实验二 平面图形和空间图形的画法

高中数学必修二空间几何体的直观图-教学设计与教学反思教学内容1、水平放置的平面图形的直观图画法。

2、空间几何体的直观图的画法。

数学目标1、了解空间图形的表现形式，掌握空间图形在平面的表示方法。

2、会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图。

3、会画简单空间几何组合体的直观图。

教学重难点1、用斜二测画法画直观图。

2、空间几何体的直观图画法。

教材分析画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。

本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。

而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础。

教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法，即斜二测画法。

教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法。

教学时可以适当延伸，讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。

学情分析高二年级学生年纪小，具有模仿力强，记忆力好，表现欲强等特点。

根据学生前几章已接触的空间几何体直观图和空间几何体三视图（主视图、俯视图、左视图）的知识，将学生引入到如何绘出这些空间的几何体。

非常符合学生的好奇心，能激发他们的求知欲，使他们易学、乐学。

教学方法诱导式教学方法、视听法、直观教学法、整体教学法教学准备多媒体PowerPoint课件、几何画板课件、自制图片、圆规、三角板、直尺等。

本节课主要是介绍空间几何体的直观图画法，可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结。

教师在此主要起的是引导和点拨的作用。

如在平面图形直观图的做法里面，给学生指出确定坐标系的关键性；引导学生发现其实是确定点位置的画法。

在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中，要引导学生的是进行对比学习,通过教师的设问进行点拨，如“平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别”。

通过本节授课我还有一些心得。

如在引导学生进行归纳总结的时候，教师应该不着急于给出正确的答案。

学生初始的回答可能只是其中的一两点，而且步骤不完整，甚至有错误的见解。

高中数学平面直观图的画法斜二测法苏教版必修二一、课题：平面直观图的画法——斜二测法二、教学目标：掌握用斜二测法画水平放置的平面图形和空间图形的画法和画图的一般步骤。

三、教学重、难点：斜二测画法的主要步骤，空间图形直观图的画法．四、教学过程：（一）新课讲解：1．空间图形的直观图的概念：在一个平面内不可能画出空间图形的真实形状，为了便于对空间图形的研究，我们将作出空间图形的直观图，即用平面图形表示空间图形，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．2．画水平直观图的方法——斜二测画法例1．坐标平面中，点的直观图的画法．画法：（1）设点(,)C a b ，作坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=；（2）在x 轴上的点A ，画在x '轴上，使O A OA ''=；（3）在y 轴上的点B ，画在y '轴上，使12O B OB ''=；（4）在x O y '''中，作y '轴的平行线x a '=，作x '轴的平行线2by '=，直线x '与直线y ' (,)2b a ．点C '即为点C 的直观图．图（1） 图（2）例2．坐标平面内直线与线段的直观图的画法．(,)C a b (,)2b a '画法：略。

例3．水平放置的正六边形的直观图．画法：（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，x 轴、y 轴相交于点O ；任取点'O ，画出对应的'x 轴、'y 轴，使''45x Oy ∠=；（2）以点'O 为中点，在'x 轴上取''A D AD =，在y '轴上取12G H GH ''=，以点H '为中点画//F E x '''轴，并使F E FE ''=；再以G '为中点画//B C x '''轴，并使B C BC ''=；（3）顺次连结,,,A B C D D E F A ''''''''，所得到的六边形A B C D E F ''''''就是水平放置的正六边形ABCDEF 的直观图．说明：图画好后，要擦去辅助线．练习：画水平放置的正五边形的直观图．例4．空间图形的直观图的画法．画棱长为2cm 的正方体的直观图． 画法：（1）作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使45BAD ∠=，2AB =cm ，1AD =cm ．（2）过点A 作z '轴使90BAz '∠=，分别过点,,,A B C D ，沿z '轴的正方向取 1111AA BB CC DD ====2cm ．（3）连结11111111,,,A B B C C D D A ，得到的图形就是所求的正方体直观图．图（1） 图（2）说明：上述画直观图的方法叫做斜二测法。

平面图形直观图的画法先观察下面的图形，总结投影变化规律。

投影规律：1.平行性不变;但形状、长度、夹角会改变；2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变3。

