【人教版】2020届九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆练习(新版)湘教版

2.4 过不共线三点作圆一、选择题1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )A．40° B．80° C．120° D．160°2．下列说法错误的是( )A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心3．下列命题中正确的有( )①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A．2 3 cm B．4 3 cmC．6 3cm D．8 3 cm6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内7．2017·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在( )图K －15－1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题8．在联欢晚会上，有A ，B ，C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC 的三条________线的交点最适当. 9．若AB ＝4 cm ，则过点A ，B 且半径为3 cm 的圆有________个．10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________． 12．如图K －15－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为________．图K －15－213．2017·宁夏如图K －15－3，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过点A ，B ，C的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为________．图K －15－3三、解答题14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K－15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．图K－15－415．如图K－15－5所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，BC＝12 cm，求它的外接圆的直径．图K－15－5 16．2017·临沂如图K－15－6，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．图K－15－617．如图K －15－7，四边形ABCD 为圆内接四边形，对角线AC ，BD 交于点E ，延长DA ，CB交于点F ，且∠CAD ＝60°，DC ＝DE . 求证：(1)AB ＝AF ；(2)点A 为△BEF 的外心(即△BEF 外接圆的圆心)．图K －15－7素养提升联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心(如图K －15－8①)． (1)如图②，CD 为等边三角形ABC 的边AB 上的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB的度数；(2)如图③，若△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，准外心P 在AC 边上，试求PA 的长．图K －15－8参考答案1．[解析] D ∵O 为△ABC 的外心，∠A ＝80°，∴∠BOC ＝2∠A ＝160°.故选D .2．[解析] B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等． 3．[解析] B ①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形． 4．B 5.B6．[解析] D ∵A ，B ，C 是平面上的三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，∴AB ＋BC ＝AC ，∴可以画一个圆，使点A ，C 在圆上，点B 在圆内． 7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)， ∴△ABC 的外心在直线x ＝12上．∵∠BAC ＝100°，∴△ABC 的外心在三角形的外部， ∴△ABC 的外心在第四象限． 8．垂直平分9．[答案] 2[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，3 cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以3 cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求圆． 10．511．[答案] 0.5[解析] 如图，连接OC.∵△ABC 是圆的内接正三角形，∴∠OCD ＝30°. 又∵OD ⊥BC ，OC ＝1， ∴OD ＝12OC ＝0.5.12．[答案] 4π[解析] ∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD 垂直平分BC.∵分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，∴EF 垂直平分AC.∵直线EF 与AD 相交于点O ， ∴点O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴AO 为△ABC 外接圆的半径， ∴△ABC 的外接圆的面积为4π. 13．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，AC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 长为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆． 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.14．解：连接AB ，AC ，分别作AB ，AC 的垂直平分线MN ，FD ，交点G 即为运动员公寓所建立的位置．图略．15．解：如图，过点A 作直径AD ，交BC 于点E ，连接OC.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AD 垂直平分BC ， ∴EC ＝12BC ＝6 cm .∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAC ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°.在Rt △OEC 中，sin ∠EOC ＝ECOC ，∴OC ＝632＝4 3(cm )，∴它的外接圆的直径为8 3 cm .16．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，AD 平分∠BAC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∠BAE ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴∠DBC ＝∠BAE.∵∠DBE ＝∠CBE ＋∠DBC ，∠DEB ＝∠ABE ＋∠BAE ， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DE ＝DB.(2)连接CD ，如图所示．由(1)得BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝4. ∵∠BAC ＝90°， ∴BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝4 2，∴△ABC 外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.17．