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解直角三角形课时练习

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解直角三角形及其应用28．2.1解直角三角形关键问答①在直角三角形中,边和角之间有什么数量关系？②可解的直角三角形有什么特点？③两直角边长的比为1∶3的直角三角形是一个什么样的特殊直角三角形？1．①2017·绥化某楼梯的侧面如图28－2－1所示,已测得BC的长约为3.5米,∠BCA约为29°,则该楼梯的高度AB可表示为( )图28－2－1A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米 D.3.5cos29°米2．②在Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,下列情况中Rt△ABC可解的是( )A．已知a＝3,∠C＝90° B．已知∠B＝36°,∠C＝90°C．已知a＝3,∠B＝36° D．已知∠B＝36°,∠A＝54°3．③在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,已知a＝5,b＝5 3,求c的长和∠A,∠B的度数．命题点 1 解直角三角形[热度：89%]4．④2018·宜昌如图28－2－2,要测量小河两岸相对的两点P,A之间的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC＝100米,∠PCA＝35°,则小河宽PA等于( )图28－2－2A．100sin35°米 B．100sin55°米C．100tan35°米 D．100tan55°米易错警示④用三角函数求边长时,要分清已知边、未知边、已知角之间的关系,分清所用的三角函数．5．⑤在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C所对的边,分别根据下列条件解直角三角形．(1)a ＝3,c ＝3 2； (2)a ＝3,b ＝3 3； (3)c ＝4 3,∠B ＝30°； (4)b ＝4,∠B ＝30°.方法点拨⑤解直角三角形的基本原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原(原始数据)避中(中间数据)．6．⑥如图28－2－3,已知∠B ＝37°,AB ＝20,C 是射线BM 上一点．(1)在下列条件中,可以唯一确定BC 长的是________(填写所有符合条件的序号)．①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝125；③连接AC ,△ABC 的面积为126.(2)在(1)的答案中,选择一个作为条件,画出草图,求BC 的长．(参考数据：sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)图28－2－3易错警示⑥已知两边及一边的对角,不能确定唯一的三角形,所以这样的三角形不可解． 命题点 2 以其他常见几何图形为背景解直角三角形 [热度：95%]7.⑦如图28－2－4,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ,EC ＝4,sin B ＝45,则菱形ABCD 的周长是( )图28－2－4A ．10B ．20C ．40D ．28 方法点拨⑦利用菱形的性质和锐角三角函数把已知条件转化到直角三角形ABE 中,将分散的条件集中到一起,使直角三角形ABE 可解.8．如图28－2－5,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E ,设∠ADE ＝α,且cos α＝35,AB ＝4,则AD 的长为( )图28－2－5A ．3 B.163 C.203 D.1659.⑧如图28－2－6,点A 在半径为3的⊙O 内,OA ＝3,P 为⊙O 上一点,当∠OPA 取最大值时,PA 的长为( )图28－2－6A.32B. 6C.32D ．2 3 解题突破⑧当∠OPA 取最大值时,点O 到AP 的距离最大.10．如图28－2－7,在▱ABCD 中,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,∠EDF ＝60°,AE ＝2,CF ＝3,则▱ABCD 的面积为________．图28－2－711．如图28－2－8,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是正方形,点A 的坐标是(4,0),点C 的坐标是(0,4),P 为边AB 上一点,∠CPB ＝60°,沿CP 折叠正方形,折叠后,点B 落在平面内点B ′处,则点B ′的坐标为________．