解直角三角形及其应用
28．2.1解直角三角形
关键问答
①在直角三角形中,边和角之间有什么数量关系？
②可解的直角三角形有什么特点？
③两直角边长的比为1∶3的直角三角形是一个什么样的特殊直角三角形？
1．①2017·绥化某楼梯的侧面如图28－2－1所示,已测得BC的长约为3.5米,∠BCA约为29°,则该楼梯的高度AB可表示为( )
图28－2－1
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米
C．3.5tan29°米 D.3.5
cos29°
米
2．②在Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,下列情况中Rt△ABC可解的是( )
A．已知a＝3,∠C＝90° B．已知∠B＝36°,∠C＝90°
C．已知a＝3,∠B＝36° D．已知∠B＝36°,∠A＝54°
3．③在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,已知a＝5,b＝5 3,求c的长和∠A,∠B的度数．
命题点 1 解直角三角形[热度：89%]
4．④2018·宜昌如图28－2－2,要测量小河两岸相对的两点P,A之间的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC＝100米,∠PCA＝35°,则小河宽PA等于( )
图28－2－2
A．100sin35°米 B．100sin55°米
C．100tan35°米 D．100tan55°米
易错警示
④用三角函数求边长时,要分清已知边、未知边、已知角之间的关系,分清所用的三角函数．
5．⑤在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,分别根据下列条件
解直角三角形．
(1)a ＝3,c ＝3 2； (2)a ＝3,b ＝3 3； (3)c ＝4 3,∠B ＝30°； (4)b ＝4,∠B ＝30°.
方法点拨
⑤解直角三角形的基本原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原(原始数据)避中(中间数据)．
6．⑥
如图28－2－3,已知∠B ＝37°,AB ＝20,C 是射线BM 上一点．
(1)在下列条件中,可以唯一确定BC 长的是________(填写所有符合条件的序号)．①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝12
5
；③连接AC ,△ABC 的面积为126.
(2)在(1)的答案中,选择一个作为条件,画出草图,求BC 的长．(参考数据：sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
图28－2－3
易错警示
⑥已知两边及一边的对角,不能确定唯一的三角形,所以这样的三角形不可解． 命题点 2 以其他常见几何图形为背景解直角三角形 [热度：95%]
7.⑦
如图28－2－4,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ,EC ＝4,sin B ＝45,则菱形ABCD 的周长
是( )
图28－2－4
A ．10
B ．20
C ．40
D ．28 方法点拨
⑦利用菱形的性质和锐角三角函数把已知条件转化到直角三角形ABE 中,将分散的条件集中到一起,使直角三角形ABE 可解.
8．如图28－2－5,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E ,设∠ADE ＝α,且cos α＝3
5
,AB ＝4,则
AD 的长为( )
图28－2－5
A ．3 B.163 C.203 D.16
5
9.⑧
如图28－2－6,点A 在半径为3的⊙O 内,OA ＝3,P 为⊙O 上一点,当∠OPA 取最大
值时,PA 的长为( )
图28－2－6
A.32
B. 6
C.3
2
D ．2 3 解题突破
⑧当∠OPA 取最大值时,点O 到AP 的距离最大.
10．如图28－2－7,在▱ABCD 中,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,∠EDF ＝60°,AE ＝2,CF ＝3,则▱ABCD 的面积为________．
图28－2－7
11．如图28－2－8,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是正方形,点A 的坐标是(4,0),点C 的坐标是(0,4),P 为边AB 上一点,∠CPB ＝60°,沿CP 折叠正方形,折叠后,点B 落在平面内点B ′处,则点B ′的坐标为________．
图28－2－8
12.⑨
如图28－2－9,把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上,除点D 外,其他顶点均在矩形EFGH 的边上．AB ＝50 cm,BC ＝40 cm,∠BAE ＝55°,求EF 的长．
(参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
图28－2－9
方法点拨
⑨解直角三角形的方法是有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜(斜边)用切(正切),宁乘勿除,取原(原始数据)避中(中间数据),直接求不行,分着求.
命题点 3 解锐角三角形或钝角三角形 [热度：93%] 13.⑩
在△ABC 中,AB ＝12 2,AC ＝13,cos B ＝
2
2
,则BC 边的长为( ) A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或17 易错警示
⑩分△ABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
14．在△ABC 中,∠A ＝120°,AB ＝4,AC ＝2,则sin B 的值是( ) A.
5 714 B.2114 C.35 D.21
7
15.⑪
如图28－2－10,在△ABC 中,∠B ＝60°,∠C ＝75°,AC ＝3 2,求AB 的长．
图28－2－10
方法点拨
⑪在解锐角三角形或钝角三角形时,常过非特殊角的顶点作三角形的高,通过高将两个直角三角形联系起来.
命题点 4 解直角三角形的综合应用 [热度：91%]
16．2017·齐齐哈尔如图28－2－11,菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上,O 是坐标原点,tan ∠AOC ＝43,反比例函数y ＝k
x 的图象经过点C ,与AB 交于点D ,若△COD 的面积为20,
则k 的值等于________．
图28－2－11
17.⑫
阅读下面的材料：
小红遇到这样一个问题：如图28－2－12①,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,∠D ＝60°,AB ＝4 3,BC ＝3,求AD 的长．
小红发现,延长AB 与DC 相交于点E ,通过构造Rt △ADE ,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请回答：AD 的长为________．
(2)参考小红思考问题的方法,解决下列问题：
如图③,在四边形ABCD 中,tan A ＝1
2
,∠B ＝∠C ＝135°,AB ＝9,CD ＝3,求BC 和AD 的长．
