第2章 有导体时的静电场

第二章有导体时的静电场（一）要求1、掌握导体静电平衡的条件，了解导体表面的电荷分布，掌握平行板导体组场强及电势的计算2、掌握空腔内有电荷以及没有电荷时的电场特点，静电屏蔽效应。

3、了解孤立导体的电容，掌握电容器的电容及电容器的串、并联。

4、了解带电体系的静电能及电容器的静电能5、演示实验：（1）静电平衡的实验（2）静电屏蔽的实验（二）要点l、静电平衡（1）静电平衡（2）导体静电平衡问题的讨论方法（3）平行板导体组的场强和电势问题2、封闭金属壳内外的静电场（1）壳内空间的场（2）壳外空间的场3、电容器及其电容（1）孤立导体的电容（2）电容器及其电容（3）电容器及其联接4、带电体系的静电能（1）带电体系的静电能（2）电容器的静电能（三）难点1、静电平衡条件和电学性质2、静电屏蔽3、电容计算和电容储能。

第二章导体周围的静电场§2-1 导体的静电平衡条件一、静电平衡1、静电感应金属导体有大量自由电子作无规则的热运动。

导体内的电荷因外电场的作用而重新分布的现象叫静电感应。

由于静电感应而出现的电荷叫感应电荷。

导体B上有感应电荷2、静电平衡导体上的感应电荷和整个空间的电场都达到稳定分布的状态叫静电平衡。

静电平衡的必要条件是：其内部场强处处为零。

如果有非静电力，则必要条件改为导体内部可以移动的电荷所受的一切力的合力为零。

但本章不讨论有非静电力的情况。

静电平衡时有如下性质1：导体是等势体，导体的表面是等势面。

设在导体内取任意两点A 和B ，则它们之间的电位差为 ⎰⋅=-=B A B A AB l d E V V U因为在静电平衡条件下，其内部场强处处为零，所以A 和B 两点电势相等：0=AB U 。

2：在静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的表面上。

证明：反证法，设导体内有一未被抵消的净电荷0q ，000≠=⋅⎰εq S d E S 于是S 面上的E 不能处处为零，与静电平衡条件矛盾。

3：导体表面的场强分布静电平衡时，导体周围场强分布的特点是：导体表面附近的场强方向处处于表面垂直，大小于该处导体表面的电荷面密度成正比，关系式为00n E εσ=设导体表面外附近空间有一点P 处的场强为E ，该点附近表面上的电荷面密度为σ。

过P 作一圆柱面为高斯面，通过高斯面的电通量为⎰⋅S S d E =⎰SdS E θcos ，=⎰侧dS E θcos +⎰上dS E θcos ， ∆ +⎰下dS E θcos =0εσS S E ∆=∆， 0εσ=E ，00n E εσ= 导体 二、带电导体所受的静电力我们来计算导体表面一个小面元所受的力。

设S ∆是导体表面含P 点的小面元，σ是P 点的电荷面密度，则S ∆（作为一个电荷为S ∆σ的点带电体）所受到静电场力为S P E F ∆'=∆σ)(其中)(P E '是除S ∆外所有电荷在P 点贡献的场强。

设P 1点是从P 点出发沿导体表面法向稍作外移所到之点，则由前一节式：n e P P E 01)()(εσ=，可知P 1点的场强为n e P E 01)(εσ= 它又分解为两部分：S ∆σ在P 1点的场强)(1P E S ∆ ，和除S ∆σ外的电荷在P 1点的场强)(1P E ' ： )()()(1101P E P E e P E S n '+==∆εσ因为P 1点可任意靠近P ，对它而言可被视为均匀带电 无限大平面，所以n S e P E 012)(εσ=∆，代入前一式便得 n e P E 012)(εσ=' P 点是带电面上的点，场强在P 点有突变，但这是指总场强。

由于激发分场强E ' 的电荷已不含有S ∆的电荷，E ' 在P 点是连续的，既然连续，相距极近的点P 和P 1的E ' 就相同，所以n e P E P E 012)()(εσ='=' 代入式 S P E F ∆'=∆σ)( 中，可得到n e S F 022εσ∆=∆ 这就是导体表面任一面元的受力公式。

把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。

三：孤立导体形状对电荷分布的影响电荷在导体表面上的分布与导体表面形状和周围的带电体有关。

对于孤立的带电体来说，其表面的电荷面密度的大小于表面的曲率有关，表面曲率大的地方大。

即导体表面凸出且尖锐的地方较大，表面平坦的地方较小，表面凹进去的地方更小。

如果带电体具有尖端，因为尖端的曲率特别大，电荷特别多，其附近的场强也特别大。

在强电场的作用下，尖端附近的空气容易被电离成正负离子，与尖端上的电荷同号的离子受到排斥而离开尖端，异号的离子受到吸引而趋向尖端，与尖端上的电荷中和，这等效于电荷从尖端放出，这就是尖端放电。

在高压电力线路中，尖端放电白白消耗了电能，要尽量避免。

高压设备的电极做成光滑的球形，就是为了防止尖端放电。

尖端放电也有可用的一面，静电加速器、感应起电机的喷电针尖和集电针尖都是应用的例子，避雷针也是利用尖端放电原理来防止雷击对建筑物的破坏。

避雷针实际上是“引雷针”，它是将天空中雷电流引向自己，而保护周围的人和物不受雷电打击。

四：导体静电平衡问题的讨论方法对于静电问题，正确的讨论必须遵从静电学的两个基本规律（高斯定理和环路定理），而应用它们往往涉及过多的数学知识，人们创造了许多非常巧妙的解题技巧，如电像法，复变函数法，以及工程中的图解法，但适用范围不广泛，并同样要有较好的数学知识，这些方法不是本书介绍的范围，而是电动力学的内容。