图28－2－812.⑨如图28－2－9,把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上,除点D 外,其他顶点均在矩形EFGH 的边上．AB ＝50 cm,BC ＝40 cm,∠BAE ＝55°,求EF 的长．(参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)图28－2－9方法点拨⑨解直角三角形的方法是有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜(斜边)用切(正切),宁乘勿除,取原(原始数据)避中(中间数据),直接求不行,分着求.命题点 3 解锐角三角形或钝角三角形 [热度：93%] 13.⑩在△ABC 中,AB ＝12 2,AC ＝13,cos B ＝22,则BC 边的长为( ) A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或17 易错警示⑩分△ABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.14．在△ABC 中,∠A ＝120°,AB ＝4,AC ＝2,则sin B 的值是( ) A.5 714 B.2114 C.35 D.21715.⑪如图28－2－10,在△ABC 中,∠B ＝60°,∠C ＝75°,AC ＝3 2,求AB 的长．图28－2－10方法点拨⑪在解锐角三角形或钝角三角形时,常过非特殊角的顶点作三角形的高,通过高将两个直角三角形联系起来.命题点 4 解直角三角形的综合应用 [热度：91%]16．2017·齐齐哈尔如图28－2－11,菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上,O 是坐标原点,tan ∠AOC ＝43,反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ,与AB 交于点D ,若△COD 的面积为20,则k 的值等于________．图28－2－1117.⑫阅读下面的材料：小红遇到这样一个问题：如图28－2－12①,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,∠D ＝60°,AB ＝4 3,BC ＝3,求AD 的长．小红发现,延长AB 与DC 相交于点E ,通过构造Rt △ADE ,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．(1)请回答：AD 的长为________．(2)参考小红思考问题的方法,解决下列问题：如图③,在四边形ABCD 中,tan A ＝12,∠B ＝∠C ＝135°,AB ＝9,CD ＝3,求BC 和AD 的长．图28－2－12方法点拨⑫对于不规则图形的求解,常通过补形或分割的方法将其转化成直角三角形再进行求解.18．如图28－2－13,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一直线上,且AD＝3,DE＝1,连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．图28－2－1319.⑬我们知道,直角三角形的边角关系可用三角函数来描述,那么在任意三角形中,边和角之间是否也存在某种关系呢？如图28－2－14,在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠ACB所对的边分别为a,b,c,过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中,CD＝b sin A,AD＝b cos A,∴BD＝c －b cos A.在Rt△BDC中,由勾股定理,得BD2＋CD2＝BC2,即(c－b cos A)2＋(b sin A)2＝a2,整理,得a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可得：b2＝a2＋c2－2ac cos B,c2＝a2＋b2－2ab cos C.利用上述结论解答下列问题：(1)在锐角三角形ABC中,∠A＝45°,b＝2 2,c＝2,求a的长和∠C的度数；(2)在△ABC中,a＝3,b＝2,∠B＝45°,且c＞a＞b,求c的长．图28－2－14模型建立⑬已知任意三角形的两边及夹角可求第三边,或已知任意三角形的三边可求某个角的余弦值,进而求这个角.详解详析1．A [解析] 在Rt △ABC 中,已知斜边BC 和锐角∠BCA ,求锐角∠BCA 的对边,用正弦,即AB BC＝sin29°,所以AB ＝3.5sin29°米．