减函数;(5)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (6)函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1f (x )的单调性相反;(7)复合函数y =f [g (x )]的单调性与y =f (u )和u =g (x )的单调性有关.简记:“同增异减”.考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间. (2)试讨论函数f (x )=ax x -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.[解] (1)易知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)法一:定义法 设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递增. 法二:导数法f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2. 当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论.(2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.[题组训练]1.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A .f (x )=2x B .f (x )=|x -1| C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x 与y=-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)解析:选D 令t =x 2-4,则y =log 12t .因为y =log 12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).3.判断函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,+∞)上的单调性.解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.(2)若函数f (x )=-ax+b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域为⎣⎡⎦⎤12,2,则a =________,b =________. (3)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-4x ,x ≤0,sin x ,x >0的最大值为________.[解析] (1)图象法函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,x ≤-1,3,-1<x <2,2x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法∵f (x )=-ax +b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (x )max =f (2)=2.即⎩⎨⎧-2a +b =12,-a2+b =2,解得a =1,b =52.(3)当x ≤0时,f (x )=-x 2-4x =-(x +2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f (x )在x =-2处取得最大值,且f (-2)=4;当x >0时,f (x )=sin x ,此时f (x )在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3,+∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.[题组训练]1.函数f (x )=x 2+4x 的值域为________.解析:当x >0时,f (x )=x +4x ≥4,当且仅当x =2时取等号; 当x <0时,-x +⎝⎛⎭⎫-4x ≥4, 即f (x )=x +4x ≤-4,当且仅当x =-2取等号,所以函数f (x )的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)2.若x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3,则函数y =4sin 2x -12sin x -1的最大值为________,最小值为________.解析:令t =sin x ,因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, 所以t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,y =f (t )=4t 2-12t -1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t =32,所以当t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1时,函数f (t )单调递减,所以当t =-12时,y max =6;当t =1时,y min =-9. 答案:6 -93.已知f (x )=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立等价于x 2+2x +a >0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a >-x 2-2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立.又函数y =-x 2-2x 在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x 2-2x )max =-3,故a >-3,又∵a ≤1,∴-3<a ≤1. 答案:(-3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( )A .f (π)>f (-3)>f (-2)B .f (π)>f (-2)>f (-3)C .f (π)<f (-3)<f (-2)D .f (π)<f (-2)<f (-3)[解析] 因为f (x )是偶函数,所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数. 所以f (π)>f (3)>f (2),即f (π)>f (-3)>f (-2). [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <2,x 2,x ≥2.若f (a +1)≥f (2a -1),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .(-∞,2]C .[2,6]D .[2,+∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f (a +1)≥f (2a -1), ∴a +1≥2a -1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2]. [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,再根据函数的单调性去掉“f ”,得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x )).考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.