证明：(1)因为DC ＝DE ， 所以∠DEC ＝∠ACD ，则∠ABF ＝∠ADC ＝120°－∠ACD ＝120°－∠DEC ＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE ，而∠F ＝60°－∠ACF. 因为∠ACF ＝∠ADE ，所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF. (2)四边形ABCD 内接于⊙O ， 所以∠ABD ＝∠ACD.又DE ＝DC ，所以∠ACD ＝∠DEC ＝∠AEB ， 所以∠ABD ＝∠AEB ，所以AB ＝AE. 又因为AB ＝AF ，所以AB ＝AF ＝AE ， 即点A 是△BEF 的外心． [素养提升]解：(1)①若PB ＝PC ，连接PB ， 则∠PCB ＝∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°， ∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°， ∴PD ＝33DB ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，则∠PCA ＝∠PAC. ∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCA ＝30°， ∴∠PAD ＝∠PAC ＝30°， ∴PD ＝33DA ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PA ≠PC.③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ，∴∠BPD ＝45°，故∠APB ＝90°. (2)①若PB ＝PA ，设PA ＝x. ∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5， ∴AC ＝12，则CP ＝12－x ， ∴x 2＝(12－x)2＋52， 解得x ＝16924，即PA ＝16924.②若PA ＝PC ，则PA ＝6.③若PC ＝PB ，由图知，在Rt △PBC 中，不可能存在此种情况． 综上所述，PA ＝16924或PA ＝6.。

2.4 过不共线三点作圆基础题知识点1 过不共线三点作圆1．下列条件中，可以画出唯一一个圆的是(C)A．已知圆心B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点D．已知直径2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是(B)A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块3．(教材P63练习T2变式)某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．(不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹)解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点即为圆心．知识点2 三角形的外接圆、外心4．三角形的外心是(B)A．三角形三角平分线交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是(B)A．40°B．50°C．60°D．100°6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是(A)A．5 B．4 C．3 D．27．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A．(2，3)B．(3，2)C．(1，3)D．(3，1)8．如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？解：画图略，由作图可知：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心是斜边上的中点，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部．易错点 概念不清9．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中正确的是②．(填序号) 中档题10．(内江中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为(C) A. 3B ．3C ．2 3D ．411．(2017·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为5.若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为(D) A ．5B.532C ．5 2D ．5 312．(2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BC ＝5 cm ，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸313．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．(1)点A ，B ，C 能确定一个圆吗？说明理由；(2)如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置； (3)写出圆心P 的坐标，并求出⊙P 的半径．解：(1)点A ，B ，C 能确定一个圆，理由是点A ，B ，C 不在同一条直线上． (2)如图．(3)由AB 的垂直平分线，BC 的垂直平分线的交点，得圆心P 的坐标是(2，0)． 半径的长为42＋22＝2 5.14．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)略．(2)∵∠BAC＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米， ∴BC＝10米，△ABC 外接圆的半径为5米． ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 综合题15．阅读材料，解答问题：命题：如图1，在锐角△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的外接圆半径为R ，则a sinA ＝bsinB ＝csinC＝2R.证明：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接DB ，则∠D＝∠A.∵C D 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.在Rt△DBC 中，sin∠D＝BC DC ＝a 2R ，所以sinA ＝a 2R ，即a sinA ＝2R ，同理，b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R ，asinA ＝b sinB ＝csinC＝2R. 请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题： (1)前面阅读材料中省略了“b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R”的证明过程，请你把“b sinB＝2R”的证明过程补写出来；(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题，如图2，已知在锐角△ABC 中，BC ＝3，CA ＝2，∠A＝60°，求△ABC 的外接圆半径R 及∠C.图1 图2解：(1)证明：连接AD ，则∠ABC＝∠ADC. ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC＝90°.在Rt△DAC 中，sin∠ADC＝AC DC ＝b2R .∴sin∠ABC＝b 2R ，即bsinB ＝2R.(2)由命题结论知，BC sinA ＝ACsinB ，∴3sin60°＝2sinB.∴sinB＝22. ∵BC＞CA ，∴∠A＞∠B.∴∠B＝45°.∴∠C＝75°. 由3sin60°＝2R ，得R ＝1.中小学教案、试题、试卷精品资料。

