新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习汇编

第7章平行线的证明知识清单一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.五、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．六、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为a ∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补).因为a ∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.七、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．321cba八、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．九、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．。

新北师⼤版⼋年级数学上册第七章平⾏线的证明知识点复习（1）2、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD3.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。

4、⼩明到⼯⼚去进⾏社会实践活动时，发现⼯⼈师傅⽣产了⼀种如图所⽰的零件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．⼩明发现⼯⼈师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，⼜量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平⾏的，你知道什么原因吗？5．如图，某湖上风景区有两个观望点A ，C 和两个度假村B ，D ．度假村D 在C 的正西⽅向，度假村B 在C 的南偏东30°⽅向，度假村B 到两个观望点的距离都等于2km ．（1）求道路CD 与CB 的夹⾓；（2）如果度假村D 到C 是直公路，长为1km ，D 到A 是环湖路，度假村B 到两个观望点的总路程等于度假村D 到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题⽬中的条件，能够判定DC ∥AB 吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上⼀个条件，判定DC ∥AB ．练习：6、已知：如图，AB//CD ，BC//DE ，∠B=70°，求∠D 的度数。

A B E D C A B E P D C F7、如图，AB∥CD，分别探讨下⾯四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选⼀个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）8、利⽤平⾏线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平⾯分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个⾓．当动点P落在第①部分时，⼩明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个⾓的数量关系时，利⽤图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考⼩明的⽅法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个⾓的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中⼀种情形加以证明．9．如下⼏个图形是五⾓星和它的变形．（1）图（1）中是⼀个五⾓星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个⾓的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有⽆变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所⽰，五个⾓的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有⽆变化？说明你的结论的正确性．10．认真阅读下⾯关于三⾓形内外⾓平分线所夹⾓的探究⽚段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+12A ∠,理由如下:∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的⾓平分线，探究2：如图2,O 是∠ABC 与外⾓∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图3，O 是外⾓∠DBC 与外⾓∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）4、解：如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD ；证明：过点P 作AB ∥PF ，∵AB ∥PF ，∴AB ∥CD ∥PF ，∴PCD CPF PBA APF ∠=∠∠=∠,, ∴∠APC=∠PAB+∠PCD ．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB-∠PCD ；（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.5、解：（1）如图，当动点P 落在第②部分时,∠APB =360°-（∠PAC+∠PBD ）；（2）当动点P 落在第③部分时, ∠PAC=∠APB+∠PBD ；当动点P 落在第○4部分时，∠PAC =∠APB+∠PBD ．证明：如图，∵∠PAC=∠AEB ，∠AEB=∠PBD+∠APB ，∴∠PAC= ∠APB +∠PBD ．6、解：（1）如图，连接CD ．在△ACD 中，根据三⾓形内⾓和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.（2）⽆变化．根据平⾓的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E ，∠EAD=∠B+∠D ，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；（3）⽆变化．∵∠ACB=∠CAD+∠D ，∠ECD=∠B+∠E ，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．7、解：（1）探究2的结论：∠BOC=12A ∠.理由如下：∵ BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACD 的⾓平分线,所以111,222112()12221121(1)122ABC ACDACD A ABC A BOC BOC A A∠=∠∠=∠∠?∴∠∠∠∴∠=∠+∠=∠+∠∠?∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠⼜是A B C 的⼀外⾓A C D =A +AB C是的⼀外⾓（2）探究3的结论：∠BOC=90°－12A ∠。

北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳第七章平行线的证明1、为什么要证明？实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。

2、定义与命题（1）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。

（2）命题：判断一件事情的句子，叫做命题。

一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

命题可以写成“如果......那么......”的形式，其中如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结论。

（3）真命题：正确的命题称为真命题。

（4）假命题：不正确的命题称为假命题。

要说明一低点命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例，3、公理、定理公理：公认的真命题称为公理。

证明：演绎推理的过程称为证明。

定理：经过证明的真命题称为定理。

4、本书认定的真命题：（1）、两点确定一条直线。

（2）、两点之间的距离最短。

（3）、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（4）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（5）、过直线外一点有且只有一条直线�_ 这条直线平行。

（6）、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

（7）、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

（8）、三边分别相等的两个三角形全等。

（9）、数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。

（10、）同角（等角）的补角相等。

同角（等角）的余角相等。

（11）、三角形的任意两边之和大于第三边。

（12）、对顶角相等。

5、平行线的判定;两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

（内错角相等，两直线平行）。

两条直线被第三条直线所载，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

八上第七章《平行线的证明》复习回顾一.基本概念（一）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是定义。

在表示定义的句子中常有“叫…，称为…，是…”等关键字眼。

（二）命题：判断一件事情的句子，叫做命题 1.它包含两层含义：①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； ②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断； 2. 每个命题都由条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。

