信号与系统精解课件§1.5 奇异函数

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信号与系统精解课件§1.5 奇异函数

t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
O
f t 1
t0
O t
通常把称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
1 jt cost e e jt 2

e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
1、

t

(t ) d t t

( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：

(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )

(t ) f (t ) d t f (0)
t

( t ) f (t ) d t

信号与系统第一章第2讲

17
若冲激点在t=t0处，则定义式为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0 (t t0 )

(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的特性：单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
18
由定义知当t<0时当t>0时

t
( )d 0
门函数与任意函数相乘，在外为0，在内为f(t)
12
G(t) 1
0 t0
t
符号函数——单位阶跃函数的派生函数：
1 t 0 sgn( t ) 2 u ( t ) 1 ( 1 . 5 10 ) 1t 0
2u(t) sgn(t)
2 0
t
1
0 t
在此，符号函数在跳变点也不予定义。有些书中规定sgn(0)=0
f(t) A T

2
式中A、、分别为正弦信号的振幅、角频率、初相位
2
正弦信号的性质：
无时限信号
周期信号，T=2/
对它进行微分或积分运算后，仍是同频率的正弦函数 f(t) 指数函数
a<0 a>0
f (t) Ae
at
A 0
3
a=0
t
其中A，a均为常数
指数函数的性质：
对指数函数的微分或积分，仍是指数函数形式抽样函数
t
( )d 1
所以函数的积分为：
o 0 t ( )d o 1 t
t
19
所以， u(t)与函数的关系为
或
u ( t ) ( ) d
t
单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数

信号与系统_1.5-1.8

x (t )
1 ∆τ
∆τ
t
t
山东农业大学信息学院
9
信号与系统 Signals & Systems
x(t) ≈ ∑ x(k∆τ )[u(t − k∆τ ) − u(t −k∆τ −∆τ )]
k =−∞ ∞
∞
x (t )
[u(t −k∆τ) −u(t −k∆τ −∆τ)] = ∑ x(k∆τ) ⋅∆τ ∆τ k=−∞
1 f D = ∫ f (t )dt T −T
2 T 2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量：信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
f A (t ) = f (t ) − f D
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2
信号与系统 Signals & Systems
若此时间函数为电流信号，则在时间间隔内流若此时间函数为电流信号，则在时间间隔T内流过单位电阻所产生的平均功率等于：过单位电阻所产生的平均功率等于： 1 T2 2 P = ∫ T f (t )dt T −2
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13
信号与系统 Signals & Systems
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
式中的c 是组合系数，它与函数x和分量g (t)有关有关：式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
x (t ) g i* (t ) dt ∫
t1 t2
∞
= ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ = x(t) ∗δ (t)
−∞
∞
山东农业大学信息学院
10
信号与系统 Signals & Systems
以上积分式称为卷积积分。式子说明：以上积分式称为卷积积分。式子说明：一连续时间信号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说，号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说，单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。也有用此式作为单位冲激信号的定义。用此式作为单位冲激信号的定义。 ∞

信号与系统课件全套课件

如图1.2-1(1a.2)-所1(a)所示示。。 f (t)
f (t)
1 t
0
t
0
t0
(a) 正弦波信号
(b) 矩形波信号
图 1.2-1 连续时间信号
8
第 1 章信号与系统分析的理论基础
3. 连续时间信号与离散时间信号
与连续信号相对应的是离散信号。它们是离散时间的函数，只
在某些不连续的规定瞬间给出函数值，其他时间函数没有定义。
E f (t) 2 dt
(1.2-2a)
P lim T
T 2
T
f (t) 2 dt
2
(1.2-2b)
10
第 1 章信号与系统分析的理论基础
1.2.2 系统的分类 1. 线性系统与非线性系统
线性系统是指由线性元件组成的系统；非线性系统则是含有非线性元件的系统。
Q1：什么是信号？
1.1 引言
我国古代利用烽火台传送敌人入侵的警报信息。击鼓鸣金传达战斗命令信息
可见，所谓的信号就是携带信息的一种载体，而根据载体的不同，可以有不同的信号形式。
2
第 1 章信号与系统分析的理论基础 Q2：什么是系统？
系统的功能解决信号探测、传输和处理问题，也就是根据不同物理事件形成的不同信号，建立一个传输装置或进行加工处理的系统
如果离散信号的幅值是连续的，即幅值可取任意实数，如图1.2-
2(a)所示，则称为离散抽样信号。如果离散信号的幅值只能取某
些规定的数值，如图1.2-2(b)所示，则称为数字信号。
f (tk )
(4.1)
f (tk )
(3)
(2)
(1.3)
(1)
1

