高中数学空间图形平面

高中数学平面几何知识点总结平面几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的重要部分。

平面几何主要研究平面上的点、线、角等基本概念及其相互关系。

平面几何是一门具有实际应用意义的数学，它的研究对象广泛，包括建筑、工程、艺术等诸多领域。

本文将对高中数学平面几何知识点进行总结。

一、基本概念1. 点：空间中没有大小和形状的基本对象，用大写字母表示。

2. 直线：由无数个点组成的、没有宽度和厚度的对象，用小写字母表示，或用两个点表示。

3. 射线：起点为一个确定的点，沿着一定方向无限延伸出去的对象，用一个点表示。

4. 线段：有两个端点的、有限长的直线部分，用两个点表示。

5. 角：由两条射线公共端点组成的图形，用大写字母表示公共端点，用小写字母表示两条射线，或用符号“∠”表示。

6. 垂线：与另一直线或平面垂直的直线。

二、图形的性质1. 三角形：三条边和三个角，有三个顶点的图形。

2. 直角三角形：其中一个角是90度的三角形。

3. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。

4. 等边三角形：三边长度都相等的三角形。

5. 相似三角形：三角形的对应角相等，对应边成比例。

6. 平行四边形：具有两组对边平行的四边形。

7. 矩形：具有四个直角的平行四边形。

8. 正方形：具有四个直角和四边相等的矩形。

9. 梯形：具有一组对边平行的四边形。

三、角的性质1. 垂角：两条互相垂直的直线所形成的角。

2. 对顶角：两条直线交叉而形成的相对角。

3. 同位角：两条平行线与一条直线相交所形成的对应角。

4. 内角和定理：任意$n$边形的内角和为$(n-2)\times 180^\circ$。

5. 外角和定理：任意凸$n$边形的外角和为$360^\circ$。

四、圆的性质1. 圆：平面上所有到圆心距离相等的点所组成的图形。

2. 圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

3. 切线：与圆相切的直线。

4. 弦：连接圆上两点的线段。

5. 弧：圆上两点之间的一段曲线。

6. 弧长公式：弧长等于圆周率$\pi$乘以弧所对圆心角的度数再除以180度。

高中数学中的立体几何与平面几何在高中数学学科中，立体几何和平面几何是非常重要的两个分支。

立体几何研究的是空间中的图形及其性质，而平面几何则研究的是二维平面上的图形及其性质。

这两个分支互相关联，为我们理解和应用几何学知识提供了基础。

本文将深入探讨高中数学中的立体几何与平面几何，介绍其基本概念、性质和应用。

一、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究空间中的图形的学科，它包括对多面体、球体、圆柱体、圆锥体等的研究。