2.4 过不共线三点作圆一、选择题1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )A．40°B．80°C．120°D．160°2．下列说法错误的是链接听课例2归纳总结( )A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心3．下列命题中正确的有( )①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A．2 3 cm B．4 3 cmC．6 3cm D．8 3 cm6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内7．xx·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a ＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在( )图K－15－1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题8．在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC 的三条________线的交点最适当.9．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有________个．10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________．12．如图K －15－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA＝2，则△ABC 的外接圆的面积为________．13．xx·宁夏如图K －15－3，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过点A ，B ，C的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为________．图K －15－3三、解答题14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K －15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．图K －15－415．如图K －15－5所示，等腰三角形ABC 的顶角∠A ＝120°，BC ＝12 cm ，求它的外接圆的直径．图K －15－516．xx·临沂如图K －15－6，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．图K－15－6 17．如图K－15－7，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.求证：(1)AB＝AF；(2)点A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心)．图K－15－7素养提升联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心(如图K －15－8①)． (1)如图②，CD 为等边三角形ABC 的边AB 上的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数；(2)如图③，若△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，准外心P 在AC 边上，试求PA 的长．图K －15－81．[解析] D ∵O 为△ABC 的外心，∠A ＝80°，∴∠BOC ＝2∠A ＝160°.故选D .2．[解析] B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等． 3．[解析] B ①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形． 4．B 5.B6．[解析] D ∵A ，B ，C 是平面上的三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，∴AB ＋BC ＝AC ，∴可以画一个圆，使点A ，C 在圆上，点B 在圆内． 7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)， ∴△ABC 的外心在直线x ＝12上．∵∠BAC ＝100°，∴△ABC 的外心在三角形的外部， ∴△ABC 的外心在第四象限．8．垂直平分9．[答案] 2[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，3 cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以3 cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求圆． 10．511．[答案] 0.5[解析] 如图，连接OC.∵△ABC 是圆的内接正三角形，∴∠OCD ＝30°. 又∵OD ⊥BC ，OC ＝1， ∴OD ＝12OC ＝0.5.12．[答案] 4π[解析] ∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD 垂直平分BC.∵分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，∴EF 垂直平分AC.∵直线EF 与AD 相交于点O ， ∴点O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴AO 为△ABC 外接圆的半径， ∴△ABC 的外接圆的面积为4π. 13．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，AC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 长为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆． 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点．故答案为5.14．解：连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线MN，FD，交点G即为运动员公寓所建立的位置．图略．15．解：如图，过点A 作直径AD ，交BC 于点E ，连接OC.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AD 垂直平分BC ， ∴EC ＝12BC ＝6 cm .∵∠BAC ＝120°， ∴∠OAC ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°.在Rt △OEC 中，sin ∠EOC ＝EC OC， ∴OC ＝632＝4 3(cm )，∴它的外接圆的直径为8 3 cm .16．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，AD 平分∠BAC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∠BAE ＝∠CAD ，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DBC ＝∠BAE.∵∠DBE ＝∠CBE ＋∠DBC ，∠DEB ＝∠ABE ＋∠BAE ， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DE ＝DB.(2)连接CD ，如图所示． 由(1)得BD ︵＝CD ︵，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC ＝90°，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝4 2，∴△ABC 外接圆的半径＝12×4 2＝2 2. 17．