函数的奇偶性及周期性精讲

.

-

- -可修编. 函数的奇偶性与周期性

【2013年高考会这样考】

1．判断函数的奇偶性．

2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．

3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．

【复习指导】

本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．奇、偶函数的概念

(1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．

(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数．

(3)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

2．判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：

(1)考查定义域是否关于原点对称．

(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)；

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数．即非奇非偶函数．

3．周期性

. -

- -可修编. (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

两个性质

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)下列函数中，其中是偶函数的是( )．

A．f(x)＝x＋1xB．f(x)＝x3－2x

C．f(x)＝1x2D．f(x)＝x4＋x3

解析 由奇、偶函数的定义知，A，B为奇函数，C为偶函数，D为非奇非偶函数．

答案 C

2．(2011·)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )．

A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13

.

-

- -可修编. 解析 函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除掉B，D.C选项中y＝x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A.

答案 A

3．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 D

4．(2011·XX调研)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是

( )．

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

解析 由已知，得b＝0，

∴g(x)＝ax3＋cx.

∴g(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x)．

∴g(x)为奇函数．

答案 A

5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________.

解析 依题意，得 a－1＝－2a，b＝0，∴a＝13，b＝0，∴a＋b＝13.

答案 13

考向一 函数奇偶性的判断

【例1】►判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x2－1＋1－x2；

.

-

- -可修编. (2)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x；

(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.

[审题视点] 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断．

解 (1)由 x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，

即f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)由 1＋x1－x≥0，1－x≠0，得－1≤x＜1.

∵f(x)的定义域[－1,1)不关于原点对称，

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(3)由 4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.

∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，

∴f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(1)首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(－x)＝±f(x)判断，有时需要先将函数进行化简．

(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． .

-

- -可修编. 【训练1】 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；

(2)f(x)＝log2(x＋x2＋1)．

解 (1)∵f(x)的定义域[－1,4]不关于原点对称，

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)函数f(x)的定义域为R.

∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)

＝log21x2＋1＋x

＝log2(x2＋1＋x)－1

＝－log2(x2＋1＋x)

＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

考向二 函数的奇偶性与单调性

【例2】►(2012·XX模拟)(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；

(2)设a＞0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数，XX数a的值；

(3)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值X围．

[审题视点] (1)f(x)是一个分段函数，当x＜0时，转化为f(x)＝－f(－x)．(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f(1)＝f(－1)，再验证．(3)可考虑f(x)在[－2,2]上的单调性．

解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，当x＜0时，－x＞0，

由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．

∴f(x)＝－x2－x＋1.

.

-

- -可修编. ∴f(x)＝ x2－x－1，x＞0，0，x＝0，－x2－x＋1，x＜0.

(2)法一 ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．即e－xa＋ae－x＝exa＋aex，(a2－1)(e2x－1)＝0，对任意的x恒成立，

∴ a2－1＝0，a＞0，解得a＝1.

法二 ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，

∴1a·1e＋ae＝ea＋ae，

∴a－1ae＋1e(1a－a)＝0，

∴a－1a(e2－1)＝0，∴a－1a＝0.

又a＞0，∴a＝1.

经验证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．∴a＝1.

(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，

∴有 －2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3.①

又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，

∴在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，

即－2＜m＜1.②

综合①②，可知－1≤m＜1.

(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区 .

-

- -可修编. 间上的单调性相反．

【训练2】 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值X围是( )．

A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23

解析 f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)＜f13⇔|2x－1|＜13⇔13＜x＜23.故选A.

答案 A

考向三 函数的奇偶性与周期性

【例3】►设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．

[审题视点] ①根据周期函数的定义证明；②由函数的周期性与奇偶性综合解题；③函数周期性的应用．

(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0,2]，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，