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11.1 模糊数学的基本概念与运算

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第2讲 模糊数学方法解析

第2讲 模糊数学方法解析
模糊聚类分析法的一般步骤：
22
2020年9月23日
三、模糊聚类分析方法
1. 数据标准化 (1)获取数据
设论域U {x1, x2 ,, xn}为所需分类的对象，每个对象又
由 m 个指标表示其性态，即 xi {xi1, xi2 ,, xim }(i 1,2,, n) ，
则 A
xij
．
nm
(2) 数据的标准化处理
定义 2 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , (1) 若 x U ，有 B (x) A (x) ，则称 A 包含 B ，记 B A；
(2) 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记为 B A ．
定义 3 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , 则称 A B 和 A B 为 A 与 B 的并集和交集；称 Ac 为 A 的补集
的过渡点，即是模糊性最大的点．
5
2020年9月23日
一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记 U 上的模糊集的全体为 F (U ) ，即
F(U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域U 上的模糊幂集，显然 F (U ) 是一个 普通集合，且U F(U ) ．
19
2020年9月23日
二、模糊关系与模糊矩阵
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij )mn 为模糊矩阵，对任意的 [0,1] ．
(1)
如果令 rij ()
1, rij 0, rij
i 1,2,, m j 1,2,, n

模糊数学模糊集合及其运算

模糊数学模糊集合及其运算

AI B
u1
u2
u3
u4
u5
0.2 0.3 0.5
u1 u2 u5
2020/5/1
15
一般地，模糊集A和B的交并和余的计算，按论域U为有限和无 限分为两种表示
(1)
设论域U
{u1,...un}且A
n k 1
A(uk ), B uk
n k 1
B(uk ), uk
则A B n A(uk ) B(uk )，A B n A(uk ) B(uk )，AC n 1- A(uk )
2020/5/1
4
集合的运算规律
1、交换律 2、结合律 3、吸收律 4、幂等律 5、分配律
A B B A, A B B A A (B C) (A B) C , A (B C) (A B) C (A B) A A, (A B) A A
A A A, A A A
注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中 “分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。
模糊集合的表示
一般情况 A {(u, A(u)) | u U}
U有限或可数 A
A(ui ) / ui
A(ui ) ui
U无限不可数
A A(u) / u
2020/5/1
9
例3 设U={1,2,3,4,5,6},A表示“靠近4”的数集,则AF(U),各数属于A的 程度A(ui)如下
0.5 0.3 0.1 0.7 B ,
u1 u2 u3 u5
那么
A U B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u1
u2
u3
u4
u5
0.5 0.7 1 0.1 0.7 u1 u2 u3 u4 u5