这些图形都具有一些特定的性质和运算规律，我们将重点介绍其中的一些。

1. 多面体的特征与分类多面体是由多个平面多边形构成的立体图形。

根据多面体的特征和性质，我们可以将其进行分类。

常见的多面体包括正多面体、柱面镶嵌和柔皮镶嵌等。

正多面体具有等边等角的特点，如正四面体、正六面体和正八面体等。

柱面镶嵌是由两个相似的多边形拼接而成的，如圆柱体和圆锥体。

柔皮镶嵌则是由多个三角形拼接而成的，如平面镶嵌和曲面镶嵌。

2. 球与圆柱体的性质与应用球是由一个平面围绕其上的一个轴旋转形成的立体图形，具有一些独特的性质。

比如，球的表面积和体积的计算公式，以及球内切与外切原理等。

圆柱体则由一个矩形沿其中的一条边曲面而成，也具有一些独特的性质。

圆柱体的体积计算公式、侧表面积与全表面积的计算方法等是我们学习的重点。

3. 空间几何体的投影和截面在研究立体几何时，我们可以通过不同方法来观察立体几何体的特征。

其中，投影和截面是两种常用的观察方法。

投影是指将一个物体沿一条或多条射线的方向，将其投射到一个平面上形成的图形。

截面则是指通过一个平面切割立体图形所形成的图形。

通过研究和应用投影和截面的原理，我们可以深入理解立体几何体的特征和性质。

二、平面几何的基本概念与性质平面几何是研究平面图形的学科，它包括对点、线、面、角等的研究。

平面几何是我们学习几何学的基础，也是其他数学学科的重要组成部分。

1. 直线、射线与线段直线是由无穷多个点沿同一方向延伸而成的，它是平面几何中最基本的图形。

2.1.1平面2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．高考导航1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．2．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值5～7分．3．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2－1中学习)求角的大小．独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值5～7分．第1课时平面知识点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成画法45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；表示(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两方法个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l点A在直线l上A∉l A∈αA∉α点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外βl ⊂αl ⊄αl ∩m ＝A α∩β＝l ruize直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 直线 l ，m 相交于点 A 平面 α， 相交于直 线 l知识点二 平面的基本性质公理内容 图形 符号 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面内， A ∈l ，B ∈l 且 A ∈α， 那么这条直线在此 B ∈α⇒l ⊂α平面内过不在同一条直线 A ，B ，C 三点不共线公理 2 上的三点，有且只有 ⇒存在唯一的平面 α一个平面 使 A ，B ，C ∈α如果两个不重合的 平面有一个公共点， 公理 3 那么它们有且只有 一条过该点的公共 P ∈α 且 P ∈β⇒α∩β ＝l 且 P ∈l 直线1.公理 1 的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工 用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用 于立体几何的说理中)．2．公理 2 的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理 2 中要 注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能 确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三 点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因 此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．3．公理 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问 题；③证明线共点问题.公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集 就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．B C D[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间不同三点确定一个平面．( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( )☆答案☆：(1)× (2)× (3)√2．经过空间任意三点作的平面( )A ．只有一个B ．只有两个C ．有无数个D ．只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能 作一个平面． ☆答案☆：D3．如果 a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是 ( )A ．l ⊂αB ．l ∉αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B解析：∵l ∩a ＝A 又 a ⊂α，∴A ∈l 且 A ∈α.同理 B ∈l 且 B ∈α.∴l ⊂α. ☆答案☆：A4．如果空间四点 A 、 、 、 不共面，那么下列判断正确的是( ) A ．A 、B 、C 、D 四点中必有三点共线B ．A 、B 、C 、D 四点中不存在三点共线C ．直线 AB 与 CD 相交D ．直线 AB 与 CD 平行解析：A 、B 、C 、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直 线 AB 与 CD 既不平行也不相交，否则 A 、B 、C 、D 共面． ☆答案☆：B类型一 平面,例 1 下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一个平 面图形都可以表示平面；③平面 ABCD 的面积为 10 cm 2；④空间图形 中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法．平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面．综上，①③④错误，②正确．故填②.【☆答案☆】②平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念．方法归纳平面画法的四个关注点①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示．②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．③画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍．④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．跟踪训练1如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．☆答案☆：④l利用平面的概念及平面的画法进行判断．类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置 关系，并画出相应的图形：①A ∈α，B ∉α；②A ∈α，m ∩α＝A ，A ∉l ，l ⊂α；③P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面 α，β，γ 相交于一点 P ，且平面 α 与平面 β 相交于 P A ， 平面 α 与平面 γ 相交于 PB ，平面 β 与平面 γ 相交于 PC ；②平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD ，平面 ABC 与平面 ADC 相交 于 AC.