第3讲函数的奇偶性与单调性

1 第3讲 函数的奇偶性与单调性

考点梳理

一．奇、偶函数的概念

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．

如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

二．函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.但f(0)＝0不能说f(x)为奇函数。(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．

考点自测

1．(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．

解析 由f(0)＝0，得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.

答案 －3

2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析 由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝13.

答案 13

2 3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值范围是________．

解析 f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，

∴f(2x－1)＜f13⇔|2x－1|＜13⇔13＜x＜23.

答案 13，23

三．函数的单调性

(1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，

①若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；

②若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．

(2)单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

四. 函数单调性的四种判断方法

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：（复合函数中）同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．（高二内容）

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．

考点自测

1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f(x)＝1＋x－1－x的最大值为M，最小值为m，则Mm＝________.

3 解析 由 1＋x≥0，1－x≥0得－1≤x≤1.因为f(x)在[－1,1]上是单调增函数，所以M＝f(1)＝2，m＝f(－1)＝－2，所以Mm＝－1.

答案 －1

2．(2012·连云港模拟)已知函数f(x)＝x－kx(k>0，x>0)，则f(x2＋1)与f(x)的大小关系是________．

解析 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且x2＋1≥2x>x(x>0)，所以f(x2＋1)>f(x)．

答案 f(x2＋1)>f(x)

3．(2013·济南外国语学校检测)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析 f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0＜a≤1.

答案 (0,1]

考向一 函数单调性的判断

【例1】 试讨论函数f(x)＝axx－1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性．

审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性．

解 设－1

f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，

f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1

＝ax2－x1x1－1x2－1

当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

4 函数f(x)在(－1,1)上递增．

[方法总结] 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．

【训练1】 已知f(x)＝xx－a(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

(1)证明 任设x1

则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝x1－x2x1＋2x2＋2.

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解 任设1

f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a，

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知0

【例2】 (2013·鞍山模拟)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有fa＋fba＋b>0成立．

(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；

(2)解不等式：fx＋12

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

解 (1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1

则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，

5 ∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)

＝fx1＋f－x2x1＋－x2·(x1－x2)，

由已知得fx1＋f－x2x1＋－x2>0，x1－x2<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在[－1,1]上单调递增．

(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，

∴ x＋12<1x－1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x－1≤1.∴－32≤x＜－1.

(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．

∴在[－1,1]上，f(x)≤1.

问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．

下面来求m的取值范围．

设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.

①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，

∴m≤－2，或m≥2.

∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.

[方法总结] 函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．

【训练2】 (1)已知函数f(x)＝ x2＋4x，x≥0，2x－x2，x<0，若f(1－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．

(2)已知函数f(x)＝2－axa－1(a≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a的取值范围为________．

6 解析 (1)画图象或求导，可知函数f(x)是R上的增函数，于是由f(1－a2)>f(a)，得1－a2>a，即a2＋a－1<0，解得－1－52

(2)由题意，当x＝1时，2－ax＝2－a≥0，所以a≤2且a≠1，a≠0.

若a<0，则2－ax是增函数，要使f(x)是区间(0,1]上的减函数，必有a－1<0，即a<1.所以a<0.

若a>0，则2－ax是减函数，要使f(x)是区间(0,1]上的减函数，必有a－1>0，即a>1.所以1

综上，得a的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]．

答案 (1)－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2]

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高考经典题组训练

1．(2012·陕西卷改编)下列函数：①y＝x＋1；②y＝－x3；③y＝1x；④y＝x|x|，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．

解析 y＝－x3；y＝1x，y＝x|x|是奇函数，仅y＝x|x|是增函数．

答案 ④

3．(2012·上海卷)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

解析 因为y＝ex是增函数，所以由题意，y＝|x－a|在区间[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.

答案 (－∞，1]

4．(2010·天津卷改编)设f(x)＝x2－1，对任意x∈32，＋∞，fxm－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．

解 由题意，得x2m2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈32，＋∞上恒成立，即1m2－4m2≤－3x2－2x＋1在32，＋∞上恒成立．因为y＝－3x2－2x＋1在32，＋∞上单调递增，所以当x＝32时，ymin＝－53，所以1m2－4m2≤－53，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－32或m≥32.

层训练A级 基础达标演练

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f(x)＝1x；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex；满足“对任意x1x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的函数序号是________．