相移波动方程偏移波数域吸收方法探讨

（二）频率波数域波动方程偏移序：有限差分法是在时空域进行偏移，利用付氏变换可在频率波数域实现偏移。

1．偏移公式① 速度减半后的波动方程：042222222=∂∂-∂∂+∂∂tuV z u x u (6.4-67)② 对上式进行关于x 和t 的二维付氏变换，速度用常数，得0)4(22222=-+U k Vdz U d xω (6.4-77) 式中),,(ωz k U U x =是波场函数u(x,z,t)的二维付氏变换。

③ 求解（6.4-77），有两个解，分别对应着上行波和下行波。

偏移研究的是上行波的向下延拓问题，所以只取上行波解为：])4(exp[),0,(),,(21222z k Vj k U z k U x x x -=ωωω （6.4-78）物理意义：用地面波场的付氏变换),0,(ωx k U ,可求出地下任何深度处的波场的付氏变换),,(ωz k U x ，是频率波数域内的常速波场延拓公式。

④ 求地下任意深度处的波场u(x,z,t) 对（6.4-78）进行反付氏变换，得x x k t j x dk d e z k U t z x u x ωωπω)(),,(21),,(++∞+∞-∞+∞-⎰⎰=（6.4-79）⑤ 成像取t=0时刻的波场，由（6.4-79）得x x jk x dk d e z k U z x u x ωωπ+∞+∞-∞+∞-⎰⎰=),,(21)0,,(⎰⎰∞+∞-∞+∞-=π21x x x x dk d z k Vx k j k U ωωω]})4([exp{),0,(21222-+（6.4-80） 2．频波域波动方程偏移的特点优点：①利用快速付氏变换，偏移效率高。

②适合于大倾角的地区。

缺点：①速度横向变化大的地区不能用。

②必须注意采样间隔，以免出现假频。

（三）克希霍夫积分偏移 1.用克希霍夫积分解求解波动方程 2．维波动方程克希霍夫积分解(x,y,z,t)P13图6.1-12 克希霍夫积分示意图如果围绕着震源的封闭曲面Q ，已知 Q 面上波动的位移位φ(x 1,y 1,z 1,t)及其对时间对空间的导数,且这些值是连续的没有奇点。

波动方程偏移方法研究
雷扬;吴闻静;陶键
【期刊名称】《内蒙古石油化工》
【年(卷),期】2009(000)008
【摘要】偏移处理能使倾斜反射层位归位到他们真正的地下界面位置,波动方程偏移就是偏移处理的基本方法之一。

波动方程偏移有两个基本的步骤:延拓和成像。

【总页数】1页(P)
【作者】雷扬;吴闻静;陶键
【作者单位】成都理工大学;中石油西南油气田公司
【正文语种】中文
【中图分类】P631.4
【相关文献】
1.炮域波动方程叠前深度偏移的偏移距域和角度域共成像点道集计算 [J], Rickett J E.;唐祥功（编译）;
2.3D VSP波动方程深度偏移成像方法研究 [J], 姚忠瑞;王延光;王成礼;乔玉雷
3.波动方程最优分裂步相移(OSP)偏移方法研究及应用 [J], 李延峰;范兴才;宋凯
4.基于波场外推的3D VSP波动方程深度偏移成像方法研究——以胜利垦71-检41井为例 [J], 姚忠瑞
5.三维叠前波动方程共偏移距拟屏深度偏移 [J], 史迪文
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波动方程的吸收边界问题波动方程是描述波动性现象重要的数学模型，涉及到横波与纵波的传播规律。

波动的传播不会受到边界的阻碍，因此，对于解决波动现象的数学模型中，吸收边界是一个非常重要的问题。

在实际应用中，吸收边界的概念是如下的：设计算区域外围为$U = {(x, y) | x\in [0, L],y\in [0, H]}$，则吸收边界是为了满足在$U$ 的封闭子集 $B = U \backslash I$ $(I\in [0, L]\times [0, H])$ 边界上的精确条件。

在波动方程的求解过程中，需要考虑对应于吸收边界的边界条件，以确保精确的计算结果。

现在介绍两种常用的吸收边界，分别是Mur吸收边界和Stefen 窄带边界条件。

1. Mur吸收边界Mur吸收边界是比较常见的一种吸收边界条件。

这种吸收边界的想法是模拟一种类似于黑洞的边界，能够吸收所有的波源、波浪和波波。

以二维波动方程为例，设波函数为 $u(x,y,t)$，则 Mur 条件中的 $x$方向边界为：$$u(x,y,t)=u(x_1-\Delta x,y,t)-R_x [u(x_1-\Delta x, y, t) - u(x, y, t)]$$其中，$\Delta x$ 为网格间距，$R_x$ 为吸收系数。