[解析] 设1<x 1<x 2,∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, ∴f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.∵x 1-x 2<0,∴1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.∵1<x 1<x 2,x 1x 2>1,∴-x 1x 2<-1,∴a ≥-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞). [答案] [-1,+∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.[题组训练]1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c解析:选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称,故函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,等价于函数f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以b >a >c .2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-x -14,x ≤1,log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14,12 B.⎣⎡⎦⎤14,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎭⎫12,1解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,而二次函数y =ax 2-x -14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12a≥1,a ×12-1-14≥log a1-1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<a ≤12,a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14,12.[课时跟踪检测]A 级1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C 当x >0时,f (x )=3-x 为减函数;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数,当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.若函数f (x )=ax +1在R 上单调递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的单调递增区间是( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(4,+∞)D .(-∞,4)解析:选B 因为f (x )=ax +1在R 上单调递减,所以a <0. 而g (x )=a (x 2-4x +3)=a (x -2)2-a .因为a <0,所以g (x )在(-∞,2)上单调递增.3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B.⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D.⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,∴f (x )的最大值为6.5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,0)B .(-∞,-2]C .[-3,-2]D .(-∞,0)解析:选C 若f (x )是R 上的增函数,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-12-a ×1-5≤a 1,解得-3≤a ≤-2.7.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为________.解析:设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t =x 2-2x -3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).答案:[3,+∞)8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.解析:当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.答案:29.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为34,则a =________.解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1x 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a ]⊆(0,+∞),∴f (x )=1x 在[2,a ]上也是减函数,∴f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1a ,∴12+1a =34,∴a =4. 答案:410.(2019·甘肃会宁联考)若f (x )=x +a -1x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:f (x )=x +a -1x +2=x +2+a -3x +2=1+a -3x +2,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a -3<0,解得a <3.答案:(-∞,3)11.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,∵x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12,f (2)=1a -12=2, 解得a =25.12.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:当a =-2时,f (x )=xx +2.任取x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,又由题意知f (x 1)-f (x 2)>0, 所以(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1].B 级1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D 函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=ln x +x ,若f (a 2-a )>f (a +3),则正数a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )=ln x +x 在(0,+∞)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >a +3,a 2-a >0,a +3>0,解得-3<a <-1或a >3.又a >0,所以a >3. 答案:(3,+∞)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1. 又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1.