故选A.2．C3．解：∵∠C ＝90°,∴a 2＋b 2＝c 2. ∵a ＝5,b ＝5 3,∴c ＝10. ∵tan A ＝a b ＝33,∴∠A ＝30°,∴∠B ＝60°. 4．C [解析] ∵PA ⊥PB ,PC ＝100米,∠PCA ＝35°,∴小河宽PA ＝PC tan ∠PCA ＝100tan35°米．5．解：(1)∵sin A ＝a c ＝33 2＝22,∴∠A ＝45°,∴∠B ＝90°－∠A ＝45°. ∵∠A ＝∠B ＝45°,∴b ＝a ＝3. (2)∵∠C ＝90°,a ＝3,b ＝3 3, ∴c ＝a 2＋b 2＝32＋（3 3）2＝6. ∵tan A ＝a b ＝33 3＝33,∴∠A ＝30°,∴∠B ＝90°－∠A ＝60°. (3)∵∠C ＝90°,∠B ＝30°, ∴∠A ＝90°－∠B ＝60°. ∵sin B ＝b c,∴b ＝c ·sin B ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.∵cos B ＝a c,∴a ＝c ·cos B ＝4 3×cos30°＝4 3×32＝6. (4)∵∠C ＝90°,∠B ＝30°, ∴∠A ＝90°－∠B ＝60°.∵tan B ＝b a ,∴a ＝b tan B ＝4tan30°＝4 3.∵sin B ＝b c ,∴c ＝b sin B ＝4sin30°＝8.6．解：(1)②③(2)方案一：选②,如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在Rt △ABD 中,∵∠ADB ＝90°,∴AD ＝AB ·sin B ≈12,BD ＝AB ·cos B ≈16. 在Rt △ACD 中, ∵∠ADC ＝90°, ∴CD ＝ADtan ∠ACB≈5,∴BC ＝BD ＋CD ≈21.方案二：选③,如图,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,则∠BEC ＝90°. 由S △ABC ＝12AB ·CE ＝126,AB ＝20,得CE ＝12.6.在Rt △BEC 中,∵∠BEC ＝90°, ∴BC ＝CEsin B≈21. 7．C [解析] 由sin B ＝45可得AE AB ＝45,设AE ＝4a ,AB ＝5a ,所以BE ＝3a .由四边形ABCD 是菱形,可得AB ＝BC ＝5a ,所以BC －BE ＝5a －3a ＝4,所以a ＝2,所以AB ＝10,所以菱形ABCD 的周长为40.8．B [解析] 由已知可知：AB ＝CD ＝4,∠ADE ＋∠DAE ＝90°,∠BAC ＋∠DAE ＝90°,∴∠ADE ＝∠BAC ,∴cos α＝cos ∠BAC ＝AB AC ＝35,∴AC ＝203.根据勾股定理,得BC ＝AC 2－AB 2＝163, ∴AD ＝BC ＝163.9．B [解析] 过点O 作OM ⊥PA 于点M ,则sin ∠OPA ＝OM OP. ∵OP 的长恒为3,∴当OM 最大时,sin ∠OPA 最大,即∠OPA 取最大值． 当点M 与点A 重合时,OM 最大,为3, 此时PA ＝32－（3）2＝ 6.10．12 3 [解析] 在四边形DEBF 中,∵其内角和为360°,∠EDF ＝60°,DE ⊥AB ,DF ⊥BC , ∴∠B ＝120°,∴∠A ＝∠C ＝60°.∵AE ＝2,∴AD ＝4.又CF ＝3,∴DF ＝3 3, ∴S ▱ABCD ＝AD ·DF ＝4×3 3＝12 3.11．(2,4－2 3) [解析] 过点B ′分别作B ′D ⊥y 轴于点D ,B ′E ⊥x 轴于点E ,∵四边形OABC 是正方形,点A 的坐标是(4,0),点C 的坐标是(0,4),∴BC ＝OC ＝4,∵∠BPC ＝60°,∴由折叠的性质求得B ′C ＝BC ＝4,∠B ′CP ＝∠BCP ＝30°, ∴∠DCB ′＝90°－∠B ′CP －∠BCP ＝30°, ∴B ′D ＝12CB ′＝2,CD ＝B ′C cos30°＝2 3,∴OD ＝OC －CD ＝4－2 3,∴点B ′的坐标为(2,4－2 3)．12．解：在Rt △ABE 中,AB ＝50 cm,∠BAE ＝55°,∴BE ＝AB ·sin∠BAE ＝50·sin55°≈50×0.82＝41(cm)． ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC ＝90°, ∴∠CBF ＝∠BAE ＝55°.在Rt △BCF 中,BC ＝40 cm,∠CBF ＝55°,∴BF ＝BC ·cos∠CBF ＝40·cos55°≈40×0.57＝22.8(cm), ∴EF ＝BE ＋BF ≈41＋22.8＝63.8(cm), ∴EF 的长约为63.8 cm. 13．