同理，$y$方向边界为：$$u(x,y,t)=u(x,y_1-\Delta y,t)-R_y [u(x, y_1-\Delta y, t) - u(x, y, t)]$$其中，$\Delta y$为网格间距，$R_x$ 为吸收系数。

Mur吸收边界的基本思想是在计算波函数时，将超过计算区域的波函数转化为一种相邻的波函数。

另外，使用 Mur 条件必须保证波函数的连续性，即在边界处存在连续性。

通过选定不同的吸收系数，可以控制边界对波函数的影响大小。

2. Stefen窄带边界条件Stefen窄带边界条件是另一种非常常用的吸收边界条件。

这种条件主要是通过对波函数进行变换，使得边界处的波函数能够逐渐减小，直至消失。

VTI介质角度域叠前深度偏移李江;李庆春【摘要】研究了VTI介质角度域偏移方法,以各向同性双平方根方程的角度域偏移方法为基础,从VTI介质qP波频散关系出发,推导出VTI介质角度域偏移的波场延拓算子;在频率—波数域处理以横向均匀速度传播的波场,在空间域处理具有速度扰动特征的波场以提高波场延拓精度.模型试算和实际资料处理结果表明:各向同性偏移方法由于未考虑各向异性参数的影响,绕射波不能完全收敛,波场聚焦效果差,降低了成像剖面的分辨率和信噪比,不能对地质构造精确成像;VTI介质角度域偏移可对断层、盐丘、小尺度地质体精确成像.对于角度域偏移产生的角度域共成像点道集(ADCIG)而言,各向同性偏移的ADCIG同相轴无法校平,残留断点绕射波,波场无法正确聚焦,不能正确反映局部地质特征;VTI介质偏移的ADCIG同相轴较平直,角度范围更宽,波场归位准确,精度较高.因此,利用VTI介质角度域偏移方法可对复杂构造精确成像.%The angle domain migration in VTI media is discussed in this paper.Based on the angle domain migration of isotropic double-square-root equation,a wavefield extension operator of angle domain migration in VTI media is derived from the qP wave dispersion equation. The complex velocity and anisotropic parameter field are divided into two parts,one is lateral uniform background field,and the other is the disturbances of velocity and anisotropic parameters.Then the wave propagated at a uniform velocity and anisotropy field is processed in the frequency wavenumber domain,and the wave propagated at a velocity and anisotropy disturbance field is corrected by time-shift in the spatial domain.So the accuracy of wave field extension is greatly improved.Basedon our model and real data tests,the following observation are obtained:A.Because the isotropic migration method does not take into account the influence of anisotropy parameters, the diffraction wave cannot be completely converged and the wavefield is misfocused,which causes low resolution and low signal-to-noise ratio.So conventional migration methods cannot accurately image geological structures,while the VTI media migration can accurately image faults,salt mounds,and small scale geological bodies;B.For the angle domain common imaging gathers(ADCIGs)generated by the prestack migration, the event of the isotropic method cannot be equalized, the residual fault diffraction is wound and the wavefield cannot be properly focused,which cannot correctly reflect local geological characteristics,while the ADCIGs from VTI media migration are relatively straight,the angle range is wider,the wavefield is accurately positioned.So the image accuracy is higher. Therefore,the angle domain migration in VTI media can be suitable for complex-structure accurate imaging.【期刊名称】《石油地球物理勘探》【年(卷),期】2019(054)002【总页数】12页(P330-340,前插3)【关键词】VTI介质;角度域偏移;双平方根方程;频散关系;波场延拓【作者】李江;李庆春【作者单位】中国煤炭科工集团西安研究院有限公司,陕西西安 710077;长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安 710054【正文语种】中文【中图分类】P6310 引言地球介质一般具有各向异性特征，其中VTI介质(具有垂直对称轴的横向各向同性介质)是一种常见的各向异性介质。

接收函数波动方程叠后偏移方法介绍陈凌，张耀阳中国科学院地质与地球物理研究所接收函数波动方程叠后偏移方法是我们借鉴勘探地震学中发展成熟的反射波偏移成像技术，2005年以来发展的一种新的天然地震接收函数偏移成像方法（Chen et al., 2005a; 2005b）。