函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下:(1)f (-x )=f (x )⇔f (-x )-f (x )=0⇔f (-x )f (x )=1⇔f (x )为偶函数;(2)f (-x )=-f (x )⇔f (-x )+f (x )=0⇔f (-x )f (x )=-1⇔f (x )为奇函数.2.函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.周期函数定义的实质存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次.(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.二、常用结论1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )=1f (x ),则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1f (x ),则T =2a (a >0).3.函数图象的对称性(1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2;(4)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0.[解] (1)由f (x )=36-x 2|x +3|-3,可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧-6≤x ≤6,x ≠0且x ≠-6,故函数f (x )的定义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x 2-1≥0⇒x 2=1⇒x =±1,故函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,所以f (-x )=f (x )=-f (x ),所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|-2≠0⇒-1<x <0或0<x <1,定义域关于原点对称.此时f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2=log 2(1-x 2)2-x -2=-log 2(1-x 2)x ,故有f (-x )=-log 2[1-(-x )2]-x =log 2(1-x 2)x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数. (4)法一:图象法画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0的图象如图所示,图象关于y 轴对称,故f (x )为偶函数.法二:定义法易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2+x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2+x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2-x =f (x ),故原函数是偶函数.法三:f (x )还可以写成f (x )=x 2-|x |(x ≠0),故f (x )为偶函数.[题组训练]1.(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A .y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4 B .y =x 2+e |x | C .y =x cos xD .y =ln|x |-sin x解析:选B 对于选项A ,易知y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4为非奇非偶函数;对于选项B ,设f (x )=x 2+e |x |,则f (-x )=(-x )2+e |-x |=x 2+e |x |=f (x ),所以y =x 2+e |x |为偶函数;对于选项C ,设f (x )=x cos x ,则f (-x )=-x cos(-x )=-x cos x =-f (x ),所以y =x cos x 为奇函数;对于选项D ,设f (x )=ln|x |-sin x ,则f (2)=ln 2-sin 2,f (-2)=ln 2-sin(-2)=ln 2+sin 2≠f (2),所以y =ln|x |-sin x 为非奇非偶函数,故选B.2.设函数f (x )=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A .|f (x )|是偶函数B .-f (x )是奇函数C .f (x )|f (x )|是奇函数D .f (|x |)f (x )是偶函数解析:选D ∵f (x )=e x -e -x2,则f (-x )=e -x -e x2=-f (x ).∴f (x )是奇函数. ∵f (|-x |)=f (|x |),∴f (|x |)是偶函数,∴f (|x |)f (x )是奇函数.考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y =f (x )是R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=2x ,则当x >0时,f (x )=( )A .-2xB .2-x C .-2-xD .2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )=a -2e x +1(a ∈R)是奇函数,则函数f (x )的值域为( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)[解析] (1)当x >0时,-x <0,∵x <0时,f (x )=2x ,∴当x >0时,f (-x )=2-x .∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x >0时,f (x )=-f (-x )=-2-x .(2)法一:由f (x )是奇函数知f (-x )=-f (x ),所以a -2e -x+1=-a +2e x +1,得2a =2e x+1+2e -x +1,所以a =1e x +1+e x e x +1=1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).法二:函数f (x )的定义域为R ,且函数f (x )是奇函数,所以f (0)=a -1=0,即a =1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f (x )±f (-x )=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.[题组训练]1.(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(x +2)-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log 2(6+2)=1-3=-2.2.已知函数f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,函数f (x )的最大值为________.解析:法一:当x <0时,-x >0,所以f (-x )=x 2+x .又因为函数f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x 2-x =-⎝⎛⎭⎫x +122+14,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14. 