D [解析] ∵cos B ＝22,∴∠B ＝45°. 当△ABC 为钝角三角形时,如图①,∵AB ＝12 2,∠B ＝45°, ∴AD ＝BD ＝12.∵AC ＝13,∴由勾股定理,得CD ＝5, ∴BC ＝BD －CD ＝12－5＝7；当△ABC 为锐角三角形时,如图②,BC ＝BD ＋CD ＝12＋5＝17.14．B [解析] 如图,过点C 作CD ⊥BA ,交BA 的延长线于点D .∵∠BAC ＝120°,∴∠DAC ＝60°,∠ACD ＝30°, ∴2AD ＝AC ＝2,∴AD ＝1,CD ＝3,∴BD ＝5,BC ＝2 7,∴sin B ＝CD BC ＝2114.15．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵∠B ＝60°,∠ACB ＝75°, ∴∠A ＝45°,∴AD ＝CD . 在Rt △ADC 中,AC ＝3 2, sin A ＝CD AC,∴CD ＝sin45°×3 2＝3,∴AD ＝3. ∵在Rt △BDC 中,∠DBC ＝60°,tan B ＝CD BD, ∴BD ＝CD tan B＝33＝3,∴AB ＝3＋ 3. 16．－24 [解析] ∵△COD 的面积为20, ∴菱形OABC 的面积为40. 过点C 作CE ⊥x 轴于点E .∵tan ∠AOC ＝CE OE ＝43,∴设CE ＝4a (a ＞0),则OE ＝3a ,OA ＝OC ＝5a ,∴5a ·4a ＝40, 解得a ＝2(a ＝－2舍去), ∴CE ＝4 2,OE ＝3 2,∴点C 的坐标为(－3 2,4 2)． ∵反比例函数y ＝k x的图象经过点C , ∴k ＝xy ＝－3 2×4 2＝－24. 17．解：(1)在△ADE 中,∵∠A ＝90°,∠D ＝60°,∴∠E ＝30°. 在Rt △BEC 中,∵∠BCE ＝90°,∠E ＝30°,BC ＝3, ∴BE ＝2BC ＝2 3, ∴AE ＝AB ＋BE ＝6 3. 在Rt △ADE 中,∵∠A ＝90°,∠E ＝30°,AE ＝6 3, ∴AD ＝AE ·tan E ＝6 3×33＝6. 故答案为6.(2)如图,延长AB 与DC 相交于点E .∵∠ABC ＝∠BCD ＝135°,∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°,∴BE ＝CE ,∠E ＝90°.设BE ＝CE ＝x ,则BC ＝2x ,AE ＝9＋x ,DE ＝3＋x .在Rt △ADE 中,∠E ＝90°,∵tan A ＝12,∴DE AE ＝12,即3＋x9＋x ＝12,解得x ＝3.经检验,x ＝3是所列方程的解且符合题意,∴BC ＝3 2,AE ＝12,DE ＝6,∴AD ＝AE 2＋DE 2＝6 5.18．解：(1)由题意知EC ＝2,AE ＝10.过点E 作EM ⊥AC 于点M ,所以∠EMC ＝90°,易知∠ACD ＝45°,所以△EMC 是等腰直角三角形,所以EM ＝2, 所以sin ∠EAC ＝EM AE ＝210＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中,⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ，∠GDC ＝∠EDA ，DC ＝DA ，所以△GDC ≌△EDA ,所以∠GCD ＝∠EAD ,GC ＝AE ＝10.又因为∠HEC ＝∠DEA ,所以∠EHC ＝∠EDA ＝90°,所以AH ⊥GC .因为S △AGC ＝12AG ·DC ＝12GC ·AH ,所以12×4×3＝12×10·AH ,所以AH ＝65 10.19．解：(1)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos45°＝8＋4－8＝4,所以a ＝2(负值已舍去),所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为∠C 为锐角,所以∠C ＝45°.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ,所以2＝3＋c 2－2 3c ×22,解得c 1＝6＋22,c 2＝6－22(不符合题意,舍去),所以c ＝6＋22.【关键问答】①在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,则边和角之间的关系有sin A ＝a c ,sin B ＝b c ,cos A ＝b c ,cos B ＝a c ,tan A ＝a b ,tan B ＝b a. ②由已知条件能确定唯一的直角三角形,这样的直角三角形可解．③含30°角的直角三角形．。