在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图画空间图形的直观图，一般都要遵守统一的规则,1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法斜二测画法的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′,且使∠x′O′y′＝_45°(或135°）_，它们确定的平面表示_水平面．(2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_一半_．注意点：1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半。

2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？提示：不是圆，是一个压扁了的“圆"，即椭圆。

3．立体图形直观图的画法由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平行于x轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图解：第一步:在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在的直线为Y轴，两轴交于点O。

第二篇微积分实验实验一一元函数的图形一、实验目的通过图形加深对函数性质的认识与理解，通过函数图形的变化趋势理解函数的极限；掌握用Mathemtica作平面曲线的方法和技巧．二、学习Mathematica命令1．在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot命令Plot的基本使用形式是Plot[f[x]，{x，min，max}，选项]其中f[x]要代入具体的函数，也可以将前面已经定义的函数f[x]代入，min和max分别表示自变量x的最小值和最大值，即说明作图时自变量的范围，必须输人具体的数值．Plot可以有很多选项(Options)，这样才能满足作图时的种种需要，例如输入Plot[x^2，{x，-1，1}，AspectRatio→1，PlotStyle→RGBColor[1，0，0]，PlotPoints→30]然后同时按下shift和Enter键，则作出函数y=x2在区间一1≤x≤1上的图形，选项AspectRatio→1使图形的高与宽之比为1：1．如果不输入这个选项，则命令默认图形的高宽之比为黄金分割值．选项PlotStyle→RGBColor[1，0，0]使曲线采用某种颜色．选项PlotPoints→30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点，增加这个选项会使图形更加精细．注符号“一>”是通过输人减号键和大于号键得到的．Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形，只要用集合的形式jfl[x]，f2[x]，…}代替f[x]．例如输入Plot[{x^2，Sqrt[x]}，{x，0，2}]则在同一坐标系内作出了函数y=x2和y= Sqrt[x]的图形2．在平面直角坐标系中利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot命令ParametricPlot的基本形式是ParametricPlot[{g[t]，h[t]}，{t，min，max}，选项]其中g(t)，h(t)是曲线的参数方程．例如输入ParametricPlot[{Cos[t]，Sin[t]}，{t，0，2Pi}，AspectRatio→1]则作出了一个单位圆3．极坐标方程作图命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图，则首先要打开作图软件包，输入<<Graphics`Graphics`执行以后，可使用PolarPlot命令作图，其基本形式是PolarPlot[r[t]，{t，min，max}，选项]例如曲线的极坐标方程为r=3cos 3t，要作出它的图形，输入<<Graphics`Graphics`PolarPlot[3Cos[3t]，{t，0，2Pi}]便得到了一条三叶玫瑰线4．隐函数作图命令ImplicitPlot先打开作图软件包，输入<<Graphics\Implicit.m命令ImplicitPlot的格式是ImplicitPlot[隐函数方程，自变量的范围，作图选项]例 输入ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2 x^2-y^2， {x ， -1， 1}]输出的图形是一条双纽线三、实验内容1．基本初等函数的图形倒1．1 作出指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图形，观察其单调性和变化趋势输入Plot[Exp[x]，{x ，-2，2}]可观察到指数函数的图形观察其单调性和变化趋势．输入Plot[Log[x]， {x ， 0.001， 5}， PlotRange →{{0， 5}，{-2.5， 2.5}}， AspectRatio →1] 观察自然对数函数的图形．(注意：自然对数用Log[x]表示， 以a 为底x 的对数用Log[a ，x]表示)观察其单调性和变化趋势注1 PlotRange 一>{{0， 5}， {-2.5， 2.5}}是显示图形范围的命令，第一组数{0，5}是描述x 的，第二组数{-2.5， 2.5}是描述y 的注2 有时要使图形的x 轴和y 轴的长度单位相等，需要同时使用PlotRange 和AspectRation 两个选项例1．2 作出函数sin y x =和csc y x =的图形，观察其周期性和变化趋势．输入命令Plot[Sin[x]， {x ， -2Pi ， 2Pi}]Plot[Csc[x]， {x ， -2Pi ， 2Pi}]分别观察sin y x =和csc y x =的图形，它们都是周期为2Pi 的函数为了比较，可以把它们的图形放在一个坐标系中，输入Plot[{Sin[x]，Csc[x]}，{x ，-2Pi ，2Pi}，PlotRange →{-2Pi ，2Pi}，PlotStyle →{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.5]}，AspectRatio →1]注 PlotStyle －>{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.5]}是使两条曲线分别具有不同的灰度的命令例1．