法二:当x >0时,f (x )=x 2-x =⎝⎛⎭⎫x -122-14,最小值为-14,因为函数f (x )为奇函数,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14.答案:143.(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________. 解析:∵f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),从而ln[(a +x 2)2-x 2]=0,即ln a =0,故a =1.答案:1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +2),当x ∈(0,2]时,f (x )=2x +log 2x ,则f (2 019)=( )A .5 B.12C .2D .-2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎨⎧cos πx2,0<x ≤2,⎪⎪⎪⎪x +12,-2<x ≤0,则f (f (15))的值为________.[解析] (1)由f (x )=-f (x +2),得f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是周期为4的周期函数,所以f (2 019)=f (504×4+3)=f (3)=f (1+2)=-f (1)=-(2+0)=-2.(2)由函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R), 可知函数f (x )的周期是4, 所以f (15)=f (-1)=⎪⎪⎪⎪-1+12=12, 所以f (f (15))=f ⎝⎛⎭⎫12=cos π4=22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1.(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数,且满足f (x +2)=-1f (x ),当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f ⎝⎛⎭⎫-112=________. 解析:∵f (x +2)=-1f (x ),∴f (x +4)=f (x ), ∴f ⎝⎛⎭⎫-112=f ⎝⎛⎭⎫52,又2≤x ≤3时,f (x )=x , ∴f ⎝⎛⎭⎫52=52,∴f ⎝⎛⎭⎫-112=52. 答案:522.(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214=________. 解析:由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214=f ⎝⎛⎭⎫6-34=f ⎝⎛⎭⎫-34=4×⎝⎛⎭⎫-342-2=14,f ⎝⎛⎭⎫14=14.答案:14[课时跟踪检测]A 级1.下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=x 3+1 B .f (x )=ln 1-x1+xC .f (x )=e xD .f (x )=x sin x解析:选B 对于A ,f (-x )=-x 3+1≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于B ,f (-x )=ln 1+x 1-x=-ln1-x 1+x=-f (x ),所以其是奇函数;对于C ,f (-x )=e -x ≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于D ,f (-x )=-x sin(-x )=x sin x =f (x ),所以其不是奇函数.故选B.2.(2019·南昌联考)函数f (x )=9x +13x 的图象( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于坐标原点对称D .关于直线y =x 对称解析:选B 因为f (x )=9x +13x =3x +3-x ,易知f (x )为偶函数,所以函数f (x )的图象关于y轴对称.3.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,则f (-7)=( )A .3B .-3C .2D .-2解析:选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,所以f (-7)=-f (7)=-log 2(7+1)=-3.4.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A .e x -e -x B.12(e x +e -x )C.12(e -x -e x ) D.12(e x -e -x )解析:选D 因为f (x )+g (x )=e x ,所以f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -x , 所以g (x )=12(e x -e -x ).。
一、学习目标:1. 了解基本初等函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数)的实际背景。
了解实数指数幂的意义及对数的作用、了解指数函数与对数函数互为反函数的性质。
2. 理解指数、对数的概念及其运算性质,理解指数函数、对数函数,一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质。
3. 掌握幂的运算、对数运算及指数函数、对数函数、一次函数、二次函数性质的应用二、重点、难点:重点:(1)指数幂、对数的运算(2)对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的理解。
难点:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的应用三、考点分析:函数这部分内容是高考中的重点与难点,基本的初等函数是高考函数基础知识考查的重点,因此第一轮的复习重点是把握基本函数的基础知识及其简单的应用,这部分知识点是高考命题的“黄金”知识点,命题的题型有选择题、填空题、中等类型的大题等。
注:(1)二次函数的解析式的确定方法有三种形式①一般式:若已知二次函数经过A ,B ,C 三点,可设解析式为c bx ax x f ++=2)(,把三点坐标代入求出a ,b ,c 的值。
②零点式:若已知二次函数图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x B x A ,可设解析式为:))(()(21x x x x a x f --=,再根据其余的条件确定a 的值。
③顶点式:若已知二次函数的顶点坐标(h ,k ),则可设函数解析式为:k h x a x f +-=2)()(的形式,再根据另外的条件确定a 的值。
(2)二次函数的最值的确定(i )若R x ∈,a >0,当abx 2-=时,函数取得最小值a b ac x f 44)(2min -=;若R x ∈,a<0,当abx 2-=时,函数取得最大值a b ac x f 44)(2max -=。