证明：(1)因为DC ＝DE ，所以∠DEC ＝∠ACD ，则∠ABF ＝∠ADC ＝120°－∠ACD ＝120°－∠DEC ＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE ，而∠F ＝60°－∠ACF.因为∠ACF ＝∠ADE ，所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF.(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ABD ＝∠ACD.又DE ＝DC ，所以∠ACD ＝∠DEC ＝∠AEB ，所以∠ABD ＝∠AEB ，所以AB ＝AE.又因为AB ＝AF ，所以AB ＝AF ＝AE ，即点A 是△BEF 的外心．[素养提升]解：(1)①若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB ＝∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°，∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°，∴PD ＝33DB ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾， ∴PB ≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，则∠PCA ＝∠PAC.∵CD 为等边三角形ABC 的高，∴AD ＝BD ，∠PCA ＝30°，∴∠PAD ＝∠PAC ＝30°，∴PD ＝33DA ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾， ∴PA ≠PC.③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ， ∴∠BPD ＝45°，故∠APB ＝90°.(2)①若PB ＝PA ，设PA ＝x.∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，∴AC ＝12，则CP ＝12－x ，∴x 2＝(12－x)2＋52，解得x ＝16924，即PA ＝16924. ②若PA ＝PC ，则PA ＝6.③若PC ＝PB ，由图知，在Rt △PBC 中，不可能存在此种情况．综上所述，PA ＝16924或PA ＝6. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

2.4 过不共线三点作圆一、选择题1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )A．40° B．80° C．120° D．160°2．下列说法错误的是链接听课例2归纳总结( )A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心3而A．4AC5A．C．6．A，AB.C.D.7中aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题8．在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC的三条________线的交点最适当.9．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有________个．10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________．12．如图K －15－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为________．图K －15－213，C1415图K －15－516．2017·临沂如图K －15－6，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E .(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．图K－15－617．如图K－15－7，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB 交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.求证：(1)AB＝AF；(2)点A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心)．图K－15－7 素养提升联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心(如图K －15－8①)． (1)如图②，CD 为等边三角形ABC 的边AB 上的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB的度数；(2)如图③，若△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，准外心P 在AC 边上，试求PA 的长．1．[2．[3．[4．B 6．[画一个圆，使点A ，C 在圆上，点B 在圆内． 7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)， ∴△ABC 的外心在直线x ＝12上．∵∠BAC ＝100°，∴△ABC 的外心在三角形的外部， ∴△ABC 的外心在第四象限． 8．垂直平分9．[答案] 2[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，3 cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以3 cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求圆． 10．511．[答案] 0.5[解析] 如图，连接OC.∵△ABC 是圆的内接正三角形，∴∠OCD ＝30°. 又∵OD ⊥BC ，OC ＝1， ∴OD ＝12OC ＝0.5.12．[答案] 4π[解析] ∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD 垂直平分BC.∵分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧分别交于点E ，F ，∴EF 垂直平分AC.∵直线EF 与AD 相交于点O ， ∴点O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴AO 为△ABC 外接圆的半径， ∴△ABC 的外接圆的面积为4π. 13．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，AC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 长为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆． 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.14．解：连接AB ，AC ，分别作AB ，AC 的垂直平分线MN ，FD ，交点G 即为运动员公寓所建立的位置．图略．15．解：如图，过点A 作直径AD ，交BC 于点E ，连接OC.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴∴在∴16∴∴(2)连接CD ，如图所示． 由(1)得BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝4. ∵∠BAC ＝90°， ∴BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝4 2，∴△ABC 外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.17．证明：(1)因为DC ＝DE ， 所以∠DEC ＝∠ACD ，则∠ABF ＝∠ADC ＝120°－∠ACD ＝120°－∠DEC ＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE ，而∠F ＝60°－∠ACF. 