模糊数学算法

模糊数学算法

模糊数学算法模糊数学算法在实际生活中有着广泛的应用，它能够处理一些模糊的和不确定的问题，为决策提供一种有效的方法。

本文将从模糊数学的基本概念、模糊集合、模糊关系以及模糊推理等方面进行阐述。

一、模糊数学算法的基本概念模糊数学算法是一种用于处理模糊问题的数学工具。

它通过引入模糊集合的概念，将不确定性和模糊性量化为数值，从而进行分析和决策。

模糊数学算法的核心思想是将传统的二元逻辑扩展为多元逻辑，使得问题能够更好地被描述和解决。

二、模糊集合模糊集合是模糊数学的核心概念之一。

与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，而不仅仅是0或1。

模糊集合的隶属度表示了元素与集合的关系的程度，它可以是一个实数，取值范围在0到1之间。

模糊集合的隶属度函数可以是线性的，也可以是非线性的，根据具体问题的需要进行选择。

三、模糊关系模糊关系是模糊数学的另一个重要概念。

它是对两个模糊集合之间的关系进行描述。

模糊关系可以用矩阵表示，其中的元素表示两个模糊集合之间的隶属度。

模糊关系可以用来描述模糊的空间关系、时间关系、因果关系等，为问题的分析和决策提供依据。

四、模糊推理模糊推理是模糊数学算法的重要应用之一。

它通过将已知的模糊信息进行推理，得出新的模糊结论。

模糊推理可以分为两个步骤：模糊化和去模糊化。

模糊化将传统的精确信息转化为模糊集合，而去模糊化则将模糊集合转化为具体的数值。

模糊推理可以用于模糊控制、模糊优化和模糊决策等方面，为实际问题的解决提供了一种有效的方法。

模糊数学算法是一种用于处理模糊问题的数学工具，它通过引入模糊集合和模糊关系的概念，将不确定性和模糊性量化为数值，从而进行分析和决策。

模糊推理是模糊数学算法的重要应用之一，它通过将已知的模糊信息进行推理，得出新的模糊结论。

模糊数学算法在实际生活中有着广泛的应用，可以用于模糊控制、模糊优化和模糊决策等方面，为实际问题的解决提供了一种有效的方法。

数学建模方法详解--模糊数学

数学建模方法详解--模糊数学

数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。

例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。

随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。

统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。

在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。

对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。

模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。

本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。

如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。

在此，总是假设问题的论域是非空的。

为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。

于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。

模糊数学基本概念

模糊数学基本概念

模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，它基于模糊集合理论，用于描述和处理无法精确量化的概念和现象。

以下是模糊数学的一些基本概念：
模糊集合：模糊集合是一种将不确定性或模糊性引入集合概念的数学工具。

与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，表示元素与集合的模糊关系。

隶属函数：隶属函数是模糊集合中元素与集合的隶属度之间的映射关系。

它描述了元素在模糊集合中的程度或概率。

模糊关系：模糊关系是一种描述模糊集合之间的关系的数学工具。

它反映了元素之间的模糊连接或模糊相似性。

模糊逻辑：模糊逻辑是一种处理模糊命题和推理的逻辑系统。

它扩展了传统的二值逻辑，允许命题具有模糊的真值或隶属度。

模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则和模糊推理机制进行推理和决策的方法。

它能够处理模糊的输入和输出，并提供模糊的推理结果。

模糊数学运算：模糊数学中存在一系列的运算，包括模糊集合的并、交、补运算，模糊关系的复合运算等。

这些运算用于处理模糊集合和模糊关系的操作。

模糊控制：模糊控制是一种应用模糊数学方法进行控制的技术。

它通过模糊逻辑和模糊推理实现对复杂系统的控制，具有适应性和容错性的特点。

以上是模糊数学的一些基本概念，它们构成了模糊数学理论的基础，被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别、控制系统等领域。

数学建模-模糊数学理论

数学建模-模糊数学理论

1.2 模糊集与隶属函数
• 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。 •普通集合——特征函数 设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定）
•模糊集合——隶属函数
1.2.1模糊集与隶属函数的概念
1）论域U上的模糊集合A指：对于任意的u∈U, 总是以某个程度 属于A；即对于所研究的 某个对象，我们不能确定它有或者没有一个模 糊概念所描述的性质。而只能讨论它具有这种 性质的程度是多少。用集合论的观点说，定义 一个模糊集合，我们无法确定一个元素是否属 于这个模糊集合，而只能说它有多大程度属于 这个模糊集合。这种从属程度我们用0，1之间 的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的 想法。
4）二元对比排序法
对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过 两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序， 再用数学方法加工得到隶属函数，其实是隶属函数的 一种离散表示法
2模糊关系与模糊矩阵
2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念
1）模糊关系
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系
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• 模糊数学所研究的不确定性是：它所处理事 物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女 生”、“黎明时刻”、“班上高个子学生”等。 我们无法明确地指出，从几点钟开始就算黎明， 或身高多少就是高个子。这种概念具有模糊性， 无法用普通集合来描述。为了定量地表示这类 模糊概念，并研究它们的客观规律性，就必须 把普通集合的概念加以拓广，借助于模糊集合 来研究。
模糊数学

模糊数学(讲义)

模糊数学(讲义)

模糊数学及其应用引言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。

模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。

这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。

而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。

清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。

模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。

实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。

传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。

但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。

如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。

根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。

这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。

类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。

它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。

模糊数学ppt课件

模糊数学ppt课件

1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等

模糊数学-模糊数学基本知识

模糊数学-模糊数学基本知识

隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).

