正多边形

1.正多边形的各边相等，各角相等
2.正n边形有n条对称轴;
3.正n边形有一个外接圆,还有一个内切圆，它们是同心圆。

4.n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形;n是偶数时，既是轴对称，又是中心对称图形
教学目标
1.使学生理解并掌握正多边形有关计算的定理；
2.使学生掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长和面积的计算方法；
3.使学生掌握利用解直角三角形去解决正多边形有关计算的方法，培养和提高学生的分析问题和解决问题的能力；
4.通过例题的教学，训练学生把实际问题抽象为数学问题并能准确计算的能力.
教学重点和难点
把正多边形的有关计算转化为解直角三角形的思想方法和准确计算的能力.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.提问：什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角?怎样计算正n边形中心角的度数?
2.在Rt△ABC中，∠＝90°，写出三角形中边的关系、角的关系、边角关系.
3.正n边形的内角和等于多少?如何求出它的每一个内角?
根据正多边形的定义和多边形内角和定理，学生很容易得到正n(n≥3)边形的每个内角都等于：
4.作一个正五边形，作出它的半径、中心角和边心距，观察它们之间有何关系?(图7-248)
由图7-248，学生容易说出：正五边形的五条半径把正五边形分成全等的五个等腰三角形，每条边上的边心距又把一个等腰三角形分为两个全等的直角三角形，并且直角三角形的两个锐角分别为每个中心角和内角的一半.
5.若正多边形的边数为n时，它的边长、半径、中心角、边心距之间的关系如何呢?怎样做有关的计算?这就是我们这节课要学习的内容.(板书课题：正多边形的有关计算)
二、提出猜想，证明猜想，形成定理
1.提出猜想.
根据上面第4个问题，引导学生提出如下猜想：
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
2.证明猜想，形成定理.
引导学生作出正n边形的n条半径(如图7-249)易证明这些半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形.
再作正n边形的边心距，这些边心距都是相等的.因此得出这些边心距又把n个等腰三角形分成了2n个直角三角形，这些直角三角形也是全等的，于是可得定理.
定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
教师指出：根据上述定理，正n边形的有关计算就可转化为解直角三角形问题.
例如：若正n边形A1A2A3…A n的半径为R，由图7-250可知：
在Rt△OA2P中，OA2＝R，∠POA2＝.于是
边长a n＝2Rsin，
边心距r n＝Rcos，
周长P n＝2nRsin，
面积S n＝＝nR2sin·cos.
以上各式都可很快推导出来，不需要死记硬背.
三、应用举例，课堂练习
例1 已知正六边形ABCDEF的半径为R(图7-251)，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6.
引导学生作出△AOB及Rt△BOG，把问题转化为解Rt△BOG，学生完成解答已不困难.由学生口述，教师板书示范.
最后，教师指出：
(1)正六边形的边长等于它的半径，即a6＝R.这一结论很重要，要记住这个特性.
(2)通过例1可知，正n边形的面积S n＝P n r n.说明正多边形的面积公式与三角形的面积公式有类似之处.
练习1 已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.
说明：已知圆的半径为R，它的内接正三角形边长a3＝R，正方形的边长a4＝R，正六边形的边长a6＝R.这些结论经常用到，应当记住.
例2 在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形(课本图7-88)，测得这个正五边形的边长是48厘米，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1厘米).
引导学生从实际问题中抽象出几何图形，即把拨禾轮的侧面画成一个边长为48厘米的正五边形，作出相应的Rt△OAF(图7-252)，解这个直角三角形可得R5和r5.
学生自己完成解答过程.
例3 已知：正十边形的半径为R.
引导学生进行分析：证明，实质上就是已知半径为R，求圆内接正十边形的边长.学生很可能用前边推出的公式得出此结论虽然成立，但不符合题目要求，应重新考虑.
想到正十边形的中心角，联想到顶角为36°角的等腰三角形，如图7-253中，AB＝a10，OA＝OB ＝R.∠AOB＝36°，∠OAB＝∠OBA＝72°.若能作出∠OBA的平分线，便可得到两个相似三角形△OAB和△BAM，由此可得到a10与R的关系式.
证明：学生口述，教师板演.