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初中数学解直角三角形练习题及答案

初中数学解直角三角形练习题及答案

初中数学解直角三角形练习题及答案直角三角形是初中数学中的重要内容，解直角三角形的练习题能够帮助学生巩固知识并提高解题能力。

以下是一些常见的直角三角形练习题及答案供参考：1. 问题：已知直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，斜边AB的长度为10单位。

求∠B和边BC的长度。

解答：由直角三角形的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠C = 90°。

代入已知条件可得∠B + 30° + 90° = 180°，化简得∠B = 60°。

根据正弦定理，可以得出sin 30°/10 = sin 60°/BC。

化简运算可得BC = 10√3 单位。

答案：∠B = 60°，BC = 10√3 单位。

2. 问题：在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB = 5单位，AC = 12单位。

求∠A和∠B的大小。

解答：根据勾股定理可得 AC^2 = AB^2 + BC^2，代入已知条件可得 12^2 = 5^2 + BC^2。

化简运算可得BC = √119 单位。

由正弦定理可得 sin A/5 = sin 90°/12，化简运算可得 sin A = 5/12。

通过查表或计算器可以得到∠A 的近似值为 24.6°。

∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 24.6° - 90° = 65.4°。

答案：∠A 约等于 24.6°，∠B 约等于 65.4°。

3. 问题：在直角三角形ABC中，AC = 8单位，BC = 15单位。

求∠A和边AB的长度。

解答：根据勾股定理可得 AC^2 + BC^2 = AB^2，代入已知条件可得 8^2 + 15^2 = AB^2。

化简运算可得AB = √289 = 17 单位。

由正弦定理可得 sin A/8 = sin 90°/15，化简运算可得 sin A = 8/15。

解直角三角形练习题

解直角三角形练习题

解直角三角形练习题一、选择题1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是45°，则另一个锐角的度数是（）A. 45°B. 135°C. 90°D. 45°或135°2. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 在直角三角形中，若斜边长为10，一直角边长为6，则另一直角边长为（）A. 8B. 9C. 10D. 124. 已知直角三角形的斜边长为10，一个锐角的度数为30°，则该三角形的面积是（）A. 25B. 30C. 50D. 100二、填空题1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是60°，则另一个锐角的度数是______。

