立体几何试题

立体几何试题及解析第一题：求长方体的体积已知长方体的长为6cm，宽为4cm，高为3cm，求长方体的体积。

解析：长方体的体积公式为：体积 = 长 ×宽 ×高代入已知数据：体积 = 6cm × 4cm × 3cm = 72cm³所以长方体的体积为72立方厘米。

第二题：求正方体的表面积已知正方体的边长为5cm，求正方体的表面积。

解析：正方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长²代入已知数据：表面积 = 6 × (5cm)² = 6 × 25cm² = 150cm²所以正方体的表面积为150平方厘米。

第三题：求圆柱体的体积已知圆柱体的底面半径为2cm，高度为8cm，求圆柱体的体积。

解析：圆柱体的体积公式为：体积= π × 半径² ×高度代入已知数据：体积= 3.14 × (2cm)² × 8cm ≈ 100.48cm³所以圆柱体的体积约为100.48立方厘米。

第四题：求球体的表面积已知球体的半径为3cm，求球体的表面积。

解析：球体的表面积公式为：表面积= 4π × 半径²代入已知数据：表面积= 4 × 3.14 × (3cm)² ≈ 113.04cm²所以球体的表面积约为113.04平方厘米。

总结：在几何学中，立体几何是其中的一个重要部分。

通过对不同类型立体的题目进行解析，可以加深对其体积、表面积等概念的理解。

掌握了基本的立体几何公式和计算方法，能够更好地解决与立体几何相关的问题。

在实际生活中，立体几何的应用广泛，例如建筑、工程、制造等领域。

因此，对立体几何的学习和理解具有重要的意义。

立体几何专题一．选择题（共6小题）1．L一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．m3B．m3C．m3D．m32．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．64．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．24+πB．24﹣3πC．24﹣πD．24﹣2π6．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中的最大面积是（）A．6 B．8 C．2 D．3二．解答题（共10小题）7．如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=1，，∠ABC=60°．（1）证明AB⊥A1C；（2）求异面直线AB1和BC1所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣A1C﹣B的平面角的余弦值．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，G是CC1的中点．（I）求异面直线AE与A1C所成的角；（II）求证EG⊥A1C；（III）求二面角C﹣AG﹣E的正切值．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．10．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．12．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣EM﹣B1的余弦值．13．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．14．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．（I）求证：SO⊥面ABC；（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B﹣SC﹣E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．立体几何专题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．L一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．m3B．m3C．m3D．m3【解答】解：由三视图知几何体为两个大小相同的正四棱锥的组合体，∵正视图、侧视图均有一个角为60°的菱形，俯视图为边长为1m的正方形，∴正四棱锥的高是正视图、侧视图中边长为1m的正三角形的高（m），∴该几何体的体积V=2×=（m3），故选：C．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：C．3．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则三视图中圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由三视图可知：该几何体为球去掉，余下的几何体．设三视图中圆的半径为r，则=，解得r=2．故选：A．4．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．24+πB．24﹣3πC．24﹣πD．24﹣2π【解答】解：几何体为棱长为2的正方体挖去半径为2的球，所以几何体的表面积为：=24﹣π；故选：C．6．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中的最大面积是（）A．6 B．8 C．2 D．3【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选：A．二．解答题（共10小题）7．如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=1，，∠ABC=60°．（1）证明AB⊥A1C；（2）求异面直线AB1和BC1所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣A1C﹣B的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥ABC，∴AA1⊥AB，在△ABC中，AB=1，，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．且AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C⊂ACC1A，∴AB⊥A1C．解：（2）如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），，，，∴，，∴，∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（3）可取为平面AA 1C的法向量，设平面A 1BC的法向量为，则，又∵，，∴，不妨取y=1，则，因此有∴二面角A﹣A1C﹣B的平面角的余弦值为．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，G是CC1的中点．