3 作出函数cos y x =和sec y x =的图形，观察其周期性和变化趋势输入命令Plot[{Cos[x]，Sec[x]}，{x ，-2Pi ，2Pi}，PlotRange →{-2Pi ，2Pi}，PlotStyle →{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.5]}，AspectRatio →1]例1．4 作出函数y=tanx 和Y=cot x 的图形观察其周期性和变化趋势输入命令Plot[{Tan[x]，Cot[x]}，{x ，-2Pi ，2Pi}，PlotRange →{-2Pi ，2Pi}，PlotStyle →{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.5]}，AspectRatio →1]例1．5 将函数sin y x =，y x =，arcsin y x =的图形作在同一坐标系内，观察直接函数和反函数的图形间的关系输入命令Clear[p1， p2， px]；p1=Plot[ArcSin[x]， {x ， -1， 1}]；p2=Plot[Sin[x]， {x ， -Pi/2， Pi/2}， PlotStyle →GrayLevel[0.5]]；px=Plot[x ， {x ， -Pi/2， Pi/2}， PlotStyle →Dashing[{0.01}]]；Show[p1， p2， px ， PlotRange →{{-Pi/2， Pi/2}， {-Pi/2， Pi/2}}， AspectRatio →1] 注 Show[…]命令把称为p1，p2和px 的三个图形叠加在一起显示，选项PlotStyle 一>Dashing[{0.01}]使曲线的线型是虚线．例1·6 在同一坐标系内作出函数cos y x =，arccos y x =和y x =的图形，观察直接函数和反函数的图形之间的关系输人命令Clear[p1， p2， px]；p1=Plot[ArcCos[x]， {x ， -1， 1}， DisplayFunction →Identity]；p2=Plot[Cos[x]， {x ， 0， Pi}， PlotStyle →GrayLevel[0.5]，DisplayFunction →Identity]；px=Plot[x ， {x ， -1， Pi}， PlotStyle →Dashing[{0.01}]， DisplayFunction →Identity]； Show[p1，p2，px ，PlotRange →{{-1，Pi}，{-1，Pi}}，AspectRatio →1，DisplayFunction →$DisplayFunction]注 选项DisplayFunction->Identity 表示暂时不显示，出现选项：DisplayFunction 一>$DisplayFunction 时才显示．2．二维参数方程作图用命令Plot[ ]作多值函数的图形就不行了，此时用ParametricPlot[…]命令就方便得多例1．7 作出以参数方程x=2cost ，Y=sint(o ≤x ≤2Pi)所表示的曲线的图形．输入命令ParametricPlot[{2Cos[t]，Sin[t]}，{t ，0，2Pi}，AspectRatio →Automatic]注意，ParametricPlot 命令中选项AspectRatio 一>Automatic 与AspectRatio 一>1是等效的．而在Plot 命令中它们不是等效的．例1·8 分别作出星形线x=2cos 3t ，Y=2sin 3t(0≤t ≤2Pi)和摆线x=2(1-sint)，Y=2(1-cost)(0≤t ≤4Pi)的图形．输入以下命令ParametricPlot[{2Cos[t]^3，2Sin[t]^3}，{t ，0，2Pi}，AspectRatio →Automatic]ParametricPlot[{2(t-Sin[t])，2(1-Cos[t])}，{t ，0，4Pi}，AspectRatio →Automatic] 例1．9 作出极坐标方程为r=2(1-cosx)的曲线的图形曲线用极坐标方程表示时，容易转化为参数方程．命令ParametricPlot[…]也可以作出极坐标方程表示的图形．输入r[t_]=2*(1-Cos[t])；ParametricPlot[{r[t]*Cos[t]，r[t]*Sin[t]}，{t ，0，2Pi}，AspectRatio →1]可以观察到一条心脏线3．用极坐标命令作图例1．10 作出极坐标方程为r=e t/10的曲线(对数螺线)的图形输入命令<<Graphics`Graphics`PolarPlot[Exp[t/10]，{t ，0，6Pi}]4．隐函数作图例1．1l 作出由方程x 3+y 3=3xy 所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线)输入命令<<Graphics\ImplicitPlot.mImplicitPlot[x^3+y^3 3x*y ，{x ，-3，3}]输出为笛卡儿叶形线5．分段函数的作图例1．12分别作出取整函数y=[x]和函数y=x-[x]的图形输人命令Plot[Floor[x]，{x，-4，4}]Plot[x-Floor[x]，{x，-4，4}]例l.13作出符号函数y=sgn x的图形输入命令Plot[Sign[x]，{x，-2，2}]就得到符号函数的图形，点x=0是它的跳跃间断点一般的分段函数可以用下面的方法定义输人g[x_]:=-1/；x<0；g[x_]:=0/；x=0；g[x_]:=1/；x>0；Plot[g[x]，{x，-4，4}]便得到上面符号函数的图形，其中在组合符号“／．”的后面给出前面表达式的适用条件．例1.14作出分段函数的图形h[x_]:=Which[x 0，Cos[x]，x>0，Exp[x]]；Plot[h[x]，{x，-4，4}]作业：P25（1----11）实验六空间图形的画法一、实验目的掌握用Mathematiea绘制空间曲面和曲线的方法通过作图和观察。