第11章 模糊数学方法

第11章 模糊数学方法
Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为 n 阶方阵，定义 R 2 = R ° R，R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2={(x, y) | x + z = 5} = {(2,3), (3,2), (4,1)}.
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最 具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经 典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子 集就是模糊子集的特殊情形.
映射与扩张
映射 f ： X Y 集合A的特征函数：
1, x A ; A ( x) 0, x A.
特征函数满足：
取大运算, 如 2∨ 3 = 3
A B ( x) A ( x) B ( x); A B ( x) A ( x) B ( x); A ( x) 1 A ( x). 取小运算,
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为

模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系

模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
模糊数学1第二讲-模糊集合与模 糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。

第一讲 模糊数学基本知识

第一讲 模糊数学基本知识

§1.2 模糊集的基本定理
λ-截集： 截集： (A)λ = Aλ= {x | A(x) ≥ λ }
模糊集的λ 截集 是一个经典集合， 模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属 度不小于λ的成员构成. 度不小于λ的成员构成. 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 例：论域 (学生集) 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95 50,60,70,80,90,95， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习 学习 成绩好的学生” 成绩好的学生”的隶属度分别为 0.9,0.95， 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则 A0.9 (90分以上者 = {u5 , u6}, 分以上者) 分以上者 A0.6 (60分以上者 = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 分以上者) 分以上者
第一讲 模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价关系
§1.1 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的 上的模糊子集 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 隶属函数，它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 隶属函数，它表示 对A的隶属程度 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经 只取0或 时 模糊子集A就是经 当映射 只取 典子集， 就是它的特征函数. 典子集，而A(x)就是它的特征函数 可见经典子 就是它的特征函数 集就是模糊子集的特殊情形. 集就是模糊子集的特殊情形
模糊关系的合成 的关系, 的关系, 设 R1 是 X 到 Y 的关系 R2 是 Y 到 Z 的关系 上的一个关系. 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系 (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } ∧ ∈ 当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 矩阵的合成 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系 1 = (aik)m×s， 模糊关系 关系R ， × Y 到Z 的模糊关系 2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 模糊关系 关系R 模糊关 × 系可表示为模糊矩阵的合成： 模糊矩阵的合成 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.

模糊数学 第一讲

模糊数学 第一讲

0.1 0.4 0.5 0.6 , B = 0.3 例：设A = 0.1 0.2 0.3 0.5 0.1 0.5 0.6 A B= B A = 0.3 0.3 0.3 0.4
0.2 0.4 , 则 0.6 0.2 0.2 0.3 0.3 0.5 0.5
1, x < a b x 偏小型： ( x ) = 偏小型： A ,a ≤ x ≤ b ba 0, x > b
Γ分布
1, x < a 偏小型： 偏小型： A( x ) = e k ( x a ) , x ≥ a( k > 0) e k ( x a ) , x < a 中间型： 中间型： A( x ) = 1, a ≤ x < b( k > 0) e k ( x a ) , x b ≥ 0, x < a 偏大型： 偏大型：A( x ) = k ( xa ) , x ≥ a( k > 0) 1 e
二、模糊集合及其运算 1、模糊子集 、 定义： 是论域， 定义：设U是论域，称映射 是论域
A : U →[0,1],
~
x A( x) ∈[0,1]
确定了一个U上的模糊子集 ~ 确定了一个 上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函 上的 ~ ~
~
的隶属程度，简称隶属度 隶属度。 数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。 ~
A0.5
1 1 = 0 0
1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
A0.8
1 0 = 0 0
0 1 数的确定 常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型 常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型. 梯形分布： 梯形分布：
0, x < a xa ,a ≤ x < b ba A 中间型： 中间型： ( x ) = 1, b ≤ x < c d x 0, x < a ,c ≤ c < d xa d c 偏大型： 偏大型：( x ) = A ,a ≤ x ≤ b 0, x ≥ d ba 1, x > b

