生活中的轴对称

一．选择题（共10小题）1．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，=，＜，＞，⊥，≌，△，∥，（）”中，轴对称图形的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．【解答】解：轴对称图形有：+，﹣，×，÷，=，＜，＞，⊥，△，（）共10个．故选B．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键．2．下列语句中，正确的有（）①两个能重合的图形一定关于某条直线对称；②角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；③两个图形成轴对称，则对称点一定在对称轴的两侧．④有两边和一角对应相等的两三角形全等．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的判定方法对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①两个能重合的图形一定关于某条直线对称，错误；②角是轴对称图形，对称轴是角的平分线，错误，应为对称轴是角平分线所在的直线；③两个图形成轴对称，则对称点一定在对称轴的两侧，错误，有可能在对称轴上．④有两边和一角对应相等的两三角形全等，错误，一角必须是这两边的夹角；综上所述，正确的结论是0个．故选A．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．3．点P是直线L上的一点，线段AB∥L，能使PA+PB取得最小值的点P的位置应满足的条件是（）A．点P为点A到直线L的垂线的垂足B．点P为点B到直线L的垂线的垂足C．PB=PAD．PB=AB【分析】作点A关于直线l的对称点A′，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B 与直线l的交点即为使PA+PB取得最小值的点P，根据轴对称的性质可得PA=PA′，根据等边对等角可得∠A′=∠PAA′，再根据等角的余角相等求出∠PAB=∠PBA，然后根据等角对等边解答．【解答】解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l的交点即为使PA+PB取得最小值的点P，由轴对称的性质得，PA=PA′，所以，∠A′=∠PAA′，∵线段AB∥L，AA′⊥直线L，∴AA′⊥AB，∴∠PA′A+∠PAB=90°，∠A′+∠B=90°，∴∠PAB=∠PBA，∴PA=PB．故选C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，平行线的性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键．4．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．5．（2017•嵊州市模拟）如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE．小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（）A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解．【解答】解：∵OD=OE，∴O点在线段DE的垂直平分线上，∵CD=CE，∴C点在线段DE的垂直平分线上，∴CO是线段DE的垂直平分线上，∴OC⊥l．故选：C．【点评】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的性质；这些基本内容要牢固掌握，灵活运用．思考问题要全面是正确解答本题的关键．6．（2013秋•腾冲县校级期末）已知等腰三角形的一个角为56°，则另外两个角的度数为（）A．56°、68°B．62°、62°C．68°、62°D．56°、68°或者62°、62°【分析】已知给出了一个内角是56°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【解答】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为56°时，另外两个内角=（180°﹣56°）÷2=62°；（2）若等腰三角形的底角为56°时，它的另外一个底角为56°，顶角为180°﹣56°﹣56°=68°．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．7．下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底角；④已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是（）A．①和②B．③和④C．②和④D．①和④【分析】本题问能不能确定一个等腰三角形，我们主要看给出同样条件的两个三角形是不是全等．根据这一标准可首先对这四个条件进行判断，再来确定选项．【解答】解：下列条件能不能确定一个等腰三角形，我们主要看给出同样条件的两个三角形是不是全等．∵①已知两腰，SS不能判定两个三角形全等，所以不能；②已知底边和顶角，AAS或ASA能判定两个三角形全等，所以能；③已知顶角与底角，AAA不能判定两个三角形全等，所以不能；④已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形全等，所以可以．故选C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定；把能不能确定一个等腰三角形转化为同样条件的两个三角形是不是全等是正确解答本题的关键．8．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，已知BC=20，AB=18，AC=16，则△ADE的周长是（）A．30 B．32 C．34 D．36【分析】根据DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，可得：∠DBF=∠FBC=∠DFB，进而得出DF=DB，同理得出EF=EC，所以△ADE的周长为AB+AC，然后根据AB 和AC的长度即可求出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠BFD=∠FBC，∠EFC=∠BCF，∵FC分别平分∠B和∠C，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∴∠BFD=∠DBF，∠EFC=∠ECF，∴DF=DB，EF=EC，∵△ADE的周长=AD+AE+DE，DE=DF+EF，∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC，∵AB=18，AC=16，∴△ADE的周长=34．故选C．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB，EF=EC，然后进行正确的等量代换求出∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC．9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E，∠B=∠BAE，若BC=5，AC=3，则AD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】由已知条件判定△AEC的等腰三角形，且AC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求AD=AE=BE=（BC﹣CE）．【解答】解：∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，∴AC=CE．又∵∠B=∠BAE，∴AE=BE．∴BD=AE=BE=（BC﹣AC）．∵BC=5，AC=3，∴AD=（5﹣3）=1．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．10．（2010秋•庄浪县校级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以证得：∠OBD=∠BOD，则依据等角对等边可以证得OD=BD，同理，OE=EC，即可证得BC=C从而求解．△ODE【解答】解：∵BO是∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠OBD，∵OD∥AB，∴∠ABO=∠BOD，∴∠OBD=∠BOD，∴OD=BD，同理，OE=EC，BC=BD+DE+EC=OD+DE+OE=C△ODE=10cm．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质，以及等腰三角形的判定方法，正确证得OD=BD 是关键．二．填空题（共8小题）11．已知a、b、c为三角形三边长，且|a﹣b|+（3a﹣2b﹣c）2=0，则这个三角形的形状为等边三角形，它有三条对称轴．【分析】根据非负数的和等于零，可得a、b、c，根据对称轴的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得a﹣b=0，3a﹣2b﹣c=0．解得a=b=c，这个三角形的形状为等边三角形，它有三条对称轴，故答案为：等边三角形，三．