该方法包括两个基本步骤：时间域CCP 叠加和深度域波场反向延拓。

与反射地震学中处理反射波资料的CMP 叠加类似，CCP 叠加用以提高资料的信噪比。

波场反向延拓则是一个将产生Ps 转换波（图1d）的转换波源偏移至其真实位置的过程。

在CCP 叠加中，用一个1D 参考模型将来自单个地震事件的接收函数按垂直入射情况做时间校正后，根据其转换点位置进行组合叠加。

所得到的CCP 叠加道集可以近似看作是零偏移距资料，即转换波从速度间断面的转换点处垂直向上传播至地表而被记录到的波场。

对于复杂结构，只采用CCP 叠加将会给成像结果带来假像，而偏移对于转换界面的正确成像是必不可少的（Ryberg and Weber, 2000; Poppeliersand Pavlis, 2003a）。

我们采用的波场偏移原理与反射地震学中普遍采用的爆炸反射面原理（Claerbout, 1985; Sheriff and Geldart, 1995）类似。

在爆炸反射面模型中：每一个反射界面都被当作是布满了密度正比于界面反射强度的爆炸源。

将这些爆炸源同时在时间t = 0 激发，地震波以实际速度的二分之一向上传播以满足双向传播走时（图1a, b）。

这样在地表上接收的波场可以模拟由CMP 叠加得到的零偏移距（零炮点-接收点距离）道集。

倒转上述过程，即将地表观测的零偏移距波场反向传播至t = 0 时刻，就可以得到一个使所有反射体正确归位的深度偏移成像结果。

在接收函数偏移中，通过CCP 叠加产生的零偏移距接收函数道集可以用来模拟地表记录到的将所有地下转换波源同时在t = 0 时刻激发得到的波场，而源的强度正比于Ps 的转换系数（图1c）。

叠加偏移成像技术1.多次覆盖技术的意义。

在野外采用多次覆盖的观测方法，在室内将野外观测的多次覆盖原始记录经过抽取共中心点或共深度点或共反射点道集记录、速度分析、动静校正、水平叠加等一系列处理的工作过程，最终得到基本能够反映地下地质形态的水平叠加剖面或相应的数据体，这一整套工作称为共反射点叠加法，或称为水平叠加技术。

多次覆盖是当今地震勘探野外作业中最基本的工作方法。

多次覆盖资料既是野外工作的最终成果之一，也是室内资料处理和各种反演工作最基础、最原始的资料。

多次覆盖技术最早是由梅恩提出的，它的基本思想是按照一定的观测系统对地下某点的地质信息进行多次观测，这样可以保证即使有个别观测点受到干扰也能得到地下每一点的有效信息，从而使原始记录有了质量保证。

