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6衍射的角谱理论

6衍射的角谱理论
称为复振幅分布的角谱
x0
孔径平面
x


观察平面

y
z
y0
（1）将孔径平面上的光场分布看作是不同方向传播的平面 波的线性组合。 （2）观察平面上的光场分布就等于这些平面波传递到Q点 时的相干叠加。
（二）比较基尔霍夫理论与角谱理论
基尔霍夫理论 角谱理论
讨论光的传播 空间域
频谱域
孔径平面上的光 点源的集合（或 不同方向传播的 场 U 0 P 球面波的线性叠 平面波的线性组 加） 合
f x, y, z F f x , f y , f z exp j 2 f x x f y y f z z df x df y df z
源自则 exp j 2 f x x f y y f z z 代表一个单位振幅的 单色平面波。
结论：
孔径的透过率函数 t x0 , y0 影响着孔径后的光场， cos cos T , 孔径越小，其傅立叶变换 越宽，孔径后 cos cos 的角谱 A 越宽。 ,
0


简而言之，衍射孔径使入射光波在空间受到限制，其效 果是展宽了衍射光波。
cos cos , A0
cos cos , H
因为 cos f x
cos

所以有
A f x , f y A0 f x , f y H f x , f y



fy



系统的传递函数
（四）孔径对角谱的影响


A f x , f y U x, y exp j 2 f x x f y y dxdy

11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射

11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射

即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)

exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示

单缝夫琅禾费衍射衍射角

单缝夫琅禾费衍射衍射角
asin a x
f
x1 f

a
f
第一暗纹的衍射角
1

arcsin

a
RL

a
P
x
o
f

第一暗纹的衍射角
一定
a
增大，

减小
1a
a
减小，
增大
1
b
1

arcsin

a
0,1 0


,
1

π 2
光直线传播 衍射最大
a
一定，越大，
越大，衍射效应越明显.
1
（2）中央明纹 （ k 1的两暗纹间）
2
( j 1,2,3,)
思考：下面单缝衍射图中，各条入射光线间距相 等，问：1）光线 1 与 3 在幕上 P 点相遇时, 两光振 动的位相差为什么？ 2）P 点是明还是暗？
a
缝长
R
1

3
5 2
1
3
P
5
o
答：1） 1，3光线 在P 点相遇时, 两光振
动的位相差为 2π .
a sin 2 j
o
P Q
o
R
L
A
A1
A2 C
B /2
P BC asin
Q
o
j
2
（ k 个半波带）
asin 0
中央明纹中心
a sin 2 j j 干涉相消（暗纹）2 j个半波带 2
a sin (2 j 1) 干涉加强（明纹）
2
2 j 1
个半波带
asin j （介于明暗之间）

衍射的角谱理论

衍射的角谱理论

衍射屏的复振幅透过率（反射率）: 衍射屏对入射光波调制 作用的数学描述, 它是描述衍射屏宏观光学性质的函数. 可用t(x,y)[或r(x,y)]表示.
Uin(x,y) Uout(x,y) t(x,y)
UO ( x, y) Ui ( x, y)t( x, y)
或
t(
x,
y)
UO ( x, U（i x,
exp(
j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
exp( j2
cos
z0
)
exp
j
2
cos
x cos
y
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
第一章习题解答
1.2 证明
comb( x ) comb( x)exp( j x ) comb( x)
2
证：comb( x )
( x n) 2
( x 2n)
2
2 n
n
ccomb( x)exp( j x ) ( x n)exp( j x)
n
( x n)exp( j n)
A0(u, v)H (u, v)
Az(u,v)和A0(u,v)分别看成是线性不变系统输出函数和输入函 数的频谱，传递函数为：
H
(u,
v)
exp
jkz
1
u
2
v
2
0
当u2
v2
1
2
其它
1
v
u2

标量衍射的角谱理论

标量衍射的角谱理论
6
按传播距离划分衍射区
1 9 0 6
7
用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 角谱衍射理论导菲涅耳公式（
1 9 0 6
假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察， 并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
2 2 z >> x0max + y0max
13
夫琅和费衍射举例（ 夫琅和费衍射举例（续2）
1 9 0 6
函数的分布可知， 由 sin c 函数的分布可知 ， 每个 sin c 函数的主瓣的宽度正比 于 λz l ， 而 由 上 式 可 见 ， 这 三 个 函 数 主 瓣 之 间 的 距 离 大得多， 为 f 0 λz ，若光栅频率 f 0 比 1 l 大得多，即光栅的周期 d = 1 f 0 小得多，那么三个函数（主瓣） 比光栅的尺寸 l 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在 交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 交叠，那么平方时不存在交叉项，
及
2 2 z >> xmax + ymax
因而 λ f x = cos α ≈
x x0 y y0 << 1, λ f y = cos β ≈ << 1 z z
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项， 用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1 1 λ 2 f x2 λ2 f y2 ≈ 1 λ 2 ( f x2 + f y2 ) 2
jλr ∞
在傍轴近似下，并利用二项式近似 在傍轴近似下，并利用二项式近似
) K (θ ≈1
r = z +(x x0 ) +(y y0 )

