1 第3讲 函数的简单性质——奇偶性
知识 整合
【基础知识】
1．如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数．
2．如果奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
如果函数f(x)的定义域不关于原点对称，那么f(x)一定是非奇非偶函数．
如果f(x)是既奇又偶函数，那么f(x)的表达式是f(x)＝0.
3．奇偶函数的性质
(1)奇偶函数定义域关于原点对称．
(2)奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(3)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
4．周期性
周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x)＝f(x＋T)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，T为这个函数的周期．
【基础自测】
1．已知函数f(x)是偶函数，若f(1)＝2，则f(－1)＝________.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．
3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是__________函数．(填“奇”或“偶”)
4．已知函数f(x)的周期为2，f(－1)＝3，则f(3)＝________.
重难点 突破
考点1 判断函数的奇偶性
重点阐述
判别函数奇偶性的方法
第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数表达式进行适当的化简，以便于判断；第三，利用定义域进行等价变形判断；第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．
例1：判断下列函数的奇偶性：
1
第03讲 函数的性质
一、奇偶性与周期性
（一）知识归纳：
1．奇偶性：
①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有
f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；
f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.
②简单性质：
1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
2．周期性：
①如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数.
注意：f(x+T)= f(x)常常写作),2()2(TxfTxf
若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期.
②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T.
（二）学习要点：
1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.
如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.
2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.
2 【例1】讨论下述函数的奇偶性：
);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx
第3讲 函数基本性质
一．【课标要求】
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
2．函数的单调性，奇偶性，周期性以及最值。
二．【命题走向】
预测2010年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值
三．【要点精讲】
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2 确定f(－x)与f(x)的关系；
○3 作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数
（3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，偶+偶=偶，
③若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0
2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
（2）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)－f(x2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
（3）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
第五讲：函数的奇偶性与周期性
知识回顾：
1、函数的奇偶性：
（1）对于函数)(xf，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．：
如果______________________________________，那么函数)(xf为奇函数；
如果______________________________________，那么函数)(xf为偶函数.
（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.
（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .
2、函数的周期性
对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf，则)(xf为周期函数，T为这个函数的周期.
基础自测
1.（2009·福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为
.
答案0
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为
.
答案0
3.已知f（x）=122)12(xxa是奇函数，则实数a的值为
.
答案1
4.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+ g(0)=0,则其中正确结论的个数是 .
答案
4
例1判断下列函数的奇偶性.f(x)=2211xx;
解≧x2-1≥0且1-x2≥0,≨x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.