【点评】本题考查了轴对称图形，利用非负数的和等于零得出a、b、c是解题关键．12．（2017•济宁模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C=95度．【分析】根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR和∠CRP，再根据三角形内角和定理即可求出∠C．【解答】解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=∠B=×120°=60°，∠CRP=∠D=×50°=25°；∴∠C=180°﹣25°﹣60°=95°；∠C=95度；故应填95．【点评】折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键．13．（2017•广水市校级模拟）如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=7cm．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，进行等量代换后可得答案．【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线∴DA=DB∵△ACD的周长为7cm∴AD+AC+CD=AC+BC=7．故填7．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；利用垂直平分线的性质后进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．14．（2016•山西模拟）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有5个．【分析】由已知条件，分别AB为腰找等腰三角形和AB为底找等腰三角形．【解答】解：画出图形得：故答案为：5【点评】本题考查等腰三角形的判定；分类讨论的应用是正确解答本题的关键，要注意仔细找不要遗漏．15．（2017•江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=75度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A=（180°﹣30°）=75°，故答案为：75．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．16．（2016秋•乐亭县期末）如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=或10s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上．【解答】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t解得t=；当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图2所示：∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴当PO=QO时，2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：或10．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．17．如图所示，AB=AC，CD既为△CEB边BE上的中线，又为BE边上的高，∠DEC=70°，则∠ACE=30°．【分析】根据线段垂直平分线性质得出CE=BC，推出∠B=∠DEC=70°，求出∠ACB 和∠ECB，代入∠ACE=∠ACB﹣∠ECB求出即可．【解答】解：∵CD既为△CEB边BE上的中线，又为BE边上的高，∴CE=BC，∴∠B=∠DEC，∵∠DEC=70°，∴∠B=70°，∴∠ECB=180°﹣70°﹣70°=40°，∵AC=AB，∴∠ACB=∠B=70°，∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=70°﹣40°=30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．18．如图，△ABC的面积为2cm2，AP与∠B的平分线垂直，垂足是点P，则△PBC的面积为1cm2．【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，∴AP=QP，∴S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC，∴S阴影=S△ABC=1cm2，故答案为：1．【点评】本题主要考查垂直平分线的定义及三角形的面积，由条件得出阴影部分面积为△ABC的一半是解题的关键．三．解答题（共4小题）19．（2017春•栾城区期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（3，0）（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△DEF．（2）分别写出D、E、F三点的坐标．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）补充成网格结构，然后找出点A、B、C关于y轴的对称点D、E、F 的位置，再顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点D、E、F的坐标即可；（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为△ABC关于y轴对称的图形；（2）D（﹣1，1）、E（﹣2，﹣1）、F（﹣3，0）；（3）△ABC的面积=2×2﹣×2×1﹣×1×1﹣×2×1=4﹣1﹣0.5﹣1=4﹣2.5=1.5．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，补充成网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．20．（2017春•郓城县期末）如图，已知∠BAC=60°，∠B=80°，DE垂直平分AC 交BC于点D，交AC于E．（1）求∠BAD的度数；（2）若AB=10，BC=12，求△ABD的周长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可；（2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算．【解答】解：（1）∵∠BAC=60°，∠B=80°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣60°﹣80°=40°，∵DE垂直平分AC∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=40°，∴∠BAD=60°﹣40°=20°；（2）由（1）知DA=DC∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=10+12=22．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．【分析】先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合ASA易证△ABP≌△AEP，从而有BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，易求BE=4，AE=5，那么CE=4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC=∠C，结合三角形外角性质可证∠ABE=2∠C，也就易得∠BAC=3∠C．【解答】证明：延长BP，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE，又∵AP=AP，∴△ABP≌△AEP，∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，∴BE=BP+PE=4，AE=AB=5，∴CE=AC﹣AE=9﹣5=4，∴CE=BE，∴△BCE是等腰三角形，∴∠EBC=∠C，又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，∴∠ABE=2∠C，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证△BCE是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，证明：（1）△AED是等腰三角形，（2）△BED是等腰三角形．【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定证明即可；（2）证明∠EAD=∠EDA，此为解题的关键性结论；证明∠EAD=∠EDA，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE，∴∠ADE=∠EAD，∴AE=ED，∴△AED是等腰三角形；（2）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．。