2. 若直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边的长度是______。

3. 在直角三角形中，若斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为______。

4. 已知直角三角形的斜边长为10，一个锐角的度数为45°，则该三角形的面积是______。

三、解答题1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，求BC和AB的长度。

2. 在直角三角形DEF中，∠F=90°，DF=5，EF=12，求∠D和∠E 的度数。

3. 已知直角三角形的斜边长为15，一个锐角的度数为60°，求该三角形的面积。

4. 在直角三角形XYZ中，∠Y=90°，∠X=45°，ZY=8，求XY和XZ的长度。

5. 已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长为6，求另一直角边长及两个锐角的度数。

6. 在直角三角形LMN中，∠N=90°，∠L=30°，LN=9，求LM和MN的长度。

7. 已知直角三角形的面积为24，斜边长为10，求两个直角边的长度。

8. 在直角三角形PQR中，∠Q=90°，∠P=60°，PQ=8，求PR和QR的长度。

华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案

华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案

数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )A. 5 米B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米2. 如图，李光用长为3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为()A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为()A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()A．11米 B．12米 C．13米 D．14米5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米．6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计)8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝________米．9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．10. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是______米．11. 如图，一人拿着一把有厘米刻度的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12厘米恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米，求电线杆的高．12. 如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？13. 如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KC＝14步)，再向西行1775步到B处(CB＝1775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)，求城邑的边长．14. 亮亮和晶晶住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，晶晶站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，晶晶的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D.然后测出两人之间的距离CD＝1.25m，晶晶与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，晶晶的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？15. 某同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另外一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得台阶上的影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为多少米？答案：1—4 CAAB5. 106. 507. 48. 49. 1.5 10. 5411. 解：电线杆的高为6米12. 解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LCLD (1)∵像高MN 是35mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD ，解得LD ＝7.∴拍摄点距离景物7 m (2)拍摄高度AB 是2 m 的景物，拍摄点离景物LD ＝4 m ，像高MN 不变，∴35LC ＝24.解得LC ＝70.∴相机的焦距应调整为70 mm13. 解：设正方形的边长为x 步，由已知可得△ADH∽△ABC ，∴AH AC ＝DHBC ，即2020＋x ＋14＝12x 1775，整理得x 2＋34x －71000＝0，解得x 1＝250，x 2＝－284(舍去)，所以城邑的边长为250步14. 解：过A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，∠AEB ＝∠AFM ＝90°，又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE ∽△AMF ，∴BE MF ＝AE AF ，即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30，解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m)，所以住宅楼的高度为20.8 m15. 解：设落在地面上的影子4.4米所对应的树高为x米，则有x4.4＝10.4，∴x＝11，落在第一阶台阶上的影子长为0.2米对应的树高为0.5米，所以树高为11＋0.5＋0.3＝11.8(米)数学九年级上学期《24.2直角三角形的性质》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC 的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（）①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75° B．60° C．45°D．30°5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45° B．55°C．65° D．75°6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18° B．36° C．54°D．72°8．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（）A．90° B．135° C．120°D．45°或135°9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=（）A．30° B．40° C．50°D．60°10．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（）A．∠A=∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角C．∠1=∠2 D．图中有3个直角三角形11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，则∠B=（）A．61° B．39°C．29° D．19°12．如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，则AD：BD=（）A．B．C．1：2D．二．填空题（共10小题）13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP 为直角三角形时，∠A=°．14．在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的度数是°．15．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=度．16．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN=．17．如图示在△ABC中∠B=．18．直角△ABC中，∠A﹣∠B=20°，则∠C的度数是．19．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为．20．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=23°，则∠B=°，与∠B相邻的外角为°．21．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度．22．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为．三．解答题（共5小题）23．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求∠DCB．24．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．请你进行证明．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．请你进行证明．25．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．26．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．A．4．C．5．B．6．C．7．D．8．D．9．B．10．C．11．C．12．A．二．填空题13．50或90．14．4515．13516．4．17．25°．18．20°或90°．19．40°或15°．20．67；113．21．90．22．55°．三．解答题23．解：∵∠A=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，∴∠DCB=90°﹣∠B=30°．