模糊数学基本知识

模糊数学基本知识

.模糊数学的基础知识1 •模糊集、隶属函数及模糊集的运算普通集合A ,对x ，有x A 或x A 。

如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。

模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到 ［0, 1］闭区间内，取值的函 数以度量这种程度的大小，这个函数(记为 E(x))称为集合E 的隶属函数。

即 对于每一个元素x ,有［0,1］内的一个数E(x)与之对应。

(1) 模糊子集的定义：射给定论域 U, U 到［0，1］上的任一映射： A:U ［0,1］, u A(u)( u U )都确定了 U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。

A(u)称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。

映射所表示的函数称为隶属函数。

例如：设论域U=［0，100］，U 上的老年人 这个集 合就是模糊 集合：,u 50 A(u) 川,u 50、2、1(1 ( ) 2) 1,50 u 1005若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。

(2) 模糊集合的表示：U {u 1,u 2,••…,u n }， A(u)称为元素u 属于模糊集A 的A(u 1) A(u 2) A(u n ) u 1 吐 •… u n或 A {A (u 1),A (u 2),••…,A(u n )}， A {(u 1,A(uJ), a, A(u 2)),••…,(比，人(山))}， (3) 模糊集合的运算：A {A(uJA(u 2),••…,A(u n )}，B {B(uJ,B(u 2),••…弋(山)}， 并集.A B {A(uJ B(uJ,A(u 2)B(u 2), 交集：A B {A(uJ B(uJ,A(u 2)B(u 2),隶属度；则模糊集可以表示为:,A(u n ) B(u n )}， ,A (u n ) B(u n )}，A c{1 A(uJ,1 AU),••…,1 A(u n)}，补集:包含：若u U,有A(u) B(u),则有A B ,2 •模糊集的截集已知U上模糊子集A:U [0,1],u A(u)( u U)对[01]，则称A {uu U,A(u) }为模糊集A的-截集；称A s {u u U,A(u) }为模糊集A的-强截集；称为A、A s的置信水平或阀值。

模糊数学概述

模糊数学概述
1 60 1 ( A B) ( B C ), 90 | A 90 |]
26
非典型三角形T＝ IcRc Ec，因而
T ( A, B, C ) 1 I ( A, B, C ) (1 R( A, B, C )) (1 E ( A, B, C ))
1 180 min[ 3( A B),3( B C ), ( A C ),2 | A 90 |].
则称如下的“序偶”组成的集合 A＝{(x | A(x))}, xX 为
X 上的模糊子集合，简称模糊集合。
10
称 A(x) 为 x 对 A 的隶属函数，对某个具体的 x 而言， A(x) 称为 x 对 A 的隶属度。 定义 2 设 X 是论域，映射
A(· )：X → [0, 1]
x︱→ A(x) 称为 X 的模糊子集(合) A ( Fuzzy Set )，简称 F 集(合) 。 对 x ∈X， A (x) 称为 x 对 A 的隶属度， A 称为F 集 的隶属函数。
tT tT
B At
tT
x X , B( x) At ( x), (3.1.18).
20
模糊集合的隶属度
模糊集是客观世界数量与质量的统一体，人
们刻画模糊集是通过模糊集的特有的性质，即隶
属度来表现的。隶属度是人们认识客观事物所赋
予的该元素隶属于该集合的程度，带有主观经验
17
由上述定义，易证下面的命题。 命题 1 F ( X ) 上的包含关系 “” 有以下性质： (1) AF ( X )， A X。 (2) 自反性： AF ( X )， A A。 (3) 反对称性： A、BF ( X )，若 A B 且 B A，则 A＝B。 (4) 传递性： A、B、CF ( X )，若 A B 且 B C，则 A C 。
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对应，则该映射便给定了论域U上的一个模糊子
~ ~ ~ A x 称作x对 A 集 A , A 称作 A 的隶属函数， 的隶
属度。
（2）模糊子集的表示方法 模糊子集通常有以下几种表示方法： ① 向量表示方法
~ 子集 A。一般地，若论域为 U x1, x2 ,, xn ，则模 ~ 糊子集 A 可表示为如下向量：
如果论域U是有限集时，可以用向量来表示模糊
~ A [1, 2 ,, n ]
（11.1.3）

