第六章万有引力 _2_

第六章 万有引力定律本讲义的主要内容 1. 行星的运动知识点1 “地心说”和 “日心说”’（1）“地心说”认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，大阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

（2）“日心说”则认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动．“地心说’的代表人物：托勒密(古希腊)．“地心说’符合人们的直接经验，同时也符合势力强大的宗教神学关于地球是宇宙中心的认识，故地心说一度占据了统治地位．知识点2 开普勒行星运动三定律开普勒行星运动定律从行星运动轨道，行星运动的线速度变化，轨道与周期的关系三个方面揭示了行星运动的规律．（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上（问：这一定律说明了行星运动轨迹的形状，不同的行星绕大阳运行时椭圆轨道相同吗? 不同．）（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．(问：如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上行星在远日点的速率与在近日点的速率谁大？ 答案：因为相等时间内面积相等，所以近日点速率大。

)（3）开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．（数学表达式：k T a =23，或2322322131.......nn T aT a T a ==，a 为椭圆的长半轴，T 为公转周期，k 是只与中心天体质量有关，而与行星无关的常量。

）知识点3 中学阶段对天体运动的处理方法由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在中学阶段研究中按圆处理，开普勒三定律适用于圆轨道时，应该怎样表述呢?1、大多数行星绕太阳运动轨道半径十分接近圆，太阳处在圆心上。

2、对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度大小）不变。

3、所有行星的轨道半径的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等．若用R 代表轨道半径，T 代表公转周期，开普勒第三定律可以用下面的公式表示： 比值k 是一个与行星无关的恒量。

必修二物理第六章万有引力知识点必修二物理第六章万有引力知识点定义：万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。

它的大小和物体的质量以及两个物体之间的距离有关。

物体的质量越大，它们之间的万有引力就越大;物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越小。

两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F=GmM/r^2,即万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。

其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位N·m2/kg2。

为英国科学家卡文迪许通过扭秤实验测得。

万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：ω=2π/T(周期)如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为mrω^2=mr(4π^2)/T^2另外，由开普勒第三定律可得r^3/T^2=常数k那么沿太阳方向的力为mr(4π^2)/T^2=mk(4π^2)/r^2由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。

从太阳的角度看，(太阳的质量M)(k)(4π^2)/r^2是太阳受到沿行星方向的力。

因为是相同大小的力，由这两个式子比较可知，k包含了太阳的质量M，k包含了行星的质量m。

由此可知，这两个力与两个天体质量的乘积成正比，它称为万有引力。

如果引入一个新的常数(称万有引力常数)，再考虑太阳和行星的质量，以及先前得出的4·π2，那么可以表示为万有引力=GmM/r^2两个通常物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。

比如，两个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍!但是，天体系统中，由于天体的质量很大，万有引力就起着决定性的作用。

在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体_地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。

