商的变化规律及应用.

旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。

三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握除数是两位数的除法计算法则：包括试商、调商、计算过程等，确保学生能够熟练进行计算。
-理解商的变化规律：让学生明确被除数和除数的变化对商的影响，掌握商的变化规律。
-应用商的变化规律解决实际问题：培养学生将实际问题转化为数学模型，并运用所学知识解决问题的能力。
举例解释：
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“商的变化规律在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-在解决实际问题时，如“小明有300颗糖果，他要把糖果平均分给10个小朋友，如果增加到12个小朋友，每个小朋友能分到多少糖果？”此类问题需要学生将问题转化为数学模型，即求300除以12的商，并运用商的变化规律进行分析。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《商的变化规律及应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过糖果分配的情况？”例如，如果小明有300颗糖果，要平均分给10个小朋友，如果增加到12个小朋友，每个小朋友能分到多少糖果呢？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索商的变化规律的奥秘。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有的学生发言积极，能够主动提出自己的观点，而有的学生则较为内向，不太愿意表达自己的看法。针对这种情况，我将在接下来的教学中，更加关注那些不太主动的学生，鼓励他们大胆发言，培养他们的自信心。

第六讲
商的变化规律
商的变化规律 1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变， 则商就乘几。 2、两个数相除，如果被除数除以几，除数不变， 则商就除以几。 3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几， 则商就除以几 4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几， 则商就乘几。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除 数不变，则商就乘几。
3×120=360 答：商是7，余数是360。
答：商是8，余数是6。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变 ，则商就乘几。
练习二
1、两个数相除，商是450，如果被 除数乘5，除数不变。新的商是多少?
450×5=2250 答：新的商是2250。
3、两个数相除，商是27，如果被 除数乘12，除数乘6。新的商是多 少?
12÷6=2
2、两个数相除，商是450，如果被除 数不变，除数乘3，新的商是多少?
450÷3=150 答：新的商是150。
拓 展3 在除法算式128÷4中，
如果被除数乘3，除数乘6。商有
什么变化?
分析与解答：128÷4=32，被除数
乘3，即128×3，除数乘6，即4×6，
商为： （128×3）÷(4×6)
32×3÷6
=384÷24
=96÷6
=16
=16
128÷4=32 也就是 6÷3=2
32÷2=16 答：商就除以2，由原来的32变为16。
拓 展4 在除法算式144÷12中，
拓 展5 在除法算式128÷4中，
被除数乘6，除数除以3。商有什
如果被除数除以4，除数乘2。商
么变化?
有什么变化?
分析与解答：144÷12=12，在除法
分析与解答：128÷4=32，被除数

消费者需求会随着时间和社会变化而变化，商必须根据市场需求做出调整。
1
农耕时代
人们通过交换农产品和手工制品进行商业活动。
2
工业革命
机械化生产促进商业发展，出现了现代工厂和大规模生产。
3
数字时代
互联网技术催生了电子商务，改变了商业模式和消费行为。
商的周期性变化规律
商业活动会随着经济周期波动，如经济扩张阶段下商业活动增加，而在经济 衰退阶段商业活动减少。
商的差异，取决于当地经济发展水平、文化背景和市 场需求。
商的产业链变化规律
商业活动涵盖了各个产业环节，包括原材料供应、生产、分销和销售。产业链的变化会影响商业模式和竞争力。
商的市场竞争变化规律
市场竞争是商的核心。竞争可以推动创新改进，同时也会对企业经营产生影响。
商的消费者需求变化规律
商的变化规律及应用
本次演讲旨在探讨商的变化规律及应用领域。通过深入剖析商的定义、历史 发展、周期性变化、地区性变化、产业链变化等，揭示商的多个方面对我们 生活和经济的影响。
商的定义及种类
商是一种社会经济活动，涉及商品或服务的买卖交易。在不同领域中，商可以分为零售商、批发商、制造商等 多种类型。
商的历史发展变化