【数学教案】如何教小学生练习画平面图形？前言数学是一门既抽象又实用的科学，是培养孩子逻辑思维和创新能力的重要学科。

在数学学习中，画平面图形是非常重要的环节，因为画图不仅可以帮助学生更好地理解数学概念，还可以培养孩子的观察力和想象力。

不过，针对小学生的画图教学也需要我们在方法和技巧上进合理的指导，促进孩子们的学习兴趣和成长。

二、对小学生画平面图形的教学指导1.指导孩子选择合适的绘图工具我们需要告诉孩子们画图需要用到笔、铅笔、尺子等工具，而选择好的绘图工具可以帮助画图更加精确。

同时，老师还需教孩子们如何使用这些工具，如怎样拿笔和尺子、如何控制手的方向和力度等。

这些基础技巧的掌握可以帮助孩子们在后面的画图过程中更加熟练和自信。

2.指导孩子们正确的画图步骤和方法对于小学生来说，画简单的平面图形已经使用一些已经掌握的图形元素，如点、直线、圆等。

老师通过教孩子们如何运用这些元素，制定出画图的正确步骤，同时也需要告诉孩子们这些基本图形的相互关系和特征。

3.运用现实生活中的例子来教授画图将抽象的数学知识与生活实际相联系是能够帮助孩子们更好地掌握知识的。

我们可以列举一些孩子们熟知的物品，例如房子、桌子、书包等生活中常见的物品。

老师教孩子们如何画出这些物品的平面图形，让孩子们通过对实物进行观察、想象、思考，学到如何画平面图。

4.让孩子们自己动手尝试画图正确的画图方法是通过反复练习和尝试来熟悉和掌握的，因此，老师需要设法让孩子们自己亲自动手练习画图。

可以利用简单的练习题，让孩子们在绘图方面不断锻炼，从而建立自信，养成良好的学习习惯。

5.互动合作，共同探究平面图形在班级乃至家庭环境中，鼓励孩子们互相探讨和交流平面图形的知识，更可以帮助孩子们更加轻松地学习画图。

可以把孩子们分成几个小组，让每个小组独立或协同练习某些知识点，最后可以再进行带班的知识测试。

三、课程设计和示范在课程设计中，我们需要根据小学生的年龄特点、兴趣点和学习能力，来设置适合的绘图课程，并确定相应的教学方法，在实际教学过程中进行示范。

第二部分关于“图形与几何”的问题研究一、图形的认识1．“几何学”、“图形”与“空间”各指什么？【几何学】数学中最古老的一门学科，据说起源于古代埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法。