电子课文●第六章万有引力定律在浩瀚的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体，如月亮、地球、太阳、夜空中的星星……由这些无数天体组成的广袤无垠的宇宙始终是人们渴望了解、不断探索的领域．这一章我们将学习对人类智慧影响至为深远、在天体运动中起着决定性作用的万有引力的有关知识，了解万有引力定律的发现及其在天体运动中的作用．电子课文●一行星的运动在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法．地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；日心说则相反，认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动．地心说和日心说之争经历了漫长的历程，其中有许多不平凡的故事，希望你能找来有关的资料读读．由于地心说比较符合人们的日常经验（太阳从东边升起，在西边落下，好像太阳绕地球运动），同时也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以地心说统治了人们很长时间．但是随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误．无论地心说也好，日心说也好，古人把天体的运动看得都很神圣．认为天体的运动必然是最完美、和谐的匀速圆周运动，天体的运动与地面上的运动所遵循的规律也应不同．德国天文学家开普勒（1571—1630）在最初研究他的导师——丹麦伟大的天文学家第谷（1546—1601）连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据时，也是以行星绕太阳做匀速圆周运动的模型来思考问题的，但是所得结果却与第谷的观测数据至少有8′的角度误差．当时公认的第谷的观测误差不超过 2′，开普勒想，这不容忽视的 8′也许是因为人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的．至此，人们长期以来视为真理的观念——天体做匀速圆周运动，第一次受到了怀疑．后来开普勒又仔细研究了第谷的观测资料，经过四年多的刻苦计算，先后否定了19种设想，最后终于发现：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上（开普勒第一定律）；所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等（开普勒第三定律①）．若用R代表椭圆轨道的半长轴（图6-1），T代表公转周期，由上面的叙述可知比值k是一个与行星无关的常量．开普勒关于行星运动的确切描述不仅使人们在解决行星的运动学问题上有了依据，更澄清了人们多年来对天体运动神秘、模糊的认识，同时也推动了对天体动力学问题的研究．电子课文●二万有引力定律对行星怎样运动的问题了解得比较清楚之后，人们便开始更深人地思考行星“为什么这样运动”的问题．这类问题在17世纪前就有人思考过，但是由于当时人们的认识所限，多数人都认为，圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必然应该做匀速圆周运动，无需什么动因．到了开普勒时代，开始萌发出许多关于天体运动不同的动力学解释．例如伽利略认为一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动；开普勒认为，行星绕太阳运动，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用；法国物理学家笛卡儿（1596—1650）认为行星的运动是因为在行星的周围有旋转的物质（以太）作用在行星上，使得行星围绕太阳运动．牛顿同时代的一些科学家，如胡克、哈雷等对这一问题的认识则更进一步．胡克等人认为，行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受的引力的大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比．但是他们无法证明在椭圆轨道下，引力也遵循同样的规律，更没能严格地证明这种引力的一般规律．牛顿在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了：如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律．下面让我们来看一下牛顿是怎样发现万有引力定律的．因为行星的椭圆轨道可以近似地看作圆形轨道，所以为了较方便地说明问题，我们把牛顿在椭圆轨道下证明的问题简化为在圆形轨道下来讨论．如果认为行星绕太阳做匀速圆周运动，那么，太阳对行星的引力F应为行星所受的向心力，即式中r是太阳和行星间的距离，v是行星运动的线速度，m是行星的质量．出结论：行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比．根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的力跟太阳吸引行星的力，大小相等并且具有相同的性质．牛顿认为，既然这个引力与行星的质量成正比，当然也应该和太阳的质量成正比．因此，如果用m′表示太阳的质量，那么有写成等式形式就是G是一个常量，对任何行星都是相同的．牛顿还研究了月球绕地球的运动，发现它们间的引力跟太阳与行星间的引力遵循同样规律．牛顿在研究了这许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比．如果用m1和m2表示两个物体的质量，用r表示它们的距离，那么，万有引力定律可以用下面的公式来表示：式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N．G为常量，叫做引力常量，适用于任何两个物体，它在数值上等于两个为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿还做了著名的“月—地”检验．