（I）求异面直线AE与A1C所成的角；（II）求证EG⊥A1C；（III）求二面角C﹣AG﹣E的正切值．【解答】解：（I）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，E1C1，则AE∥A1E1，所以∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA 1=2a，则，，.．在△A1E1C中，．所以异面直线AE与A1C所成的角为．（II）由（I）可知，A1E1⊥B1C1，又因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以A1E1⊥面BCC1B1，得A1E1⊥EG；又由△E1CC1与△GEC相似，得又由A1E1∩CE1=E1，所以EG⊥面A1E1C，EG⊥A1C．（III）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC．又由平面ABC⊥平面ACC1A1，所以EP⊥平面ACC1A1．∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角，由，得所以二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．（1）易得=（0，，1），=（0，2，﹣4）．于是cos＜，＞==．所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（﹣1，，4），=（﹣1，，0），于是=0，=0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，﹣1）．由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是10．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．11．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．12．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：EM∥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣EM﹣B1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥AB，BB1⊥BC，又∵AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1．…（1分）如图，以点B为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），B1（0，2，0），A（0，0，1），C1（1，2，0），A1（0，2，1）．…（3分）∵E，M分别是CC1，AB1的中点，∴E（1，1，0），M（0，1，），∴=（﹣1，0，）．平面ABC的法向量为=（0，2，0），∵•=0，∴⊥．又∵EM⊄平面ABC，∴EM∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）=（0，2，﹣1），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，1）．设=（x1，y1，z1）为面AEB1的法向量，则•=•=0，即取y1=1，则x1=1，z1=2，从而=（1，1，2），设直线A1E与平面AEB1所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，即直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值为．…（10分）（Ⅲ）=（1，1，0），=（0，1，）．设=（x2，y2，z2）为面BEM的法向量，则•=•=0，即取z2=2，则x2=1，y2=﹣1，从而=（1，﹣1，2），∴cos＜，＞==，由图形可知所求二面角的平面角为钝角，∴二面角B﹣EM﹣B1的余弦值为﹣．…（13分）13．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．14．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，1，0），O（，，0），P（，，1）…（2分）=（，，1），=（1，，0），，∴PA⊥BO．…（5分）（2）证明：=（，，1），=（，﹣1，0），设平面APB法向量为=（x0，y0，z0）可得，令x°=1，则=（1，，）…（7分）．=（，，0），，DO∥平面PAB…（9分）（3）=（，，1），=（，0，0）设平面DPC法向量为，可得，令y°=1，则=（0，1，）…（11分）．平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 (13)15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．（I）求证：SO⊥面ABC；（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B﹣SC﹣E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接SO，显然∴SO⊥BC，设SB=a，则SO=，AO=，SA=a∴SO2+OA2=SA2，∴SO⊥OA，又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．（Ⅱ）以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．则有O（0，0，0），，，，，∴∴，∴，∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为，（Ⅲ）假设存在E满足条件，设（0≤λ≤1），则，．设面SCE的法向量为=（x，y，z），由，得，．因为OA⊥面ABC，所以可取向量=（0，1，0）为面SBC的法向量．所以，，解得，．所以，当BE：BA=1：2时，二面角B﹣SC﹣E的余弦值为．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB ⊥AD∴AB⊥平面PAD，（2分）又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（3分）（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，（4分）如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，（6分）又平面ABCD的法向量为，（7分）设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（9分）（Ⅲ）设，，∴，（10分），∴=，（12分）即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．（13分）。