教师提出：从此题的结论可以看出：，这是在第二册学过的黄金分割.黄金分割在建筑及工艺设计上应用十分广泛.
练习2 (投影打出)
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
练习3
用代数式表示边长为2a的正十边形的面积.
(引导学生利用例3的结论解题)
四、师生共同小结
提出问题，让学生自己小结.
1.本节定理的主要内容是什么?
2.怎样解决正多边形的有关计算问题?
3.学习了哪些主要的数学思想方法?
在学生回答的基础上，教师归纳总结：
1.正多边形有关计算的定理告诉我们，可以把正n边形分成2n个全等的直角三角形，并且把正多边形的各元素集中地反映在这些直角三角形中.
2.关于正多边形的有关计算问题可以转化为解直角三角形的问题来解决.
3.渗透了化归的思想.
五、布置作业
课本p.173习题7.6A组7，8，9，10，11题.
板书设计(略)
课堂教学设计说明
这份教案为两课时，教学内容的选择和板书安排可根据实际情况而定.
一、教学目的
1.要使学生理解、掌握正多边形有关计算的定理.
2.使学生熟练掌握正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长等几何元素的位置之间、数量之间的相依关系，并能从其中任一量求出其它各量来.
二、教学重点、难点
重点：把正多边形的有关计算转化为解直角三角形的思想方法与能力的培养.
难点：与正多边形有关的量较多，使学生理清头绪、辨准位置.
三、教学过程
复习提问
1.回忆正多边形的中心、半径、边心距、中心角的定义，中心角度数的计算方法.
2.写出Rt△ABC(∠C=90°)中边的关系、角的关系、边角关系.
引入新课
正多边形的有关计算在生活、生产实践中经常用到，上一堂已经讲了有关这方面运算的理论根据，这一堂就来学习这方面的计算知识、方法技巧.
新课
1.正n边形内角计算公式
根据正多边形定义和多边形内角和定理，学生很容易得到正n(n≥3)边形的每个内角都等于：
2.正多边形的计算定理
联系计算多边形内角和时所采用的方法：将多边形划分成若干个三角形，把所研究的问题转移到各个三角形中去.结合图形1，启发学生，要使正多边形的边长a n、半径R、边心距r、中心角αn这些量在一个三角形中所映出来，这样的三角形该怎样作出来呢？启发学生通过作正n边形的n条半径、各边的边心距就能把这n个全等的等腰三角形分成2n 个全等的直角三角形，于是就得到正n边形的计算定理.
定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
3.正n边形边长、半径、边心距、中心角等之间的关系
观察由定理得到的全等的直角三角形中，集中的反映了正多边形的诸元素之间的关系.因此可将正多边形的有关计算转化为解直角三角形.
例1已知正六边形ABCDEF的半径为R(如图2).求这个正六边形的边长a6，周长p6，面积S6.
引导学生作出△AOB及Rt△BOG，把问题归结到解Rt△BOG.至此学生完成解答已不困难.
在得出的结论中有几点需引起学生重视：
(1)a6=R，即正六边形边长等于它的半径.这个结论很有用，要记住.
(2)说明正多边形面积公式和三角形面积公式的类似性，因而便于记忆和直接运用.
(3)容易知道当正多边形边数n给定时，那么已知边长、半径、边心距、周长、面积中的任何一个量都可求出其它各量.
通过例题得到的结论，归纳概括为一般形式，便得出如下一些公式：
设正n过形的中心角、边长、半径、边心距、周长、面积分别分αn，a n，R，r n，p n，S n，则有
①关于部分与总体的关系式：
各等腰三角形面积的和
②关于直角三角形边角间的关系式：
小结
1.正多边形有关计算的定理告诉我们，可以把正n边形分成2n个全等的直角三角形，并且正多边形的各元素集中地反映在这些直角三角形中，这就给我们提供了正多边形有关计算的理论根据、方法思路：解直角三角形.
2.用已知圆半径R表示它的内接正三角形、正方形、正六边形各边长的式子，是解特殊的直角三角形经常用到的基础知识，应当记住.
练习：教材中相关练习题
作业：教材中相关作业题
四、教学注意问题
培养和提高学生把正多边形的有关计算转化为解直角三角形的能力.渗透化归思想.。