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信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论

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第三章 标量衍射理论

第三章 标量衍射理论

U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2


2 y
2

2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2

c

U ( p) k U ( p) 0
K
2

亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n


P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j

傅立叶光学

傅立叶光学

则，叠加积分式可表示 为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
−∞
§3.2 基尔霍夫衍射公式
5 光线传播的线性性质
则，叠加积分式可表示 为： U 0 ( x 0 , y 0 ) = ∫∫ U ( x1 , y1 ) h ( x0 − x1 , y 0 − y1 ) dx1dy 1
U ( P0 ) = 1 4π
∫∫ (G
S∑
∂U ∂G −U )dS ∂n ∂n
成立条件: 成立条件:孔径的线度比光波长大很多, 孔径的线度比光波长大很多,观察点离孔径较远
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.2 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式
应用基尔霍夫条件有：
1 U ( P0 ) = 4π ∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S∑
∂G ( p1 ) 1 eikR 当R很大时， = cos(n , R )(ik − ) =ikG R R ∂n
∫∫ (G
S2
∂U ∂G ∂U −U )ds = ∫∫ G ( − Uik ) R 2 d ω ∂n ∂n ∂n Ω
§3.2 基尔霍夫衍射理论
4.1 平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式
若满足两个条件 1 索末菲辐射条件： R →∞ 满足索末菲辐射条件，则S2上积分为0，则
§3.2 基尔霍夫衍射理论
3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理
基尔霍夫积分定理是解决衍射问题的重要公式。
1 U ( P0 ) = 4π
∂U ∂G 1 ( G − U ) ds = ∫∫ ∂n ∂n 4π S
eikr01 ∂U ∂ eikr01 [ −U ( )]ds ∫∫ r01 ∂n ∂n r01 S

11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射

11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射

即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)

exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示

信息光学-第3章 标量衍射理论-1

信息光学-第3章 标量衍射理论-1
——巴黎科学院,菲涅耳, 1818
1. 惠更斯-菲涅尔（1788-1827）原理
光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子波源，这些 子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振 动，都可看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加 的结果。
其数学表达式为：
U (Q) c
U0
(
p)k (
)
Σ
r
该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。
意义在于：从理论上验证了别人的假 Q 设，模型更加精确
基尔霍夫衍射公式
孔径平面上的复振幅分布是球面波，有
uv U 0 (P)
a0
e jkr0
代入基尔霍夫衍射公式，有
r0
其中：
U (Q)
1
j
U0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
vv
v uv
K ( ) cos(n, r) - cos(n, r0 )
1、光波的数学描述
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
波的传播方向，前向，后向
已知等位相面的图，会写出平面 波的表达式吗？
1、光波的数学描述
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为
1 cos fx X
fy
1 Y
cos
则xy平面上的复振幅分布可表示为
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在 xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2

衍射的角谱理论

衍射的角谱理论

衍射屏的复振幅透过率（反射率）: 衍射屏对入射光波调制 作用的数学描述, 它是描述衍射屏宏观光学性质的函数. 可用t(x,y)[或r(x,y)]表示.
Uin(x,y) Uout(x,y) t(x,y)
UO ( x, y) Ui ( x, y)t( x, y)
或
t(
x,
y)
UO ( x, U（i x,
exp(
j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
exp( j2
cos
z0
)
exp
j
2
cos
x cos
y
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
第一章习题解答
1.2 证明
comb( x ) comb( x)exp( j x ) comb( x)
2
证：comb( x )
( x n) 2
( x 2n)
2
2 n
n
ccomb( x)exp( j x ) ( x n)exp( j x)
n
( x n)exp( j n)
A0(u, v)H (u, v)
Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 数的频谱，传递函数为：
H
(u,
v)
exp
jkz
1
u
2
v
2
0
当u2
v2
1
2
其它
1
v
u2

3.3 标量衍射的角谱理论

3.3 标量衍射的角谱理论

后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)

2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =

exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z

jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )


夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =

第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播


l
l

l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(

cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z

信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论


• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象；
• 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加 可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波；
光场随时间的变化e
-j2pnt：
n ~1014Hz n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]

chap2标量衍射的角谱理论


U ( x, y, z) U0 ( x0 , y0 ,0)e
(4)式：
jkz
x d f y dx0 dy0

e U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e jz
(5)式：
j
[( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] z dx
U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e
当： 1
2
j
2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] x 0 y 0 e df
x d f y dx0 dy0
f x2 2 f y2
df x df y
, A( f x , f y , z) A( cos
2012
cos

, z)
角谱的传播
• z=0平面上
U ( x, y,0) A( f x , f y ,0)e


j 2 ( xf x yf y )
df x df y
• z=z平面上
U ( x, y, z ) A( f x , f y , z )e
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] e z ]dx0 dy0
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] U 0 ( x0 , y0 ,0)e z dx0 dy0 2012
平面波角谱衍射理论
• 由平面波角谱衍射理论得到的精确表达式：
j 2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] e x 0 y 0 df
a0 jkr e r •平面波的复振幅表示 U (P) ae jk r

标量衍射理论


x0
基尔霍夫衍射公式
n
光源 P0
θ
θ
1
2
P r0 r z
Q(x,y)
1 a0 exp( jkr0 ) cos(n, r ) cos(n, r0 ) exp( jkr) U (Q) [ ] ds j r0 2 2 r 1 exp( jkr) U 0 P K r ds U 0 PhP, Qds j
平面x y的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波 每一平面波成份与一组空间频率值（ξ, η）对应： 传播方向为cosα =λ ξ, cosβ =λ η ，振幅为G(ξ, η)
G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy


亦可写成：
cos cos cos cos G( , ) g ( x, y) exp[ j 2 ( x y)]dxdy
传播方向余弦为（ cosα ,cosβ ）的一般情形
u u0 exp[ jk ( x cos y cos )]
(x,y)平面等相位线
x cos y cos 常数
空间周期 d x cos cos 空间频率
dy cos

cos

Cl xl y sin c(lx ) sin c(l y )
ly y lx x sin( ) sin( ) z z Cl l sin cl , l Cl xl y x y x x lx x ly y z z
x z
y z
光强
I I 0 sin c (lx , l y)
y y0 2 1 x x0 2 z{1 [( ) ( ) ]} 2 z z
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U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在 x 和 y 方向的空间频率分别为: 三、平面波的复振幅表示 平面波的空间频率一般情形
1 cos a fx ; X l
1 cos b fy Y l
j(P) = k . r
k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数。表 示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
(P(x,y,z))
y k
(r
z
则P点处的复振幅：
源点S
a0: 单位距离 处的光振幅 0 x
a0 jkr U ( P) e r
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
随x,y线性变化的 位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布。等位相 线是平行直线族。为简单计，先看k在x-z平面内：cosb =0 复振幅分布:


§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示--近轴近似 a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z


对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
cos g 1 cos 2 a cos 2 b
U ( x, y, z ) a exp( jkz 1 cos 2 a cos 2 b ) exp[ jk ( x cos a y cos b )]
常数幅相因子, A
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
k: 传播矢量
球面波的等位相面：以S为中心的球面，r =const
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 会聚球面波
a0 jkr 会聚球面波 U ( P ) e r
(P(x,y,z))
y k
会聚点S
(r
z
0 x
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波的空间分布
P点处的复振幅:U ( P )
概述
什么是标量衍射理论？
• 光的衍射
几何光学：不能用反射或折射来解释的光线对直线 光路的任何偏离。 信息光学：衍射是由光波的横向宽度受到限制而引 起的，当限制的尺度与所用的辐射波长在一个量级 时，衍射现象最显著。
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，必须采用矢量衍射理 论。
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面， 且这些平面垂直 于光波传播矢量 k。 k 的方向余弦
均为常量
等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示
等相面为平面，且这些平面垂直于光波传播矢量 k。 等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg) k 的方向余弦, 均为常量
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似。 但因为 k 很大，对位相中的 r 须作二级近似 a0 jkr a0 exp(jkz) exp j k ( x x ) 2 ( y y ) 2 U ( P) e 0 0 z r 2z
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j (P)必须满足的关系，将光场用复数表 示，以利于简化运算
u(P,t) = a(P){cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 1
单位振幅的单色平面波，波矢量k与x轴 夹角为30，与y轴夹角为60。 (1)画出z = z1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)画出y = y1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
一、光振动的复振幅表示
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为: u P, t a P cos 2πn t j P 振幅 频率 初位相 光场随时间的变化关系: 由频率n表征。 可见光: n ~1014Hz 光场变化的时间周期为1/ n。 严格单色光: n为常数 光场随空间的变化关系体现在： (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不 光场变化的空间周期为l。 同，由传播引起。 由于u(P,t) 必须满足波动方程， 可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const.
故平面波复振幅表达式为：
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cosa y cos b z cosg )]
常量振幅 线性位相因子
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示 平面波:在给定平面的分布
r [(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 2 ]1/ 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 1 2 z
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示 球面波：近轴近似 只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围，即
光强是波印廷矢量的时间平均值，正比于电场振幅的平方
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
• 电磁波的传播：电场和磁场紧密联系，相互激发形成统一的 场——电磁场，交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的 传播形成电磁波。
• 波动方程：
拉普拉斯算符
2 1 E 2 c 2 1 B 2 c
光波的数学描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面), 与z轴夹角为qห้องสมุดไป่ตู้则此平面波复振幅沿x方向 (或y方向)的空间频率为:
• 瑞利-索末菲公式的提出与完善。
概述
本章主要研究内容和特点
• 主要研究内容：
从基尔霍夫衍射理论和角谱衍射理论出发，讨 论衍射问题。
• 特点：
–光的衍射将利用线性系统理论进行重新解释； –将衍射现象看做线性不变系统，分别讨论光学 系统的脉冲响应和传递函数。
第三章 标量衍射的角谱理论 §3-1 光波的数学描述
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
• U(P)是空间点的复函数，描写光场的空间分布， 与时间无关； • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算，满足叠加原理 • 实际物理量是实量，要恢复为真实光振动： u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布：I = UU*
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
等位相面是平行于y 轴的一系列平面，间隔为l 等位相面与x-z平面相交 等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线 形成平行直线 沿x方向的等相线 间距：
z
2p l X k cos a cos a
§3-1 光波的数学描述
三、平面波的复振幅表示－－平面波的空间频率
一、光振动的复振幅表示
1 2 将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程 2u 2 2 u 0 c t 可导出复振幅满足的方程为：
( k )U 0 ——不含时间变量的波动方程 2p 称为波数或传播常数， k 表示单位长度上产生的相位变化 l
2 2
即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
复振幅分布:
U ( x, y) A exp(jkx cosa )
1 cos a fx X l
Y = ∞， fy=0
复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率：
对于在x-z平面内传播的平面波，在y方向上有：
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
§3-1 光波的数学描述
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行