可编辑修改精选全文完整版立体几何一、选择题1．（20XX 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D2 2．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C 【答案】A3 3．（20XX 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A4 4．（20XX 年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1B ．2C ．2-12D ．2+12【答案】C5．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A．512πB ．3πC．4πD．6π【答案】B6．（20XX年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A．5603B．5803C．200D．240【答案】C7．（20XX年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,m n,那么m n+=（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A二、填空题8．（20XX年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.1D1BPD1CCEBA1A【答案】2559．（20XX 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2410．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-11．（20XX 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π12．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______AB C1A D EF1B 1C【答案】3π三、解答题13．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1 C 1 B 1A 1D C AB14．（20XX 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,113tan 6233BC CC BC C =⋅∠==从而2333ABC S BC ∆==因此该三棱柱的体积为1336183ABC V S AA ∆=⋅==15．（20XX 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））B 1 A 1C 1ACB如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF ∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF ∥平面ABC 同理:FG ∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SAB AF ⊥SB∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF ⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC ⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB ∴BC ⊥SA16．（20XX 年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=而1AD C ∆中,11AC DC AD ==故132AD C S ∆= AB CSGFE所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.17．（20XX 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD=由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角. 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角ACD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O -.CO BDEA CDOBE'A图1图2C DO BE'AH则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =- 由(Ⅰ)知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以3cos ,3n OA n OA n OA'⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.18．（20XX年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2, 求线段AM的长.6【答案】19．（20XX年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,12AB AA==(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BDOAABCDBDABCDOA⊥∴⊂⊥11,,面且面;又因为,在正方形AB CD 中,BDCAACACAACABDAACOABDAC⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且.在正方形AB CD中,AO = 1 . .111=∆OAOAART中，在OECAOCEAEDB1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD=⋂⊂⊂111111E.E,DDBBCA111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),10(),1(,0,1,0111-=⇒CABACB，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OCOBCAn设平面OCB1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅OCnOBnn).1-,1,0(法向量2=n为解得其中一个21221||||||,cos|cos212111=⋅=⋅=><=nnnnnnθ.所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为3π1A。

中职立体几何试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 空间中，下列说法正确的是（）。

A. 两条异面直线一定相交B. 两条异面直线一定平行C. 两条异面直线既不相交也不平行D. 两条异面直线可能相交也可能平行答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为（）。

A. abcB. ab+bc+acC. a+b+cD. a*b*c答案：A3. 一个球的半径为r，其表面积为（）。

A. 4πrB. 4πr²C. 2πrD. 2πr²答案：B4. 一个圆柱的底面半径为r，高为h，其体积为（）。

A. πr²hB. 2πrhC. πr²D. πrh答案：A5. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，其体积为（）。

A. πr²hB. 1/3πr²hC. 2πrhD. 1/2πr²h答案：B6. 一个棱锥的底面为正方形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. a²hB. 1/2a²hC. 1/3a²hD. 1/4a²h答案：C7. 一个棱柱的底面为矩形，长为a，宽为b，高为h，其体积为（）。

A. a*b*hB. 2ab*hC. 2a*b*hD. 2ab答案：A8. 一个棱锥的底面为三角形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/6a²h答案：B9. 一个棱柱的底面为三角形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/6a²h答案：B10. 一个棱锥的底面为正五边形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/5a²h答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则其体积为____cm³。

2024年数学七年级上册立体几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个图形是正方体？（）A. 长方体B. 正六面体C. 圆柱体D. 球体2. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，它的对角线长度是多少cm？（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 9cm3. 下列哪个图形的表面积最小？（）A. 正方体B. 长方体C. 球体D. 圆柱体4. 一个正方体的体积是64立方厘米，它的棱长是多少厘米？（）A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm5. 下列哪个图形有6个面？（）A. 三棱锥B. 四棱锥C. 圆锥D. 球体6. 一个圆柱的底面半径为3cm，高为5cm，它的侧面积是多少平方厘米？（）A. 45πcm²B. 54πcm²C. 75πcm²D. 90πcm²7. 下列哪个图形的体积最大？（）A. 长方体（长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm）B. 正方体（棱长为3cm）C. 球体（半径为2cm）D. 圆柱体（底面半径为2cm，高为3cm）8. 一个圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，它的体积是多少立方厘米？（）A. 48πcm³B. 64πcm³C. 72πcm³D. 96πcm³9. 下列哪个图形可以展开成一个长方形？（）A. 正方体B. 球体C. 圆锥D. 圆柱体10. 一个正方体的棱长为x，它的表面积是多少？（）A. 6x²B. 8x²C. 12x²D. 24x²二、判断题：1. 正方体的六个面都是正方形。

