2024年九年级中考数学复习讲义++解直角三角形的应用(锐角三角函数应用)

第5节 锐角三角函数与解直角三角形考情分析导航命题点 年份 题型、题序 考查内容分值 考查热度锐角三角函数与解直角三角形 2023 解答题 第22题 解直角三角形的应用 12分★★★★★ 2022解答题 第22题 解直角三角形的应用 10分 2021解答题 第21题解直角三角形的应用 10分知识清单必备 知识点知识点解读锐角三角函 数的定义如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,斜边为c ,直角边分别是a ,b ,分别是∠A 的对边和邻边,则:sin A= ac ,cos A = bc ,tan A = ab .特殊角的三 角函数值α30° 45° 60° sin α 12√22 √32 cos α√32 √2212tan α √331 √3 锐角三角函 数值的变化(1)当α为锐角时,各三角函数值均为正数,且0<sin α<1,0<cos α<1. (2)当0°<α<90°时,sin α,tan α随角度的增大而 增大 ;cos α随角度的增大而 减小 .直角三角形 的边角关系在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别是Rt △ABC 中∠A ,∠B ,∠C 的对边.(1)三边之间的关系: a 2+b 2=c 2 ;(2)两锐角之间的关系:∠A +∠B = 90° ;(3)边、角关系:sin A =cos B =ac , cos A =sin B =bc ,tan A =ab .坡度坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡度(也叫坡比),用i 表示,坡度越大,坡面越陡;坡面与水平面的夹角用α表示,i = tan α=hl .仰角与俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角.知识点知识点解读方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.注:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.高频考点研析 考点一锐角三角函数 【例1】(2022·荆州)如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上,点C 在OB 上,OC ∶BC =1∶2,连接AC ,过点O 作OP ∥AB 交AC 的延长线于点P.若P (1,1),则tan ∠OAP 的值是 (C) A.√33B.√22C.13D.3【考法揭秘】本题主要考查坐标与图形的性质,相似三角形的判定与性质,平行线的性质,两点间的距离等知识的综合运用,作适当的辅助线是解题的关键. 【变式】1.(2021·宜昌)如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则cos ∠ABC 的值为(B)A.√23B.√22C.43D.2√232.(2022·扬州)在△ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,若b 2=ac ,则sin A 的值为√5-12.【例2】(2023·北京)计算:4sin 60°+(13)-1+|-2|-√12. 【解析】原式=4×√32+3+2-2√3 =2√3+3+2-2√3=5.【考法揭秘】本题考查的是实数的运算,熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键. 【变式】在△ABC 中,若|sinA -√22|+(√32-cosB)2=0,∠A ,∠B 都是锐角,则∠C = 105° .考点二解直角三角形【例3】(2023·北京)如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,AD 上,BE =DF ,AC =EF. (1)求证:四边形AECF 是矩形;(2)若AE =BE ,AB =2,tan ∠ACB =12,求BC 的长.【分析】(1)先证四边形AECF 是平行四边形,再由矩形的判定即可得出结论;(2)由矩形的性质得∠AEC =∠AEB =90°,再证△ABE 是等腰直角三角形,得AE =BE =√2,然后由锐角三角函数定义得EC =2AE =2√2,即可解决问题. 【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC ,AD ∥BC ,∵BE =DF , ∴AD -DF =BC -BE ,即AF =EC , ∴四边形AECF 是平行四边形, ∵AC =EF ,∴平行四边形AECF 是矩形; (2)∵四边形AECF 是矩形, ∴∠AEC =∠AEB =90°, ∵AE =BE ,AB =2,∴△ABE 是等腰直角三角形, ∴AE =BE =√22AB =√2,∵tan ∠ACB =AE EC =12,∴EC =2AE =2√2, ∴BC =BE +EC =√2+2√2=3√2, 即BC 的长为3√2.【考法揭秘】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键. 【变式】 1.(2022·宜宾)如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =5,BC =3,将△BCD 沿BD 折叠到△BED 位置,DE 交AB 于点F ,则cos ∠ADF 的值为 (C) A.817B.715C.1517D.8152.(2022·长春)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB <BC.点D 是AC 的中点,过点D 作DE ⊥AC 交BC 于点E.延长ED 至点F ,使得DF =DE ,连接AE ,AF ,CF.(1)求证:四边形AECF 是菱形;(2)若BE EC =14,则tan ∠BCF 的值为 .【解析】(1)∵点D 是AC 的中点, ∴AD =CD , ∵DF =DE ,∴四边形AECF 是平行四边形, 又∵DE ⊥AC ,∴平行四边形AECF 是菱形; (2)∵BE EC =14, ∴CE =4BE , 设BE =a ,则CE =4a ,由(1)可知,四边形AECF 是菱形, ∴AE =CE =4a ,AE ∥CF , ∴∠BEA =∠BCF , ∵∠ABC =90°,∴AB =√AE 2-BE 2=√(4a )2-a 2=√15a , ∴tan ∠BCF =tan ∠BEA =AB BE =√15aa=√15.