3.命题有真命题、假命题、逆命题之分。

（三）公理：公认的真命题称为公理；公理是不需要经过推理证实的真命题。

（四）定理：经过证明的真命题称为定理；公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据。

（五）证明：推理的过程称为证明 例1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若直角三角形其中两边为3和4，则第三边为5B ．﹣1的立方根是它本身C ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D ．内错角相等 例2.下列四个命题中,真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截,内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2；③ 三角形的最大角不小于60°；④如果，＞02x 那么.0＞x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3.下列命题中，真命题的是( ) A. 同旁内角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 同位角相等，两直线平行 D. 直角三角形两个锐角互补 二.基本性质（一）平行线的性质与判定1.性质①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补； ④平行于同一直线的两直线平行； 2.判定①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行；④在同一平面内，不相交的两直线平行；（定义判别） ⑤平行于同一直线的两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；例4．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例5.如图,直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F,EG 平分∠BEF,AB ∥CD.若∠1=72°,则∠2的度数为（ ） A.54° B.59° C.72° D.108°例6.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为_________.例7.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作BC 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ，已知∠BED +∠CFD =240∘，则∠BDC =______． 例8.如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF =ED ，连CF ．(1)求证：CF//AB(2)若∠ABC =50∘，连接BE ，BE 平分∠ABC ，AC 平分∠BCF ，求∠A 的度数．练习：1.如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.2、如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 3.如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB .例5图32例6图第2题第1题CAB DE4.已知：如图，AB∥CD，∠BPF与∠CGE是一对内错角，PQ平分∠BPF，GH平分∠CGE．求证：PQ∥GH．5.如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C.求证：∠1=∠2.6．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，求∠FGB的度数7．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，求∠ECD的度数AB GD F CE132（二）复杂图形中平行线的构造和应用解题关键：遇到拐点处作已知平行线的平行线，然后根据同位角、内错角和同旁内角的关系求角的度数。

北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平行线的性质知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.321cba因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1、如图所示，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠EFG=50°，求∠DEG和∠BGM的大小．【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠EFC的度数，然后根据折叠的性质可知∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，继而可求得∠DEG和∠BGM的度数．【答案与解析】解：∵AD∥BC，∠EFG=50°，∴∠EFC=180°-∠EFG=130°，由折叠的性质可知，∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，∴∠DEG=100°，∴∠EGC=180°-100°=80°，则∠BGM=∠EGC=80°（对顶角相等）．【总结升华】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得出∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF．举一反三【变式】（2015•洛阳一模）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为度．【答案与解析】∵m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，∴∠BCD=25°．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=60°﹣25°=35°．∵l∥m，∴∠α=∠ACD=35°．故答案为：35．2、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．【思路点拨】本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．（1），（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．【答案与解析】解：（1）∠A+∠C+∠P=360；（2）∠A+∠C=∠P；（3）∠A+∠P=∠C；（4）∠C+∠P=∠A．说明理由（以第三个为例）：已知AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等及三角形的一个外角等于两不相邻内角之和，可得∠C=∠A+∠P．【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型．3、（2015•东莞）如图，已知AB∥CD，∠A=36°，∠C=120°，求∠F-∠E的大小．【思路点拨】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，可以求出∠AEG与∠HFC的度数，又EG∥FH，根据两直线平行，内错角相等，∠GEF=∠EFH，所以∠F-∠E=∠HFC-∠AEG．【答案与解析】解：过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，∴∠A=∠1，EG∥FH，∵∠A=36°，∴∠1=36°，∵AB∥CD，FH∥AB，∴FH∥CD，∴∠C+∠4=180°，∵∠C=120°，∴∠4=60°，∵EG∥FH，∴∠2=∠3，∴∠F-∠E=（∠3+∠4）-（∠1+∠2），=∠3+∠4-∠1-∠2，=∠4-∠1，=60°-36°=24°．【总结升华】本题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把∠F、∠E分成两个角是解题的突破口，也是关键．举一反三【变式】如图，已知且l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上，（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系（点P与A、B不重合）只要写出结论即可，不必证明．【答案】解：（1）∠1+∠2=∠3；理由：如图1，过点P作l1的平行线，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5，∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3；（2）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．理由：如图2，当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，∴∠1-∠2=∠3；当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．类型二、平行的性质与判定综合应用4、（2016春•玉州区期末）如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．∠1=∠2=35°（1）求∠GFC的度数：（2）求证：DM∥BC．【思路点拨】（1）由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG=∠1=35°，再根据角的和差关系可求∠GFC的度数；（2）根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC=∠EFC∴BD∥EF，∴∠EFG=∠1=35°，∴∠GFC=90°+35°=125°；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠CBD，∴∠1=∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD=∠AGF，∴MD∥GF，∴DM∥BC．【总结升华】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．举一反三【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，求证：∠ACB=∠DEB．【答案】证明：∵∠2+∠BDC=180°，∠1+∠2=180°，∴∠1=∠BDC，∴EF∥AB，∴∠DEF=∠BDE，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB=∠DEB．5、如图，已知：∠FED=∠AHD，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，且AQ平分∠FAC，求证：BD∥GE∥AH．【思路点拨】由同位角∠FED=∠AHD，推知AH∥GE，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得内错角∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行线的递进关系证得BD∥GE∥AH．【答案与解析】证明：∵∠FED=∠AHD，∴AH∥GE，∴∠GFA=∠FAH．∵∠GFA=40°，∴∠FAH=40°，∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ，∴∠FAQ=55°．又∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FAQ=55°，∵∠HAC=∠QAC+∠HAQ，∴∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，∴BD∥AH，∴BD∥GE∥AH．【总结升华】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．。