3.3 标量衍射的角谱理论

3.3 标量衍射的角谱理论

后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)

2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =

exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z

jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )


夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =

第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播


l
l

l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(

cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z

角谱衍射

衍射的角谱理论主要内容孔径对角谱的影响角谱概念dfdf的平面波复振幅分解的含义单色光波场中某一平面上场的分布可看作不同方向传播的单色平面波的叠加叠加时各平面波的振幅和常量相位取决于dfdfcoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos3给出了角谱传播的规律确定观察平面光场的角谱后可通过傅立叶逆变换求出复振幅分布
基尔霍夫理论和角谱理论
2 2 U ( x, y ) = ∫ ∫ A0 ( f x , f y )exp jkz 1 − ( λ f x ) − ( λ f y ) exp j 2π ( f x x + f y y ) df x df y −∞ ∞
A0 ( f x , f y ) =
角谱理论
把孔径平面光场分布看作沿不同方向传播 的平面波分量的线性组合。观察平面上场的 分布仍然等于平面波分量的相干叠加，每个 平面波分量引入相移，其大小决定于系统的 传递函数。
孔径对角谱的影响
前面只讨论了孔径到观察屏之间的光场和 角谱的变化，我们需要讨论孔径的入射光场 和透射光场之间的关系，才能形成从入射光 到观察屏的完整的角谱衍射理论。
2 2 exp jkz 1 − ( λ f x ) − ( λ f y ) ,
f x2 + f y2 <
1
λ2
0 ,
其 他
fy
1/λ
O
fx
把光波的传播现象看作 一个空间滤波器。在圆 形区域内，对各分量的 振幅没有影响，但引入 相移。圆形区域外，传 递函数为零。空间频率 大于１/λ的信息，在单 色光照明下不能沿z方向 传递。
∞
−∞
∫ ∫U (x

chap2标量衍射的角谱理论


U ( x, y, z) U0 ( x0 , y0 ,0)e
(4)式：
jkz
x d f y dx0 dy0

e U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e jz
(5)式：
j
[( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] z dx
U ( x, y, z ) U 0 ( x0 , y0 ,0)e
当： 1
2
j
2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] x 0 y 0 e df
x d f y dx0 dy0
f x2 2 f y2
df x df y
, A( f x , f y , z) A( cos
2012
cos

, z)
角谱的传播
• z=0平面上
U ( x, y,0) A( f x , f y ,0)e


j 2 ( xf x yf y )
df x df y
• z=z平面上
U ( x, y, z ) A( f x , f y , z )e
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] e z ]dx0 dy0
j [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] U 0 ( x0 , y0 ,0)e z dx0 dy0 2012
平面波角谱衍射理论
• 由平面波角谱衍射理论得到的精确表达式：
j 2 z 12 f x2 2 f y2 j 2 [ f ( x x ) f ( y y )] e x 0 y 0 df
a0 jkr e r •平面波的复振幅表示 U (P) ae jk r

标量衍射的角谱理论

第2章 标量衍射的角谱理论光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。

众所周知，几何光学的基本定律——光沿直线传播，是光的波动理论的近似。

作为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。

衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。

衍射是波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的表现。

电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。

用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。

但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：（1）衍射孔径比波长大很多，（2）观察点离衍射孔不太靠近；不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。

在本书涉及的情况下这些条件基本上是满足的，因此只讨论光的标量衍射理论。

经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的。

他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个次级波源发出的次级球面波向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。

1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，考虑到子波源是相干的，认为空间光场是子波干涉的结果。

而后1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。

在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数。

由于任意光波场可以展开为平面波的叠加，因此用平面波作为基元函数也可以来描述衍射现象，这就是研究衍射的角谱方法。

光学课程中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本章将采用平面波角谱理论导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的。