本小节利用高斯定理和环路定理和电场线这一形象工具定性讨论几个静电平衡问题。

例1 ：在图中的静电感应现象中，A是带正电q 的点电荷，B是中性导体，试证B左端的感生负电荷绝对值q '小于或等于施感电荷q 。

解：由电场线性质1知，导体B 左端的负电荷处一定有电场线终止，来源有三种：A 上的正电荷，B 右端的正电荷，无限远。

但可以用反证法排除后面两种可能性。

如B 左端的电场线来自于B 右端，则由于沿电场线电势降落，这与导体在静电平衡时是等势体有矛盾。

如果止于B 左端的电场线来自无限远，就会得出B V V >∞，而B 右端的正电荷发出的电场线也是止于无限远，又会得出∞>V V B ，与B V V >∞有矛盾。

因此可以肯定止于B 左端的电场线全部发自A 正电荷。

再根据电场线性质1的定量表述，止于B 左端的电场线条数正比于q '，发自A 的电场线条数正比于q ，而终止的条数只能小于或等于发出的条数，因此q q ≤'。

通常施感电荷发出的电场线有一些不终止于B 的左端，故往往有q q <'。

例2 中性封闭金属壳内有正点电荷，求壳内外感生电荷的数量。

解：由于壳内电荷发出的电场线只能止于内壁，由性质1的定量表述可知，内壁总电荷为q -，所以外壁总电荷为q 。

也可以用高斯定理求解，作如图中高斯面（虚线），由于内部场强为零， 0=⋅⎰S S d E。

因此 0=∑内i q ，故有内壁电荷为q -。

例3：把例1的导体B 接地，试证B 上不再有0>σ的点。

解： 导体B 。

设B 上某点竟有0>σ，则它所发出的电场线只能伸至无限远。

故有∞>V V B ，另一方面，B 接地。

导致地V V V B ==∞， 与∞>V V B 矛盾，命题得证。

五：平行板导体组例题例1：金属平板A 和B 的长宽对应相等 在真空中对齐平行放置，板间距比长宽小得多，分别让每板带A q 及B q 的电荷，求每板表面的电荷密度。

解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分布，在A 、B 板内分别取点M 和N ，A q S =+)(21σσ（1）B q S =+)(43σσ（2）0222204030201=---=εσεσεσεσM E （3） 2σ 3σ 0222204030201=-++=εσεσεσεσN E （4）04321=---σσσσ04321=-++σσσσ41σσ=32σσ-=S q A /21=+σσS q B /2143=-=+σσσσ41)2/()(σσ=+=S q q B A32)2/()(σσ-=-=S q q B A讨论：如果A B q q -=，则 041==σσ32/σσ-==S q A A qA q -导体板A 导体板B§2-2 封闭金属壳内外的静电场一：壳内空间的场（1）壳内无带电体当导体空腔内没有其它带电体，在静电平衡时，它具有如下静电性质（电荷、电场）：1、导体空腔内表面处处无电荷，电荷只分布在外表面上；2、腔外电荷（包括外表面的电荷和腔外带电体的电荷）在腔内产生的合场强为零，不影响腔内的电场分布。

导体空腔内无电场，腔内是等势区。

不论导体空腔是否带电，也不论导体空腔外是否有带电体，以上结论都是成立的。

也就是说，在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体空腔与实心体一样，内部没有电场。

这样，导体空腔可以"保护"它所包围的区域，使之不受外表面的电荷和腔外电场的影响。

（2）腔内有带电体当导体空腔内有其它带电体，在静电平衡时，它具有如下静电性质：1、导体空腔内表面带电，它所带的电荷与腔内带电体所带的电荷等量异号，代数和为零。

2、壳外电荷对壳内电场仍无影响，壳内电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定。

二：壳外空间的场（1） 壳外无带电体的情况壳外空间在壳外无带电体时仍然可能有电场。

壳内的带电体和它在内壁感生出的等量异号电荷在壳外空间激发的合场强为零，但壳外壁的感生电荷在壳外空间是激发有电场的。

但如果把金属壳接地，可以消除壳外电场。

（2） 壳外有带电体的情况此时即使球壳接地，壳外壁的电荷密度也并不一定处处为零。

接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电荷影响。

封闭导体空腔（不论接地与否）内部电场不受腔外电荷的影响，接地导体空腔外部电场不受腔内电荷的影响，这种现象称为静电屏蔽。

静电屏蔽现象在实际中都有重要的应用。

一个重要结论：设壳内空间的电荷为1q ，壳内壁电荷为2q （12q q -=），壳外壁电荷为3q （对中性壳有123q q q =-=），壳外空间的电荷为4q （不算外壁），则不论壳是否接地，21,q q 在壳内壁之外任一点的合场强为零，43,q q 在壳外壁之内任意一点合场强为零。

外壁的电荷都均匀分布三、静电加速器近代物理实验常常需要高速的粒子，用以加速粒子的装置叫做加速器。

静电加速器（又名范德格喇夫起电机）是加速器的一种。

它是利用静电高压加速带电粒子的装置。

可用以加速电子或质子。

1931年范德格拉夫首先研制成功。

它是通过输电带将喷电针电晕放电的电荷输送到一个绝缘的空心金属电极内，使之充电至高电压用以加速带电粒子。