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律简算
目录
CONTENTS
• 商的变化规律概述 • 商的运算规则 • 商的变化规律实例解析 • 商的变化规律在数学中的应用 • 商的变化规律在日常生活中的应
用 • 商的变化规律的练习与思考
01
商的变化规律概述
定义与特点
定义
商的变化规律是指在进行除法运 算时，被除数、除数、商之间存 在的变化关系。
特点
被除数和除数同时扩大或缩小相 同的倍数，商不变；被除数和除 数同时乘或除以同一个非零数， 商不变。
商的变化规律的重要性
提高运算效率
解决实际问题
掌握商的变化规律可以简化除法运算， 提高计算速度和准确性。
在解决实际问题时，如工程、经济等 领域，商的变化规律可以用来优化计 算过程。
数学原理的深入理解
计算
计算
$(2 times 4) div (8 div 2)$
$(3 div 6) times (9 div 3)$
$(8 times 4) div (2 times 2)$
计算
$(100 div 5) times (5 div 2)$
思考题
01
02
03
04
如何理解商的变化规律？
如何运用商的变化规律 进行简算？
数据分析
在进行数据分析时，需要对大量数 据进行处理和计算，利用商的变化 规律可以简化计算过程，提高数据 处理效率。
02
商的运算规则
乘法运算规则
乘法交换律
01
a×b=b×a
乘法结合律
02
(a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律
03
a × (b + c) = a × b + a × c

商的变化规律练习课
目录
CONTENTS
• 商的变化规律概述 • 商的运算规则与技巧 • 商的变化规律练习题解析 • 商的变化规律在实际问题中的应用 • 商的变化规律练习课总结与反思
01 商的变化规律概述
CHAPTER
定义与性质
定义
商的变化规律是指在进行除法运 算时，被除数、除数和商之间的 变化关系。
改进建议
建议教师增加相关习题的练习量，帮助学生加深对商的变化规律的理 解。同时，可以组织小组讨论，让学生互相交流学习心得。
下一步学习计划与目标
学习计划
学生应继续加强商的变化规律的练习 ，通过更多实际问题的解析加深理解 。
学习目标
在接下来的学习中，学生应能够熟练 运用商的变化规律解决实际问题，提 高数学应用能力。
优化技术
在优化技术中，商的变化 规律可以用来寻找最优解， 如线性规划、非线性规划 等。
05 商的变化规律练习课总结与反思
CHAPTER
练习课总结
学习目标达成情况
学习难点解析
通过本次练习课，学生应能熟练掌握 商的变化规律，理解其在实际问题中 的应用。
学生在理解商的变化规律时存在困难， 特别是对于除数和被除数同时变化时 商的变化规律。
描述：基础练习题中会涉及余数的概念，例如17÷4=4......1，帮助学生理解除法运算后剩余的部分。
基础练习题解析
01
总结词：比较大小
02
描述：通过比较不同除法算式的 结果大小，让学生进一步理解商 的概念及其在实际问题中的应用 。
进阶练习题解析
总结词：复杂计算
描述：进阶练习题涉及更复杂的除法 计算，如多位数除以多位数，需要学 生掌握商的变化规律和计算技巧。

3.创新实践题：请学生自行设计一道三位数除以一位数的题目，并运用商的变化规律进行计算。此题目的目的是激发学生的创新意识，培养他们运用所学知识解决实际问题的能力。
4.家庭作业：布置适量的课后作业，包括基础题、提高题和创新实践题，要求学生在课后完成。家长协助检查，确保学生独立完成作业，并对错误进行及时纠正。
五、作业布置
为了巩固学生对《商的变化规律及应用》这一章节的学习，确保他们对知识点的掌握，我设计了以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第45页的练习题1、2、3，这些题目主要考察学生对三位数除以一位数计算方法的掌握，以及商的变化规律的理解。
2.提高拓展题：完成课本第46页的提高题4、5、6，这些题目旨在提高学生的计算速度和准确率，培养他们运用商的变化规律解决实际问题的能力。
2.通过对商的变化规律的学习，让学生掌握分析问题、解决问题的方法，提高他们的逻辑思维能力。
3.设计丰富多样的练习题，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高计算速度和准确率。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学习的积极态度，激发他们学习数学的兴趣，使他们乐于探究、善于发现。
2.培养学生严谨、细心的学习习惯，让他们在计算过程中养成良好的检查习惯，提高解题质量。
3.培养学生的应用意识，使他们认识到数学知识在实际生活中的重要性，增强他们运用数学知识解决实际问题的信心。
在本章节的教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重激发学生的学习兴趣，让他们在愉快的氛围中学习，提高他们的数学素养。
二、学情分析
四年级的学生已经在之前的数学学习中掌握了两位数除以一位数的计算方法，具备了一定的计算基础。在此基础上，他们对三位数除以一位数的计算法则有了初步的了解，但可能在计算过程中存在速度慢、准确率不高的问题。此外，学生对商的变化规律有所接触，但尚不能熟练运用到实际计算中。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：

