商的变化规律及应用共16页文档

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商的变化规律.pptPPT课件

什么笑吗？在除法中，商到底有
怎样的变化规律呢？哥为
什么笑
我给你14块饼，平均分2天吃完，
呀？
怎么样？
那我就给你140块饼, 平均分20 天吃完。
太好了！太好了！这回每天我可以多吃些了！
第3页/共16页
哈哈
跳过
乒乓球： 2 元/个篮球：20元/个足球：40元/个
200 ÷2＝100(个) 200 ÷20＝10 (个)
第5页/共16页
100 ÷ 5 ＝20 100 ÷10＝10
200 ÷20＝10 200 ÷10＝ 20
240÷ 5 ＝ 48 240÷40 ＝ 6
280 ÷70＝ 4 280 ÷10＝ 28
算
一
算
第6页/共16页
一班捐款：16 元二班捐款：160元三班捐款：320元
要买这样的8元一个的垃圾桶，每班分别可以买多少个呢？
×10 ×10
60÷ 30 ＝ 2
×100
×100
600÷ 300＝ 2
6÷ 3 ＝ 2
÷100
÷100
60÷ 30 ＝ 2
÷10
÷ 10
600÷300＝2
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（０除外），商不变。
第12页/共16页
练一练
72÷9= 8
36÷3= 12 80÷4= 20
720÷90= 8 360÷30= 12 800÷40= 20
第10页/共16页
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？
第一次：6 第二次：60
第三次：600
3 30
300
小猴子的笑是聪明的一笑，因为越来越多的小猴子分到桃子了。

《商的变化规律》

旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行社或在线预订平台的报价，来选择价格更合理的旅游产品。这同样需要使用商的变化规律来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商也为零。

商的变化规律和商不变的规律

应用场景：商的变化规律适用于解决一些与比例和倍数有关的问题，如计算利息、折扣等；商不变规律则更多用于代数运算和方程求解
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律适用于除数不为0的情况，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不为零的数，商不变。
单击此处添加项标题
数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均为正数。
单击此处添加项标题
商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利用除法的定义进行证明
证明方法二：利用商的性质进行证明
证明方法三：利用代数恒等式进行证明
证明方法四：利用几何图形进行证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用

商的变化规律优秀课件

你发现了什么问题吗？
2
60 1 7 0 12 5
我来问！
（1）被除数乘2，除数怎样变化，商不变？（除数也要乘2）
（2）除数除以10，被除数怎样变化，商不变？（被除数也要除以10）
（3）被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？（商会扩大2倍）
我来答！
你认为小猪说得有道理吗？
返回
商的变化规律
被除数除数商
14 ÷ 2 ＝ 7 140 ÷ 20 ＝ 7 280 ÷ 40 ＝ 7 560 ÷ 80 ＝ 7 5600 ÷ 800 ＝ 7
先算出商，再观察，你发现了什么？
广州市三学苑网络科技有限公司
被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
刚才的故事中,小猴子是运用什么什么规律教育贪吃的小猪的呢?
2 100 200÷ 20 ＝ 10
40
5
16
2
160 ÷8 ＝ 20
320
40
被
除
除
数
数
扩
不
大
变
返回
商缩小
被
除
除
数
Hale Waihona Puke 数不扩变
商扩大
大
计算这两组题，你能发现什么？
27 ÷ 3 ＝ 270 ÷ 30 ＝ 2700 ÷ 300＝
找规律，
56 ÷ 7 ＝
填
560 ÷ 70 ＝
一
5600 ÷ 700＝
填
。
80 ÷ 2 ＝
800 ÷ 20 ＝
8000 ÷ 200＝
数学诊所
14
210
60 8 4 0 230 4 8 3 0 0