（）2. 圆柱体的底面和顶面都是圆形。

（）3. 球体的表面积和体积相等。

（）4. 长方体的对角线长度等于其长、宽、高的和。

（）5. 圆锥的体积等于底面积乘以高。

（）6. 正方体的体积是棱长的三次方。

（）7. 两个相同体积的正方体，它们的表面积也相同。

中班立体几何认知考试试题
题一：辨识图形
请观察以下图中所示的立体图形，并回答相关问题：
1. 图形A是哪种立体图形？
2. 图形B有几个面？
3. 图形C有几条棱？
题二：比较大小
请比较以下两个立体图形的大小，并回答相关问题：
1. 图形D和图形E哪个更大？
2. 图形F和图形G哪个体积更小？
题三：图形拼凑
请根据以下提示，找出合适的立体图形来拼凑，并回答相关问题：提示：使用一个圆柱体和一个长方体组合成一个新的立体图形。

1. 你用了哪两个图形进行拼凑？
2. 拼凑后的图形有几个面？
3. 拼凑后的图形有几个顶点？
题四：图案识别
请观察以下图案，并回答相关问题：
1. 图案H与图案I有何不同？
2. 你能发现图案J中的几何形状？
题五：立体图形描绘
请根据以下描述，画出相应的立体图形：
1. 描述：这个立体图形有六个面，每个面都是正方形。

2. 描述：这个立体图形有三个面，两个面是圆形，一个面是矩形。

以上就是中班立体几何认知考试的试题。

请根据题目要求回答问题，并在各题下方绘制对应的图形。

确保回答准确无误，并将试卷交给监
考老师。

祝你好运！。

（2020年新高考立体几何）20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD垂直底面ABCD。

设平面PAD与平面PBC的交线为L。

（1）证明：l垂直平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为L上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。

（2020年天津卷立体几何）17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1垂直平面ABC，AC垂直BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点。

（I）求证：C1M垂直B1D
(II) 求二面角B-B1E-D的正弦值
(III)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值
（2020年浙江卷立体几何）19.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD 垂直平面ABC，角ACB=角ACD=45度，DC=2BC。

（I）证明：EF垂直DB
(II)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值。

（2020年北京卷立体几何）16.如图，在正方体ABCD-A1B2C3D4中，E为BB1的中点。

（I）求证：BC1//平面AD1E;
(II)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。

高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。

解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。

答案：V = abc。

试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。

解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。

设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。

该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。

答案：三角形ABC的面积为√3。

试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。

解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。

答案：V = (1/3)πr²h。

试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。

解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。

答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。

试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。

解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。

答案：V = πr²h。

结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。

掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。

希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。

立体几何考察试题及答案一、选择题1. 若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内任意直线的关系是（）。

A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直答案：D2. 已知一个正四面体的棱长为a，求其体积。

A. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \)B. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{6} \)C. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{12} \)D. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \)答案：C二、填空题1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其对角线的长度为 \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)。

2. 一个球的半径为r，则其表面积为 \( 4\pi r^2 \)。

三、解答题1. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其体积。

解：圆锥的体积公式为 \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。

答：圆锥的体积为 \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。

2. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其侧面积。

解：圆柱的侧面积公式为 \( A = 2\pi rh \)。

答：圆柱的侧面积为 \( 2\pi rh \)。

四、证明题1. 证明：若直线l与平面α内的两条直线m和n都垂直，则直线l与平面α垂直。

证明：设直线m和n在平面α内的交点为O，由于直线l与m、n都垂直，根据直线与平面垂直的判定定理，直线l与平面α垂直。

答：直线l与平面α垂直。

2. 证明：若两个平面α和β的交线为l，直线m在平面α内且与l平行，直线n在平面β内且与l平行，则直线m与直线n平行。

证明：设直线m与直线n的交点为P，由于m在平面α内且与l平行，n在平面β内且与l平行，根据平面与平面平行的性质，直线m与直线n平行。

答：直线m与直线n平行。