“几何学”一词的外国语言名称就有土地测量的意思。

埃及产生的几何学传到希腊，逐步发展为理论的数学。

几何学是研究图形性质的一门数学分科。

所谓“图形”是指点、线、面、体以及它们的组合。

我国对几何学的研究有着悠久的历史。

在三千多年前制作的陶器上已经有了正方形和菱形等图案的花纹。

三千四百多年前的著作《墨子》给圆所下的定义比欧几里得的定义要早一百多年。

【图形】图形是数学的分支学科几何学的研究对象。

“图形”曾经被解释为“点、线、面、体以及它们的组合。

”现在则可解释为“点的集合”（点集）。

因为“线、面、体”都可以看做点的集合。

【平面图形】【立体图形】【空间图形】如果图形中所有的点在同一平面内，那么这样的图形叫做平面图形，如果图形中的点不全在同一个平面内，则叫做立体图形，又称空间图形，几何学中研究平面图形的分支学科叫平面几可，研究立体图形的叫立体几何或空间几何。

【非平面图形】有些版本的教科书还引进了“非平面图形”的概念。

他们把非平面图形定义为“所有的点不全在同一平面内的图形”，而将“平面图形”与“非平同图形”统称“立体图形”。

【几何体】【体】在几何学中所研究的图形包括体、面、线、点以及它们的组合。

一个物体如果只研究它的形状和大小，而不管它的其它性质，那么这样的物体就叫做几何体，简称为体。

可见，体是对客观世界中的物体进行抽象的产物。

同样大小的铅球和垒球，作为几何体是没有区别的。

【面】体是由面围成的。

例如，长方体是由六个长方形的平面部分围成的；球体是由一个球面围成的，面有平面和曲面。

球面就是一种曲面。

几何里的面是没有厚度的。

【线】面和面相交于线，线可以分为直线和曲线。

如刀面和西瓜的表面交于曲线。

在圆柱中，侧面和底面交于一个圆。

几何里的线是没有粗细的。

画法几何习题集答案问题一：如何确定一个平面图形在空间中的投影？答案：确定一个平面图形在空间中的投影，首先需要确定投影面和视图。

通常，我们使用正投影法，将图形投影到三个相互垂直的平面上，即前视图（正视图）、侧视图和俯视图。

通过这三个视图，可以完整地表达出空间图形的形状和尺寸。

问题二：如何绘制一个长方体的三视图？答案：绘制长方体的三视图需要从三个不同的方向观察长方体。

首先，绘制前视图，显示长方体的正面和侧面；然后，绘制侧视图，显示长方体的侧面和背面；最后，绘制俯视图，显示长方体的顶面和底面。

每个视图都应该展示长方体的相应边长和高度。

问题三：如何通过已知的两个视图来恢复第三个视图？答案：通过已知的两个视图来恢复第三个视图，需要利用空间几何关系和已知的尺寸。

首先，分析已知视图中的尺寸和形状，确定缺失视图的轮廓。

然后，根据已知视图中的尺寸和比例，计算缺失视图中的线段长度和角度。

最后，将计算出的数据绘制成缺失的视图。

问题四：如何判断两个平面图形是否平行或垂直？答案：判断两个平面图形是否平行或垂直，可以通过观察它们的投影。

如果两个图形在所有视图中的投影都保持相同的相对位置，并且没有相交线，那么这两个图形是平行的。

如果两个图形在某个视图中的投影相交于一条直线，并且在其他视图中没有相交，那么这两个图形是垂直的。

问题五：如何计算空间中两点之间的距离？答案：计算空间中两点之间的距离，可以使用空间两点距离公式。

设两点的坐标分别为 \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) 和 \( P_2(x_2, y_2, z_2) \)，则两点之间的距离 \( d \) 可以通过以下公式计算：\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]结束语：画法几何习题的解答需要对空间图形有深刻的理解，以及对几何原理和绘图技巧的熟练掌握。