~ i [0,1](i 1,2,n) 为第i个元素对 A 的 式中，
隶属度。
② 查德表示方法
如果论域U是有限集时，采用查德记号可以将
模糊子集 A 表示为：
n ~ u1 u2 un ui A （11.1.4） x1 x2 xn i 1 xi
糊关系。
模糊矩阵：
~ 当U和V为有限集合时，模糊关系 R 可以用矩阵表示为：
~ R ( rij ) mn
r11 r21 r m1
r12 r22 rm 2
r1n r2 n rmn
（11.1.9）
rij R ( xi , y j ) ， rij [0,1] ，i 1,2,, m ；j 1,2,, n ；
③ 全称关系E：
E E ( x, y) 1
x, y U
x, y U
④ 转置关系或逆关系 RT :
RT RT ( x, y) R ( y, x)
x, y U
（2）模糊关系的合成及其性质
R1 是U到V上的模 设U、V 、W 是三个集合，
R2 是V到W上的模糊关系，则称 R1 R2 糊关系，
，
~ A {x A ( x) ,
x U}
~ ~ 前者称为 A 的强 –截集，后者称为 A 的弱 -截
集,有时也把二者统称为 –截集。
2.模糊子集的 -截集的性质
~ ~ ~ ~ ① 若 ，则 A A ， A A ；
② 对于任意 [0,1] ，都有： A A ；
⑦ R ( R1 R2 ) R R1 R R2
( R1 R2 ) R ( R1 R) ( R2 R)
⑧
T ( R1 R2 )T R1T R2
T ( R1 R2 )T R1T R2
⑨
( RT )T R
（3）模糊相似关系与模糊等价关系
I R RI R
③
0 R R0 0
T ( R1 R2 )T R2 R1T
R1 R R2 R ④若 R1 R2 ，则有 R R1 R R2 ，
⑤
⑥
R ( R1 R2 ) R R1 R R2
( R1 R2 ) R ( R1 R) ( R2 R)
0 x 1
（11.1.2）
（11.1.2）式也可以记作 x [0,1] ，其图形如 图11.1.2所示：
图11.1.2
隶属函数 μ（x）
② 模糊子集的定义。 设U是一个给定的论域（即讨论对象的全体范 围）， A : x [0,1] 是U到[0,1]闭区间上的一个映射， 如果对于任何 x U ,都有唯一的 A x [0,1] 与之
第11章 模糊数学方法
模糊数学的基本概念与运算 模糊聚类分析方法 模糊综合评判方法
在地理学中，模糊现象和模糊概念是大量存 在的。对于地理区划，地理模式识别，资源、环
境及生态评价，区域发展规划与决策，……，等
许多问题的研究，都必然涉及到模糊现象、模糊 概念与模糊逻辑问题。对于这类问题的定量化研 究，模糊数学方法是必不可少的重要工具。
第1节 模糊数学的基本概念与运算
模糊数学基本知识 应用实例：农业生态气候适宜度模型
一、模糊数学基本知识
（一）模糊子集及其运算 现实世界中并非所有事物和现象都具有明 确的界限 ，没有绝对外延的概念称之为模
糊概念。
它们不能用一般集合论来描述，需要用模
糊集合论去描述。
1.模糊子集及其表示方法
~
式中，绝对不是分式求和，而只是一个记号，
其“分母”表示论域U中的元素，“分子”是相应 元素的隶属度，当隶属度为0时，那一项可不写入。
如果论域U是无限集时，采用查德记号可将模 ~ 糊子集 A 表示为：
~ A
xU
A ( x) x
（11.1.5）
式中：“积分号”不是普通的积分，也不代表 求和，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的
⑤