因为∠ACF ＝∠ADE ，所以∠ABF ＝∠F ，所以AB ＝AF.(2)四边形ABCD 内接于⊙O ， 所以∠ABD ＝∠ACD.又DE ＝DC ，所以∠ACD ＝∠DEC ＝∠AEB ， 所以∠ABD ＝∠AEB ，所以AB ＝AE. 又因为AB ＝AF ，所以AB ＝AF ＝AE ， 即点A 是△BEF 的外心． [素养提升]解：(1)①若PB ＝PC ，连接PB ， 则∠PCB ＝∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°， ∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°， ∴PD ＝33DB ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，则∠PCA ＝∠PAC. ∵CD 为等边三角形ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠PCA ＝30°， ∴∠PAD ＝∠PAC ＝30°， ∴PD ＝33DA ＝36AB. 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PA ≠PC.③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ，∴∠BPD ＝45°，故∠APB ＝90°. (2)①若PB ＝PA ，设PA ＝x. ∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5， ∴AC ＝12，则CP ＝12－x ，∴x 2＝(12－x)2＋52， 解得x ＝16924，即PA ＝16924.②若PA ＝PC ，则PA ＝6.③若PC ＝PB ，由图知，在Rt △PBC 中，不可能存在此种情况． 综上所述，PA ＝16924或PA ＝6.。

2.4 过不共线三点作圆知|识|目|标1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.目标一过平面内的点作圆例1 教材补充例题如图2－4－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )图2－4－1A．1 B．2 C．3 D．4【归纳总结】确定一个圆的条件：(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心．目标二理解三角形的外接圆例2 教材补充例题已知等腰三角形ABC，如图2－4－2.(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．图2－4－2【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部．例3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图2－4－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )图2－4－3A ．第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：(1)圆心的位置；(2)半径．已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．知识点一 过不在同一直线上的三个点作圆不在同一直线上的三点确定一个圆．[点拨] (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．知识点二 三角形的外接圆与外心经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．[说明] (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处．．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，△ABC 外接圆的半径为5，求AB 的长．图2－4－4解：如图2－4－4，连接OB ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD 垂直平分BC ，∴BD ＝12BC ＝4. 在Rt △OBD 中，OD ＝OB 2－BD 2＝52－42＝3，∴AD ＝AO ＋OD ＝5＋3＝8.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝82＋42＝4 5.以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 C例2 解：(1)如图所示．(2)如图，在优弧BC 上任取一点D ，连接BD ，CD ，∵∠BOC ＝128°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝64°， ∴∠BAC ＝180°－∠BDC ＝116°.例3 A备选目标 三角形的外接圆、外心的综合应用例 如图①，△ABC 内接于⊙O ，AD 为边BC 上的高．(1)若AB ＝6，AC ＝4，AD ＝3，求⊙O 的直径AE ；(2)若AB ＋AC ＝10，AD ＝4，求⊙O 的直径AE 的最大值，并指出此时边AB 的长．[解析] (1)需要找到AB ，AC ，AD ，AE 之间的数量关系，连接BE ，则∠ABE ＝90°＝∠ADC ，∠E ＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE ∽△ADC ，可得AB ∶AD ＝AE ∶AC ，进而求出AE 即可；(2)根据已知得出AC ＝10－AB 的长，利用(1)的结论，将AE 转化为关于AB 的二次函数，最值可求．解：(1)如图②，连接BE.∵AE 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE ＝90°＝∠ADC.又∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC， ∴AE ＝AC·AB AD ＝4×63＝8. (2)∵AB ＋AC ＝10，∴AC ＝10－AB.设AB ＝x ，AE ＝y ，∵AD ＝4，由(1)中AB AD ＝AE AC，得y ＝x （10－x ）4＝－x 24＋52x ＝－14(x －5)2＋254， ∴⊙O 的直径AE 的最大值为254，此时边AB 的长为5. [归纳总结] 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．【总结反思】[小结] 知识点二 三条边的垂直平分线[反思] 不完整．补充：若△ABC 是锐角三角形，则AB ＝4 5；若△ABC 是钝角三角形，如图所示，连接OA ，OB ，OA 交BC 于点D.此时AD ＝OA －OD ＝5－3＝2.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝22＋42＝2 5.∴AB 的长为2 5或4 5.。

《确定圆的条件》典型例题
例1、如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心．
分析：根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理可作出圆心．
作法：
(1)在弧上任取三点A、B、C；
(2)连接AC、BC；
(3)分别作AC、BC的中垂线MN、PQ，相交于点O，点O即为所
求圆心．
说明：此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实．
例2、如图，在△ABC中，BD、CE为△ABC的中线，延长BD到F，使DF=BD．延长CE 到G，EG=CE．求证：过A、G、F三点不能作圆．
分析：只要证明点G、A、F三点共线即可．
证明：连接AG、AF、BG、CF．
∵AD=DC、BD=DF，
∴四边形ABCF是平行四边形．故AF∥BC．
同理AGBC是平行四边形，故AG∥BC．
∴点G、A、F三点在同一直线上．
∴过点G、A、F不可能作圆．
说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力．。