(ii )当)(],,[n m n m x <∈(或其他区间),讨论对称轴与区间[m ,n ]的三种位置关系。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.4幂函数与二次函数最新考纲1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =1x,y =12x 的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y =x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y =xy =x 2y =x 3y =12xy =x -1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增在R 上单调递增在[0,+∞)上单调递增在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )=ax 2+bx +c (a >0)f (x )=ax 2+bx +c (a <0)概念方法微思考1.二次函数的解析式有哪些常用形式?提示(1)一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0);(2)顶点式:y =a (x -m )2+n (a ≠0);(3)零点式:y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0).2.已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),写出f (x )≥0恒成立的条件.提示a>0且Δ≤0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0),x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac -b 24a.(×)(2)在y =ax 2+bx +c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(√)(3)函数y =122x 是幂函数.(×)(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(√)(5)当n <0时,幂函数y =x n 是定义域上的减函数.(×)题组二教材改编2.已知幂函数f (x )=k ·x αk +α等于()A.12B .1C.32D .2答案C解析1,k.∴k =1,α=12.∴k +α=32.3.已知函数f (x )=x 2+4ax 在区间(-∞,6)内单调递减,则a 的取值范围是()A .a ≥3B .a ≤3C .a <-3D .a ≤-3答案D解析函数f (x )=x 2+4ax 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x =-2a ,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x =-2a 的左侧,∴-2a ≥6,解得a ≤-3,故选D.题组三易错自纠4.幂函数f (x )=21023a a x -+(a ∈Z )为偶函数,且f (x )在区间(0,+∞)上是减函数,则a 等于()A .3B .4C .5D .6答案C解析因为a 2-10a +23=(a -5)2-2,f (x )=2(5)2a x--(a ∈Z )为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,所以(a -5)2-2<0,从而a =4,5,6,又(a -5)2-2为偶数,所以只能是a =5,故选C.5.已知函数y =2x 2-6x +3,x ∈[-1,1],则y 的最小值是______.答案-1解析函数y =2x 2-6x +3的图象的对称轴为x =32>1,∴函数y =2x 2-6x +3在[-1,1]上单调递减,∴y min =2-6+3=-1.6.设二次函数f (x )=x 2-x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m -1)________0.(填“>”“<”或“=”)答案>解析f (x )=x 2-x +a 图象的对称轴为直线x =12,且f (1)>0,f (0)>0,而f (m )<0,∴m ∈(0,1),∴m -1<0,∴f (m -1)>0.题型一幂函数的图象和性质1.若幂函数的图象经过点2,14()A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .(-∞,+∞)D .(-∞,0)答案D解析设f (x )=x α,则2α=14,α=-2,即f (x )=x -2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D.2.若四个幂函数y =x a ,y =x b ,y =x c ,y =x d 在同一坐标系中的图象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小关系是()A .d >c >b >aB .a >b >c >dC .d >c >a >bD .a >b >d >c 答案B解析由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x 轴,由题图知a >b >c >d ,故选B.3.已知幂函数f (x )=(n 2+2n -2)23n nx -(n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为()A .-3B .1C .2D .1或2答案B 解析由于f (x )为幂函数,所以n 2+2n -2=1,解得n =1或n =-3,经检验只有n =1符合题意,故选B.4.(2018·潍坊模拟)若(a +1)13-<(3-2a )13-,则实数a 的取值范围是____________.答案(-∞,-1)∪23,32解析不等式(a +1)13-<(3-2a )13-等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a ,解得a <-1或23<a <32.思维升华(1)幂函数的形式是y =x α(α∈R ),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x 轴.(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (0)=3,对∀x ∈R ,都有f (1+x )=f (1-x )成立,则f (x )的解析式为________________.答案f (x )=x 2-2x +3解析由f (0)=3,得c =3,又f (1+x )=f (1-x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称,∴b2=1,∴b =2,∴f (x )=x 2-2x +3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f (x )=________.答案x 2+2x解析设函数的解析式为f (x )=ax (x +2)(a ≠0),所以f (x )=ax 2+2ax ,由4a ×0-4a 24a=-1,得a =1,所以f (x )=x 2+2x .思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ,a ≠0),x ∈R ,若函数f (x )的最小值为f (-1)=0,则f (x )=________.答案x 2+2x +1解析设函数f (x )的解析式为f (x )=a (x +1)2=ax 2+2ax +a (a ≠0),又f (x )=ax 2+bx +1,所以a =1,故f (x )=x 2+2x +1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x ∈R ,都有f (2-x )=f (2+x ),则f (x )=________.答案x 2-4x +3解析因为f (2-x )=f (2+x )对任意x ∈R 恒成立,所以f (x )图象的对称轴为直线x =2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2,所以f (x )=0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )=a (x -1)(x -3)(a ≠0),又f (x )的图象过点(4,3),所以3a =3,即a =1,所以f (x )的解析式为f (x )=(x -1)(x -3),即f (x )=x 2-4x +3.