正态分布2

表示式是 f ( x)
1
2
e
x2 2
,
x
R
,相应的曲线称为标准正态曲线.
2.正态曲线具有的性质：
(1)对x的任意取值，都有 f (x) 0
(2) f ( x) f ( x) f (x)max f ()
(3)当x 时，f (x)递增；当 x 时，f (x)递减
(4)当一定时， 决定曲线形状
P( a
a)
(
2a00 )
(
a 200
)
2
(
a 200
)
1
0.95
(
a 200
)
0.975
查表知： a
200
1.96
a
392
答: （1）3.98%；（2） a至少为392。
果要使此县农民年平均收入在(μ-a，μ+a)内的概率不少于0.95，
则a至少有多大？
解：设ξ表示此县农民年平均收入，则 ~ N (500,2002 )
(1)
P(500
520)
( 520200500)
(
500 500 200
)
(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398；
(2)
例2 某厂生产的圆柱形零件的外径ξ服从正态分布N(4,0.25)，质 检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外 直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解: 由已知ξ服从正态分布N(4,0.25)．由正态分布的性质可知， 正态分布N(4,0.25)在(4-3×0.5，4+3×0.5) 即 (2.5，5.5) 之外取值的概率只有0.003，
0.8413；
(2)
P(
0)
(
0
2
1)
(0.5)
1
(0.5)
1 0.6915 0.3085；
(3) P(2 2) P( 2) P( 2)
(
2
2
1
)
(
2 2
1
)
(0.5)
(1.5)
(0.5) [1(1.5()1.51)] 0.6915 0.93321 0.6247；
(4)
P(
因 此 ， 在 这 种 情 况 下 应走 第 一 条 路 线.
例5（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生 的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上（含 90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的 分数线约为多少分？
一 般 地 ， 发 生 的 概 率 小 于 5% 的 事 件 ， 我 们 称 为 小 概 率 事 件．因为这些事件在大量重复实验中，平均每实验20次才发生1 次，所以认为在1次试验中该事件是几乎不可能发生的．以此为出发 点，我们有了生产过程质量控制的假设检验的基本思想．
说明：⑴假设总体应该是或近似地服从正态分布，然后依照小概率 事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对实验结果进行分析：
P(ξ ≥x)
＝1－P(ξ<x)
=
1－F(x)
1
(
x
70 10
)
50 526
＝0.0951.
即
(
x
70 10
)
0.9049，
查表得
x
70 10
1.31，
解得 x ＝ 83.1.
故设奖得分数线约为83.1分.
作业： 活页作业
练习1. 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案 的利润X（万元）分布服从正态分布N（8，32）和 N（6，22）投资 者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择 哪一个方案？
≈526（人）.
例5（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生 的竞赛成绩近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上（含 90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的 分数线约为多少分？
解：（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则
F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)
=Φ(1)-[1-Φ(1)] =2Φ(1)-1
=2×0.8413-1≈0.683；
同理，正态总体N(μ，σ2)在(μ-2σ，μ+2σ) 内的取值概率是 F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2) ≈ 0.954；
正态总体N(μ，σ2)在(μ-3σ，μ+3σ) 内的取值概率是
解 ： 设为 行 车 时 间
（1）走第 一条 路线 ，及时赶到 的概 率为 ：
P（0
70）
（70 50）（0
10
50） 10
（70 50） （2） 0.9722
10
走第二条路线，及时赶到的概率为：
P（0 70） （70 60）（0 60）
4
4
（70
4
60）
（2.5）
0.9938
2)
1
P(
2)
1
(
2
2
1)
1 (0.5)
1 0.6915 0.3085 .
例1. 分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ)、
(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率.
解：
F(
)
[(
)
]
(1),
F(
)
[(
)
]
(1),
所以正态总体N(μ，σ2)在(μ-σ，μ+σ) 内的取值概率是
解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ， 因为 ξ～N(70，100)，
由条件知，P(ξ ≥90)
＝1－P(ξ<90)
=
1－F(90)
1
(
90 70 10
)
1 (2) ＝1－0.9772 ＝0.0228.
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参
赛人数的2.28％，
因此参赛总人数约为
12 0.0228
而 5.7 (2.5，5.5)，
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，
据此可以认为该批零件是不合格的.
例3 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h），已知 （1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为 问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？
ξ～N 99.7％，
解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，由正态分布的性质可知，
故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％， 即在（910，1090）内取值的概率为99.7％， 故灯泡的最低使用寿命应控制在 910 h 以上。
例4. 某人从城市南郊某地乘公共汽车前往 北郊火车站有两条路线可走，第一条路线 穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时 间（单位：分）服从正态分布N（50，102）； 第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少， 所需时间服从正态分布N（60，42） （1）若只有70分钟可用，问应走哪条路？ （2）若只有65分钟可用，又应走哪条路？
解：对第一种方案有X ~ N（8，32），于是
P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 8） 3
1 （1） （1） 0.8413
对第二种方案有X ~ N（6，22），于是
P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 6） 3
1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
选第一种方案.
2. 某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布。（1） 求此县农民年平均收入在500~520元间人数的百分比； （2）如
F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-Φ(-3) ≈ 0.997 .
上述计算结果可用下表和图来表示.
我们从上表看到，正态总体在(μ-2σ，μ+2σ)以外取值的概率只 有4.6%，在(μ-3σ，μ+3σ)外取值的概率只有0.3%，这些概率值很小，
我们通常认为在1次试验中几乎不可能发生．
5. 假设检验方法的基本思想
在 这 种 情 况 下 应 走 第 二条 路 线.
(2).走 第 一 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P（0 65） （65 50）
10
（1.5） 0.9332
走 第 二 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P（0
65）
（65
4
60）
（1.25） 0.8944.
3.关于标准正态分布的计算
N (0,12 ) 记函数(x0 ) P(x x0 )
则P(x1 x x2 ) (x2 ) (x1) 当x0 0时，(x0 ) 1 (－x0 )
4. 正态总体向标准正态总体的转化
标准正态分布的计算 函数F (x) P(x x0 )
一般正态分布的计算
x F(x)=Φ( )．
在区间(x1 , x2)内取值的概率是：
F ( x2 ) F ( x1 )
(
x2
)
(
Байду номын сангаас
x1
)
.
练习1：
练习2 若～N(1,4)求:
(1)P(<3); (2)P(<0); (3)P(-22); (4)P(>2).
解： 由N(1,4)知，μ= 1,σ=2 .
(1)
P(
3)
(
3
2
1
)
(1)
正 态 分 布(2)
知识回顾：
1. 正态函数的定义 若总体密度曲线就是或近似函数