基本想法是：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的1/3600，因为月心到地心的距离是地球半径的60倍．牛顿计算了月球的向心加速度，结果证明他的想法是正确的．请你查找有关的数据，自己计算一下月球绕地球做圆周运动的向心加速度，看看是否为地面上重力加速度的1/3600．质量都是 1kg的物体相距1m时的相互作用力，引力常量的标准值为G=6.67259×10-11N·m2/kg2，通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2．万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体，就是指两个质点的距离；对于均匀的球体，指的是两个球心的距离．万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一．它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响．它第一次揭示了自然界中一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑．万有引力定律的发现，在文化发展史上也有重要的意义．在牛顿时代以前，人们认为天体的运动隐藏着不可认识的规律．牛顿的出色工作使人们建立了信心：人们有能力理解天地间的各种事物．这种信心解放了人们的思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用．电子课文●三引力常量的测定牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出准确的引力常量．这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它显示出来．1789年，即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许（1731—1810），巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量．卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T型架，倒挂在一根金属丝的下端．T形架水平部分的两端各装一个质量是m的小球，T形架的竖直部分装一面小平面镜M，它能把射来的光线反射到刻度尺上（图6－2），这样就能比较精确地测量金属丝的扭转．实验时，把两个质量都是m′的大球放在图 6－2所示的位置，它们跟小球的距离相等．由于m受到m′的吸引，T形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，产生相反的扭转力矩，阻碍T形架转动．当这两个力矩平衡时，T形架停下来不动．这时金属丝扭转的角度可以从小镜M反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得 m与m′的引力 F．卡文迪许经过多次实验，证明牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了引力常量．他的实验结果跟现代测量结果是很接近的．想一想，怎样根据地球表面的重力加速度求得地球的质量？引力常量的测出有着非常重要的意义．它不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用价值．例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法，测定地球的质量．也正是由于这一应用，卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．由于引力常量很小，我们日常接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难觉察到它们之间的引力．例如两个质量各为50kg的人，相距1m时，他们相互的引力只相当于几百粒尘埃的重量．但是如果物体的质量很大，这个引力就非常可观了．例如地球对地面上物体的引力就很显著．太阳和地球之间的吸引力就更大，大约等于3.56×1022N．这样大的力如果作用在直径是9000km的钢柱上，可以把它拉断！正是由于太阳对地球有这样大的引力，地球才得以围绕太阳转动而不离去．电子课文●四万有引力定律在天文学上的应用天体之间的作用力，主要是万有引力．万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用．下面我们举例来说明万有引力定律在天文学上的应用．天体质量的计算应用万有引力定律可以计算天体的质量．基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心加速度，而向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得中心天体（太阳或行星）的质量．假设m′是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是它们之间的距离，T是行星公转的周期，那么行星做匀速圆周运动所需的向心力为而行星运动的向心力是由万有引力提供的，所以由此可以解出如果测出行星的公转周期T以及它和太阳的距离r，就可以算出太阳的质量．例如，地球绕太阳公转的轨道半径是1.50×1011m，公转的周期是3.16×107s，所以太阳的质量为同理，根据月球绕地球运转的轨道半径和周期，可以计算出地球的质量是5.89×1024kg．发现未知天体海王星的发现是应用万有引力定律取得辉煌成就的例子．一个科学的理论，不仅要能够说明已知的事实，而且要能预言当时还不知道的事实．在18世纪，人们已经知道太阳系有7个行星，其中1781年发现的第七个行星——天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定的偏离．