商的变化规律课件

160 ÷ 20=8
120 ÷ 3= 40
先算出商，再观察，你发现了什么？
被除数 14 140 280 560 5600
除数 2 20 40 80 800
商 7 777 7
①第2栏与第1栏比，被除数有什么变化？除数有什么变化？商呢？
（被除数和除数都乘了10，商不变。） ②第4栏与第5栏比，被除数有什么变化？除数呢？商呢？
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），
商就除以（或乘）几。
商的变化规律（二）：在除法中，除数不变，被除数乘（或除以）几（ 0除外），
商也乘（或除以）几。
根据商的变化规律直接说出得数。
160 ÷ 4= 40
24 ÷ 3= 8
160 ÷ 40=4
240 ÷ 3= 80
两天我给你20 块饼，怎么样？
太好了！太好了！这回每天我可以多吃些了！
猴哥，笑什么？
哈哈！
问题设疑：
在这个故事中，猴哥到底掌握了什么规律？他是如何把猪八戒糊弄过去的呢？这就是我们这节课要探讨的内容《商的变化规律》。
2 100 200÷ 20 ＝ 10
40
5
200÷ 20 ＝ 10
120 ÷ 30= 4 600 ÷ 150= 4
240 ÷ 60=4
200 ÷ 50= 4
智力大比拼
27 ÷ 3 ＝ 9 （一） 270 ÷ 30 ＝ 9
2700 ÷ 300＝ 9
56 ÷ 7 ＝ 8 （二） 560 ÷ 70 ＝ 8
5600 ÷ 700＝ 8
根据每组第一题的商写出下面两题的商。
8000 ÷ 200＝ 40 （三） 800 ÷ 20 ＝ 40

数学课件《商的变化规律》

商的表示方法
商通常用分数或小数表示，如 “9÷3=3”可以表示为分数“3/1” 或小数3.0。
商的变化规律定义
商的变化规律定义
商的变化规律是指当被除数或除数发生变化时，商如何相应地变化。例如，当被除数扩大2倍时，商也扩大相同的倍数；当除数缩小2倍时，商反而扩大相同的倍数。
商的变化规律形式
商的变化规律可以用数学公式表示，如“a÷(b÷c)=a×(1/b)×c”、 “(a×b)÷c=a÷(c/b)”等。
详细描述
例如，如果一个数缩小2倍，另一个数不变，则它们的积也缩小2倍。
除法运算中的商的变化规律
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如果除数扩大若干倍，被除数不变，则商也扩大相同的倍数。
详细描述
例如，如果除数扩大2倍，被除数不变，则商也扩大2倍。
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如果除数缩小若干倍，被除数不变，则商也缩小相同的倍数。
在数学中的应用
代数运算
商的变化规律在代数运算中有着广泛的应用，例如在解方程、因式分解和不等式求解等过程中，需要根据商的变化规律对表达式进行变形和化简。
函数和微积分
在函数和微积分的学习中，商的变化规律对于理解函数的单调性、极值以及导数的计算等概念至关重要，是深入学习数学的基础。
在日常生活中的应用
一个除法的商是7，除数是4，被除数是多少？
一个除法的商是3，被除数是96，除数是多少？
这些题目旨在挑战学生的思维能力，让他们在理解商的变化规律的基础上，灵活运用规律解决问题。
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四年级数学上册《商的变化规律及应用》PPT课件1

被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？（商反而乘2）
已知48÷12=4，判断下列各式是否正确。如果不对，怎样改一下就对了。
√ ①（48×5）÷（12×5）=4……（） √ ②（48÷4）÷（12÷4）= 4…… （） × ③（48×3）÷（12×4）=4……（） × ④（48×3）÷（12÷3）= 4……（） × ⑤（48 - 8）÷（12 - 8）=4……（） × ⑥（48 +6）÷（12 + 6）=4……（）
商的变化规律
120×5=600
1200×5=6000
1、两个数相12乘×，5一=个6因0数不变，另一个因数
乘两（个或数除相以乘），几一（个0除因外数）不，变积，也另乘一（个或因除数以）
乘几（。或除以）几（0除外），积也乘（或除以）
几。
8×86×=64=84
两个（数（相8乘×8，2×）一2个×）因（数×86乘÷（一26）个÷数=2（4）80除=外）4，8
4
4
看谁算的又对又快
72÷9= 8
36÷4= 9 800÷2=400
720÷90= 8 360÷4=90 800÷10=80
7200÷900= 8 3600÷4=900 800÷20=40
我来问！
你来答！
在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也除以5，商（不变）。
除数除以10，被除数怎样变化，商不变？（被除数也要除以10）
商）
÷ 20=10 由上往下看, 被除数不变,
40= 5 ×20
÷20
除数（扩大），商反而随着（缩小）。
被除数不变，除数乘几，商反而除以几。
由下往上看，你发现什么规律？
2 = 100