答案:√15考点三解直角三角形的应用 【例4】(2021·贵阳)随着科学技术的不断进步,无人机被广泛应用到实际生活中,小星利用无人机来测量广场B,C两点之间的距离.如图所示,小星站在广场的B处遥控无人机,无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6 m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63°,他抬头仰视无人机时,仰角为α,若小星的身高BE=1.6 m,EA=50 m(点A,E,B,C在同一平面内).(1)求仰角α的正弦值;(2)求B,C两点之间的距离(结果精确到1 m).(sin 63°≈0.89,cos 63°≈0.45,tan 63°≈1.96,sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)【分析】(1)过A点作AD⊥BC于点D,过E点作EF⊥AD于点F,利用四边形BDFE为矩形得到EF=BD,DF=BE=1.6 m,则AF=40 m,然后根据正弦的定义求解;(2)先利用勾股定理计算出EF=30 m,再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD,然后计算BD+CD即可.【解析】见全解全析【考法揭秘】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题:根据题意画出几何图形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.【例5】(2023·威海)如图,某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照,计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷.已知苗圃的(南北)宽AB=6.5米,该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE=76.5°,最小夹角是∠DBE=29.5°.求遮阳篷的宽CD和到地面的距离CB.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin 29.5°≈0.49,cos 29.5°≈0.87,tan 29.5°≈0.57,sin 76.5°≈0.97,cos 76.5°≈0.23,tan 76.5°≈4.17)【解析】如图,过点D作DM⊥BE于点M,设DM=x米,则BC=x米,在Rt△ADM中,∵tan 76.5°=DMAM ,∴AM=DMtan76.5°,同理BM =DMtan29.5°,∵BM -AM =AB =6.5米, ∴DMtan29.5°-DMtan76.5°=6.5,解得DM ≈4.3(米),即遮阳篷的高度约为4.3米, ∵tan 76.5°=DMAM ,DM =4.3米, ∴AM =DM tan76.5°≈1(米),∴CD =BM =AB +AM ≈6.5+1=7.5(米), 即遮阳篷的宽CD 约为7.5米.【考法揭秘】本题考查解直角三角形的应用,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.。

第八单元锐角三角函数、圆与作图第 35 课时锐角三角函数【考点 1】锐角三角函数如图, 在Rt△ABC 中, ∠C =90°,∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c.正弦sinA=(____________)=(_)余弦cosA=⁽⁾/₍₎=⁽⁾/₍₎正切tan A=(___________-{(______)它们统称为∠A 的锐角三角函数.在一个直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，∠A 的锐角三角函数值也是固定的.1. 在Rt△ABC 中, ∠C=90°, BC : AC=1 : 2,求∠A 的三个三角函数值.2. [变式][2021 巴中中考]如图,点A, B, C 在边长为 1的正方形网格格点上，下列结论错误的是( )A.sinB=13B.sinC=2√55C.tanB=12D.sin²B+sin²C=13. [变式]如图, 在△ABC中, ∠C=90 , 设∠A,∠B, ∠C 所对的边分别为a, b, c, 则下列说法正确的是( )A. c=bsin BB. v=csin BC a=btan BD. b=ctan B4. [变式]如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB =90°,CD⊥AB 于点D, 下列用线段比表示 tanA 的值, 错误的是( )A.BϵAC B.CDBDC.BDCD D.CDAD5. [变式]在Rt△ABC 中, ∠c= 30°, 右BCAB =35,则下列式子一定成立的是( )A.cosA=35B.sinB=35C.tanA=43D.tanB=43点悟求一个角的锐角三角函数时，要在直角三角形中，确定对边、邻边、斜边的位置.30°45°60°sinαcosαtanα16. 求下列各式的值：(1)6tan230∘−√3sin60∘−2cos45∘(2)(cos²30°+sin²30°)×tan60°697. [变式]已知锐角 A 满足2sin(A−15∘)=√2,则∠A= .,则 cos B= .8. [变式]在Rt△ABC 中, ∠C=90∘,tanA=√33点悟可结合锐角三角函数的变化规律. 记住特殊角的三角函数值.【考点3】解直角三角形9. Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=15, ∠A=30°,解这个直角三角形.10. [变式][2021 上海中考]如图, △ABD 中,AC⊥BD, BC=8, CD=4, cos∠ABC= 4,BF 为边A5D 上的中线.(1)求 AC 的长;(2)求tan∠FBD 的值.,∠ABC的平分线 BD 交 AC 于点 D, CD=√3,求A B的11. [变式]如图, 在△ABC 中, ∠C=90°, tan A=√33长.。