《商的变化规律及应用》（教案）2023-2024学年数学四年级上册教学目标：1. 让学生理解商的变化规律，能够运用商的变化规律解决实际问题。

2. 培养学生的观察、分析、推理和概括能力。

3. 培养学生合作交流的学习习惯，提高学生的团队协作能力。

教学重点：1. 商的变化规律的理解和应用。

2. 解决实际问题时运用商的变化规律的能力。

教学难点：1. 商的变化规律的理解和应用。

2. 解决实际问题时运用商的变化规律的能力。

教学准备：1. 教学课件或黑板、粉笔等教学工具。

2. 练习题或实际问题的素材。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾除法的概念和性质，复习除法的基本运算。

2. 提问：在进行除法运算时，我们关注哪些变化规律？二、探究（15分钟）1. 出示一组除法算式，引导学生观察并总结商的变化规律。

例如：24 ÷ 6 = 4，48 ÷ 6 = 8，72 ÷ 6 = 122. 学生分组讨论，总结商的变化规律。

3. 各组汇报讨论结果，教师点评并总结商的变化规律。

三、应用（10分钟）1. 出示一组实际问题时，引导学生运用商的变化规律解决。

例如：小明有18个苹果，他想平均分给几个朋友，每个朋友可以分到几个苹果？2. 学生独立思考并解答问题。

3. 教师点评并解答问题。

四、巩固（10分钟）1. 出示一组练习题，让学生独立完成。

例如：32 ÷ 4 = 8，64 ÷ 4 = 16，96 ÷ 4 = 242. 教师点评并解答练习题。

五、拓展（5分钟）1. 引导学生思考商的变化规律在其他数学问题中的应用。

2. 学生举例说明商的变化规律在其他数学问题中的应用。

六、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结商的变化规律及应用。

2. 学生分享学习收获和体会。

七、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，让学生回家后独立完成。

2. 鼓励学生将商的变化规律运用到日常生活中，解决实际问题。

人教版数学四年级上册《商的变化规律及应用》教学设计一. 教材分析人教版数学四年级上册《商的变化规律及应用》这一章节主要让学生掌握商的变化规律，并能够运用规律解决实际问题。

本章节通过具体的例子引导学生发现商的变化规律，并通过大量的练习让学生熟练掌握。

教材内容安排合理，由浅入深，既注重了学生的知识掌握，又注重了学生的能力培养。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了除法的基本运算，对商有一定的认识，但是对于商的变化规律还没有明确的认识。

在教学过程中，教师需要引导学生发现商的变化规律，并通过具体的例子让学生理解和掌握。

同时，学生对于实际问题的解决能力还需要进一步提高。

三. 教学目标1.让学生掌握商的变化规律。

2.培养学生运用商的变化规律解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和观察能力。

四. 教学重难点1.商的变化规律的发现和理解。

2.运用商的变化规律解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过具体的例子引导学生发现商的变化规律。

2.实践操作法：学生通过实际的运算和解决问题来理解和掌握商的变化规律。

3.讨论法：学生通过小组讨论，共同探讨商的变化规律的运用。

六. 教学准备1.教学PPT：教师需要准备相关的PPT，展示商的变化规律的例子。

2.练习题：教师需要准备相关的练习题，让学生进行实际的操作和练习。

3.教学素材：教师需要准备相关的教学素材，如图片、故事等，用于引导学生发现商的变化规律。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，如20÷5=4，引导学生回顾除法的基本运算。

然后提问：如果被除数变成40，商会发生什么变化？引发学生的思考，引出本节课的主题——商的变化规律。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示多个例子，如20÷5=4，40÷5=8，60÷5=12，引导学生观察和发现商的变化规律。

教师引导学生说出每个例子中被除数和除数的变化，以及商的变化，总结出商的变化规律：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商就扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大则商反而缩小，除数缩小商就扩大，而且倍数也相同。

