§2.2 冲激响应和阶跃响应

冲激响应和阶跃响应是控制系统中的两种常见的系统响应形式，而收敛域是指系统响应中的一种性质。

下面详细解释这三个概念：1. 冲激响应（Impulse Response ）： 冲激响应是指系统对单位冲激信号（单位冲激函数）的响应。

单位冲激信号通常用 δ(t) 表示，其数学定义为：δ(t )={0,t <0∞,t =00,t >0冲激响应可以通过将系统的输入设置为单位冲激信号，观察系统输出得到。

冲激响应对于分析系统的动态特性和频率响应非常有用。

2. 阶跃响应（Step Response ）：阶跃响应是指系统对单位阶跃信号（单位阶跃函数）的响应。

单位阶跃信号通常用 u (t ) 表示，其数学定义为：u (t )={0,t <01,t ≥0阶跃响应表示系统对于突然变化的输入的反应。

通过将系统的输入设置为单位阶跃信号，观察系统输出的变化，可以得到阶跃响应。

3. 收敛域（Convergence Region ）：收敛域是指系统响应中的一个区域，该区域内系统的响应趋于有限的数值或稳定。

在控制系统中，我们通常关注系统的稳定性，而稳定性可以通过观察系统的收敛域来判断。

•冲激响应的收敛域： 冲激响应通常在 t ≥0 的时间域内观察，系统的冲激响应在 t ≥0 时是否趋于有限的数值，这决定了系统的稳定性。

• 阶跃响应的收敛域： 阶跃响应同样也在 t ≥0 的时间域内观察，系统的阶跃响应是否在 t ≥0 时趋于有限的数值，也是判断系统稳定性的一个重要因素。

在分析控制系统时，特别是在频域中，收敛域的概念有助于评估系统的稳定性和性能。

总体来说，冲激响应和阶跃响应是控制系统分析中常用的工具，而收敛域则提供了有关系统稳定性的关键信息。

这些概念在控制系统设计和分析中都有着重要的作用。

信号与系统电子教案信号与系统西安电子科技大学信号与系统电子教案 2.2 冲激和阶跃响应－概念2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

二、阶跃响应对LTI 系统，当输入为单位阶跃函数时系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。

()t ε(){}()[],0T t g t ε=(){}()[],0T t h t δ=2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。

分析：按照定义要求，求解系统的冲激响应，即在下列条件下求系统响应（以h(t)表示）f(t) = δ(t)h(n-1)(0-)=…=h’(0-) = h(0-) = 0例1描述某系统的微分方程为y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。

解根据h(t)的定义有h ”(t) + 5h ’(t) + 6h(t) = δ(t)h ’(0-) = h(0-) = 0因方程右端有δ(t)，故利用奇异函数匹配法。

h ”(t)中含δ(t)，h ’(t)含ε(t)，h ’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。

积分得[h ’(0+) -h ’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h ’(0-) = 1⎰+-00)(dt t h a.求初始值h ’(0+)和h(0+)。

()-+∈0,0t对t>0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为-2，-3。

系统的冲激响应和阶跃响应的关系(一)
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
1. 冲激响应和阶跃响应的定义
•冲激响应是指系统在输入信号为单位冲激函数时的输出情况。

•阶跃响应是指系统在输入信号为单位阶跃函数时的输出情况。

2. 冲激响应和阶跃响应的关系
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系，即阶跃响应是冲激响应的积分。

•具体而言，阶跃响应是将冲激响应进行积分得到的，即用单位阶跃函数乘以冲激响应，再对得到的积分进行求解。

3. 冲激响应和阶跃响应关系的解释
•当输入信号为冲激函数时，系统对这个冲激函数进行处理后的输出即为冲激响应。

•而当输入信号为阶跃函数时，系统对这个阶跃函数进行处理后得到的输出即为阶跃响应。

•由于阶跃函数是冲激函数的积分形式，所以阶跃响应是冲激响应的积分形式。

4. 结论
•在不同的输入信号形式下，系统的输出表现也会有所不同。

•冲激响应描述了系统对冲激信号的处理情况，而阶跃响应则描述了系统对阶跃信号的处理情况。

•通过对冲激响应进行积分，可以得到对应的阶跃响应。

以上是关于系统的冲激响应和阶跃响应的关系的简要说明。

冲激响应和阶跃响应是信号处理中重要的概念，它们的关系可以帮助我们更好地理解和分析系统的输入输出特性。

阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。

不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。

阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。

你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。

这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。

而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。

想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。

这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。

看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。

这两者之间的关系就像是亲兄弟。

阶跃响应可以说是冲激响应的积累。

想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。

每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。

学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。

有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。

比如说，你设计一个自动驾驶的系统。

它需要在感知到障碍物时快速反应。

这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。

换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。

哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。

在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。

比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。

而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。

换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。

阶跃响应与冲激响应的关系1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊“阶跃响应”和“冲激响应”这两位老兄。

这两个概念在信号处理和系统分析里可是风头正劲的角色。

可能你听过它们，却不知道它们之间到底有什么关系。

别急，咱们慢慢来，保证让你听得津津有味。

2. 什么是冲激响应？2.1 冲激响应的定义首先，咱得了解一下“冲激响应”。

可以把它想象成一个超级短暂的信号，就像是你在派对上对朋友大喊“嗨！”然后瞬间安静下来了。

这种瞬间的信号就叫做冲激信号，而系统对这个信号的响应就是冲激响应。

听起来是不是很简单？2.2 冲激响应的特性而且，冲激响应的一个特性就是它能完全描述一个线性时不变系统的行为。

也就是说，只要你知道了冲激响应，你就能推导出系统对任何输入信号的响应，简直是信号处理界的万金油！所以，冲激响应就像是一张藏宝图，指引我们找到信号处理的宝藏。

3. 阶跃响应的魅力3.1 阶跃响应的定义接下来，咱们来看看“阶跃响应”。

它是系统对一个阶跃信号的响应，就像你突然把一个开关打开，整个房间立刻亮起来。

阶跃信号的特点就是它在某一时刻突然变得不一样，从0到1的变化就好比一瞬间的蜕变。

3.2 阶跃响应的重要性阶跃响应在很多实际应用中可是大显身手的，尤其是在控制系统中。

比如说，想象一下你在开车，突然踩下油门，车辆的加速反应就是阶跃响应在起作用。

通过阶跃响应，你可以了解系统的稳定性和动态特性，简直是开车必备的“老司机技巧”。

4. 冲激响应与阶跃响应的关系4.1 从冲激响应到阶跃响应那么，冲激响应和阶跃响应之间又是怎样的关系呢？简单来说，阶跃响应可以通过冲激响应“推导”出来。

你可以把冲激响应看作是一种基本的“调味料”，而阶跃响应就是这道菜的成品。

通过数学上的卷积操作，我们能把冲激响应变成阶跃响应，没错，就像把原料变成美味佳肴！4.2 直观的理解想象一下，你在做蛋糕。

冲激响应就像是准备蛋糕的面糊，而阶跃响应就是烤好的蛋糕，香喷喷的出炉了！当然，不同的配方会让蛋糕的味道有所不同，但最终都是通过面糊这个基础材料变成的。