24．解：（1）BD∥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF；（2）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF；（3）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．25．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．26．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．27．证明：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．数学九年级上学期《24.3锐角三角函数》同步练习一．选择题（共9小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．6．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1 C．D．7．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定8．下列说法正确的个数有（）（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2（4）如果cotα1＜cotα2，那么锐角α1＞锐角α2A．1个B．2个C．3个D．4个9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于，则AB的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．二．填空题（共5小题）10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=．11．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．12．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．三．解答题（共5小题）15．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求：sinB的值．19．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ=；②cos2θ+sin2θ=1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ=，求值：（1）tanθ+；（2）||．参考答案一．选择题1．A．2．D．3．A．4．D．5．C．6．A．7．B．8．C．9．C．二．填空题10．．11．．12．3．13．．14．①②③④．三．解答题15．解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．16．解：将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，又因为a+b=2+2，构造一元二次方程得x2﹣（2+2）x+4=0，解得x1=2，x2=2则（1）sinA==时，锐角A的度数是30°，（2）sinA==时，锐角A的度数是60°，所以∠A=30°或∠A=60°．17．解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC==x，在Rt△ABC中，cosB===．18．解：∵AD=BC=5，cos∠ADC=，∴CD=3，在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=3，∴AC===4，在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=5，∴AB===，∴sinB===．19．解（1）∵cosθ+sinθ=，∴（cosθ+sinθ）2=（）2，cos2θ+2cosθ•sinθ+sin2θ=，cosθ•sinθ=，∴tanθ+=+===4；（2）∵（cosθ﹣sinθ）2=cos2θ﹣2cosθ•sinθ+sin2θ=1﹣2×=，∴cosθ﹣sinθ=±，∴|cosθ﹣sinθ|=．数学九年级上学期《24.4解直角三角形》同步练习一．选择题（共11小题）1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是（）A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=D．点D到AB的距离为a+bcosβ2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，若AC=6cm，则BC的长度为（）A．8cm B．7cm C．6cmD．5cm4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．66．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2 C．D．8．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE 平分∠BAD，连接DE，则sin∠ADE的值为（）A．B．C．D．10．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，连接AE．若AB=1，AD=，则AE=（）A．B．C．D．2 11．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1D．101二．填空题（共6小题）12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为度．∠ABH=，则13．已知等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tanCH的长为．14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．16．已知△ABC中，满足+=，AB=10．则AC+BC=17．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD=，BD=2，则BC为．三．解答题（共8小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=．（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．（注：本题可根据需要自己画图并解答）20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．21．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：；（填序号即可）（2）画出图形．22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）23．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）24．小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．（1）求旗杆BC的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处（A，D，B三点在一条直线上），测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．A．4．B．5．C．6．C．7．D．8．B．9．B．10．C．11．C．二．填空题（共6小题）12．30或150．13．3或14．15．；．16．14．17．2或2．三．解答题18．解：（1）∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由 tanB==，∴=，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴=，∴DE=，∴sin∠BAD===．19．解：（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴四边形ABCD四点共圆，∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，∵∠BED=∠ABC=90°，∴△BED∽△ABC，∴==sin∠EAB=sin∠BCD；（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，∴△DAB≌△CBF，∴BD=BF，AD=CF，∵∠DBF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=DF，∵AD+CD=6，∴CF+CD=DF=6，∴BD=3，AC==4，∴==．（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，∴===，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，在Rt△BDM中，BD==10x，∵BD=DC，∴10x=6x+8y，∴x=2y，在Rt△ABM中，AB==6y，∴sin∠BCD=sin∠MAB===．20．解：（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴BC=BD=5，∵sinA=，∴AB=12，∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=，则sin∠ACD=．21．解：（1）选用的工具为：①③；故答案为：①③；（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．22．解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10（米）．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（3+10﹣7）×10×500=25000﹣10000（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．23．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．24．解：（1）依题意有：=，即=，解得BC=8．故旗杆BC的高度是8米；（2）如图，在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，解得EF=8，则BD=8．故此时小明与旗杆之间的距离是8米．25．解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．。