~ ~ A A ~ ~ A A

~ ~ A A
~ ~ A A
⑥
，


⑦
~ ~ A A
[ 0,1]
（三）模糊关系与模糊变换
1.模糊关系
（1）模糊关系的概念 模糊关系，是一般关系的推广，其定义为：设 U和V是两个普通集合，则U和V的直积
一个总括。
2. 模糊子集的运算及其性质
（1）模糊子集的运算
~ 论域U上两个模糊子集 A 和 B 之间的相等、包含
~
关系，以及并、交、补运算，分别定义如下： ~ ~ A B A ( x) B ( x) x U ~ A A ( x) 0 x U ~ ~ A B A ( x) B ( x) x U ~ A A ( x) 1 A ( x ) x U
是一个模糊变量。式中，有 0 b j 1( j 1,2,, n)。
二、应用实例：农业生态气候适宜度模型
农业生态气候适宜度模型 模型应用实例：甘肃黄土高原区农业 生态气候条件分析
（一）农业生态气候适宜度模型
资源模型 ：表示光、水、热组合过程对作物生 长可提供的气候资源。 1 ~ ~ ~ ~ S1 (t ) [ S T (t ) S R (t ) S I (t )] 3 连续过程： 1 S1 (t ) [ S T (t ) S R (t ) S I (t )] / t t[ 0 ,t 0 ] 3 离散过程：
，
~
~
③ 对于任意 [0,1] ，都有：
~ ~ ~ ~ ( A B) A B
~ ~ ~ ~ ， ( A B) A B
④ 对于任意 [0,1]，都有：
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B ) A B ( A B) A B ，
（1）模糊子集 ① 隶属函数。 在经典集合论中，一个元素x和一个集合A之间的 关系只能有 x A 或者 x A 这两种情况。元素与集 合之间的关系可以通过特征函数刻画，每一个集合A 都有一个特征函数 CA ( x) ，其定义为：
1 x A C A ( x) 0 x A
（11.1.1）
模糊子集的运算，具有如下几个基本性质：
① 幂等律： A A A , A A A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ② 交换律： B B A , A B B A
~
~
~
~
~
~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B ) C A (B C) ③ 结合律： ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B) C A ( B C )
即
x, y, z U
[ R ( x, z) R ( z, y)] R ( x, y)
则称R为U中的模糊等价关系。
2.模糊变换
设R是一个给定的模糊矩阵
R ( rij ) mn r11 r12 r1n r21 r22 r2 n r r r mn m1 m 2
连续过程：
S 2 (t )
离散过程：

t[ 0,t0 ]
[ST (t ) S R (t ) S I (t )] t
S 2 (t )
[S
j 1
n
T
(t j ) S R (t j ) S I (t j )] / t j
结构模型：反映了农业生态气候过程的区域差异。 权 重 ai (i 1,2,3) 的选择，旱生和长日照作物区，可适当 增大 a2 ，减小 a3；喜温喜湿作物区，可酌情增大
模糊相似关系： 设 R 是 U 中的模糊关系，若它满足如下性 质： ① 自反性： x U ，R ( x, x) 1
R ( x, y) R ( y, x) ② 对称性： x, y U ，
则称R为U中的模糊相似关系。
模糊等价关系：
设R是U中的模糊相似关系，若它满足传递性，
为关系 R1 与 R2 的合成，且规定它为U到W上的
模糊关系，其隶属函数为：
R R ( x, z) [R ( x, y) R ( y, z)]
1 2 1 2
模糊关系的合成，具有如下基本性质： ① 结合律： ( R1 R2 ) R3 R1 ( R2 R3 ) ②

1 S1 (t ) [ST (t j ) S R (t j ) S I (t j )] / t j j 1 3

n
效能模型 ：反映了光、水、热匹配程度及其对作 物生长的适宜度过程。
~ ~ ~ ~ S 2 (t ) S T (t ) S R (t ) S I (t )
U V {( x, y) x U , y V }
~ R 上的一个模糊子集 称为U到V上的一个模糊关系。
若 ( x, y) U V ，则称 R ( x, y) 为x与y
~ 具有关系 R 的程度。
~ 一般地，也可以记为 R( x, y) 。 ~ 特别地，当U=V时，则称 R 为U中的模