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例2(2018·重庆五中模拟)一次函数y =ax +b (a ≠0)与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a >0,则一次函数y =ax +b 为增函数,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向上,故可排除A ;若a <0,一次函数y =ax +b 为减函数,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下,故可排除D ;对于选项B ,看直线可知a >0,b >0,从而-b2a<0,而二次函数的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B ,选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是()A .[-3,0)B .(-∞,-3]C .[-2,0]D .[-3,0]答案D解析当a =0时,f (x )=-3x +1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.当a ≠0时,f (x )的对称轴为x =3-a2a,由f (x )在[-1,+∞)-1,解得-3≤a <0.综上,a 的取值范围为[-3,0].引申探究若函数f (x )=ax 2+(a -3)x +1的单调减区间是[-1,+∞),则a =________.答案-3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0,又3-a 2a =-1,∴a =-3.命题点3二次函数的最值例4已知函数f (x )=ax 2+2ax +1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a 的值.解f (x )=a (x +1)2+1-a .(1)当a =0时,函数f (x )在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;(2)当a >0时,函数f (x )在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a +1=4,解得a =38(3)当a <0时,函数f (x )在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f (-1)=1-a =4,解得a =-3.综上可知,a 的值为38或-3.引申探究将本例改为:求函数f (x )=x 2+2ax +1在区间[-1,2]上的最大值.解f (x )=(x +a )2+1-a 2,∴f (x )的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x =-a .(1)当-a <12即a >-12时,f (x )max =f (2)=4a +5,(2)当-a ≥12即a ≤-12时,f (x )max =f (-1)=2-2a ,综上,f (x )maxa +5,a >-12,-2a ,a ≤-12.命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,若不等式f (x )>2x +m 在区间[-1,1]上恒成立,则实数m 的取值范围为____________.答案(-∞,-1)解析设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由f (0)=1,得c =1,又f (x +1)-f (x )=2x ,得2ax +a +b=2x ,所以a =1,b =-1,所以f (x )=x 2-x +1.f (x )>2x +m 在区间[-1,1]上恒成立,即x 2-3x +1-m >0在[-1,1]上恒成立,令g (x )=x 2-3x +1-m -54-m ,x ∈[-1,1],g (x )在[-1,1]上单调递减,所以g (x )min =g (1)=1-3+1-m >0,所以m <-1.(2)函数f (x )=a 2x +3a x -2(a >1),若在区间[-1,1]上f (x )≤8恒成立,则a 的最大值为________.答案2解析令a x =t ,因为a >1,x ∈[-1,1],所以1a≤t ≤a ,原函数化为g (t )=t 2+3t -2,t ∈1a ,a ,显然g (t )在1a ,a上单调递增,所以f (x )≤8恒成立,即g (t )max =g (a )≤8恒成立,所以有a 2+3a -2≤8,解得-5≤a ≤2,又a >1,所以a 的最大值为2.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.跟踪训练2(1)函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是()A .b ≥0B .b ≤0C .b >0D .b <0答案A解析∵函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞))是单调函数,∴图象的对称轴x =-b2在区间[0,+∞)的左边或-b 2=0,即-b2≤0,得b ≥0.(2)已知函数f (x )=x 2-2ax +2a +4的定义域为R ,值域为[1,+∞),则a 的值为________.答案-1或3解析由于函数f (x )的值域为[1,+∞),所以f (x )min =1.又f (x )=(x -a )2-a 2+2a +4,当x ∈R 时,f (x )min =f (a )=-a 2+2a +4=1,即a 2-2a -3=0,解得a =3或a =-1.(3)设函数f (x )=ax 2-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________.答案解析由题意得a >2x -2x2对1<x <4恒成立,又2x -2x 2=-+12,14<1x <1,=12,∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.例设函数f (x )=x 2-2x +2,x ∈[t ,t +1],t ∈R ,求函数f (x )的最小值.解f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[t ,t +1],t ∈R ,函数图象的对称轴为x =1.当t +1≤1,即t ≤0时,函数图象如图(1)所示,函数f (x )在区间[t ,t +1]上为减函数,所以最小值为f (t +1)=t 2+1;当t <1<t +1,即0<t <1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x =1处取得最小值,最小值为f (1)=1;当t ≥1时,函数图象如图(3)所示,函数f (x )在区间[t ,t +1]上为增函数,所以最小值为f (t )=t 2-2t +2.综上可知,f (x )min +1,t ≤0,,0<t <1,-2t +2,t ≥1.1.幂函数y =f (x )经过点(3,3),则f (x )是()A .偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B .偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C .奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D .非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为y =x α,将(3,3)代入解析式得3α=3,解得α=12,∴y =12x ,故选D.2.