《商的变化规律及应用例8》导学案大姚县金碧小学张家明【课标要求】探索并发现商的变化规律，并且知道这个规律在计算和解决实际问题中的具体应用。

【学习目标】1.探索并发现商的变化规律。

2.知道这个规律在计算和解决实际问题中的具体应用【重点】通过计算引导学生总结商的变化规律。

【难点】理解和应用商的变化规律。

【使用说明与学法指导】1.合作探究过程中积极参与结合自身情况积极完成自己的目标。

2.活动过程中、大胆展示补充和质疑。

不懂的地方用红笔标注。

【探究案】一、故事导入花果山风景秀丽，气候宜人，那里住着一群猴子。

有一只叫小黄，有一天，猴王让小黄分桃子。

猴王说：“给你4个桃子，平均分给2只猴吧。

”小黄听了，连连摇头说：“太少了，太少了。

”猴王又说：“好吧，给你40个桃子，平均分给20只猴，怎么样？”小黄得寸进尺，挠挠头皮，试探地说：“大王，再多给点行不行啊？”猴王一拍桌子，显示出慷慨大度的样子说：“那好吧，给你400个桃子，平均分给200只小猴，你总该满意了吧？”小黄连忙说：“好了、好了”！猴王听了哈哈大笑。

（同学们，你知道猴王为什么笑吗？）今天我们研究了商的变化规律就会明白猴王为什么哈哈大笑的原因了。

（板书课题）二、合作探究（一）商的变化规律。

1.看大屏幕：先口算两组算式，再观察第一组算式，你发现了什么，小组内交流。

（1）这组题目中，什么数发生了变化？什么数没有发生变化？从上往下看，被除数和商的变化有什么特点？从【除数不变，被除数乘几，商也乘几。

】下往上看，被除数和商的变化又有什么特点？【除数不变，被除数除以几，商也除以几。

】（2）小组讨论、汇报。

（3）小结：除数不变，被除数乘几或除以几，商也乘几或除以几。

（4）口答：除数不变，被除数扩大5倍，商是如何变化的？除数不变，被除数除以8，商是如何变化的？（学生口答）2、看大屏幕：再观察第二组算式，你发现了什么，小组内交流。

（1）这组题目中，什么数发生了变化？什么数没有发生变化？从上往下看，除数和商的变化有什么特点？【被除数不变，除数乘几，商反而除以几。

商的变化规律及应用-人教版四年级数学上册教案1. 教学目标1.了解商的基本概念和表示方法；2.学习商的变化规律；3.能够应用商的变化规律解决实际问题。

2. 教学内容及课时安排课时一：商的基本概念1.商的定义；2.商的表示方法；3.商的意义。

课时二：商的变化规律1.商的乘法法则；2.商的倒数规律；3.商的加法法则。

课时三：应用商的变化规律解决问题1.应用商的乘法法则求解简单实际问题；2.应用商的倒数规律求解简单实际问题；3.应用商的加法法则求解简单实际问题。

3. 教学方法1.通过讲解、演示、例题和练习相结合的方式进行；2.注重培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

4. 教学重难点1.商的表示方法和意义；2.商的变化规律和应用。

5. 教学准备1.教师准备课件和黑板；2.分发教材和练习册；3.准备实物或图片等教具。

6. 教学过程安排课时一：商的基本概念1.首先，教师向学生介绍商的定义，并给出例子让学生理解概念；2.接着，教师讲解商的表示方法及其意义，依次列举纸片、数字和分数等表示方法，让学生对其有更深刻的认识；3.最后，教师通过练习巩固学生对商的基本概念的理解。

课时二：商的变化规律1.首先，教师讲解商的乘法法则，即两个商相乘等于这两个商的被除数相乘后除以这两个商的除数；2.接着，教师讲解商的倒数规律，即一个商的倒数等于这个商的除数与被除数交换位置所得的商；3.最后，教师讲解商的加法法则，即两个商相加等于这两个商的被除数之和除以这两个商的除数之和。

课时三：应用商的变化规律解决问题1.首先，教师通过实际例子，让学生应用商的乘法法则解决简单实际问题，如计算一个人在20天内跑完1000米的速度；2.接着，教师通过实际例子，让学生应用商的倒数规律解决简单实际问题，如计算5个人在10小时内完成某项任务的效率；3.最后，教师通过实际例子，让学生应用商的加法法则解决简单实际问题，如计算一个人同时做两项工作所需时间。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。