进而用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。

最后，本章还要介绍分数傅里叶变换以及用分数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射的优越性。

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• fx cos/ fy cos/ 与平面波的传播方向相 联系 ,表示了单色平面波的传播方向
傅里叶反变换的物理意义

f(x ,y)F (fx,fy)e x p [j2(fxx fyy)]d fx d fy
• F( fx , f y ) 被称为 f ( x , y ) 光场分布的角谱。
A ( c o s,c o s) A 0 ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
几种情况讨论（3）
• cos2cos21 ，在此情况下，该 波动分量的传播方向垂直于z轴，它 在z轴方向的净能流量为零。
几种情况讨论（2）
• cos2cos21 公式中的平方根是虚数 A (c o s ,c o s) A 0 (c o s ,c o s)e x p ( z )
式中 k cos2cos21 为实数。角谱将 随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距 离内几乎衰减为0，对应于这些传播方向波 动分量称为倏逝波，在通常情况下均略而不 计
• 任一平面光波场可以看成无数 组传播方向不同、幅值不同的平 面波叠加而成，在叠加时各平面 波有自己的振幅和相位，它们的 值分别为角谱的模和幅角
复振幅分布的角谱
• 如果把相干光场在自由空间两平面间的传播 看作是通过一个二维线性空不变系统，则单色 平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统 的本征函数。
d d z 2 2 A ( c o s,c o s) k 2 ( 1 c o s 2 c o s 2) A ( c o s,c o s) 0
角谱之间的关系
• 解微分方程，得到方程的一个基本解是
A ( c o s,c o s) c ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
U ( x ,y ) A ( c o s,c o s) e x p j 2 ( c o sx c o sy ) d ( c o s) d ( c o s)
假如我们能够找到
cos cos A0( , )
• 这些平面波分量在空间传播一定距离z仅仅 是引人了一定的相位移动，而振幅不发生 变化．这与平面的性质相一致，平面在空 间传播既不会改变方向，也不会改变振幅
A ( c o s,c o s) A 0 ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
• 上式物理意义：通过z＝0平面上光场的角谱 就可以求出观察面上的角谱。然后通过博里 叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。
• 上式具有和基尔霍夫衍射公式同等的价值。
几种情况讨论（1）
• 当传播方向余弦 cos,cos 满足 cos2cos21 时，角谱关系式才真正对应于空间某一确 定方向传播的平面波。
• 单色平面波与本征函数之间的这种联系不是 偶然的。单色平面波在自由空间中传播一段距 离后，只是相位改变一定数值，而无其它变化， 即相当于乘上一个复常数，这恰好就是本征函 数的表达式。
复振幅分布的角谱
• 由函数 f ( x , y ) 的傅里叶变换关系式有

F (fx,fy) f(x ,y )e x p j2( fyy ) d x d y F( fx , fy ) 为光波场的角谱
和 A(cos,cos) 之间的关系，就知

道了每一平面波分量在传播过
程中振幅和相位发生的变化，
自然也就可以确定整个光场由
孔径平面传播到观察平面所发
生的变化。
角谱之间的关系
• 角谱传播规律的基础仍然是标量波动方程
2uv12
2 t2
u 0
•
A(cos , cos)
所满足的波动方程为
• c(cos , cos )
由边界条件确定。在z=0处即为
孔径平面
，角谱是
A0(cos
,
cos，) 因此

c(co s,co s)A 0(co s,co s)
角谱之间的关系
A ( c o s,c o s) A 0 ( c o s,c o s) e x p j k z 1 c o s 2 c o s 2
§2.3 衍射的角谱理论
• 由标量衍射理论知，相干光场在给定二平面间 的传播过程就是通过一个二维线性系统 （除夫 琅和费衍射外）；一定条件下为线性空不变系统。
• 函数 expj2(fxx+fyy) 是二维线性空不变系统的本 征函数
• 函数 expj2(fxxfyy)表示振幅为1的平面波在xy 平面上形成的复振幅分布
复振幅分布的角谱
• 孔径平面(x0, y0)的场分布为 U0 (x0 , y0 ) ， 观察平面上的场分布为 U ( x, y ) ，则它们
相应的角谱相应为 和 cos cos A0( , )
A(cos , cos)
U 0 ( x 0 ,y 0 ) A 0 ( c o s,c o s) e x p j 2 ( c o sx 0 c o sy 0 ) d ( c o s) d ( c o s)
• F( fx , f y ) 用方向余弦表示
F ( c o s,c o s) f( c o s,c o s) e x p j 2 ( c o sx c o sy ) d x d y
平面波角谱的传播
• 孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看 成是许多不同方向传播的单色平面被分量的线性 组合。每一平面被分量的相对振幅和相位取决于 相应的角谱。