幂函数y =24m mx-(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为()A .0B .1C .2D .3答案C 解析∵y =24m mx-(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点,∴m 2-4m <0,即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ,∴m 2-4m 为偶数,∴m =2.3.若幂函数f (x )=(m 2-4m +4)·268m m x -+在(0,+∞)上为增函数,则m 的值为()A .1或3B .1C .3D .2答案B解析由题意得m 2-4m +4=1,m 2-6m +8>0,解得m =1.4.已知函数f (x )=ax 2+x +5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是()-120,答案C解析>0,<0,>0,-20a <0,得a >120.5.已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4)>f (1),则()A .a >0,4a +b =0B .a <0,4a +b =0C .a >0,2a +b =0D .a <0,2a +b =0答案A解析由f (0)=f (4),得f (x )=ax 2+bx +c 图象的对称轴为x =-b2a=2,∴4a +b =0,又f (0)>f (1),f (4)>f (1),∴f (x )先减后增,于是a >0,故选A.6.已知函数f (x )=-x 2+2ax +1-a ,x ∈[0,1]有最大值2,则a 等于()A .2B .0C .0或-1D .2或-1答案D 解析函数f (x )=-x 2+2ax +1-a =-(x -a )2+a 2-a +1,其图象的对称轴方程为x =a .当a <0时,f (x )max =f (0)=1-a ,所以1-a =2,所以a =-1;当0≤a ≤1时,f (x )max =f (a )=a 2-a +1,所以a 2-a +1=2,所以a 2-a -1=0,所以a =1±52(舍去);当a >1时,f (x )max =f (1)=a ,所以a =2.综上可知,a =-1或a =2.7.已知f (x )=x 2,g (x )=12x ,h (x )=x -2,当0<x <1时,f (x ),g (x ),h (x )的大小关系是________________.答案h (x )>g (x )>f (x )解析分别作出f (x ),g (x ),h (x )的图象如图所示,可知h (x )>g (x )>f (x ).8.已知二次函数y =f (x )-32,f (x )=0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的解析式是________________.答案f (x )=-4x 2-12x +40解析设f (x )=+49(a ≠0),方程+49=0的两个实根分别为x 1,x 2,则|x 1-x 2|=2-49a=7,所以a =-4,所以f (x )=-4x 2-12x +40.9.已知函数f (x )=x 2-(a -1)x +5f (2)的取值范围是______________.答案[7,+∞)解析函数f (x )=x 2-(a -1)x +5(抛物线)开口向上,所以其对称轴x =a -12或与直线x =12重合或位于直线x =12的左侧,即应有a -12≤12,解得a ≤2,所以f (2)=4-(a -1)×2+5≥7,即f (2)≥7.10.设函数f (x )=-2x 2+4x 在区间[m ,n ]上的值域是[-6,2],则m +n 的取值范围是______________.答案[0,4]解析令f (x )=-6,得x =-1或x =3;令f (x )=2,得x =1.又f (x )在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,∴当m =-1,n =1时,m +n 取得最小值0;当m =1,n =3时,m +n 取得最大值4.11.(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是____________.答案-22,解析因为函数图象开口向上,所以根据题意只需满足m )=m 2+m 2-1<0,m +1)=(m +1)2+m (m +1)-1<0,解得-22<m <0.12.已知函数f (x )=x 2+(2a -1)x -3.(1)当a =2,x ∈[-2,3]时,求函数f (x )的值域;(2)若函数f (x )在[-1,3]上的最大值为1,求实数a 的值.解(1)当a =2时,f (x )=x 2+3x -3,x ∈[-2,3],函数图象的对称轴为x =-32[-2,3],∴f (x )min ==94-92-3=-214,f (x )max =f (3)=15,∴f (x )的值域为-214,15.(2)函数图象的对称轴为直线x =-2a -12.①当-2a -12≤1,即a ≥-12时,f (x )max =f (3)=6a +3,∴6a +3=1,即a =-13,满足题意;②当-2a -12>1,即a <-12时,f (x )max =f (-1)=-2a -1,∴-2a -1=1,即a =-1,满足题意.综上可知,a =-13或-1.13.如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ;②2a -b =1;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的是()A .②④B .①④C .②③D .①③答案B 解析因为图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac >0,即b 2>4ac ,①正确;对称轴为x =-1,即-b 2a =-1,2a -b =0,②错误;结合图象,当x =-1时,y >0,即a -b +c >0,③错误;由对称轴为x =-1知,b =2a .又函数图象开口向下,所以a <0,所以5a <2a ,即5a <b ,④正确.14.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围是________.答案(-∞,-5]解析方法一∵不等式x 2+mx +4<0对x ∈(1,2)恒成立,∴mx <-x 2-4对x ∈(1,2)恒成立,即m <x ∈(1,2)恒成立,令y =x +4x ,x ∈(1,2),则函数y =x +4x在x ∈(1,2)上是减函数.∴4<y <5,∴-5<-4,∴m ≤-5.方法二设f (x )=x 2+mx +4,当x ∈(1,2)时,由f(x)<01)≤0,2)≤0,≤-5,≤-4,即m≤-5.15.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.解当0≤x<1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,则m2≤0,即m≤0;当x≥1时,φ(x)=x2+mx-m,此时φ(x)单调递增,则-m2≤1,即m≥-2.综上,实数m的取值范围是[-2,0].16.是否存在实数a∈[-2,1],使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.解f(x)=(x-a)2+a-a2,当-2≤a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,∴-1)=-2,1)=2,得a=-1(舍去);当-1≤a≤0a)=-2,1)=2,得a=-1;当0<a≤1a)=-2,-1)=2,得a不存在;综上可得,存在实数a满足题目条件,a=-1.。