信号与系统课件第一章.ppt

冲激信号的性质 (1)筛选（乘积)特性
x(t )
(1)
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t t0 )
x(t ) (t t0 )
( x(t0 ) )
t0
t
t0
t
(2)抽样特性

x(t ) (t t0 )dt x(t0 )
x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
1
0 x t t e
t0 t0
0
t
1.2 信号的分类
• 1 确定信号与随机信号
确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。
随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。
·¨ È ¶Å Ðº Å
æ » Ë ú Ð Å º Å µ Ä Ò » · ö Ñ ù ± ¾
•能量信号: 0<E<，P=0。 •功率信号: E，0<P<。直流信号与周期信号都是功率信号。注意: 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。
1.3 常用单元信号 1. 正弦信号
x(t ) A sin(t )
A x(t) T

2
A: 振幅 :角频率弧度/秒 t :初始相位

1.4信号的运算
• • • • • • • 信号相加信号相乘信号的平移信号的尺度变换信号的翻转信号的微分信号的积分
1. 信号的相加
x(t)=x1(t)+ x2(t)+ ……xn(t)
x1(t) 0.5 0 t 0.5 0.5 0 t x2(t)
y(t)=x1(t)+x2(t) 1 t
3.单位斜坡信号

信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数

1 sgn(t) = −1 t >0 t <0
−

τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
O
t
求导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2

信号与系统(郑君里)ppt

t
f(t)
t/2
f(t/2)
0
1
0
1
T
2
T
2
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
求新坐标
t
f(t/2)
0
1
2T
2
f(t)f(2t)
f t
2 1
O
Tt
宗量相同，函数值相同
t
f(t)
2t
f(2t)
0
1
0
1
T
2
T
2
求新坐标
t
f(2t)
0
1
T/2
2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
比较
f t
2 1
O
Tt
•三个波形相似，都是t 的一次函数。 •但由于自变量t 的系数不同，则达到同样函数值2的时间不同。 •时间变量乘以一个系数等于改变观察时间的标度。
a 1 压缩,保持信号的时间缩短 f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
4．一般情况
f t f at b f at b a 设a 0
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
振幅：K 周期：T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
欧拉(Euler)公式
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
t
间为，t0时函数有断点，跳变点
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0

信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析可修改全文

17
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号重点：典型确定性信号的描述难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即

1.4和1.5奇异函数和系统描述

1、连续时间单位脉 2、离散时间单位脉冲信号称为单位序列，用δ (k)表冲信号用δ (t)表示，定义: 示，定义:
0 (t ) 1
t0 t0
1
0 (k ) 1
k0 k0
(k )
k
0
(1)矩形脉冲演变为冲激函数 (2)三角形脉冲演变为冲激函数

定义：矩形面积不变，宽趋于0时的极限
当t 0 当t 0
(t ) 积分
0
(t )
( )d (t )
d ( t ) (t ) dt
t
t
(t )
微分
0
反之：阶跃函数的微分应等于冲激函数
t
(t )
0
t
0
t
(d)冲激函数的尺度变换
1 (at ) ( t ) a
证明：
a0
简写作Sgn(t),可用阶跃信号表示。
1 t0 Sgn( t ) 1 t 0
sgn( t )
1
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或规定Sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
Sgn( t ) 2 ( t ) 1
３.单位冲激信号
某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述。例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲„„等等。
1
0
t 0t 0 1
t
(2)截平的斜变信号
在时间以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。
f1 ( t )
k
0

t
t 0 0 t t

信号与系统全套课件

解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)，称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号