【解析】 (1)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内；②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A ，且点 A 不在 直线 l 上；③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q .图形分别如图①②③所示．(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝ PC.图形表示如图④所示．②符号语言表示：平面 ABD ∩平面 BDC ＝BD ，平面 ABC ∩平面ADC ＝AC.图形表示如图⑤所示.本题考查数学抽象．在“A ∈α， ⊂α”中 A 视为平面 α(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面 α(集合)内的直线(子集)．方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有 几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言 表示，再用符号语言表示．AC ∴(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用 “∈” 或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面 ABC ， ________平面 BCD ，BD________平面 ABC ， 平面 ABC ∩平面 ACD ＝________.☆答案☆：∈ ∉ ⊄ AC根据符号的含义进行判断或转化 .类型三 平面性质的应用例 3 如图， ABC 在平面 α 外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BC ∩α ＝R.求证：P ，Q ，R 三点共线．【证明】 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈α.又 AB ⊂平面 ABC ，∴P ∈平面 ABC.由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q ，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P ，Q ，R 三 点共线．方法二 ∵AP ∩AQ ＝A ，∴直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ .又 AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，∴平面 APQ ∩α＝PQ.∵B ∈平面 APQ ， ∈平面 APQ ， BC ⊂平面 APQ .∵R ∈BC ，∴R ∈ 平面 APQ ，又 R ∈α，∴R ∈PQ ，∴P ，Q ，R 三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．方法归纳(1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．(2)证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“辅助平面法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．跟踪训练3如图，三个平面α、β、γ两两相交，α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a与b不平行，∴a 与b必相交，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b，∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．☆答案☆：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．☆答案☆：D3．下面空间图形画法错误的是()解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．☆答案☆：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．☆答案☆：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．☆答案☆：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b ＝M，则点M与l的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.☆答案☆：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．☆答案☆：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.☆答案☆：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①同理，EF ⊂平面 ADD A ，∴Q ∈平面 ADD A ，又∵平面 ABCD ∩平面 ADD A ＝AD ， N②10．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、N 、E 、F 分别是棱 CD 、 AB 、DD 1、AA 1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q ，求证：D 、A 、Q 三点 共线．证明：∵MN ∩EF ＝Q ，∴Q ∈直线 MN ，Q ∈直线 EF ，∵M ∈直线 CD ， ∈直线 AB ，CD ⊂平面 ABCD ，AB ⊂平面 ABCD ，∴M 、N ∈平面 ABCD ，∴MN ⊂平面 ABCD ， ∴Q ∈平面 ABCD.1 1 1 11 1 ∴Q ∈直线 AD ，即 D ，A ，Q 三点共线．[能力提升](20 分钟，40 分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( ) A ．六边形 B ．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、 菱形，故选 D.☆答案☆：D12．平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四 点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． ☆答案☆：1 或 413．如图所示，已知直线 a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C.所以 EF 綊1A B. 又因为 A B 綊 D C ， 所以 EF 綊1D C ， 可设 D F ∩CE ＝P .又 D F ⊂平面 A D DA ，CE ⊂平面 ABCD ，所以点 P 为平面 A D DA 与平面 ABCD 的公共点．又因为平面 A D DA ∩平面 ABCD ＝DA ， 所以据公理 3 可得 P ∈DA ，即 CE ，D F ，DA 三线交于一点． 求证：直线 a ，b ，c 和 l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面 α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则 a ，b ，l 都在平面 α 内，即 b 在 a ，l 确定的平面内．同理可证 c 在 a ，l 确定的平面内．∵过 a 与 l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于 a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点， F 为 AA 1 的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接 EF ，D 1C ，A 1B ，因为 E 为 AB 的中点，F 为 AA 的中点， 1 2 11 12 1所以 E ，F ，D ，C 四点共面，1 1 1 1 1 1 11 11。