通过不断的练习和思考，可以提高解决画法几何问题的能力。

学习过程一、复习预习直观图的画法：斜二测画法的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

二、知识讲解【考点1】：画水平放置的平面图形的直观图例1：画出如图1－1－27所示水平放置的等腰梯形的直观图．图1－1－27【思路】【解答】画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连结B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．【规律方法】1．斜二测画法中的建系原则：一般建立特殊的直角坐标系，尽量利用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为坐标原点，这样可便于直观图中点的确定．2．树立“一斜、二测”两种意识一斜——在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°角；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度为原长度的一半．【考点2】：画空间几何体的直观图例2：用斜二测画法画下底边长为4 cm ，上底边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图．【思路】【解答】 画法：(1)画轴．如图(1)，以底面正方形ABCD 的中心为坐标原点，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上取线段EF ，使得EF ＝AB ＝4 cm ，在y 轴上取线段GH ，使得GH ＝12AB ＝2 cm ，再过G ，H 分别作AB 綊EF ，CD 綊EF ，且使得CD 的中点为H ，AB 的中点为G ，得四边形ABCD 就是正四棱台的下底面ABCD .(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO 1，使OO 1＝2 cm ，过O 1点作O 1x ′∥Ox ，O 1y ′∥Oy ，使∠x ′O 1y ′＝45°，建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中重复(2)的步骤画出上底面A 1B 1C 1D 1.(4)成图．连结AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正四棱台的直观图．如图(2)．【规律方法】画立体图形的直观图，一般是先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关点，最后连线成图便可．【考点3】：由直观图还原平面图形例3：如图1－1－29，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．图1－1－29【思路】【解答】(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；(3)连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．【规律方法】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连结即可．三、 例题精析【例题1】【题干】以下关于斜二测直观图画法的说法正确的是________．①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变； ②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°； ④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．【解析】 由斜二测画法规则可知①②④均正确，③中∠x ′O ′y ′＝45°或135° 【答案】 ①②④【题干】如图1－1－32是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC 的形状是________三角形．图1－1－32【解析】由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC∴△ABC是直角三角形．【答案】直角【题干】水平放置的圆的直观图应该画成________．【答案】椭圆【题干】画出一个正三棱台的直观图．(尺寸为上、下底面边长分别为1 cm 、2 cm ，高为2 cm)【解】 ①画轴．如图所示，画x 轴、y 轴和z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.②画下底面．以O 为正三角形ABC 的中心，在y 轴上取线段EC ，使EC ＝32 cm ，CO ＝2OE ，过E 作平行于x 轴的线段AB ，使AE ＝EB ＝1 cm ，连结BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面．③画上底面．在z 轴上取线段OO ′，使OO ′＝2 cm ，过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，以O ′为正三角形A ′B ′C ′的中心，在y ′轴上取线段FC ′，使FC ′＝34 cm ，C ′O ′＝2O ′F ，过F 作平行于x ′轴的线段A ′B ′，使A ′F ＝FB ′＝12cm ，连结B ′C ′，C ′A ′，则△A ′B ′C ′为正三棱台的上底面．④连线成图．连结AA ′、BB ′、CC ′.则三棱台ABC －A ′B ′C ′为所要画的正三棱台的直观图．四、课堂运用1．(2013·湖南师大附中检测)利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是________．(填序号)(1)正三角形的直观图仍然是正三角形．(2)平行四边形的直观图一定是平行四边形．(3)正方形的直观图是正方形．(4)圆的直观图是圆．图1－1－342．一梯形的直观图是一个如图1－1－34所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为________．图1－1－353．直观图(如图1－1－35)中，四边形A′B′C′D′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中四边形ABCD的面积为________cm2图1－1－374．如图1－1－37所示，在四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图是______(填四边形的类型)，其周长为______cm.5．按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．图1－1－396．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积．课程小结1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于轴O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．3．对“一斜”、“二测”的理解，应把握以下两点：(1)互相垂直的Ox、Oy轴画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y＝45°或135°.(2)平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．课后作业1．如图1－1－33所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是________．个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.图1－1－363．如图1－1－36所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．4．如图1－1－38为水平放置的△ABO的直观图△A′B′O′，由图判断在△ABO中AB，BO，BD，OD，的大小关系是________．图1－1－38的直观图．。