商的变化规律(与“规律”有关文档共16张)

由上往下看,被除数不变，除数（扩）大，商（缩小）；
由下往上看，被除数不变，除数（
（
）。
），缩商小
扩大
被除数不变，除数扩大或缩小多少倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。
被除数 ÷ 除数 = 商
不
扩大
缩小
变
缩小
扩大
第4页，共16页。
观察右边表格可以发现（）除数没变,（
）
和（被除数）发生了变商化.
。
5600 ÷ 700＝ 8
80 ÷ 2 ＝ 40 800 ÷ 20 ＝ 40 8000 ÷ 200＝ 40
第9页，共16页。
我来问！
（1）被除数乘2，除数怎样变化，商不变？
（除数也要乘2）（2）除数除以10，被除数怎样变化，商不变？
（被除数也要除以10）
我来答！
第10页，共16页。
一、完成课本94页第四题。
（3）被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？
1、（36×10）÷（12×10） ……………………………… （）
3、（36×6）÷（12 ÷6）……………………………………（）
根据商的变化规律，不计算判断下面哪些算式与36÷12＝3的商相等？相等的在括号内打“√”，不相等的打“×”。
5、 36000 ÷12000 …………………………………………… （）
第14页，共16页。
数学诊所
14
210
60 8 4 0 230 4 8 3 0 0
6
46
30
24
23
24
23
0
0
√
√
上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？
第15页，共16页。

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37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
商的变化规律及应用
51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
变不变变
二、探究新知
活动建议：
1.每人验证一条猜想。
2.独立填写研究报告。
3.组内交流研究结果。
研究报告
提出猜想在除法里，被除数（
），除数（
举例验证
），商不变。
得出结论我验证的猜想成立吗？（
）
二、探究新知
被除数乘或除以一个数，除数也乘或除以相同的数（0除外），商不变。
二、探究新知
780÷30= 26
被除数和除数为什么都乘4？
二、探究新知
840÷50= 16……40
50
余4。
16 840 5
34
30
4
余40。
谁说得对？你能验证一下吗？
三、知识运用
下面的题你会算吗？想想为什么可以这样算？ 120÷30= 4
6300÷700= 9
三、知识运用
在里填数，在里填运算符号。 200÷40= （200 ÷ 2 ）÷（40÷2） 200÷40= （200 × 4 ）÷（40×4） 200÷40= （200 ÷ A ）÷（40÷A） A≠0
200÷40= （200 × A ）÷（40×A） A≠0
三、知识运用
规律
积变化乘因数×因数= 积法不变变变
积不变因数×因数= 积变变不变
商变化
商不变
除被除数÷除数= 商被除数÷除数= 商
法不变变变变
变不变
变不变变
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
26 30 780
60 180 180
0
我这样做。小平
我这样做。
26
小英
30 780
6
18
18
0
小英这样做对吗？为什么？
二、探究新知
120÷15= 8 8
15 120 120 0
我这样做。
120÷1பைடு நூலகம்=
被除数和除数都乘4，商不变。
120÷15 =（120 × 4）÷（15 × 4） =480÷60 =8
第六单元除数是两位数的除法
商的变化规律及应用
北京市东城区和平里第一小学肖仙莉
一、复习导入
规律
乘
法
积变化
积不变
除
法
商变化
商不变
二、探究新知
规律
积变化乘因数×因数= 积法不变变变
积不变因数×因数= 积变变不变
商变化
商不变
除被除数÷除数= 商被除数÷除数= 商法不变变变变？变？不变