高一数学知识点总结：空间点、直线、平面的位置关系高一数学知识点总结：空间点、直线、平面的位置关系本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系，在认识过程中，可以进一步提高同学们的空间想象能力，发展推理能力．通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系，点、线、面的位置关系是立体几何的主要研究对象，同时也是空间图形最基本的几何元素．重难点知识归纳1、平面(1)平面概念的理解直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．(2)平面的表示法①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．②字母表示：常用等希腊字母表示平面．它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示为：．注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作．公理的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间直线(1)空间两条直线的位置关系①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a、b、c是三条直线，．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(3)两条异面直线所成的角注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．3．空间直线与平面直线与平面位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内：有无数个公共点；(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行：没有公共点．4．平面与平面两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行：没有公共点；(2)两个平面相交：有一条公共直线．。

高中数学三维空间平面相交点计算方法在高中数学中，三维空间平面的相交问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要掌握一定的计算方法和技巧。

本文将从几何和代数两个方面，详细介绍三维空间平面相交点的计算方法，并通过具体的题目进行举例，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、几何方法几何方法是通过观察和分析几何图形的性质，来求解三维空间平面相交点的方法。

我们以两个平面相交为例进行说明。

题目：已知平面P1：2x + y + z = 3和平面P2：x - 3y + 2z = 4，求两平面的交点坐标。

解析：首先，我们可以通过观察两个平面的法向量来判断它们是否相交。

平面P1的法向量为(2, 1, 1)，平面P2的法向量为(1, -3, 2)。

如果两个平面的法向量不平行，则它们一定相交。

计算两个法向量的点积，(2, 1, 1)·(1, -3, 2) = 2 - 3 + 2 = 1，由于点积不为0，可以确定两个平面相交。

接下来，我们可以通过求解联立方程组的方法，求出两平面的交点坐标。

将两个平面的方程联立，得到如下方程组：2x + y + z = 3x - 3y + 2z = 4通过高斯消元法或其他求解线性方程组的方法，可以求得x = 1，y = 1，z = 1。

因此，两个平面的交点坐标为(1, 1, 1)。

这个题目通过几何方法解决了两个平面相交的问题。

在实际应用中，几何方法常用于求解平行或垂直平面的相交点，具有较好的可视化效果。

二、代数方法代数方法是通过代数运算和方程求解的方法，来求解三维空间平面相交点的坐标。

我们以直线与平面相交问题为例进行说明。

题目：已知直线L：x = 1 + t，y = 2 - t，z = 3 + 2t与平面P：2x + y - z = 4相交，求直线与平面的交点坐标。

解析：首先，我们可以将直线的参数方程代入平面的方程，得到一个关于参数t的方程：2(1 + t) + (2 - t) - (3 + 2t) = 4化简得到5t = 4，解方程可得t = 4/5。

高中数学解析几何教案：平面与空间的关系一、平面与空间的概念及关系解析几何是高中数学的重要内容之一，而平面与空间的关系是解析几何中最基础的概念之一。

本文将详细介绍平面与空间的概念、性质以及它们之间的关系。

1. 平面的定义与性质1.1 平面的定义平面可以用来描述二维空间上无限延伸并且无厚度的图形。

在解析几何中，平面通常用字母P表示。

1.2 平面的性质- 延伸性：平面是无限延伸的，它没有边界或者结束点。

- 无厚度：平面是没有厚度的，所以我们把它画在纸张上时，可以看做它是一个二维图形。

- 任意两点确定一条直线：在同一个平面上，通过任意两个不重合且不共线的点可以画出唯一一条直线。

- 确定性：在三维空间中，只需要确定三个不共线的点就可以唯一确定一个平面。

2. 空间的定义与性质2.1 空间的定义空间是指具有三个独立变量（坐标轴）的图形描述，通常用字母S表示。

空间包含了长度、宽度和高度这三个维度。

2.2 空间的性质- 三维性：空间是具有三个维度的，分别是x、y和z轴，分别对应了长度、宽度和高度。

- 自由度：在空间中的点可以自由地在三个方向上移动，即具有三个自由度。

二、平面与空间的关系平面与空间之间存在着密切的关系，在解析几何中，掌握平面与空间的关系对于理解和应用解析几何知识至关重要。

接下来将介绍平面与空间之间的一些重要关系。

1. 平行关系1.1 平面内平行关系在同一个平面内，如果两条直线不相交且在该平面内没有一条直线同时与这两条直线垂直，则称这两条直线为在该平面内平行的。

可记作l || m。

1.2 平面外平行关系如果一个平面与另一个不相交的平面没有公共点，并且这两个平面也不能相互包含，则称这两个平面为相互平行的。

可记作P || Q。

2. 垂直关系如果两个平面相交，而且它们的交线与某一直线垂直，则称这两个平面是垂直的。

可记作P ⊥ Q。

3. 共面关系如果一个点同时在两个或多个平面上，那么这些平面就称为共面的。

相应地，如果一条直线同时在两个或多个平面内，那么这些平面也称为共面的。

高中数学必修2知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学平面解析几何知识点归纳高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!高中数学平面解析几何知识点平面解析几何初步：①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。

直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。

②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。

③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。

空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。

高中数学平面解析几何知识点平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。

解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。

平面解析几何基本理论坐标在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。

最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。