多次覆盖技术的最突出的作用是能够有效地压制随机噪声，提高信噪比，比如经过n 次覆盖，信噪比是原来信号的√n倍。

从而突出反射波，压制干扰波，提高信噪比，为地震资料处理解释提供较高质量的地震资料。

2.比较三大类偏移方法的优劣势。

目前，所说的三大类偏移方法指的是Kirchhoff积分法、有限差分法和频率-波数域偏移法。

下面将对这三类方法的优点和不足进行简单的比较。

（1）偏移孔径的差异Kirchhoff积分法一般需要根据偏移剖面上的倾角确定偏移范围，即孔径。

这个孔径在理论上可以取成满足90°倾角的要求。

但实际上总是取得小一些。

特别是浅层一般取±25°以内即可。

深层的孔径要大一些，但是要以最大倾角为依据。

否则，或者增加工作量，或者增强偏移噪声。

频率-波数域偏移没有孔径限制，因此它可以自然满足±90°倾角偏移。

它与Kirchhoff 积分法的控制孔径的方式不同，频率-波数域偏移法可以通过在频率-波数域中的二维滤波来控制偏移孔径。

有限差分法可以通过数值的粘滞性来控制孔径，其实质也是一种二维滤波。

另外，有限差分法常用的是一种近似方程。

波动方程叠前偏移与波形反演研究【中文摘要】本文就当前反射地震勘探的两个热门题目——波动方程叠前深度偏移与基于波动方程的全波形反演进行了多方面的探讨。

深度偏移的核心是波场延拓算子的求取,我们编程实现了目前使用较多的几种算子:相移、相移插值、分步傅立叶、傅立叶有限差分以及广义屏算子。

数值例子说明,这些算子均有各自的优点和局限,应该根据介质的特点选择成像精度与计算时间可接受的方法。

共炮记录的偏移是最直观、易实现、精度高的叠前偏移技术,然而其计算量很大。

近些年出现了旨在进步叠前偏移计算效率的多种非共炮记录的偏移方法。

其中双平方根偏移基于沉降观测概念,将震源和记录同时向下延拓,计算迅速,而平面波偏移则先对震源和记录做平面波分解,再偏移叠加,是一种有效降低多次覆盖地震记录冗余性的好方法。

这两种方法均可为速度分析等输出重要的共成像道集。

为给叠前偏移实验提供必要的输进,我们基于惠更斯原理天生了共炮记录,与其它正演方法相比,该方法计算效率高、各种绕射波完整清楚、信噪比高,可以灵活的选择波场延拓算子,并且对观测系统有很好的适应能力,能够方便处理地表起伏时的记录正演题目。

起伏地表的处理是困扰复杂地区成像质量的一个关键因素,本文鉴戒Reshef“逐步—累加”的波场外推概念,在起伏地表上充填常速度,变不平坦地形为平坦地形,实现了共炮记录的天生和偏移,结果表明,我们的方法是处理复杂地表的简单有效策略。

偏移是构造成像的基本手段,然而随着油气勘探的不断深进,人们越来越希看由地震资料获得更多的岩石物性信息,其中高精度的介质速度场亦是偏移成像必要的输进,所以,各种地震反演方法迅速发展起来。

由于基于波动方程的波形反演方法直接采用微分方程模型,能够充分利用地震信息,可以得到更加精确可靠的反演结果,近些年景为国内外研究的热门。

然而,传统的梯度法反演存在收敛速度慢、不易重建速度场低波数成分的严重缺点,而高斯—牛顿法的计算量又很大。

我们采用近些年国外学者提出的将虚震源法与互易定理相结合计算雅可比矩阵的方法实现了高斯—牛顿法波形反演,并将结果与梯度法做了比较,深进熟悉了波场反演的规律。

第五章 波动方程法保幅偏移波动方程法叠前深度偏移技术在很大程度上能够实现保幅处理，特别是Fourier 有限差分（FFD ）法，综合了Fourier 方法与有限差分法的优点，对陡倾角地层和强横向变速介质有很好的适应性，是目前精度最高的叠前深度偏移方法。

下面基于波动方程法叠前深度偏移讨论适用于各向异性介质的保幅偏移以及粘滞声波和弹性波保幅偏移。

§5.1 基于散射理论的保幅处理一．方法原理下面介绍一种基于散射理论（波动理论与Born 反演）的三维叠前保幅偏移方法，该方法是将解波动方程的问题转化为解格林函数的问题，其中格林函数的微小扰动可表示为⎰⎰⎰--≈vs x r T t x m s x r dvA s t r G )),,(()(),,(),,(δδδ&& （5-1） 其中r 、x 和s 分别表示检波点、散射点和炮点的位置，A 和T 分别表示炮点到散射点及检波点到散射点的振幅和旅行时（见图5-1），m(x)为慢度的平方，即：)(/1)(2x c x m =，其中c(x)是速度。

所用反演公式是基于Born 近似推出的，它与采集系统有非常密切的关系，海上三维双缆勘探时，该反演公式为 )),,,(,(),,()(21)(s s x r T r G s x r B R S L x H x m RS St L δδ⎰⎰∑⎰∂∂∂≈ （5-2） 其中),,(/),,(),,(s x r A s x r q s x r J B =，J 为雅可比矩阵，)()(x p x p q s r +=为检波点到散射点的慢度与炮点到散射点的慢度的矢量和，St 、L 、S 和R 分别表示电缆、测线、炮点和检波点。

图5-1 叠前保幅偏移的示意图二．实际应用基于上述方法对Norsk Hydro 地区的海上三维地震数据进行了处理，该区共有29条双缆测线，每条测线450炮，测线横向间距100米，炮间距和道间距均为25米，每条电缆用了120个检波组，图5-2给出了相邻两炮的检波点接收情况，图5-3给出了29条测线的炮点分布情况，从这些图中可以看出实际的采集系统与理想情况有着很大的差别，要实现保幅偏移必须精确地考虑这些问题。