2.3函数的奇偶性周期性1

湖州名思教育一对一个性化辅导

名思教育教务处 名思教育辅导讲义

学员姓名 辅导科目 数学

年 级 高一 授课教师

课 题 函数的奇偶性与周期性

授课时间 2014-7-

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

教学内容

1． 函数的奇偶性

奇偶性 定义 图象特点

奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称

偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称

2. 周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ( × )

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ( √ ) 湖州名思教育一对一个性化辅导

名思教育教务处 (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ( √ )

(4)若函数f(x)＝xx－2x＋a为奇函数，则a＝2. ( √ )

(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )

(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. ( √ )

2． (2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)等于( )

第 1 页 函数奇偶性与周期性基础过关

奇偶性的概念：

1．几何图形的角度：

2．代数表达式：

判断奇偶性的方法：

1．求定义域，作图

2．“一看”，“二验”，“三判断”

奇偶函数的运算性质：

奇奇 偶偶 奇*奇 奇*偶 偶*偶

复合函数奇偶性：

内外函数均具有奇偶性时，有偶则偶，无偶则奇．

复合函数单调性的表达：

若函数axf为奇函数，则函数xf的图像关于点0,a中心对称，且axfaxf．

函数的奇偶性与单调性的关系：

如果函数存在奇偶性，则在定义域的对称位置奇函数的点调性相同，偶函数的单调性相反

对函数奇偶性的两点说明：

①函数xf为奇函数，并且定义域内有000f

定义域内有0且00fxf为奇函数

②已知函数奇偶性，代点求参数值必须检验．

函数奇偶性延伸的函数的一般的对称性质：

1．如果函数关于直线ax对称，则函数满足下列常见形式：

xafxaf，xafxf2„ 第 2 页 2．如果函数关于点0,a中心对称，则函数满足下列常见性质：

xafxaf，xafxf2

练习：

1．指出下列函数所满足的性质

（1）022xfxf（2）11xfxf（3）xfxf11

函数的周期性：

若函数满足下列性质，则函数为周期函数：

1．aTaxfxfRx,

2．aTaxfxfRx,

3．abTbxfaxfRx,

4．aTRCCaxfxfRx2,,

5．aTCCaxfxfRx20,,

6．aTxfaxfaxfRx62,

函数的对称性与周期性的关系：

查永超 第 1 页 共 4 页 翔宇教育集团课时设计活页纸

主备人：查永超

总 课 题 三角函数的图象和性质 总课时 7 第 4 课时

课 题 正、余弦函数的周期性与奇偶性 课 型 新授

教学目标 1、理解周期函数及最小正周期的概念

2、会求正、余弦函数的最小正周期

3、会判断正、余弦函数的奇偶性

教学重点 正、余弦函数的周期性和奇偶性

教学难点 最小正周期的求法探讨

教学过程 教学内容 备课札记

一、复习引入

1、正、余弦函数的图象 重复出现的变化规律

2、因为sin（x+2kπ）=sinx cos（x+2kπ）=cosx

所以正、余弦函数不断重复地取值

二、新授

1、周期函数 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么，函数f（x）就叫做周期函数 T叫做周期

2、y=sinx的周期是2π，4π，……和-2π，-4π，……

2kπ是正、余弦函数的周期

最小正周期 对于一个周期函数f（x），如果它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。

y=sinx y=cosx的最小正周期是2π

3、求下列函数的周期

1）y=3cosx x∈R 2）y=sin2x x∈R

3）y=2sin（621x）x∈R

一般地，函数y=Asin（ωx+φ）的周期是 为什么？

y=Acos（ωx+φ）呢？

查永超 第 2 页 共 4 页

教学过程 教学内容 备课札记

4、求下列函数的周期

1）y=3cos（52x-6）

2）y=4sin（3x+4）+3

3）y=sinx+cosx

科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组

第 课时 2.3函数的性质(奇偶性、周期性、对称性)

考纲定位 理解函数奇偶性、周期性与对称性的概念；掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征；掌握周期性的判断方法；能综合应用函数的性质解决相关问题.

疑难提示 在判断函数奇偶性前需要判断函数定义域是否关于原点对称.

【考点整合】

1、函数的奇偶性

(1)一般地，如果对于函数()fx定义域内任意一个x,都有 ，那么函数()fx叫做奇函数;如果对于函数()fx定义域内任意一个x,都有 ，那么函数()fx叫做偶函数.

(2)奇函数的图象关于 对称，若奇函数在0x有意义，则必有(0)f ；偶函数的图象关于 对称.

(3)在定义域的公共部分内,当(),()fxgx均为奇函数时,有()()fxgx是 函数,()()fxgx是 函数.当(),()fxgx均为偶函数时,有()()fxgx是 函数,()()fxgx是 函数.

(4)判断函数奇偶性的一般步骤是：(1) (2) .

2、函数的对称性

如果函数()fx满足()()()(2)faxfaxfxfax或,则函数()fx的图象关于直线 对称。一般地，若()()faxfbx，则函数()fx的对称轴方程是 .

3、函数的周期性

定义：设函数(),yfxxD，若存在非零常数T，使得对任意的xD都有 ，则函数()fx为周期函数，T为()yfx的一个周期.若函数()fx对定义域中任意x满足()()fxafx或1()(0)()fxaafx，则函数()fx是周期函数，它的一个周期是 .