当时有人推测，在天王星轨道外面还有一个未发现的行星，它对天王星的作用引起了上述偏离．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维列根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道．1846年9月23日晚，德国的加勒在勒维列预言的位置附近发现了这颗新行星．后来，天文学家把这个行星叫做海王星．用同样的方法，在1930年3月14日，人们发现了太阳系的第9个行星——冥王星．海王星、冥王星的发现，显示了万有引力对研究天体运动的重要意义．电子课文●五人造卫星宇宙速度人造卫星地球对周围的物体有引力的作用，因而抛出的物体要落回地面．但是，抛出的初速度越大，物体就会飞得越远．牛顿在思考万有引力定律时就曾设想过，从高山上用不同的水平速度抛出物体，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次离山脚远．如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来，它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星，简称人造卫星．图6－3是牛顿著作中所绘的一幅人造卫星的原理图．电子课文●六行星、恒星、星系和宇宙行星和恒星我们知道，在太阳的周围有9大行星绕其公转（哪9颗？）．太阳连同它的9大行星和许许多多的小行星、彗星（图6－5）组成了一个比地球一月球系统更高一层次的天体系统——太阳系，其中太阳为恒星．像太阳这样，由炽热气体组成，发热、发光，近似球体的天体叫恒星（彩图1），绕恒星转动的星体叫行星，而绕行星转动的星体则叫卫星，古人认为恒星是静止不动的，所以称其为“恒”星．其实恒星也是在运动的，只是由于距离地球太远，不借助特殊的天文仪器很难发现它们在天空中位置的变化．所有的恒星都在宇宙空间中高速地运动着．例如，太阳也在以2.46×108年的周期绕银河系的中心转动．太阳是离我们最近的一颗恒星．在太阳系中，虽然只有太阳一颗恒星，但在太阳系外却有着无数的恒星．其实，恒星才是宇宙中主要的天体．夜晚，当我们仰望天空时，肉眼所能见到的点点繁星，除了5颗大行星之外，都是像太阳一样的恒星．既然太阳有好几个行星在围绕它运转，而且有一个非常特殊的行星——地球，那么除了太阳系外，宇宙中是否还有其他行星系统呢？这是一个十分诱人的问题，因为如果存在其他行星系统，则有可能存在条件类似于地球的行星，也就有可能存在地外生命．科学家们推断，除了太阳之外，宇宙中还有一些恒星具有自己的行星．甚至有人估计银河系中大约有10％的恒星可能有自己的行星系统．但是由于行星本身不发光，距离我们又十分遥远，所以目前还不能用望远镜看到．不过行星围绕恒星的运动会对恒星有影响，因此，可以由恒星本身的运动，根据万有引力定律进行推算．能否发现太阳系以外的行星系统，对于探索地外文明具有非常重要的意义，世界上许多天文台正在进行这方面的研究．星系和宇宙现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚集”的特点．众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星．当在一起绕转的恒星数目超过10颗时，称其为星团．无数的恒星、双星、星团组成了更高一层次的系统——星系．太阳系所在的星系为银河系．银河系是我们较为熟悉的星系．在晴朗无云的夜晚，抬头仰望天空，在深蓝而又暗灰的天幕上有一条模糊的银白色光带，这就是银河（图6－6）．除了银河系外，人们又发现了许多其他星系，统称为河外星系（彩图3）．星系的数目非常之多，现在已观测到的星系的数目达109数量级．星系间的距离更是非常遥远，肉眼能见到的最近的河外星系是大麦哲伦云（只有南半球的居民可以看见），距离银河系也有16.9万光年之遥．随着观测技术的进步，目前已能观测到150亿光年左右的河外星系．星系也像恒星一样相互聚集，组成了更高一层次的系统——星系团、超星系团．这由小到大、不同层次的天体世界组成了整个的宇宙．现在可观测到的宇宙中的天体的层次如下表所示．值得一提的是，现代观测表明：除了银河系附近几个星系外，几乎所有的星系都在远离银河系，而且远离的速度与距离成正比．这说明宇宙在膨胀着．这一观测事实为现代宇宙学中一种较为成熟的理论——宇宙大爆炸理论奠定了基础．大爆炸理论认为，宇宙起源于约二百亿年前的一次大爆炸．爆炸初期，宇宙中现在可以看到的所有物质都聚积在一起，宇宙的密度非常大、温度非常高．随着宇宙的不断膨胀，温度逐渐下降，星系、恒星、行星、生命等逐渐形成，直至现在我们所处的这个宇宙．当然，这种演化、生成是非常缓慢的．上面我们简单地介绍了宇宙进化的过去，那么今后的宇宙将会怎样发展、演化下去呢？由于万有引力的作用，宇宙中的每个星系都受到其他星系的引力影响，这种引力起着限制宇宙膨胀的作用；但同时，由于宇宙在不断地膨胀，星系间的引力在不断减小，因而限制作用也就逐渐减小．最后的可能性似乎只有两个：要么引力足够强，使宇宙膨胀减慢、停止，然后收缩；要么膨胀太快，星系间距离迅速增大，引力不再起主要作用，宇宙将永远膨胀下去．有关宇宙是怎样产生，又将如何演化下去等问题还有许多课题需要我们不断地去研究、去探索．正像我国古代诗人屈原所说：“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”．本章小结这一章我们从行星运动的规律入手，着重学习了在天体运动、形成、演变中起非常重要作用的万有引力定律．学习这一章的有关知识固然很重要，在学习中注意领会前人的研究方法也同样是非常有益的．请你回答下面的问题，整理一下本章所学的知识．（1）开普勒在行星运动规律的研究上的主要贡献是什么？（2）牛顿是怎样得出万有引力定律的？（3）卡文迪许的主要贡献是什么？（4）怎样根据万有引力定律及行星或卫星的运动求太阳或行星的质量？（5）你能算出第一宇宙速度吗？什么是第二、第三宇宙速度？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。