1．1.4直观图画法下图所示是江南著名古镇之一的乌镇，它是由不同的几何体组合而成的，建筑工人在建造时要依据工程设计的图纸进行施工，工程师是利用什么方法画出图纸的呢？1．表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．2．斜二测画法是一种画直观图的方法，是一种特殊的平行投影画法，其步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3．画水平放置图形的步骤：①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系xOy，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；②画出直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；③在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；④按照画法规则，平行于x轴的线段长度不变，与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．4．画空间几何体直观图的步骤：①取相互垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz＝90°；②画O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；③画底面，平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；④画侧棱(或高)，平行于z轴的线段在直观图中长度不变；⑤成图，顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．,一、用斜二测画法画水平放置图形的步骤①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系xOy，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；②画出直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；③在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；④按照画法规则，平行性不变，长度与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．二、用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤①取互相垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz ＝90°；②画O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；③画底面，平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；④画侧棱(或高)，平行于z 轴的线段在直观图中保持长度不变；⑤成图，顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．基础巩固知识点一直观图的斜二测画法1．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直观图是梯形．以上结论，正确的是________(填序号)．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持平行且不相等，故⑤也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③、④不正确．答案：①②⑤2．在用斜二测画法画水平位置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′的值为__________．解析：因∠A的两边平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.答案：45°或135°知识点二由平面图形判断其直观图3．如下图，建立坐标系，得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(C)解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．4．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是(C)解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半，故只有C正确．知识点三由直观图判断平面图5．下图(1)为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是选项中的(C)解析：根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．6．如下图所示的直观图，其原图形是________三角形．解析：因在直观图中边B′C′与x′轴平行，边A′C′与y′轴平行，故原图形中∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：直角能力升级综合点一平面图形、空间几何体的直观图的画法7．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解析：画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB 的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′、D′A′，如图(2)，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．综合点二已知三视图画直观图8．下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解析：(1)画轴，如图(1)画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A，B两点，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．(3)成图，连接A′A，B′B.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图(2)．综合点三水平放置平面图形直观图中的计算问题9．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？解析：由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋2，高为2，所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.10．下图为水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系中点B 的坐标为(2，2)，则在斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为多少？直观图的面积是多少？解析：下图为正方形ABCD在x′O′y′中的直观图，作B′D′⊥x′轴，则在Rt△B′C′D′中，∠B′C′D′＝45°，B′C′＝1，∴B′D′＝B′C′·sin 45°＝1×22＝22.S▱A′B′C′O′＝O′C′×B'D'＝2×22＝ 2.即B′到x′轴的距离为22，直观图的面积为 2.。

讲练结合22-1平面图形的画法多媒体、PPT、作图工具、教材等1、掌握圆5等分的绘图方法；2、了解椭圆的画法，会用四心圆法（近似画法）画椭圆。

3、掌握正确的绘图方法和步骤，培养良好的认真细致的工作作风。

5等分圆及椭圆的画法四心圆法画椭圆无学生习题册P81、5等分圆及椭圆的画法都是具体规定，不涉及高深的知识，学生在理解上不会有困难。

2、画椭圆能力形成与提高，在于认真和多练习，熟能生巧。

应让学生有充分的思维空间和充足的动手时间。

2-1 平面图形的画法一、5等分圆作图步骤：1、画对称中心线，作￠40的圆2、作oa出的中点p3、以p为圆心，pb长为半径画弧oc交于s点4、bs即为5等分弧长二、椭圆的画法方法：四心法是一种近似的作图方法画图步骤：1、画对称中心线，取长轴AB、短轴CD2、连接BC，在BC上取CF=OB-OC3、作BF的对称中心线，交OB于1、交OD于24、作1、2的对称点3、45、以2为圆心、2C长为半径画弧以4为圆心、4D长为半径画弧以1为圆心、1A长为半径画弧以3为圆心、3B长为半径画弧一、复习提问二、新课讲授1、直线段的等分2、圆的3、6等分预习检测：四心圆法画椭圆，“四心”是指什么？第二单元机械制图的基本方法2-1 平面图形的画法一、5等分圆作图步骤：1、画对称中心线，作￠40的圆2、作oa出的中点p3、以p为圆心，pb长为半径画弧oc交于s点4、bs即为5等分弧长已知长轴AB 、短轴CD ，试用四心法作出椭圆。

三、课堂练习四、课堂小结 五、作业布置二、椭圆的画法 方法：四心法是一种近似的作图方法，即采用四段圆弧来代替椭圆曲线，由于作图时应先求出这四段圆弧的圆心，故将此方法称为四心法。

画图步骤：1、画对称中心线，取长轴AB 、短轴CD2、连接BC ，在BC 上取CF=OB-OC3、作BF 的对称中心线，交OB 于1、交OD 于24、作1、2的对称点3、45、以2为圆心、2C 长为半径画弧 以4为圆心、4D 长为半径画弧以1为圆心、1A 长为半径画弧 以3为圆心、3B 长为半径画弧已知长轴AB=100、短轴CD=60，试用四心法作出椭圆。