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X
描述
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )

(t t0 )
时移的冲激函数

(1)
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0极限，都可以认为是冲激函数。

(t ) f (t ) d t f (0)
t

( t ) f (t ) d t

( ) f ( ) d( )
( ) f ( ) d f (0)

又因为 (t )只在t 0有值，故 (t ) (t )

(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．标度变换
X
1、抽样性 (筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
d ' f (t ) (t ) f (0) (t ) dt
X
2. 奇偶性
(t ) ( t )
证明：

f t K
2π
T

振幅：K 2π 1 周期：T f 频率：f 角频率： 2 π f 初相：
O

2π

t
衰减正弦信号：
K e t sint f (t ) 0 t0 0 t0
X
欧拉(Euler)公式
1 jt jt sint e e 2j
1、

t

(t ) d t t

( t ) f ( t )dt f (t ) (t ) f (t ) (t )dt f (0) 2、
时移，则：

(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
X
3、冲激函数的抽样性定义(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )

(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)

o
t
对于移位情况：
(t ) f (t t 0) f (t0 ) (t )
X
3. 时间尺度变换
1 at t a
(5t ) f ( t )dt ?
X

四、单位冲激偶
s(t )
1
(t )

(1)
1
o
s(t )
1

t
O
t
0
(t )
2
1
2
O 1 2 1

t
O
t

2
X
冲激偶的性质
K
O

t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1 u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由 t t0 0 可知 t t0 , 即时，函数有断点，跳变点间为 t0时
t
O
t
求导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 (t)
(-<t< )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )

f (t ) (t ) d t f (0)

1 sgn( t ) 1 t 0 t0

O
2

2
sgnt
O
t
1 sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) [sgn( t ) 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出定义1 定义2 冲激函数的性质
X
t
( t ) d t 0
( t ) d t (t )
f (t ) (t ) d t f (0) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) a （6）卷积性质（4）微积分性质 d u( t ) t f t t f t (t ) ( ) d u(t ) X dt
（2）奇偶性 ( t ) (t )

X
定义2：狄拉克(Dirac)函数
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0

(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零；积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
X
一．单位斜变信号
1．定义
0 R( t ) t t0 t0
O
R(t ) 1 1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
t0
f (t )
t0 1 t
3．三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
t0 u( t t 0 )
t
1
t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。符号函数：(Signum)
定义1
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2

0

2
O

2
t
面积1；脉宽↓；脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
1 jt cost e e jt 2

e j t cost j sint
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sin t Sa( t ) t
1 Sat
性质
2π πO
t
π
① Sa t Sat ，偶函数 ② t 0 , Sa( t ) 1，即limSa( t ) 1 t 0 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t ⑤ lim Sa( t ) 0 t ⑥ sinc( t ) sinπ t π t
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
OHale Waihona Puke f t 1t0O t
通常把称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
§1.5 奇异函数
几种典型确定性信号
1.指数信号 2.正弦信号 3. 抽样信号(Sampling Signal) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 信号的表示函数表达式 f t
波形
X
1．指数信号
f (t ) A e t
l
l l
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
3、 ( t ) ( t ) , (t t ) (t t ) 0 0
所以 (t )是奇函数

(t ) d t 0 ,
X
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
(t )

(1)
3π
X
4．钟形脉冲函数(高斯函数)
f ( t ) Ee
E
0.78 E
t
2
f t
E e O

2
t
在随机信号分析中占有重要地位。
X
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号

信号与系统精解课件§1.5 奇异函数

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