全效学习中考数学 第十一单元 解直角三角形 第35课时 解直角三角形练习(含解析)

全效学习中考数学 第十一单元 解直角三角形 第35课时 解直角三角形练习(含解析)

解直角三角形(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．[2015·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为 (C)A.30tanαm B．30sinα mC．30tanα m D．30cosα m 2．[2015·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C)A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里【解析】根据余弦函数定义“cos A＝ABPA”得AB＝PA×cos A＝2cos55°.故选C.3．[2015·济宁]如图35－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 5 m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为(A)A．5 m B．6 m C．8 m D．(3＋5)m【解析】设CD＝x，则AD＝2x，由勾股定理可得，AC＝5x，∵AC＝3 5 m，∴5x＝35，∴x＝3 m，∴CD＝3 m，∴AD＝2×3＝6 m，在Rt△ABD中，BD＝8 m，∴BC＝8－3＝5 m.4．[2015·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为(C)A．50 3 B．51C．503＋1 D．101【解析】由矩形CDFE，得DF＝CE＝100 m，由矩形EFBG，得CD＝GB＝1 m，因为∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，所以∠CAE＝30°，所以CE＝AE＝100 m．在Rt△AEG中，AG＝sin60°·AE＝32×100＝50 3 m，所以AB＝503＋1.故选C.二、填空题(每题6分，共18分)图35－1图35－2图35－3图35－45．[2015·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2 000 m ，则他实际上升了__1__000__m.【解析】 图35－5过点B 作BC ⊥水平面于点C ， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝2 000 m ，∠A ＝30°，∴BC ＝AB ·sin30°＝2 000×12＝1 000(m)．6．[2015·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__9＋33__m ．(结果保留根号) 【解析】 在Rt △ACD 中， ∵tan ∠ACD ＝AD CD， ∴tan30°＝AD 9，∴AD ＝3 3 m ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝9 m ，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9(m)．7．[2015·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°.已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是__135__m.【解析】 ∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，tan30°＝AB AD， ∴45AD ＝33，∴AD ＝453， ∵在楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝453×3＝135(m)．三、解答题(共20分)8．(10分)[2015·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕头上的点A 到调节器点O 处的距离为80 cm ，AO 与地面垂直．现调节靠背，把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处．求调整后点A ′比调整前点A 的高度降低了多少厘米？(结果取整数) (参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图35－51第5题答图图35－6图35－7图35－8解：如答图，过点A′作A′B⊥AO，交AO于B点，在Rt△A′BO 中cos35°＝OBOA′，OB＝OA′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66，∴AB＝80－66＝14 cm，答：降低了14 cm.9．(10分)[2015·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10 m到点D，再次测得点A的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图35－9解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10 m，设CB＝x，则AB＝x，DB＝3x，∵DC＝10 m，∴3x＝x＋10，∴(3－1)x＝10，解得x＝103－1＝53＋5≈5×1.732＋5≈13.7.答：树高为13.7 m.(24分)10．(12分)[2015·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)第8题答图图35－10解：在直角△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AB ＝200 m ， ∴BD＝12AB ＝100 m ，在直角△CEB 中，∵∠CEB ＝90°，∠CBE ＝42°，CB ＝200 m ， ∴CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134 m ， ∴BD ＋CE ≈100＋134＝234 m.答：缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m.11．(12分)[2015·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上． (1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(参考数据：5≈2.236，结果精确到0.1 m)图35－11解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8 m ；(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H . ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴∠GDH ＝∠SBH ，∴GH GD ＝12， ∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m ，∴DH ＝ 5 m ，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5 m ， 设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ， ∴x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5 m ， ∴DS ＝5＋5＝25≈4.5 m. ∴点D 离地面的高为4.5 m.(14分)12．(14分)[2014·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A ，B ，其中B 位于A 的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C 处测得灯塔A 在西北方向上，灯塔B 在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继 续向东航行30海里到达点D ，这时测得灯塔A 在北偏西60°方向上，求灯塔A ，B 间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值) 解：如答图，作CE ⊥AB 于点E ，AF ⊥CD 于点F ， ∴∠AFC ＝∠AEC ＝90°.第11题答图图35－12∵∠FCE ＝90°，∠ACE ＝45°， ∴四边形AFCE 是正方形．设AF ＝FC ＝CE ＝AE ＝x ，则FD ＝x ＋30， ∵tan D ＝AF FD，∠AFD ＝90°，∠D ＝30°， ∴33＝x x ＋30，解得x ＝153＋15， ∴AE ＝CE ＝153＋15.∵tan ∠BCE ＝BE CE，∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴33＝BE 153＋15，解得BE ＝15＋5 3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝153＋15＋15＋53＝203＋30. ∴A ，B 间的距离为(203＋30)海里．。